Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de la force exercée sur une charge

Calcul de la Force exercée sur une Charge Ponctuelle

Calcul de la Force exercée sur une Charge Ponctuelle

Comprendre la Force Électrostatique sur une Charge Ponctuelle

La force électrostatique est l'une des interactions fondamentales de la nature. Elle décrit comment les objets chargés électriquement interagissent entre eux. La loi de Coulomb quantifie cette force entre deux charges ponctuelles : elle est proportionnelle au produit des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La direction de la force est le long de la ligne joignant les charges ; elle est répulsive si les charges sont de même signe, et attractive si elles sont de signes opposés. Lorsqu'un système comporte plus de deux charges, la force nette sur une charge donnée est la somme vectorielle des forces exercées par chacune des autres charges individuellement (principe de superposition).

Données de l'étude

On considère trois charges ponctuelles placées dans le vide :

  • Charge \(q_1 = +2,0 \, \mu\text{C}\) située au point A de coordonnées \((-3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Charge \(q_2 = -4,0 \, \mu\text{C}\) située au point B de coordonnées \((+3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Charge \(q_3 = +1,0 \, \mu\text{C}\) située au point P de coordonnées \((0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer la force électrostatique totale (nette) exercée sur la charge \(q_3\) située au point P.

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Configuration des Charges
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q1 à A (-3,0) -> (125-3*20, 150) = (65,150) (échelle 1cm = 20px) */} q₁ (A) {/* Charge q2 à B (+3,0) -> (125+3*20, 150) = (185,150) */} q₂ (B) {/* Charge q3 à P (0,4) -> (125, 150-4*20) = (125,70) */} q₃ (P) {/* Vecteurs distance (approximatifs) */} {/* r13 */} r₁₃ {/* r23 */} r₂₃ {/* Vecteurs Force (direction qualitative) */} {/* F13 (q1 positive, q3 positive -> répulsion) */} F₁₃ {/* F23 (q2 négative, q3 positive -> attraction) */} F₂₃ Forces sur la charge q₃

Configuration des charges \(q_1, q_2\) et de la charge \(q_3\) sur laquelle la force est calculée.

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{13}\) allant de la charge \(q_1\) (au point A) à la charge \(q_3\) (au point P), ainsi que sa norme \(r_{13}\).
  2. Calculer le vecteur force électrique \(\vec{F}_{13}\) exercée par la charge \(q_1\) sur la charge \(q_3\).
  3. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{23}\) allant de la charge \(q_2\) (au point B) à la charge \(q_3\) (au point P), ainsi que sa norme \(r_{23}\).
  4. Calculer le vecteur force électrique \(\vec{F}_{23}\) exercée par la charge \(q_2\) sur la charge \(q_3\).
  5. En utilisant le principe de superposition, déterminer le vecteur force électrique totale (nette) \(\vec{F}_{\text{tot}}\) exercée sur la charge \(q_3\).
  6. Calculer la magnitude (norme) et l'angle (par rapport à l'axe des x positifs) de la force totale \(\vec{F}_{\text{tot}}\) sur \(q_3\).

Correction : Calcul de la Force Électrique sur une Charge

Question 1 : Vecteur \(\vec{r}_{13}\) et norme \(r_{13}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{13}\) va de la source \(q_1\) (point A) au point P où se trouve \(q_3\). Si \(A = (x_A, y_A)\) et \(P = (x_P, y_P)\), alors \(\vec{r}_{13} = (x_P - x_A)\hat{i} + (y_P - y_A)\hat{j}\). La norme est \(r_{13} = |\vec{r}_{13}|\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de A (\(q_1\)) : \((-0,03 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
  • Position de P (\(q_3\)) : \((0 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{13} &= (0 - (-0,03))\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= (0 + 0,03)\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{13} &= |\vec{r}_{13}| \\ &= \sqrt{(0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r}_{13} = 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{13} = 0,05 \, \text{m}\)

Question 2 : Force électrique \(\vec{F}_{13}\)

Principe :

La force exercée par \(q_1\) sur \(q_3\) est \(\vec{F}_{13} = k_e \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \hat{u}_{13} = k_e \frac{q_1 q_3}{r_{13}^3} \vec{r}_{13}\).

Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2,0 \, \mu\text{C} = +2,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_3 = +1,0 \, \mu\text{C} = +1,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(\vec{r}_{13} = 0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{13} = 0,05 \, \text{m} \Rightarrow r_{13}^2 = 0,0025 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \hat{u}_{13} = \frac{\vec{r}_{13}}{r_{13}} = \frac{0,03\hat{i} + 0,04\hat{j}}{0,05} = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{13} &= (9,0 \times 10^9) \frac{(2,0 \times 10^{-6})(1,0 \times 10^{-6})}{(0,05)^2} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{2,0 \times 10^{-12}}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= \frac{18,0 \times 10^{-3}}{0,0025} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= 7200 \times 10^{-3} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= 7,2 (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (7,2 \times 0,6)\hat{i} + (7,2 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N} \\ &= 4,32\hat{i} + 5,76\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{F}_{13} = 4,32\hat{i} + 5,76\hat{j} \, \text{N}\).

