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Analyse de la capacité d’un transformateur

Analyse de la Capacité d’un Transformateur

Analyse de la Capacité d’un Transformateur

Déterminer si un transformateur monophasé est correctement dimensionné pour alimenter différentes charges en calculant les puissances et courants mis en jeu.

La capacité d'un transformateur est définie par sa puissance apparente nominale (\(S_n\)), exprimée en Voltampères (VA) ou kiloVoltampères (kVA). C'est la puissance maximale que le transformateur peut fournir en continu sans surchauffe anormale. Il est crucial de s'assurer que la somme des puissances apparentes des charges connectées ne dépasse pas cette valeur nominale.

Pour un transformateur monophasé idéal :

  • Rapport de transformation : \(m = V_{20}/V_{1n} = N_2/N_1\)
  • Courant nominal primaire : \(I_{1n} = S_n / V_{1n}\)
  • Courant nominal secondaire : \(I_{2n} = S_n / V_{20}\) (en utilisant la tension à vide \(V_{20}\) comme approximation de la tension nominale secondaire \(V_{2n}\))

Pour une charge :

  • Puissance active : \(P_{charge} = S_{charge} \cdot \cos\phi_{charge}\)
  • Puissance réactive : \(Q_{charge} = S_{charge} \cdot \sin\phi_{charge}\) (où \(\sin\phi = \sqrt{1-\cos^2\phi}\))
  • Puissance apparente : \(S_{charge} = \sqrt{P_{charge}^2 + Q_{charge}^2}\)
  • Courant absorbé par la charge : \(I_{2,charge} = S_{charge} / V_{2,charge}\)

Lorsqu'on additionne plusieurs charges, les puissances actives s'additionnent, les puissances réactives s'additionnent (en tenant compte de leur nature inductive ou capacitive), et la puissance apparente totale est calculée à partir de \(P_{tot}\) et \(Q_{tot}\).

Données du Problème

Un transformateur monophasé a les caractéristiques suivantes :

  • Puissance apparente nominale : \(S_n = 100 \text{ kVA}\)
  • Tension primaire nominale : \(V_{1n} = 20000 \text{ V}\) (20 kV)
  • Tension secondaire à vide : \(V_{20} = 400 \text{ V}\)

Ce transformateur alimente deux types de charges dans un atelier :

  • Charge 1 (Moteurs) : Puissance active totale \(P_1 = 60 \text{ kW}\), facteur de puissance \(\cos\phi_1 = 0.75\) (inductif).
  • Charge 2 (Éclairage et Chauffage) : Puissance apparente \(S_2 = 30 \text{ kVA}\), facteur de puissance \(\cos\phi_2 = 0.95\) (inductif, dû à quelques ballasts d'éclairage).

Pour les calculs de courant de charge, on supposera que la tension aux bornes des charges reste proche de \(V_{20} = 400 \text{ V}\).

V1n Transformateur Sn V20 Charge 1 (Moteurs) Charge 2 (Éclairage)
Transformateur alimentant un atelier avec plusieurs charges.

Questions

  1. Convertir la puissance apparente nominale \(S_n\) du transformateur en Voltampères (VA).
  2. Calculer le courant nominal primaire \(I_{1n}\) et le courant nominal secondaire \(I_{2n}\) du transformateur.
  3. Pour la Charge 1 (Moteurs) :
    1. Calculer la puissance apparente \(S_1\) absorbée par la Charge 1.
    2. Calculer la puissance réactive \(Q_1\) absorbée par la Charge 1. (Rappel : \(\sin\phi = \sqrt{1-\cos^2\phi}\)).
    3. Calculer le courant \(I_{2,charge1}\) tiré par la Charge 1.
  4. Pour la Charge 2 (Éclairage et Chauffage) :
    1. Calculer la puissance active \(P_2\) absorbée par la Charge 2.
    2. Calculer la puissance réactive \(Q_2\) absorbée par la Charge 2.
    3. Calculer le courant \(I_{2,charge2}\) tiré par la Charge 2.
  5. Fonctionnement simultané des deux charges :
    1. Calculer la puissance active totale \(P_{tot}\) demandée par l'atelier.
    2. Calculer la puissance réactive totale \(Q_{tot}\) demandée par l'atelier (les deux charges étant inductives, leurs puissances réactives s'ajoutent).
    3. Calculer la puissance apparente totale \(S_{tot}\) demandée par l'atelier.
    4. Le transformateur est-il capable de fournir cette puissance apparente totale sans être surchargé ? Justifier.
    5. Calculer le courant secondaire total \(I_{2,tot}\) correspondant à \(S_{tot}\) sous \(V_{20}\). Ce courant dépasse-t-il \(I_{2n}\) ?

Correction : Analyse de la Capacité d’un Transformateur

1. Conversion de la Puissance Apparente Nominale (\(S_n\))

\(1 \text{ kVA} = 1000 \text{ VA}\).

Donnée :

  • \(S_n = 100 \text{ kVA}\)
\begin{aligned} S_n &= 100 \times 1000 \text{ VA} \\ &= 100000 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente nominale est \(S_n = 100000 \text{ VA}\).

