Interactions Magnétiques avec le Césium-137
Contexte : Le Moment Magnétique NucléairePropriété d'un noyau atomique qui le fait se comporter comme un petit aimant, due au spin des protons et des neutrons qui le composent..
Le Césium-137 (\(^{137}_{\text{55}}\text{Cs}\)) est un isotope radioactif connu pour ses applications médicales (curiethérapie) et industrielles. Au-delà de sa radioactivité, son noyau possède des propriétés magnétiques fascinantes. En raison de son spin nucléaireMoment cinétique intrinsèque d'un noyau atomique, une propriété purement quantique. non nul, il se comporte comme un minuscule aimant. Cet exercice explore comment ce "nano-aimant" interagit avec un champ magnétique externe, un phénomène fondamental à la base de technologies comme l'Imagerie par Résonance Magnétique (IRM).
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une passerelle entre la physique nucléaire (structure du noyau, spin), l'électromagnétisme (champs magnétiques) et la mécanique quantique (quantification de l'énergie). Il illustre l'effet Zeeman nucléaire, un concept clé en physique atomique et en spectroscopie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le concept de spin et de moment magnétique nucléaire.
- Calculer les niveaux d'énergie d'un noyau dans un champ magnétique (effet Zeeman).
- Déterminer la fréquence de résonance magnétique nucléaire (RMN).
Données de l'étude
Fiche Technique du Noyau
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Isotope | \(^{137}_{\text{55}}\text{Cs}\) | - |
| Spin nucléaire | \(I\) | \(7/2\) |
| Moment magnétique nucléaire | \(\mu\) | \(+2.84 \, \mu_N\) |
Mouvement de précession du moment magnétique
| Paramètre / Constante | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ magnétique externe | \(B\) | \(1.5\) | \(\text{T}\) |
| Magnéton nucléaire | \(\mu_N\) | \(5.05078 \times 10^{-27}\) | \(\text{J/T}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.62607 \times 10^{-34}\) | \(\text{J} \cdot \text{s}\) |
Questions à traiter
- Déterminer le nombre de niveaux d'énergie créés par l'interaction et lister les valeurs possibles pour le nombre quantique de spin magnétique, \(m_I\).
- Calculer l'énergie d'interaction \(E_{m_I}\) pour la valeur maximale et minimale de \(m_I\). Exprimez les résultats en Joules (J).
- Calculer la différence d'énergie \(\Delta E\) entre deux niveaux adjacents. Que remarquez-vous ?
- En déduire la fréquence de résonance \(\nu\) (fréquence de Larmor) nécessaire pour induire une transition entre ces niveaux.
- Calculer l'énergie pour tous les niveaux et représenter graphiquement la levée de dégénérescence des niveaux d'énergie.
Les bases sur l'Interaction Magnétique
Lorsqu'un noyau avec un moment magnétique \(\vec{\mu}\) est placé dans un champ magnétique externe \(\vec{B}\), son énergie potentielle d'interaction n'est plus nulle. Cette énergie dépend de l'orientation relative de \(\vec{\mu}\) par rapport à \(\vec{B}\).
1. Énergie d'interaction (Effet Zeeman)
L'énergie d'interaction est donnée par le produit scalaire \(E = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}\). En mécanique quantique, l'orientation du spin (et donc du moment magnétique) est quantifiée. L'énergie ne peut prendre que des valeurs discrètes, données par la formule :
\[ E_{m_I} = - \frac{\mu}{I} B m_I \]
Où \(m_I\) est le nombre quantique magnétique, qui peut prendre \(2I+1\) valeurs allant de \(-I\) à \(+I\) par pas de 1.
2. Fréquence de Résonance (Larmor)
Pour faire passer le noyau d'un niveau d'énergie \(E_1\) à un niveau adjacent \(E_2\), il faut lui fournir une énergie précise sous forme d'une onde électromagnétique. Cette énergie correspond à la différence \(\Delta E = E_2 - E_1\). La fréquence \(\nu\) de l'onde doit vérifier la relation de Planck-Einstein :
\[ \Delta E = h \nu \]
Correction : Interactions Magnétiques avec le Césium-137
Question 1 : Nombre de niveaux et valeurs de \(m_I\)
Principe
Le concept physique clé ici est la "quantification spatiale". En mécanique quantique, le vecteur spin d'un noyau ne peut pas s'orienter n'importe comment par rapport à un champ magnétique externe. Seules des orientations discrètes sont permises, chacune correspondant à un niveau d'énergie distinct.
