Analyse de Phase dans un Circuit RLC
Analyser les relations de phase entre la tension et le courant dans un circuit RLC série, et déterminer la nature globale (inductive, capacitive, résistive) du circuit.
Dans les circuits en courant alternatif (CA) contenant des résistances (R), des inductances (L) et des capacités (C), la tension et le courant ne sont généralement pas en phase. Le déphasage entre ces deux grandeurs dépend des valeurs des composants et de la fréquence de la source.
Rappels importants :
- Impédance (\(Z\)) : \(Z = R + j(X_L - X_C)\). L'angle de l'impédance, \(\phi_Z = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\), est crucial.
- Phase du courant (\(\phi_I\)) par rapport à la tension (\(\phi_V\)) : Si \(V = |V|\angle\phi_V\) et \(I = |I|\angle\phi_I\), alors le déphasage de la tension par rapport au courant est \(\phi = \phi_V - \phi_I\). Aussi, \(\phi = \phi_Z\).
- Si \(\phi > 0\) (ou \(\phi_Z > 0\)), la tension est en avance sur le courant (ou le courant est en retard sur la tension). Le circuit est globalement inductif.
- Si \(\phi < 0\) (ou \(\phi_Z < 0\)), la tension est en retard sur le courant (ou le courant est en avance sur la tension). Le circuit est globalement capacitif.
- Si \(\phi = 0\) (ou \(\phi_Z = 0\)), la tension et le courant sont en phase. Le circuit est globalement résistif (résonance série).
On prendra généralement la tension source comme référence de phase, c'est-à-dire \(\phi_V = 0^\circ\). Dans ce cas, la phase du courant \(\phi_I = -\phi_Z\).
Données du Problème
Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative.
- Tension efficace de la source : \(V_s = 120 \text{ V}\) (prise comme référence de phase, \(\phi_V = 0^\circ\))
- Fréquence de la source : \(f = 60 \text{ Hz}\)
- Résistance : \(R = 40 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 150 \text{ mH}\)
- Capacité : \(C = 50 \, \mu\text{F}\)
Questions
- Calculer la pulsation (\(\omega\)) de la source.
- Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) et la réactance capacitive (\(X_C\)).
- Déterminer l'impédance totale du circuit (\(Z_{tot}\)) en forme rectangulaire.
- Calculer la phase de l'impédance totale (\(\phi_Z\)).
- Déterminer la phase du courant (\(\phi_I\)) par rapport à la tension source (qui est à \(0^\circ\)).
- Le courant est-il en avance, en retard ou en phase avec la tension source ?
- Quelle est la nature globale du circuit (inductif, capacitif ou résistif) ?
- Représenter le diagramme des phaseurs pour la tension source \(V_s\) et le courant total \(I\). Indiquer l'angle \(\phi_I\).
Correction : Analyse de Phase dans un Circuit RLC
1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).
Donnée : \(f = 60 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 120\pi \text{ rad/s} \approx 376.99 \text{ rad/s}\).
2. Calcul des Réactances (\(X_L\) et \(X_C\))
Réactance inductive : \(X_L = \omega L\). Réactance capacitive : \(X_C = \frac{1}{\omega C}\).
Données :
\(\omega = 120\pi \text{ rad/s}\)
\(L = 150 \text{ mH} = 0.15 \text{ H}\)
\(C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}\)
Réactance inductive \(X_L\) :
Réactance capacitive \(X_C\) :
- Réactance inductive : \(X_L \approx 56.55 \, \Omega\)
- Réactance capacitive : \(X_C \approx 53.05 \, \Omega\)
3. Détermination de l'Impédance Totale (\(Z_{tot}\)) en Forme Rectangulaire
Pour un circuit RLC série, \(Z_{tot} = R + j(X_L - X_C)\).
Données :
\(R = 40 \, \Omega\)
\(X_L \approx 56.55 \, \Omega\)
\(X_C \approx 53.05 \, \Omega\)
Réactance totale :
Impédance totale :
L'impédance totale en forme rectangulaire est \(Z_{tot} \approx 40 + j3.50 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Signe de la Réactance
4. Calcul de la Phase de l'Impédance Totale (\(\phi_Z\))
La phase de l'impédance \(Z_{tot} = R + jX_{tot}\) est \(\phi_Z = \arctan\left(\frac{X_{tot}}{R}\right)\).
Données :
\(R = 40 \, \Omega\)
\(X_{tot} \approx 3.50 \, \Omega\)
La phase de l'impédance totale est \(\phi_Z \approx 5.00^\circ\).
