Système Triphasé à Charges Équilibrées
Contexte : Le système triphasé équilibréUn système de trois tensions alternatives de même fréquence et de même amplitude, mais déphasées de 120° les unes par rapport aux autres. C'est le mode de transport d'énergie électrique le plus courant..
Les systèmes triphasés sont au cœur de la quasi-totalité des applications industrielles et de la distribution d'énergie électrique. Leur principal avantage réside dans la capacité à fournir une puissance constante et un couple moteur régulier, essentiels au bon fonctionnement des machines tournantes. Cet exercice se concentre sur l'étude d'un récepteur triphasé équilibré, un moteur asynchrone, qui représente la charge la plus commune dans l'industrie. Nous allons analyser son comportement électrique en calculant les grandeurs fondamentales : courants, tensions et puissances.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les relations fondamentales entre les grandeurs de phase et de ligne pour un couplage étoile, et de calculer le bilan de puissance complet d'une installation, une compétence indispensable pour tout technicien ou ingénieur en électrotechnique.
Objectifs Pédagogiques
- Différencier et calculer les tensions simples et composées.
- Calculer les courants de ligne et de phase pour une charge équilibrée en étoile.
- Déterminer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S).
- Calculer et interpréter le facteur de puissance d'une installation.
Données de l'étude
Fiche Technique
Schéma du montage (Couplage Étoile)
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Réseau d'alimentation | Triphasé 400V / 50 Hz |
| Récepteur | Moteur asynchrone triphasé |
| Couplage des enroulements | Étoile (Y) |
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| U | Tension composée (entre phases) | 400 | V |
| Z | Impédance d'un enroulement (phase) | 15 + j20 | Ω |
Questions à traiter
- Calculer la valeur de la tension simple (V) aux bornes d'un enroulement du moteur.
- Déterminer le module de l'impédance |Z| et le déphasage φ.
- Calculer la valeur efficace du courant de ligne (I).
- Calculer la puissance active (P) consommée par le moteur.
- Calculer les puissances réactive (Q) et apparente (S), puis en déduire le facteur de puissance (cos φ).
Les bases sur les Systèmes Triphasés Équilibrés
Un système triphasé est dit "équilibré" lorsque les trois tensions ont la même amplitude et sont déphasées de 120° (2π/3 radians) les unes par rapport aux autres, et que les impédances des trois phases de la charge sont identiques.
1. Tensions et Courants en couplage Étoile (Y)
Dans un montage en étoile, le point commun des trois enroulements est appelé le neutre.
- La tension entre une phase et le neutre est la tension simple (V).
- La tension entre deux phases est la tension composée (U).
- Le courant qui parcourt une phase est le courant de phase (J).
- Le courant qui parcourt une ligne d'alimentation est le courant de ligne (I).
2. Le Triangle des Puissances
Le bilan de puissance d'une installation AC est décrit par trois grandeurs :
- Puissance Active (P) : La puissance réellement consommée et transformée en travail ou en chaleur. Unité : Watt (W).
- Puissance Réactive (Q) : La puissance "échangée" par les éléments inductifs et capacitifs, nécessaire à la création des champs magnétiques. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
- Puissance Apparente (S) : La puissance totale fournie par la source. C'est la somme vectorielle de P et Q. Unité : Voltampère (VA).
Correction : Système Triphasé à Charges Équilibrées
Question 1 : Calculer la valeur de la tension simple (V)
Principe
Pour un système triphasé équilibré avec un couplage en étoile, il existe une relation géométrique directe entre la tension composée (entre phases) et la tension simple (entre phase et neutre). La tension simple est \(\sqrt{3}\) fois plus petite que la tension composée, car elle correspond à la tension aux bornes d'un seul enroulement.
Mini-Cours
Les tensions d'un réseau triphasé sont représentées par trois vecteurs (phaseurs) tournants décalés de 120°. La tension composée (ex: U₁₂) est la différence vectorielle entre deux tensions simples (V₁ - V₂). La construction géométrique de cette soustraction dans le plan de Fresnel montre que le module de la tension composée est \(\sqrt{3}\) fois plus grand que celui de la tension simple.
Remarque Pédagogique
Le premier réflexe face à un exercice en triphasé est d'identifier le type de tension fournie (simple ou composée) et le type de couplage (étoile ou triangle). Ici, le réseau est "400V", ce qui par convention désigne la tension composée U. Le récepteur est en étoile, donc chaque enroulement est soumis à la tension simple V.