Mini-Cours
Le nombre quantique de spin \(I\) définit la "longueur" totale du vecteur spin. Sa projection sur l'axe du champ magnétique, quantifiée par le nombre quantique magnétique \(m_I\), ne peut prendre que des valeurs spécifiques. Le nombre de ces valeurs (et donc le nombre de niveaux d'énergie) est toujours \(2I+1\).
Remarque Pédagogique
La première étape face à un problème de magnétisme nucléaire est toujours d'identifier la valeur du spin \(I\). C'est elle qui dicte toute la structure des niveaux d'énergie. Une fois que vous avez \(I\), le reste en découle logiquement.
Normes
Il ne s'agit pas ici de normes d'ingénierie, mais des postulats fondamentaux de la mécanique quantique qui régissent le comportement des particules au niveau atomique et subatomique. Ces principes sont universels.
Formule(s)
Nombre de niveaux d'énergie
Valeurs du nombre quantique magnétique
Hypothèses
On suppose que le noyau est isolé de toute autre interaction (par exemple, les électrons de l'atome) et que le champ magnétique \(\vec{B}\) est parfaitement uniforme sur tout le volume du noyau.
Donnée(s)
Les données pour cette question proviennent directement de la fiche technique du noyau fournie dans l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Spin nucléaire du Césium-137 | \(I\) | \(7/2\) | (sans dimension) |
Astuces
Pour un spin demi-entier (comme 1/2, 3/2, 7/2...), le nombre de niveaux est toujours pair. Pour un spin entier (comme 1, 2...), le nombre de niveaux est toujours impair et inclut la valeur \(m_I=0\).
Schéma (Avant les calculs)
Niveau d'énergie en l'absence de champ (B=0)
Calcul(s)
Calcul du nombre de niveaux
Liste des valeurs de \(m_I\)
Schéma (Après les calculs)
Levée de dégénérescence
Réflexions
Le résultat nous montre qu'il n'y a pas une seule énergie possible, mais un "escalier" de 8 marches énergétiques distinctes que le noyau peut occuper en présence du champ.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier que l'intervalle des valeurs de \(m_I\) inclut les bornes \(-I\) et \(+I\) et que le pas est toujours de 1, même si \(I\) est un demi-entier.
Points à retenir
- Le nombre de niveaux d'énergie est \(2I+1\).
- Le nombre quantique \(m_I\) représente la projection du spin sur l'axe du champ B.
Le saviez-vous ?
L'expérience de Stern et Gerlach en 1922 a été la première preuve expérimentale de la quantification spatiale, en montrant qu'un faisceau d'atomes d'argent se séparait en deux faisceaux distincts dans un champ magnétique non uniforme.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Combien de niveaux d'énergie aurait un noyau de Deutérium (\(^2\)H) qui a un spin \(I=1\) ?
Question 2 : Calcul des énergies extrêmes
Principe
L'énergie d'un dipôle magnétique dans un champ est minimale lorsque le dipôle est aligné avec le champ, et maximale lorsqu'il est anti-aligné. La formule de l'énergie de Zeeman nous permet de quantifier précisément ces deux états extrêmes.
Mini-Cours
La formule \(E_{m_I} = - (\mu/I) B m_I\) montre que l'énergie est directement proportionnelle à \(m_I\). Le signe négatif global signifie que l'état d'énergie le plus bas (le plus stable) correspond à la valeur la plus élevée et positive de \(m_I\) (alignement maximal avec le champ B).
Remarque Pédagogique
Portez une attention particulière aux unités. Le moment magnétique \(\mu\) est donné en magnétons nucléaires (\(\mu_N\)), une unité pratique en physique nucléaire, mais tous les calculs d'énergie doivent être faits dans le Système International (Joules, Teslas).