5. Détermination de la Phase du Courant (\(\phi_I\))
Si la tension source \(V_s\) est la référence de phase (\(\phi_V = 0^\circ\)), alors la phase du courant \(\phi_I\) est donnée par \(\phi_I = \phi_V - \phi_Z = 0^\circ - \phi_Z = -\phi_Z\).
Donnée : \(\phi_Z \approx 5.00^\circ\)
La phase du courant par rapport à la tension source est \(\phi_I \approx -5.00^\circ\).
6. Relation de Phase entre Courant et Tension Source
Le déphasage \(\phi\) de la tension par rapport au courant est égal à \(\phi_Z\). Si \(\phi_I\) est la phase du courant et \(\phi_V=0^\circ\) la phase de la tension, alors \(\phi = \phi_V - \phi_I = 0 - \phi_I = -\phi_I\).
Donnée : \(\phi_I \approx -5.00^\circ\)
Puisque \(\phi_I \approx -5.00^\circ\), le courant est en retard de \(5.00^\circ\) par rapport à la tension source.
Alternativement, le déphasage de la tension par rapport au courant est \(\phi = \phi_Z \approx 5.00^\circ\). Un \(\phi\) positif signifie que la tension est en avance sur le courant (ou le courant en retard sur la tension).
Le courant est en retard de \(5.00^\circ\) par rapport à la tension source.
Quiz Intermédiaire : Avance/Retard
7. Nature Globale du Circuit
La nature du circuit est déterminée par le signe de \(X_{tot}\) ou de \(\phi_Z\).
Données :
\(X_{tot} \approx 3.50 \, \Omega\) (positif)
\(\phi_Z \approx 5.00^\circ\) (positif)
Puisque \(X_{tot} > 0\) (car \(X_L > X_C\)) et \(\phi_Z > 0\), le circuit est globalement inductif.
Le circuit est globalement inductif.
8. Diagramme des Phaseurs
On représente \(V_s\) sur l'axe réel (phase \(0^\circ\)). Le courant \(I\) aura une phase \(\phi_I \approx -5.00^\circ\).
Pour dessiner, nous avons besoin du module du courant. \(|Z_{tot}| = \sqrt{40^2 + 3.50^2} \approx \sqrt{1600 + 12.25} = \sqrt{1612.25} \approx 40.15 \, \Omega\).
\(I_{eff} = V_s / |Z_{tot}| = 120 \text{ V} / 40.15 \, \Omega \approx 2.989 \text{ A}\).
Donc, \(V_s = 120 \angle 0^\circ \text{ V}\) et \(I \approx 2.99 \angle -5.00^\circ \text{ A}\).
Le diagramme montre \(V_s\) sur l'axe réel et \(I\) en retard d'environ \(5.00^\circ\).
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Glossaire des Termes Clés
Phase (\(\phi\)) :
En CA, l'angle qui décrit la position d'une onde sinusoïdale à un instant donné (souvent \(t=0\)) par rapport à une référence. Le déphasage est la différence de phase entre deux ondes (ex: tension et courant).
Déphasage :
Différence angulaire entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. Il indique si un signal est en avance, en retard ou en phase par rapport à l'autre.
Circuit Inductif :
Un circuit où l'effet de l'inductance prédomine (\(X_L > X_C\)). Le courant est en retard sur la tension (\(\phi_Z > 0\)).
Circuit Capacitif :
Un circuit où l'effet de la capacité prédomine (\(X_C > X_L\)). Le courant est en avance sur la tension (\(\phi_Z < 0\)).
Circuit Résistif (à la résonance série) :
Un circuit où les effets inductifs et capacitifs s'annulent (\(X_L = X_C\)). L'impédance est purement résistive (\(Z=R\)) et le courant est en phase avec la tension (\(\phi_Z = 0\)).
Phaseur :
Représentation vectorielle d'un signal sinusoïdal, où la longueur du vecteur représente l'amplitude efficace (ou maximale) et l'angle représente la phase.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la fréquence de la source influence-t-elle la phase de l'impédance et la nature (inductive/capacitive) d'un circuit RLC série ?
2. Qu'est-ce que la fréquence de résonance d'un circuit RLC série et quel est le déphasage entre tension et courant à cette fréquence ?
3. Si l'on considère les tensions aux bornes de R, L et C individuellement, comment leurs phases se comparent-elles à la phase du courant qui les traverse ?
4. Comment un diagramme des phaseurs peut-il être utilisé pour trouver la tension totale aux bornes d'un circuit RLC série si l'on connaît les tensions aux bornes de chaque composant ?
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