Normes
La valeur de 400V pour la tension composée est une tension normalisée en Europe pour les réseaux de distribution basse tension, conformément à la norme IEC 60038. Cette standardisation garantit la compatibilité des équipements électriques.
Formule(s)
Relation entre tension simple et composée
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le réseau triphasé est parfaitement équilibré (tensions de même amplitude, déphasées de 120°).
- La tension est parfaitement sinusoïdale et sa fréquence est stable à 50 Hz.
Donnée(s)
La seule donnée nécessaire pour cette question est la tension composée du réseau.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
Astuces
Pour une vérification rapide, retenez que \(\sqrt{3} \approx 1.732\). Diviser 400 par 1.732 doit donner un résultat proche de 230V, qui est la valeur standard pour les tensions simples en Europe. C'est un bon moyen de s'assurer qu'on n'a pas inversé la formule.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Tensions Simples et Composée
Calcul(s)
Calcul de la tension simple
Schéma (Après les calculs)
Relation Tensions Simples et Composée
Réflexions
Le résultat de 231 V est la tension nominale pour laquelle chaque enroulement du moteur a été conçu. Appliquer directement 400V à un seul enroulement (ce qui arriverait avec un mauvais couplage) le détruirait par surtension.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'inverser la formule : ne jamais multiplier la tension composée par \(\sqrt{3}\) pour trouver la simple. En couplage étoile, la tension aux bornes d'un récepteur est TOUJOURS inférieure ou égale à la tension entre phases.
Points à retenir
Pour un couplage étoile, la tension aux bornes d'une phase (tension simple V) est toujours la tension entre phases (tension composée U) divisée par \(\sqrt{3}\). C'est la règle la plus fondamentale du couplage étoile.
Le saviez-vous ?
Le système 230V/400V est le fruit d'une harmonisation européenne. Historiquement, la France utilisait un réseau 220V/380V, tandis que le Royaume-Uni utilisait du 240V. La norme actuelle est une moyenne qui permet aux anciens appareils des deux systèmes de fonctionner sans risque majeur.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le moteur était connecté à un réseau nord-américain de 208 V (tension composée), quelle serait la tension simple à ses bornes ?
Question 2 : Déterminer le module de l'impédance |Z| et le déphasage φ
Principe
L'impédance est une grandeur complexe qui représente l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle a une partie réelle (la résistance R) et une partie imaginaire (la réactance X). Pour les calculs de puissances et de courants, il est souvent plus simple de la manipuler sous sa forme polaire, qui se compose d'un module (sa "longueur" ou "intensité") et d'un argument (son "angle" ou "déphasage").
Mini-Cours
Toute impédance complexe \(Z = R + jX\) peut être représentée par un point dans le plan complexe. Le module \(|Z|\) est la distance de ce point à l'origine, calculée par le théorème de Pythagore. L'argument \(\varphi\) est l'angle que fait le segment reliant l'origine à ce point avec l'axe des réels (l'axe des résistances). Cet angle représente physiquement le déphasage entre la tension aux bornes de l'impédance et le courant qui la traverse.
Remarque Pédagogique
Passer de la forme cartésienne (R, X) à la forme polaire (\(|Z|, \varphi\)) est une étape quasi systématique en électrotechnique. La forme cartésienne est utile pour additionner des impédances en série, tandis que la forme polaire simplifie énormément les multiplications et divisions (Loi d'Ohm, calculs de puissance).
Normes
Il n'y a pas de norme spécifique pour ce calcul, il s'agit de l'application de concepts mathématiques fondamentaux (nombres complexes) à la physique électrique, une méthode standardisée dans l'enseignement et la pratique de l'ingénierie électrique.
Formule(s)
Formule du module de l'impédance
Formule de l'argument (déphasage)
Hypothèses
Nous supposons que les valeurs de R et X sont constantes et ne dépendent pas de la fréquence ou de la température, ce qui est une simplification courante pour les exercices de base.