Normes
Les calculs suivent les lois de l'électromagnétisme quantique, qui sont des principes fondamentaux et non des normes réglementaires.
Formule(s)
Formule de l'énergie de Zeeman
Hypothèses
On suppose que la valeur du champ magnétique externe \(B\) est constante et que le moment magnétique \(\mu\) du noyau est une constante intrinsèque.
Donnée(s)
Les données utilisées ici sont issues de l'énoncé et des constantes physiques universelles. Les valeurs de \(m_I\) proviennent du résultat de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment magnétique (brut) | \(\mu\) | \(+2.84\) | \(\mu_N\) |
| Magnéton nucléaire | \(\mu_N\) | \(5.05078 \times 10^{-27}\) | \(\text{J/T}\) |
| Spin nucléaire | \(I\) | \(3.5\) | (sans dimension) |
| Champ magnétique | \(B\) | \(1.5\) | \(\text{T}\) |
| \(m_I\) maximal | \(m_{I,\text{max}}\) | \(+3.5\) | (sans dimension) |
| \(m_I\) minimal | \(m_{I,\text{min}}\) | \(-3.5\) | (sans dimension) |
Astuces
Puisque l'énergie est linéaire en \(m_I\) et que les niveaux sont symétriques, on peut calculer \(E_{max}\) et savoir immédiatement que \(E_{min} = -E_{max}\). Cela divise le travail par deux.
Schéma (Avant les calculs)
Orientations extrêmes du moment magnétique
Calcul(s)
Conversion du moment magnétique \(\mu\)
Calcul de l'énergie minimale (\(m_I = +7/2\))
Calcul de l'énergie maximale (\(m_I = -7/2\))
Schéma (Après les calculs)
Diagramme des énergies extrêmes
Réflexions
On observe que les niveaux d'énergie sont symétriques par rapport à l'énergie zéro (qui correspondrait à un noyau sans interaction). L'énergie la plus basse (négative) est la plus stable et correspond à l'orientation la plus favorable du moment magnétique dans le champ.
Points de vigilance
Ne pas se tromper avec le double signe négatif lors du calcul de l'énergie maximale (\(E_{\text{max}}\)). Le signe "-" dans la formule et le signe "-" de \(m_I\) se combinent pour donner un résultat positif.
Points à retenir
- L'énergie est proportionnelle à \(B\) et \(m_I\).
- Le niveau d'énergie le plus bas correspond à la valeur de \(m_I\) la plus positive.
Le saviez-vous ?
Les énergies mises en jeu sont extrêmement faibles (de l'ordre de \(10^{-26}\) J). C'est pourquoi la Résonance Magnétique Nucléaire est une technique non invasive et sans danger, contrairement aux rayons X qui utilisent des photons beaucoup plus énergétiques.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'énergie minimale (en \(10^{-26}\) J) si le champ magnétique était de 3.0 T ?
Question 3 : Différence d'énergie \(\Delta E\)
Principe
On cherche à déterminer l'écart d'énergie entre deux "marches" consécutives de notre "escalier" énergétique. Savoir si cet écart est constant est crucial pour comprendre comment on peut interagir avec le système.
Mini-Cours
En calculant la différence d'énergie entre un niveau \(E_{m_I}\) et le niveau juste au-dessus, \(E_{m_I+1}\), on peut démontrer mathématiquement si l'espacement dépend de la position dans l'échelle d'énergie ou s'il est constant pour toutes les transitions adjacentes.
Remarque Pédagogique
Le fait que \(\Delta E\) soit constant est le pilier de la spectroscopie de résonance. Cela signifie qu'une seule fréquence d'onde radio sera "écoutée" par le noyau, rendant le signal très propre et spécifique.
Normes
Ce calcul est une application directe des lois de la mécanique quantique. Il n'y a pas de norme réglementaire associée.
