Analyse d’un Comparateur dans une Machine
Comprendre le fonctionnement d'un comparateur à Amplificateur Opérationnel Idéal (AOPi) et déterminer sa tension de sortie en fonction des tensions d'entrée.
Un comparateur est un circuit électronique qui compare deux tensions d'entrée et fournit une tension de sortie indiquant laquelle des deux est la plus élevée. Les Amplificateurs Opérationnels Idéaux (AOPi) sont souvent utilisés pour réaliser des comparateurs simples.
Un AOPi utilisé en mode comparateur fonctionne en boucle ouverte (sans rétroaction de la sortie vers l'entrée). Sa tension de sortie \(V_s\) ne peut prendre que deux valeurs extrêmes, appelées tensions de saturation :
- Si la tension sur l'entrée non-inverseuse (\(V^+\)) est supérieure à la tension sur l'entrée inverseuse (\(V^-\)), alors \(V_s = +V_{sat}\).
- Si la tension sur l'entrée non-inverseuse (\(V^+\)) est inférieure à la tension sur l'entrée inverseuse (\(V^-\)), alors \(V_s = -V_{sat}\).
Les tensions de saturation \(+V_{sat}\) et \(-V_{sat}\) sont généralement proches des tensions d'alimentation de l'AOPi, notées \(+V_{CC}\) et \(-V_{CC}\) (ou \(V_{EE}\)). Pour un AOPi idéal, on considère souvent que \(+V_{sat} = +V_{CC}\) et \(-V_{sat} = -V_{CC}\).
Données du Problème
On considère un comparateur simple réalisé avec un AOPi.
- Tensions d'alimentation de l'AOPi : \(+V_{CC} = +12 \text{ V}\) et \(-V_{CC} = -12 \text{ V}\).
- On supposera que les tensions de saturation sont : \(+V_{sat} = +V_{CC}\) et \(-V_{sat} = -V_{CC}\).
- Une tension de référence fixe \(V_{ref} = +3.0 \text{ V}\) est appliquée à l'entrée inverseuse (\(V^-\)).
- Une tension d'entrée variable \(V_e\) est appliquée à l'entrée non-inverseuse (\(V^+\)).
Questions
- Quelles sont les valeurs des tensions de saturation \(+V_{sat}\) et \(-V_{sat}\) pour cet AOPi ?
- Déterminer la tension de sortie \(V_s\) du comparateur pour les valeurs suivantes de la tension d'entrée \(V_e\) :
- \(V_e = +1.0 \text{ V}\)
- \(V_e = +3.0 \text{ V}\) (cas limite)
- \(V_e = +6.0 \text{ V}\)
- Tracer qualitativement la caractéristique de transfert \(V_s = f(V_e)\) de ce comparateur, en indiquant les valeurs importantes.
- Ce comparateur est utilisé pour commander une LED. La LED s'allume si \(V_s\) est positive et élevée, et reste éteinte sinon. Pour quelles valeurs de \(V_e\) la LED sera-t-elle allumée ?
Correction : Analyse d’un Comparateur dans une Machine
1. Valeurs des Tensions de Saturation
Pour un AOPi, les tensions de saturation sont généralement égales aux tensions d'alimentation.
Données :
- \(+V_{CC} = +12 \text{ V}\)
- \(-V_{CC} = -12 \text{ V}\)
Les tensions de saturation sont \(+V_{sat} = +12 \text{ V}\) et \(-V_{sat} = -12 \text{ V}\).
2. Détermination de la Tension de Sortie \(V_s\)
La tension d'entrée \(V_e\) est appliquée à l'entrée non-inverseuse (\(V^+\)), et la tension de référence \(V_{ref} = +3.0 \text{ V}\) est appliquée à l'entrée inverseuse (\(V^-\)). Si \(V_e > V_{ref}\), alors \(V_s = +V_{sat}\). Si \(V_e < V_{ref}\), alors \(V_s = -V_{sat}\).
a. Pour \(V_e = +1.0 \text{ V}\)
Comparaison : \(V_e = 1.0 \text{ V}\) et \(V_{ref} = 3.0 \text{ V}\).
Comme \(1.0 \text{ V} < 3.0 \text{ V}\) (c'est-à-dire \(V_e < V_{ref}\)), la tension de sortie est :
Pour \(V_e = +1.0 \text{ V}\), \(V_s = -12 \text{ V}\).
b. Pour \(V_e = +3.0 \text{ V}\) (cas limite)
Comparaison : \(V_e = 3.0 \text{ V}\) et \(V_{ref} = 3.0 \text{ V}\).
Théoriquement, si \(V_e = V_{ref}\), la sortie de l'AOPi idéal est indéterminée ou bascule très rapidement. En pratique, pour un AOP réel, la sortie dépendra de l'état précédent ou d'un très léger offset. Pour un AOPi, on considère que c'est le point de basculement. On peut indiquer les deux états possibles ou l'état vers lequel il tend si \(V_e\) approche \(V_{ref}\) par une valeur inférieure ou supérieure.