Donnée(s)
On utilise la forme complexe de l'impédance fournie dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Impédance (complexe) | Z | 15 + j20 | Ω |
Astuces
Pour les triangles rectangles courants en électricité (comme 3-4-5), on peut parfois trouver le module de tête. Ici, \(Z = 15 + j20 = 5 \times (3 + j4)\). Le module du terme entre parenthèses est \(\sqrt{3^2+4^2}=5\). Donc, \(|Z| = 5 \times 5 = 25 \, \Omega\). Cela permet de vérifier rapidement le calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle de l'Impédance
Calcul(s)
Calcul du module
Calcul du déphasage
Schéma (Après les calculs)
Triangle de l'Impédance
Réflexions
Le résultat montre que l'impédance a un caractère plus réactif (X=20) que résistif (R=15). Cela est typique d'un moteur, où les bobinages créent un fort effet d'induction. Le déphasage de 53.1° est donc significatif et aura un impact direct sur le facteur de puissance.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" et non "radians" pour le calcul de l'arc tangente, sauf si l'énoncé demande un résultat en radians. Une erreur de mode de calcul est une source de faute très fréquente.
Points à retenir
La conversion cartésien -> polaire est une compétence mathématique essentielle en électricité. Retenez que le module est toujours positif et se calcule via Pythagore. L'angle dépend du signe de R et X (ici, R>0 et X>0, donc l'angle est dans le premier quadrant).
Le saviez-vous ?
Le concept d'impédance complexe a été introduit par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle. Cette "astuce" mathématique a révolutionné l'analyse des circuits en courant alternatif, en transformant des équations différentielles complexes en simples équations algébriques.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la valeur du module |Z| pour une impédance de \(Z = 8 + j6 \, \Omega\) ?
Question 3 : Calculer la valeur efficace du courant de ligne (I)
Principe
Le courant qui circule dans le circuit est déterminé par la tension qui lui est appliquée et l'opposition (l'impédance) qu'il rencontre. C'est la loi d'Ohm. En triphasé, il est crucial d'appliquer la loi d'Ohm aux bonnes grandeurs : on utilise la tension aux bornes d'une phase (tension simple V) et l'impédance de cette même phase (Z) pour trouver le courant qui la traverse (courant de phase J).
Mini-Cours
Dans un couplage étoile, les lignes d'alimentation sont directement connectées à une seule phase du récepteur. Par conséquent, le courant qui circule dans la ligne est exactement le même que celui qui circule dans la phase. Il n'y a pas de nœud ou de dérivation entre la ligne et la phase. On a donc la relation d'égalité : \(I_{\text{ligne}} = J_{\text{phase}}\).
Remarque Pédagogique
Maintenant que nous avons la tension simple V (Question 1) et le module de l'impédance |Z| (Question 2), le calcul du courant devient une simple application de la loi d'Ohm. L'organisation des questions vous guide pas à pas dans la résolution.
Normes
Le calcul du courant est fondamental pour le dimensionnement des protections (disjoncteurs, fusibles) et des câbles d'alimentation, qui sont régis par des normes d'installation comme la NF C 15-100 en France.
Formule(s)
Loi d'Ohm en alternatif
Hypothèses
On suppose que l'impédance de la ligne d'alimentation est négligeable. Dans la réalité, les câbles ont leur propre impédance qui peut provoquer une légère chute de tension.
Donnée(s)
On utilise les résultats des deux questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension simple | V | 230.94 | V |
| Module de l'impédance | |Z| | 25 | Ω |
Astuces
Avant de calculer, on peut faire une estimation. 230 divisé par 25, c'est un peu comme 225 / 25 = 9. Le résultat doit être légèrement supérieur à 9 A. Cela permet de détecter une erreur de frappe sur la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du montage (Couplage Étoile)
Calcul(s)
Calcul du courant de ligne
Schéma (Après les calculs)
Diagramme de Fresnel des Tensions et Courants
Réflexions
Un courant de 9.24 A est un courant significatif qui nécessite un câblage et des protections appropriés. Ce courant est la conséquence directe de la tension du réseau et de l'impédance du moteur. Si le moteur était plus puissant (impédance plus faible), le courant serait plus élevé.
Points de vigilance
L'erreur la plus grave serait d'utiliser la tension composée U (400V) dans la loi d'Ohm pour une phase. Cela donnerait un courant erroné (\(400/25 = 16\) A) et fausserait tous les calculs de puissance suivants. Toujours utiliser la tension aux bornes de l'impédance que l'on étudie.
Points à retenir
En couplage étoile, on a toujours \(I_{\text{ligne}} = J_{\text{phase}}\). Pour trouver ce courant, on applique la loi d'Ohm sur une seule phase : \(J = V / |Z|\).
Le saviez-vous ?
Le moteur asynchrone triphasé a été inventé indépendamment par Galileo Ferraris et Nikola Tesla à la fin des années 1880. Son principe repose sur la création d'un champ magnétique tournant par les courants triphasés, qui entraîne le rotor sans contact physique, d'où le nom "asynchrone".
