Analyse d’un Chauffe-Eau en Courant Alternatif
Calculer la puissance, l'énergie consommée et le coût de fonctionnement d'un chauffe-eau électrique, et déterminer le temps de chauffe.
Les chauffe-eau électriques sont des appareils courants dans les foyers, consommant une part significative de l'énergie domestique. Comprendre leur fonctionnement énergétique permet d'optimiser leur utilisation et de réduire les coûts.
Un chauffe-eau électrique fonctionne essentiellement comme une grosse résistance chauffante (effet Joule). En courant alternatif, si l'on néglige les aspects inductifs et capacitifs (ce qui est une bonne approximation pour un élément chauffant pur), la puissance active \(P\) consommée est donnée par :
Où \(U_{eff}\) est la tension efficace du réseau, \(I_{eff}\) le courant efficace, et \(R\) la résistance de l'élément chauffant.
L'énergie électrique \(E_{elec}\) consommée est le produit de la puissance et de la durée d'utilisation \(\Delta t\) : \(E_{elec} = P \times \Delta t\).
L'énergie thermique \(E_{th}\) nécessaire pour chauffer une masse d'eau \(m_{eau}\) d'une température initiale \(T_i\) à une température finale \(T_f\) est donnée par :
Où \(c_{eau}\) est la capacité thermique massique de l'eau.
Données du Problème
Un chauffe-eau électrique possède les caractéristiques suivantes :
- Puissance nominale de l'élément chauffant (\(P_{nominal}\)) : \(2200 \text{ W}\)
- Alimentation par le réseau électrique (\(U_{eff}\)) : \(230 \text{ V}\)
- Volume d'eau contenu (\(V_{eau}\)) : \(150 \text{ L}\)
- Température initiale de l'eau (\(T_i\)) : \(12^\circ\text{C}\)
- Température finale de l'eau (consigne) (\(T_f\)) : \(62^\circ\text{C}\)
- Capacité thermique massique de l'eau (\(c_{eau}\)) : \(4186 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\) (ou \(\text{J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{°C}^{-1}\) pour une différence de température)
- Masse volumique de l'eau (\(\rho_{eau}\)) : \(1.00 \text{ kg/L}\)
- Coût de l'électricité : \(0.175 \text{ €/kWh}\)
On supposera un rendement de 100% pour le transfert de l'énergie électrique en chaleur à l'eau (pas de pertes).
Questions
- Calculer la résistance \(R\) de l'élément chauffant du chauffe-eau.
- Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) qui traverse l'élément chauffant lorsque le chauffe-eau fonctionne.
- Calculer la masse \(m_{eau}\) d'eau contenue dans le chauffe-eau.
- Calculer l'énergie thermique \(E_{th}\) nécessaire pour élever la température de cette masse d'eau de \(T_i\) à \(T_f\). Exprimer le résultat en joules (J) puis en kilowattheures (kWh). (Rappel : \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)).
- En supposant que toute l'énergie électrique est convertie en énergie thermique pour chauffer l'eau (rendement de 100%), calculer la durée \(\Delta t_{chauffe}\) nécessaire pour chauffer l'eau de \(T_i\) à \(T_f\). Exprimer le résultat en heures, puis en heures et minutes.
- Calculer le coût de cette unique montée en température de l'eau.
- Si, en moyenne, le chauffe-eau effectue ce cycle complet de chauffe une fois par jour, quel serait le coût annuel de son utilisation ? (On prendra une année de 365 jours).
Correction : Analyse d’un Chauffe-Eau en Courant Alternatif
1. Calcul de la Résistance (\(R\)) de l'Élément Chauffant
On utilise la relation \(P_{nominal} = U_{eff}^2 / R\).
Données :
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)
La résistance de l'élément chauffant est \(R \approx 24.05 \text{ Ω}\).
2. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))
On utilise la relation \(P_{nominal} = U_{eff} \times I_{eff}\).
Données :
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)
\(U_{eff} = 230 \text{ V}\)
Le courant efficace traversant l'élément chauffant est \(I_{eff} \approx 9.57 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Loi d'Ohm et Puissance
3. Calcul de la Masse d'Eau (\(m_{eau}\))
La masse d'eau est le produit du volume et de la masse volumique : \(m_{eau} = \rho_{eau} \times V_{eau}\).