Si \(V_e\) tend vers \(3.0 \text{ V}\) par valeurs inférieures, \(V_s\) sera \(-12 \text{ V}\). Si \(V_e\) tend vers \(3.0 \text{ V}\) par valeurs supérieures, \(V_s\) sera \(+12 \text{ V}\). Le point exact \(V_e = V_{ref}\) est un point de transition.
Pour \(V_e = +3.0 \text{ V}\), la sortie est au point de basculement. Si \(V_e\) est très légèrement supérieur à 3V, \(V_s = +12V\). Si très légèrement inférieur, \(V_s = -12V\).
c. Pour \(V_e = +6.0 \text{ V}\)
Comparaison : \(V_e = 6.0 \text{ V}\) et \(V_{ref} = 3.0 \text{ V}\).
Comme \(6.0 \text{ V} > 3.0 \text{ V}\) (c'est-à-dire \(V_e > V_{ref}\)), la tension de sortie est :
Pour \(V_e = +6.0 \text{ V}\), \(V_s = +12 \text{ V}\).
Quiz Intermédiaire
3. Caractéristique de Transfert \(V_s = f(V_e)\)
La caractéristique de transfert montre comment \(V_s\) varie en fonction de \(V_e\). Le point de basculement est \(V_e = V_{ref} = 3.0 \text{ V}\).
La caractéristique est une fonction en escalier :
- Pour \(V_e < 3.0 \text{ V}\), \(V_s = -12 \text{ V}\).
- Pour \(V_e > 3.0 \text{ V}\), \(V_s = +12 \text{ V}\).
(Le comportement exact à \(V_e = 3.0 \text{ V}\) est une transition abrupte).
La caractéristique de transfert montre un basculement de \(V_s\) de \(-12 \text{ V}\) à \(+12 \text{ V}\) lorsque \(V_e\) dépasse \(3.0 \text{ V}\).
4. Commande de la LED
La LED s'allume si \(V_s\) est positive et élevée. D'après la caractéristique de transfert, \(V_s = +12 \text{ V}\) (positif et élevé) lorsque \(V_e > V_{ref}\).
La LED sera allumée lorsque \(V_e > 3.0 \text{ V}\).
La LED sera allumée pour toute tension d'entrée \(V_e\) strictement supérieure à \(3.0 \text{ V}\).
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Glossaire des Termes Clés
Amplificateur Opérationnel Idéal (AOPi) :
Modèle théorique d'un amplificateur avec un gain en boucle ouverte infini, une impédance d'entrée infinie, et une impédance de sortie nulle. Les courants d'entrée sont nuls.
Comparateur :
Circuit qui compare deux tensions d'entrée et fournit une sortie binaire (haute ou basse) indiquant la plus grande des deux.
Entrée Non-Inverseuse (\(V^+\)) :
Une des deux entrées d'un AOP. Si \(V^+ > V^-\), la sortie tend vers \(+V_{sat}\).
Entrée Inverseuse (\(V^-\)) :
L'autre entrée d'un AOP. Si \(V^- > V^+\), la sortie tend vers \(-V_{sat}\).
Tension de Saturation (\(+V_{sat}, -V_{sat}\)) :
Valeurs extrêmes (positive et négative) que peut prendre la tension de sortie d'un AOP fonctionnant en boucle ouverte.
Tension d'Alimentation (\(+V_{CC}, -V_{CC}\)) :
Tensions nécessaires pour alimenter l'AOP. Elles limitent généralement les tensions de saturation.
Tension de Référence (\(V_{ref}\)) :
Tension fixe à laquelle la tension d'entrée variable est comparée.
Caractéristique de Transfert :
Graphique montrant la relation entre la tension de sortie (\(V_s\)) et la tension d'entrée (\(V_e\)) d'un circuit.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment pourrait-on modifier le circuit pour que la LED s'allume lorsque \(V_e\) est *inférieure* à \(V_{ref}\) ? (Pensez à un comparateur inverseur).
2. Qu'est-ce que l'hystérésis dans un comparateur (comparateur de Schmitt) et quel est son intérêt ?
3. Comment un comparateur peut-il être utilisé dans un système de régulation de température (par exemple, pour commander un chauffage) ?
4. Si les tensions de saturation n'étaient pas égales à \(+V_{CC}\) et \(-V_{CC}\) (par exemple, \(+V_{sat} = V_{CC}-1V\)), comment cela affecterait-il les calculs ?
5. Recherchez des applications des comparateurs dans les machines électriques (par exemple, pour la détection de surcourant, la commande de hacheurs ou d'onduleurs).
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