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'impédance du moteur était de 10 Ω (moteur plus puissant), quel serait le nouveau courant de ligne ?
Question 4 : Calculer la puissance active (P) consommée
Principe
La puissance active, P, est la seule puissance qui est "utile" : elle est convertie en une autre forme d'énergie (ici, mécanique et thermique). Elle n'est dissipée que par les éléments résistifs du circuit. En triphasé, la puissance active totale est simplement la somme des puissances actives consommées par chacune des trois phases.
Mini-Cours
La puissance active dans une seule phase est donnée par \(P_{\text{phase}} = V \cdot J \cdot \cos(\varphi)\) ou, de manière équivalente, \(P_{\text{phase}} = R \cdot J^2\). Comme le système est équilibré, la puissance totale est trois fois la puissance d'une phase : \(P_{\text{total}} = 3 \cdot P_{\text{phase}}\). En remplaçant V et J par leurs équivalents avec U et I (\(V=U/\sqrt{3}\) et \(J=I\)), on aboutit à la formule générale \(P_{\text{total}} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\varphi)\).
Remarque Pédagogique
Le calcul des puissances est souvent l'objectif final d'une étude de circuit. La puissance active est particulièrement importante car c'est elle qui est facturée par le fournisseur d'électricité et qui dimensionne la capacité mécanique du moteur.
Normes
La mesure de la puissance et de l'énergie active est standardisée par des normes internationales (comme la série IEC 62053 pour les compteurs d'énergie) afin de garantir une facturation équitable de la consommation électrique.
Formule(s)
Formule de la puissance active totale
Hypothèses
Nous calculons la puissance électrique absorbée par le moteur. Nous ne tenons pas compte ici du rendement du moteur, qui relie cette puissance électrique à la puissance mécanique réellement disponible sur l'arbre.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs de U, I et φ calculées précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
| Courant de ligne | I | 9.24 | A |
| Déphasage | φ | 53.13 | ° |
Astuces
Il est souvent plus sûr et plus simple de calculer la puissance d'une seule phase (\(P_{\text{phase}} = R \cdot I^2\) car J=I) puis de multiplier par 3. Cela évite d'utiliser le \(\sqrt{3}\) et le \(\cos(\varphi)\) qui peuvent être des sources d'erreur. Vérifions :
Le résultat est identique.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Puissances (Concept)
Calcul(s)
Calcul du facteur de puissance
Calcul de la puissance active totale
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Puissances (Concept)
Réflexions
Le moteur consomme 3841 Watts. C'est cette puissance qui est convertie en rotation et en chaleur (pertes joules, pertes fer...). C'est la puissance qui serait mesurée par un wattmètre et qui sert de base à la facturation de l'énergie (en kWh).
Points de vigilance
Ne pas oublier le facteur \(\sqrt{3}\) lors de l'utilisation de la formule avec les grandeurs de ligne (U et I). Si vous utilisez la formule par phase (\(P=3 \cdot V \cdot J \cdot \cos\varphi\)), il n'y a pas de \(\sqrt{3}\). Choisir une formule et s'y tenir pour éviter les confusions.
Points à retenir
La puissance active totale en triphasé équilibré est \(P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\varphi)\). Elle représente la puissance "réelle" consommée par la charge.
Le saviez-vous ?
La méthode des deux wattmètres, imaginée par Blondel, permet de mesurer la puissance active totale d'un système triphasé (équilibré ou non) avec seulement deux mesures, même sans accès au fil de neutre. C'est une technique très ingénieuse et encore utilisée aujourd'hui.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant de ligne était de 10 A et le facteur de puissance de 0.85, quelle serait la puissance active consommée (réseau 400V) ?
Question 5 : Calculer Q, S et le facteur de puissance
Principe
Le bilan de puissance complet d'une installation en régime sinusoïdal est décrit par le "triangle des puissances", qui est une représentation géométrique des relations entre la puissance active (P), la puissance réactive (Q) et la puissance apparente (S). S est l'hypoténuse, P et Q sont les deux autres côtés.
Mini-Cours
Puissance Réactive Q : Associée aux éléments magnétiques (bobines des moteurs), elle ne produit pas de travail mais est essentielle à leur fonctionnement. Elle "oscille" entre la source et la charge. Puissance Apparente S : C'est la puissance "totale" que la source doit être capable de fournir. Elle dimensionne les transformateurs et les alternateurs. Le facteur de puissance \(\cos(\varphi)\) est le rapport P/S ; il mesure l'efficacité de l'installation. Un bon facteur de puissance est proche de 1.