Données :
\(V_{eau} = 150 \text{ L}\)
\(\rho_{eau} = 1.00 \text{ kg/L}\)
La masse d'eau dans le chauffe-eau est \(m_{eau} = 150 \text{ kg}\).
Quiz Intermédiaire : Énergie et Puissance
4. Calcul de l'Énergie Thermique Nécessaire (\(E_{th}\))
L'énergie thermique \(E_{th} = m_{eau} \times c_{eau} \times (T_f - T_i)\). La différence de température \(\Delta T = T_f - T_i\).
Données :
\(m_{eau} = 150 \text{ kg}\)
\(c_{eau} = 4186 \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_f = 62^\circ\text{C}\)
\(T_i = 12^\circ\text{C}\)
Conversion en kWh : \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\)
L'énergie thermique nécessaire est \(E_{th} = 31,395,000 \text{ J}\).
Soit \(E_{th} \approx 8.72 \text{ kWh}\).
5. Calcul de la Durée de Chauffe (\(\Delta t_{chauffe}\))
Avec un rendement de 100%, l'énergie électrique consommée \(E_{elec}\) est égale à l'énergie thermique \(E_{th}\). On a \(E_{elec} = P_{nominal} \times \Delta t_{chauffe}\).
Données :
\(E_{th} \approx 31395000 \text{ J}\)
\(P_{nominal} = 2200 \text{ W}\)
Conversion en heures :
Conversion en heures et minutes :
0.964 heures \(\approx 0.964 \times 60 \text{ minutes} \approx 57.84 \text{ minutes} \approx 58 \text{ minutes}\).
La durée de chauffe est \(\Delta t_{chauffe} \approx 3.96 \text{ heures}\).
Soit environ 3 heures et 58 minutes.
Quiz Intermédiaire : Temps de Chauffe
6. Coût d'une Montée en Température
Le coût est \(E_{th} (\text{en kWh}) \times \text{Coût par kWh}\).
Données :
\(E_{th} \approx 8.7208 \text{ kWh}\)
Coût = \(0.175 \text{ €/kWh}\)
Le coût d'une montée en température complète est d'environ \(1.53 \text{ €}\).
7. Coût Annuel de Fonctionnement
Coût annuel = Coût journalier \(\times\) 365 jours.
Données :
Coût journalier \(\approx 1.52614 \text{ €}\)
Le coût annuel de fonctionnement du chauffe-eau (un cycle de chauffe par jour) est d'environ \(557.04 \text{ €}\).
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Glossaire des Termes Clés
Puissance Électrique (P) :
Quantité d'énergie électrique consommée ou fournie par unité de temps. Unité : Watt (W).
Énergie Électrique (E) :
Capacité d'un système à produire un travail ou de la chaleur grâce à l'électricité. Unité : Joule (J) ou Kilowattheure (kWh).
Kilowattheure (kWh) :
Unité d'énergie correspondant à la consommation d'un appareil de 1000 watts pendant une heure. \(1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}\).
Résistance (R) :
Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique, dissipant de l'énergie sous forme de chaleur. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Tension Efficace (\(U_{eff}\)) :
Valeur de la tension continue qui produirait la même puissance dissipée dans une résistance qu'une tension alternative donnée.
Courant Efficace (\(I_{eff}\)) :
Valeur du courant continu qui produirait la même puissance dissipée dans une résistance qu'un courant alternatif donné.
Capacité Thermique Massique (\(c_{eau}\)) :
Quantité d'énergie thermique nécessaire pour élever la température d'une unité de masse d'une substance de un degré Celsius (ou un Kelvin).
Effet Joule :
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un conducteur résistant.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment les pertes thermiques (rendement inférieur à 100%) affecteraient-elles le temps de chauffe réel et le coût de fonctionnement du chauffe-eau ?
2. Quelles sont les stratégies courantes pour réduire la consommation d'énergie d'un chauffe-eau domestique (isolation, réglage du thermostat, utilisation d'heures creuses, etc.) ?
3. Comparez l'efficacité énergétique et le coût d'utilisation d'un chauffe-eau électrique par rapport à d'autres systèmes de production d'eau chaude (gaz, solaire thermique).
4. Si la tension du réseau baisse de 10% (par exemple de 230V à 207V), quel serait l'impact sur la puissance de l'élément chauffant et sur le temps de chauffe (en supposant que la résistance reste constante) ?
5. Comment le tartre qui se dépose sur la résistance d'un chauffe-eau peut-il affecter son efficacité et sa durée de vie ?
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