Formule(s)
Formule de l'écart d'énergie
Hypothèses
On se place dans le cadre de l'effet Zeeman linéaire, où l'énergie est strictement proportionnelle à \(B\). Cela suppose qu'il n'y a pas d'autres effets quantiques (comme l'interaction quadrupolaire) qui pourraient altérer l'équidistance des niveaux.
Donnée(s)
Nous utilisons le moment magnétique converti et les paramètres de l'énoncé pour ce calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Moment magnétique | \(\mu\) | \(1.4344 \times 10^{-26}\) | \(\text{J/T}\) |
| Spin nucléaire | \(I\) | \(3.5\) | (sans dimension) |
| Champ magnétique | \(B\) | \(1.5\) | \(\text{T}\) |
Astuces
Plutôt que de faire une soustraction compliquée, la formule générale \(|\Delta E| = \mu B / I\) est la plus rapide. Elle donne directement l'espacement sans avoir à calculer les énergies individuelles d'abord.
Schéma (Avant les calculs)
Espacement entre niveaux
Calcul(s)
Démonstration littérale de l'écart constant
On commence par démontrer littéralement que l'écart d'énergie \(\Delta E\) est constant en calculant la différence entre deux niveaux adjacents, \(E_{m_I+1}\) et \(E_{m_I}\). On substitue la formule de l'énergie de Zeeman pour ces deux niveaux et on simplifie l'expression.
La formule du résultat ne contient pas le terme \(m_I\). Cela prouve que l'écart est constant. En valeur absolue :
Application numérique de l'écart d'énergie
Maintenant, on applique numériquement la formule de l'écart d'énergie \(|\Delta E|\) en utilisant les valeurs de \(\mu\), \(B\), et \(I\) pour trouver la valeur de cet espacement constant.
Schéma (Après les calculs)
Espacement Énergétique Constant
Réflexions
La constance de l'écart énergétique est une propriété fondamentale et très pratique.
Points de vigilance
Assurez-vous de calculer la différence entre deux niveaux adjacents, c'est-à-dire dont les valeurs de \(m_I\) diffèrent de 1 exactement (\(\Delta m_I = 1\)).
Points à retenir
Pour l'effet Zeeman (linéaire), les niveaux d'énergie sont toujours équidistants. L'écart est proportionnel à \(\mu\) et \(B\), et inversement proportionnel à \(I\).
Le saviez-vous ?
Le rapport gyromagnétique, \(\gamma = \mu / (I \hbar)\), est une constante propre à chaque noyau. La fréquence de Larmor peut alors s'écrire plus simplement \(\nu = \gamma B / (2\pi)\). C'est la formule la plus utilisée par les spécialistes de la RMN.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si on doublait le champ magnétique, que deviendrait la valeur de \(\Delta E\) (en \(10^{-27}\) J) ?
Question 4 : Fréquence de résonance \(\nu\)
Principe
Le concept physique est l'absorption résonnante. Pour qu'un noyau "saute" d'un niveau d'énergie à un autre, il doit absorber un photon dont l'énergie est exactement égale à la différence d'énergie entre les deux niveaux. La relation de Planck-Einstein lie l'énergie d'un photon à sa fréquence.
Mini-Cours
La fréquence \(\nu\) de l'onde électromagnétique (souvent une onde radio) qui peut provoquer cette transition est appelée fréquence de résonance, ou fréquence de Larmor. Elle est directement proportionnelle à l'écart d'énergie \(|\Delta E|\). C'est le "la" du diapason pour le noyau dans ce champ magnétique : seule cette fréquence le fera "vibrer".
Remarque Pédagogique
C'est l'étape la plus importante pour comprendre l'IRM. En mesurant la fréquence qui est absorbée, on peut en déduire la nature du noyau et son environnement chimique, car ceux-ci influencent légèrement la valeur du champ magnétique localement ressenti.
Normes
La relation de Planck-Einstein (\(E=h\nu\)) est une loi fondamentale de la physique, pas une norme industrielle.