2. Calcul des Courants Nominaux (\(I_{1n}\) et \(I_{2n}\))

\(I_{1n} = S_n / V_{1n}\) et \(I_{2n} = S_n / V_{20}\) (approximation).

Données :

  • \(S_n = 100000 \text{ VA}\)
  • \(V_{1n} = 20000 \text{ V}\)
  • \(V_{20} = 400 \text{ V}\)

Courant nominal primaire :

\begin{aligned} I_{1n} &= \frac{100000 \text{ VA}}{20000 \text{ V}} \\ &= 5.0 \text{ A} \end{aligned}

Courant nominal secondaire :

\begin{aligned} I_{2n} &= \frac{100000 \text{ VA}}{400 \text{ V}} \\ &= 250 \text{ A} \end{aligned}

Le courant nominal primaire est \(I_{1n} = 5.0 \text{ A}\).

Le courant nominal secondaire est \(I_{2n} = 250 \text{ A}\).

3. Analyse de la Charge 1 (Moteurs)

a. Puissance Apparente \(S_1\)

\(S_1 = P_1 / \cos\phi_1\).

Données :

  • \(P_1 = 60 \text{ kW} = 60000 \text{ W}\)
  • \(\cos\phi_1 = 0.75\)
\begin{aligned} S_1 &= \frac{60000 \text{ W}}{0.75} \\ &= 80000 \text{ VA} = 80 \text{ kVA} \end{aligned}

La puissance apparente de la Charge 1 est \(S_1 = 80 \text{ kVA}\).

b. Puissance Réactive \(Q_1\)

D'abord, calculer \(\sin\phi_1 = \sqrt{1 - \cos^2\phi_1}\). Puis \(Q_1 = S_1 \cdot \sin\phi_1\).

\begin{aligned} \sin\phi_1 &= \sqrt{1 - (0.75)^2} = \sqrt{1 - 0.5625} \\ &= \sqrt{0.4375} \approx 0.6614 \end{aligned}
\begin{aligned} Q_1 &= S_1 \cdot \sin\phi_1 \\ &\approx 80000 \text{ VA} \times 0.6614 \\ &\approx 52912 \text{ var} = 52.91 \text{ kvar (inductif)} \end{aligned}

La puissance réactive de la Charge 1 est \(Q_1 \approx 52.91 \text{ kvar}\).

c. Courant Secondaire \(I_{2,charge1}\)

\(I_{2,charge1} = S_1 / V_{20}\) (en utilisant \(V_{20}\) comme approximation de \(V_{2,charge}\)).

\begin{aligned} I_{2,charge1} &= \frac{80000 \text{ VA}}{400 \text{ V}} \\ &= 200 \text{ A} \end{aligned}

Comparaison : \(S_1 = 80 \text{ kVA} < S_n = 100 \text{ kVA}\). \(I_{2,charge1} = 200 \text{ A} < I_{2n} = 250 \text{ A}\).

Le courant tiré par la Charge 1 est \(I_{2,charge1} = 200 \text{ A}\). Le transformateur n'est pas surchargé par cette seule charge.

Quiz Intermédiaire

Question : Si \(\cos\phi = 0.6\), quelle est la valeur de \(\sin\phi\) (en supposant \(\phi\) entre 0 et 90°) ?

4. Analyse de la Charge 2 (Éclairage et Chauffage)

a. Puissance Active \(P_2\)

\(P_2 = S_2 \cdot \cos\phi_2\).

Données :

  • \(S_2 = 30 \text{ kVA} = 30000 \text{ VA}\)
  • \(\cos\phi_2 = 0.95\)
\begin{aligned} P_2 &= 30000 \text{ VA} \times 0.95 \\ &= 28500 \text{ W} = 28.5 \text{ kW} \end{aligned}

La puissance active de la Charge 2 est \(P_2 = 28.5 \text{ kW}\).

b. Puissance Réactive \(Q_2\)

\(\sin\phi_2 = \sqrt{1 - \cos^2\phi_2}\). Puis \(Q_2 = S_2 \cdot \sin\phi_2\).

\begin{aligned} \sin\phi_2 &= \sqrt{1 - (0.95)^2} = \sqrt{1 - 0.9025} \\ &= \sqrt{0.0975} \approx 0.3122 \end{aligned}
\begin{aligned} Q_2 &= S_2 \cdot \sin\phi_2 \\ &\approx 30000 \text{ VA} \times 0.3122 \\ &\approx 9366 \text{ var} = 9.37 \text{ kvar (inductif)} \end{aligned}

La puissance réactive de la Charge 2 est \(Q_2 \approx 9.37 \text{ kvar}\).

c. Courant Secondaire \(I_{2,charge2}\)

\(I_{2,charge2} = S_2 / V_{20}\).

\begin{aligned} I_{2,charge2} &= \frac{30000 \text{ VA}}{400 \text{ V}} \\ &= 75 \text{ A} \end{aligned}

Comparaison : \(S_2 = 30 \text{ kVA} < S_n = 100 \text{ kVA}\). \(I_{2,charge2} = 75 \text{ A} < I_{2n} = 250 \text{ A}\).