Remarque Pédagogique
Cette dernière question permet de synthétiser toutes les informations précédentes. Calculer S, Q et le facteur de puissance permet de porter un jugement sur la qualité de l'installation électrique. Un mauvais facteur de puissance (inférieur à 0.93) est souvent pénalisé par les fournisseurs d'énergie.
Normes
En France, la réglementation incite les industriels à maintenir un bon facteur de puissance. Le distributeur d'énergie peut facturer des pénalités si le \(\tan(\varphi) = Q/P\) dépasse une certaine valeur (typiquement 0.4), ce qui correspond à un \(\cos(\varphi)\) inférieur à 0.928.
Formule(s)
Formule de la puissance apparente
Formule de la puissance réactive
Formule du facteur de puissance
Hypothèses
Les calculs sont faits en régime établi. Nous ne considérons pas les régimes transitoires (comme le démarrage du moteur) où les puissances peuvent être très différentes.
Donnée(s)
Nous utilisons toutes les grandeurs calculées précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
| Courant de ligne | I | 9.24 | A |
| Déphasage | φ | 53.13 | ° |
| Puissance active | P | 3841 | W |
Astuces
Une fois S et P connus, il est souvent plus rapide de trouver Q avec la formule de Pythagore (\(Q = \sqrt{S^2 - P^2}\)) qu'en recalculant avec le sinus, ce qui évite une étape de calcul trigonométrique.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Puissances (Concept)
Calcul(s)
Calcul de la puissance apparente (S)
Calcul de la puissance réactive (Q)
Vérification du facteur de puissance
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Puissances du Moteur
Réflexions
Le facteur de puissance de 0.6 est très faible. Cela signifie que pour 3.8 kW de puissance utile, le réseau doit fournir 6.4 kVA, soit 68% de puissance en plus. La puissance réactive (5.1 kVAR) est même supérieure à la puissance active. Une telle installation serait certainement pénalisée et nécessiterait une compensation d'énergie réactive (ajout de condensateurs) pour améliorer son facteur de puissance.
Points de vigilance
Attention aux unités ! P est en Watts (W), Q en Voltampères Réactifs (VAR), et S en Voltampères (VA). Ne pas les mélanger. Le facteur de puissance, lui, est sans unité.
Points à retenir
Le bilan de puissance (P, Q, S) est l'aboutissement de l'analyse d'un circuit. Le facteur de puissance \(\cos(\varphi) = P/S\) est un indicateur clé de la performance d'une installation. Un bon ingénieur cherche toujours à le maintenir le plus proche possible de 1.
Le saviez-vous ?
Améliorer le facteur de puissance (le "relever") ne change pas la puissance active P consommée par le moteur, mais diminue la puissance apparente S (et donc le courant I) fournie par le réseau. En ajoutant des condensateurs qui fournissent localement la puissance réactive, on "soulage" les lignes de transport d'énergie, ce qui réduit les pertes et libère de la capacité sur le réseau.
FAQ
Il est normal d'avoir des questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Une installation consomme P=10 kW et S=11 kVA. Quel est son facteur de puissance ?
Outil Interactif : Simulateur de Charge Triphasée
Utilisez les curseurs pour modifier la tension du réseau et les caractéristiques de la charge (sa résistance et sa réactance). Observez en temps réel l'impact sur les courants et les puissances. Le graphique représente le triangle des puissances.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un couplage étoile, quelle est la relation correcte ?
2. Un facteur de puissance proche de 1 indique que...
3. Si la charge était couplée en triangle (delta) avec la même impédance par phase, le courant de ligne serait...
4. L'unité de la puissance réactive est le...
5. Pour améliorer un mauvais facteur de puissance sur une charge inductive (moteur), on ajoute en parallèle...
- Tension Simple (V)
- Dans un système triphasé, c'est la tension mesurée entre un conducteur de phase et le conducteur de neutre.
- Tension Composée (U)
- C'est la tension mesurée entre deux conducteurs de phase.
- Couplage Étoile (Y)
- Un mode de raccordement d'une charge triphasée où les trois enroulements sont connectés à un point commun appelé neutre.
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Il mesure l'efficacité avec laquelle l'énergie électrique est convertie en travail utile. Un facteur idéal est de 1.
- Impédance (Z)
- L'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle est composée d'une partie résistive (R) et d'une partie réactive (X).
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