Formule(s)
Relation de Planck-Einstein
Fréquence de Larmor
Donnée(s)
Les données proviennent du résultat de la question 3 (pour \(\Delta E\)) et des constantes physiques fondamentales.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Écart d'énergie (valeur absolue) | \(|\Delta E|\) | \(6.147 \times 10^{-27}\) | \(\text{J}\) |
| Constante de Planck | \(h\) | \(6.62607 \times 10^{-34}\) | \(\text{J} \cdot \text{s}\) |
Astuces
Pour passer rapidement des Joules à la fréquence en MHz, vous pouvez utiliser le facteur de conversion : \(1 \text{ MHz} \approx 6.626 \times 10^{-28} \text{ J}\). Il suffit donc de diviser \(|\Delta E|\) par cette valeur pour avoir une estimation rapide de la fréquence en MHz.
Schéma (Avant les calculs)
Absorption d'un photon pour une transition
Calcul(s)
Calcul de la fréquence de Larmor
On isole la fréquence \(\nu\) de la relation de Planck-Einstein, puis on substitue la valeur de l'écart d'énergie \(|\Delta E|\) calculée à la question précédente et la valeur de la constante de Planck \(h\).
Schéma (Après les calculs)
Onde radio de résonance
Réflexions
La fréquence calculée (environ 9.3 MHz) se situe dans la gamme des ondes radio FM. C'est cette fréquence précise qu'il faudrait utiliser dans une expérience de Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) pour "voir" le signal des noyaux de Césium-137 dans un champ de 1.5 T.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune ici est une erreur de calcul avec les puissances de 10. Utilisez la fonction "EXP" ou "EE" de votre calculatrice pour minimiser les risques.
Points à retenir
La fréquence de résonance est directement proportionnelle à la force du champ magnétique (\( \nu \propto B\)). C'est le principe fondamental utilisé en IRM pour localiser les signaux dans l'espace.
Le saviez-vous ?
Les appareils d'IRM médicaux ont des champs magnétiques de 1.5 T à 3 T. Les appareils de recherche peuvent dépasser 20 T ! Un champ de 20 T est environ 400 000 fois plus puissant que le champ magnétique terrestre.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la fréquence de résonance (en MHz) pour un noyau d'Hydrogène (\(I=1/2, \mu=2.79\mu_N\)) dans le même champ de 1.5 T ?
Question 5 : Diagramme des niveaux d'énergie
Principe
Cette question synthétise les résultats précédents en demandant une représentation visuelle du phénomène de "levée de dégénérescence". Le diagramme montre comment un niveau d'énergie unique (en l'absence de champ) se divise en un ensemble de niveaux distincts lorsque le champ est appliqué.
Mini-Cours
La "dégénérescence" est un terme de la mécanique quantique signifiant que plusieurs états distincts (ici les 8 orientations de spin) ont exactement la même énergie. Un champ externe peut "lever" cette dégénérescence en brisant la symétrie du système, rendant les énergies des différents états distinctes.
Remarque Pédagogique
Un bon diagramme est souvent plus instructif qu'une longue explication. Il doit clairement montrer la situation avant (B=0) et après (B>0) l'application du champ, et mettre en évidence l'équidistance des niveaux qui est le résultat clé de l'exercice.
Normes
La représentation des niveaux d'énergie par des lignes horizontales est une convention universelle en physique quantique et en spectroscopie.
Formule(s)
Énergie d'un niveau \(m_I\)
Hypothèses
Le diagramme suppose que le champ B est appliqué le long de l'axe vertical ("axe z" de quantification).
Donnée(s)
On utilise la valeur de l'écart d'énergie \(|\Delta E|\) calculée à la question 3 et l'ensemble des valeurs de \(m_I\) de la question 1.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Écart d'énergie | \(|\Delta E|\) | \(6.147 \times 10^{-27}\) | \(\text{J}\) |
| Valeurs de \(m_I\) | \(m_I\) | \(\{-3.5, -2.5, ..., +3.5\}\) | (sans dimension) |
Schéma (Avant les calculs)
Structure des niveaux à déterminer
Calcul(s)
Pour illustrer, calculons l'énergie pour un des niveaux, par exemple pour \(m_I = +1/2\).