Le courant tiré par la Charge 2 est \(I_{2,charge2} = 75 \text{ A}\). Le transformateur n'est pas surchargé par cette seule charge.

5. Fonctionnement Simultané des Deux Charges

a. Puissance Active Totale (\(P_{tot}\))
\begin{aligned} P_{tot} &= P_1 + P_2 \\ &= 60000 \text{ W} + 28500 \text{ W} \\ &= 88500 \text{ W} = 88.5 \text{ kW} \end{aligned}

\(P_{tot} = 88.5 \text{ kW}\).

b. Puissance Réactive Totale (\(Q_{tot}\))

Les deux charges étant inductives, leurs puissances réactives s'ajoutent.

\begin{aligned} Q_{tot} &= Q_1 + Q_2 \\ &\approx 52912 \text{ var} + 9366 \text{ var} \\ &\approx 62278 \text{ var} = 62.28 \text{ kvar} \end{aligned}

\(Q_{tot} \approx 62.28 \text{ kvar}\).

c. Puissance Apparente Totale (\(S_{tot}\))

\(S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}\).

\begin{aligned} S_{tot} &= \sqrt{(88500)^2 + (62278)^2} \\ &= \sqrt{7832250000 + 3878550084} \\ &= \sqrt{11710800084} \\ &\approx 108216.45 \text{ VA} \approx 108.22 \text{ kVA} \end{aligned}

La puissance apparente totale demandée est \(S_{tot} \approx 108.22 \text{ kVA}\).

d. Le transformateur peut-il alimenter ces deux charges ?

Comparaison de \(S_{tot}\) avec \(S_n\) :

\(S_{tot} \approx 108.22 \text{ kVA}\)

\(S_n = 100 \text{ kVA}\)

Comme \(S_{tot} > S_n\), le transformateur serait en surcharge s'il alimentait les deux charges simultanément.

Non, le transformateur ne peut pas alimenter ces deux charges simultanément car la puissance apparente totale demandée (\(\approx 108.22 \text{ kVA}\)) dépasse sa puissance apparente nominale (\(100 \text{ kVA}\)). Il serait surchargé.

e. Courant Secondaire Total (\(I_{2,tot}\))

\(I_{2,tot} = S_{tot} / V_{20}\).

\begin{aligned} I_{2,tot} &\approx \frac{108216.45 \text{ VA}}{400 \text{ V}} \\ &\approx 270.54 \text{ A} \end{aligned}

Comparaison avec \(I_{2n} = 250 \text{ A}\) :

\(270.54 \text{ A} > 250 \text{ A}\). Le courant secondaire total dépasse le courant nominal secondaire.

Le courant secondaire total \(I_{2,tot} \approx 270.54 \text{ A}\) dépasse le courant nominal secondaire \(I_{2n} = 250 \text{ A}\), confirmant la surcharge.

Quiz Intermédiaire

Question : Une surcharge prolongée d'un transformateur peut entraîner :

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La puissance apparente nominale d'un transformateur est exprimée en :

Question 2 : Si un transformateur alimente une charge purement résistive, son facteur de puissance est :

Question 3 : Un transformateur est en surcharge si :

Question 4 : Pour une même puissance active fournie à une charge, un facteur de puissance plus faible (ex: 0.7 au lieu de 0.9) implique un courant :

Glossaire des Termes Clés

Transformateur :

Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction mutuelle, généralement avec un changement de tension et de courant.

Puissance Apparente Nominale (\(S_n\)) :

Puissance maximale qu'un transformateur peut fournir en continu sans surchauffe, exprimée en VA ou kVA. C'est la capacité du transformateur.

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance réellement consommée par une charge et transformée en travail utile ou en chaleur. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (\(Q\)) :

Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) d'une charge, nécessaire à la création des champs magnétiques ou électriques. Unité : Voltampère réactif (var).

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il mesure l'efficacité avec laquelle une charge utilise le courant fourni.

Courant Nominal (\(I_n\)) :

Courant maximal qu'un enroulement du transformateur peut supporter en continu sans surchauffe.

Surcharge :

Situation où un transformateur est sollicité pour fournir une puissance (ou un courant) supérieure à sa capacité nominale.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Quelles sont les conséquences d'une surcharge prolongée sur un transformateur ?

2. Comment le facteur de puissance des charges industrielles affecte-t-il le dimensionnement des transformateurs et des lignes d'alimentation ?

3. Quels dispositifs sont utilisés pour améliorer le facteur de puissance d'une installation (par exemple, des batteries de condensateurs) et pourquoi est-ce important ?

4. En plus de la puissance apparente, quels autres critères sont importants pour sélectionner un transformateur pour une application industrielle (par exemple, type de refroidissement, classe d'isolement, impédance de court-circuit) ?

5. Comment la température ambiante peut-elle affecter la capacité de charge d'un transformateur ?

Analyse de la Capacité d’un Transformateur

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