Question 3 : Vecteur \(\vec{r}_{23}\) et norme \(r_{23}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{23}\) va de la source \(q_2\) (point B) au point P où se trouve \(q_3\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de B (\(q_2\)) : \((0,03 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
  • Position de P (\(q_3\)) : \((0 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{23} &= (x_P - x_B)\hat{i} + (y_P - y_B)\hat{j} \\ &= (0 - 0,03)\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{23} &= |\vec{r}_{23}| \\ &= \sqrt{(-0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned} \]

Note : \(r_{23} = r_{13}\) en raison de la symétrie des distances par rapport à l'axe y.

Résultat Question 3 :
  • \(\vec{r}_{23} = -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{23} = 0,05 \, \text{m}\)

Question 4 : Force électrique \(\vec{F}_{23}\)

Principe :

\(\vec{F}_{23} = k_e \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \hat{u}_{23} = k_e \frac{q_2 q_3}{r_{23}^3} \vec{r}_{23}\).

Données spécifiques :
  • \(q_2 = -4,0 \, \mu\text{C} = -4,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_3 = +1,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(\vec{r}_{23} = -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{23} = 0,05 \, \text{m} \Rightarrow r_{23}^2 = 0,0025 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \hat{u}_{23} = \frac{\vec{r}_{23}}{r_{23}} = \frac{-0,03\hat{i} + 0,04\hat{j}}{0,05} = -0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{23} &= (9,0 \times 10^9) \frac{(-4,0 \times 10^{-6})(1,0 \times 10^{-6})}{(0,05)^2} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-4,0 \times 10^{-12}}{0,0025} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= \frac{-36 \times 10^{-3}}{0,0025} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= -14400 \times 10^{-3} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= -14,4 (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (14,4 \times 0,6)\hat{i} - (14,4 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N} \\ &= 8,64\hat{i} - 11,52\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{F}_{23} = 8,64\hat{i} - 11,52\hat{j} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la charge \(q_2\) était positive au lieu de négative, la force \(\vec{F}_{23}\) serait :

Question 5 : Force électrique totale \(\vec{F}_{\text{tot}}\) sur \(q_3\)

Principe :

La force totale sur \(q_3\) est la somme vectorielle des forces exercées par \(q_1\) et \(q_2\) sur \(q_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}\]
Données spécifiques :
  • \(\vec{F}_{13} = 4,32\hat{i} + 5,76\hat{j} \, \text{N}\)
  • \(\vec{F}_{23} = 8,64\hat{i} - 11,52\hat{j} \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{\text{tot}} &= (4,32\hat{i} + 5,76\hat{j}) + (8,64\hat{i} - 11,52\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (4,32 + 8,64)\hat{i} + (5,76 - 11,52)\hat{j} \, \text{N} \\ &= 12,96\hat{i} - 5,76\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{F}_{\text{tot}} = 12,96\hat{i} - 5,76\hat{j} \, \text{N}\).

Question 6 : Magnitude et direction de \(\vec{F}_{\text{tot}}\)

Principe :

La magnitude est \(|\vec{F}_{\text{tot}}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\). L'angle \(\alpha\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha = \text{atan2}(F_y, F_x)\).

Données spécifiques :
  • \(F_x = 12,96 \, \text{N}\)
  • \(F_y = -5,76 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\vec{F}_{\text{tot}}| &= \sqrt{(12,96 \, \text{N})^2 + (-5,76 \, \text{N})^2} \\ &= \sqrt{167,9616 + 33,1776} \, \text{N} \\ &= \sqrt{201,1392} \, \text{N} \\ &\approx 14,182 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{F_y}{F_x} \\ &= \frac{-5,76}{12,96} \\ &\approx -0,4444... \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(-0,4444...) \end{aligned} \]

Comme \(F_x > 0\) et \(F_y < 0\), le vecteur est dans le quatrième quadrant. \(\alpha \approx -23,96^{\circ}\). Ou \(360^{\circ} - 23,96^{\circ} = 336,04^{\circ}\).

Résultat Question 6 :
  • Magnitude : \(|\vec{F}_{\text{tot}}| \approx 14,18 \, \text{N}\)
  • Angle avec l'axe des x positifs : \(\alpha \approx -23,96^{\circ}\) (ou \(336,04^{\circ}\))

Quiz Intermédiaire 2 : Si toutes les charges (\(q_1, q_2, q_3\)) doublaient de valeur (en gardant leurs signes), la magnitude de la force totale sur \(q_3\) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Coulomb stipule que la force entre deux charges ponctuelles est :

2. Le principe de superposition pour les forces électrostatiques signifie que :

3. L'unité de la force électrique dans le Système International (SI) est le :

Glossaire

Force Électrostatique
Force d'attraction ou de répulsion entre des objets chargés électriquement. Elle est décrite par la loi de Coulomb.
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb
Loi fondamentale qui quantifie la force électrostatique entre deux charges ponctuelles : \(F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\).
Principe de Superposition
La force nette exercée sur une charge par un ensemble d'autres charges est la somme vectorielle des forces individuelles exercées par chaque charge de l'ensemble.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}\))
Vecteur de norme (longueur) égale à 1, utilisé pour indiquer une direction.
Newton (N)
Unité SI de la force.
Microcoulomb (\(\mu\text{C}\))
Unité de charge électrique égale à \(10^{-6}\) coulombs.
Calcul de la Force exercée sur une Charge Ponctuelle

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