Exemple de calcul pour \(m_I = +1/2\)
On applique cette même méthode pour toutes les valeurs de \(m_I\), ce qui nous donne le tableau récapitulatif suivant.
Tableau récapitulatif des énergies
| \(m_I\) | Calcul \( (-m_I \times |\Delta E|) \) | Énergie \(E_{m_I}\) (en \(10^{-27}\) J) |
|---|---|---|
| -3.5 | \(-(-3.5) \times 6.147\) | \(+21.51\) |
| -2.5 | \(-(-2.5) \times 6.147\) | \(+15.37\) |
| -1.5 | \(-(-1.5) \times 6.147\) | \(+9.22\) |
| -0.5 | \(-(-0.5) \times 6.147\) | \(+3.07\) |
| +0.5 | \(-(0.5) \times 6.147\) | \(-3.07\) |
| +1.5 | \(-(1.5) \times 6.147\) | \(-9.22\) |
| +2.5 | \(-(2.5) \times 6.147\) | \(-15.37\) |
| +3.5 | \(-(3.5) \times 6.147\) | \(-21.51\) |
Schéma (Après les calculs)
Levée de dégénérescence des niveaux d'énergie
Réflexions
Le diagramme est la conclusion visuelle de tout l'exercice. Il montre d'un coup d'œil : la quantification (lignes discrètes), la levée de dégénérescence (passage de 1 à 8 lignes), l'ordre des niveaux (le plus bas pour \(m_I>0\)) et l'équidistance (espacement vertical constant).
Points de vigilance
Attention à bien ordonner les niveaux : l'énergie augmente lorsque \(m_I\) diminue (devient plus négatif). C'est une erreur d'intuition fréquente de placer les \(m_I\) négatifs en bas.
Points à retenir
Un diagramme de niveaux d'énergie est un outil standard et puissant pour représenter un système quantique. Le nombre de lignes, leur espacement et leur ordre contiennent toutes les informations essentielles.
Le saviez-vous ?
L'effet Zeeman a été observé pour la première fois sur des atomes (électrons) par Pieter Zeeman en 1896, bien avant que la mécanique quantique ne puisse l'expliquer. Il a reçu le prix Nobel de physique pour cette découverte en 1902.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le spin d'un noyau était \(I=1\), combien de lignes verrait-on sur la partie droite du diagramme (\(B>0\)) ?
Outil Interactif : Fréquence de Larmor
Utilisez le simulateur pour voir comment le champ magnétique externe influence la différence d'énergie et la fréquence de résonance pour le Césium-137.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle propriété du noyau atomique est à l'origine de son moment magnétique ?
2. Comment nomme-t-on la séparation des niveaux d'énergie d'un atome ou d'un noyau dans un champ magnétique ?
3. Si l'intensité du champ magnétique B est triplée, comment évolue la différence d'énergie ΔE entre deux niveaux adjacents ?
4. Un noyau avec un spin I = 3/2 sera séparé en combien de niveaux d'énergie ?
5. Les transitions entre ces niveaux d'énergie sont exploitées dans quelle technique d'imagerie médicale ?
Glossaire
- Effet Zeeman
- Phénomène de séparation d'une raie spectrale en plusieurs composantes en présence d'un champ magnétique. Au niveau atomique, il correspond à la levée de dégénérescence des niveaux d'énergie.
- Fréquence de Larmor
- Fréquence de précession du moment magnétique d'un noyau autour d'un champ magnétique externe. C'est aussi la fréquence de résonance nécessaire pour induire des transitions entre les niveaux d'énergie Zeeman.
- Magnéton nucléaire (\(\mu_N\))
- Constante physique de moment magnétique, utilisée comme unité naturelle pour exprimer les moments magnétiques des noyaux et des particules lourdes.
- Moment Magnétique Nucléaire
- Propriété vectorielle qui mesure la force et l'orientation du "magnétisme" d'un noyau atomique. Il est proportionnel au spin nucléaire.
- Spin Nucléaire (\(I\))
- Moment cinétique intrinsèque (quantique) d'un noyau. S'il est non nul, le noyau possède un moment magnétique.
D’autres exercices d’electromagnétique:
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