Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

1. Calcul de l’amplitude du champ magnétique B à la distance r

Un fil conducteur long et droit, parcouru par un courant électrique, crée autour de lui un champ magnétique. Grâce à la symétrie cylindrique, on sait que la valeur de ce champ dépend uniquement de la distance r au fil, et non de l’angle autour du fil.

Choix de la trajectoire d’intégration : Pour appliquer le théorème d’Ampère, on choisit une boucle fermée C qui est un cercle de rayon r centré sur le fil. Sur cette boucle :

• Le vecteur champ magnétique \(\vec{B}\) est tangent au cercle en chaque point.
• Son intensité \(B\) est la même en tout point grâce à la symétrie.
• Le vecteur déplacement infinitésimal \(d\vec{\ell}\) parcourt la boucle dans le sens choisi.

L’intégrale de ligne \(\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell}\) correspond à la circulation du champ autour du fil. Avec \(B\) constant, cette intégrale devient le produit de \(B\) par la longueur totale du cercle : \(2\pi r\).

Formule

D’après le théorème d’Ampère :
\[ \oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = \mu_0 I. \]
Comme \(\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{\ell} = B\,(2\pi r)\), on en déduit :
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}. \]

Données

• \(I = 10\,\mathrm{A}\)
• \(r = 5\,\mathrm{cm} = \frac{5}{100}\,\mathrm{m} = 0{,}05\,\mathrm{m}\)
• \(\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T}\cdot\frac{m}{A}\)

Calcul

1. Calcul de \(\mu_0 I\) :
\[ \mu_0 I = \bigl(4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{T}\cdot\frac{m}{A}\bigr) \times (10\,\mathrm{A}) \] \[ \mu_0 I = 4\pi\times10^{-6}\,\mathrm{T}\cdot m. \]

2. Calcul de la longueur de la circonférence \(2\pi r\) :
\[ 2\pi r = 2\times\pi\times0{,}05\,\mathrm{m} \] \[ 2\pi r = \frac{1}{10}\pi\,\mathrm{m}. \]

3. Substitution dans la formule pour obtenir \(B\) :
\[ B = \frac{4\pi\times10^{-6}}{\frac{1}{10}\pi}\,\mathrm{T} \] \[ B = 4{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{T}. \]

Résultat

\[ B\bigl(r=5\,\mathrm{cm}\bigr) = 4{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{T} \] Le champ magnétique vaut \(4{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{T}\), ce qui est faible mais typique pour un fil traversé par \(10\,\mathrm{A}\) à \(5\,\mathrm{cm}\) de distance.

2. Direction du champ magnétique par rapport au courant

Le champ magnétique autour d’un fil suit la règle de la main droite :

1. Orientez le pouce de la main droite dans le sens du courant \(I\).
2. Les autres doigts se courbent autour du fil et indiquent le sens des lignes de champ magnétique \(\vec{B}\).

Orientation

• Sens : circulaire, tangentiel au cercle centré sur le fil, dans le sens indiqué par les doigts.
• Perpendicularité : en chaque point, \(\vec{B}\) est perpendiculaire au rayon \(\vec{r}\) (segment joignant le fil au point d’observation).