Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
Comprendre l’Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
Dans un circuit électrique simple comprenant une bobine (inductance) connectée à une source de tension alternative, la bobine peut générer une opposition au changement de courant à cause de son inductance.
Cet exercice explore comment l’intensité du courant dans la bobine varie en fonction de la fréquence de la tension appliquée et de l’inductance de la bobine.
Pour comprendre le Calcul de l’Intensité dans les Lignes Triphasées, cliquez sur le lien.
Données:
- Tension appliquée (V): \(V = V_0 \sin(\omega t)\) où \(V_0 = 120 \text{ V}\) (amplitude de la tension).
- Inductance de la bobine (L): \(0.5 \text{ H}\)
- Fréquence de la source (f):} \(50 \text{ Hz}\)
Questions:
1. Calcul de l’impédance inductive \(X_L\):
- Utilisez la formule de \(X_L\) pour calculer l’impédance de la bobine à une fréquence de 50 Hz.
2. Calcul de l’intensité du courant \(I_0\):
- Déterminez l’amplitude du courant \(I_0\) en utilisant l’impédance calculée.
3. Graphique du courant au fil du temps::
- Tracez un graphique représentant l’intensité du courant \(I\) en fonction du temps pour un cycle complet (de 0 à \(\frac{1}{f}\) secondes).
4. Analyse de l’effet de la fréquence:
- Calculez l’impédance inductive et l’amplitude du courant si la fréquence est doublée. Discutez de l’effet de la modification de la fréquence sur l’intensité du courant dans la bobine.
Correction : Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
1. Calcul de l’impédance inductive \(X_L\)
Données:
- Inductance de la bobine \(L = 0.5\, \text{H}\)
- Fréquence \(f = 50\, \text{Hz}\)
Formule:
\[ X_L = 2\pi fL \]
Substitution des valeurs et calcul:
\[ X_L = 2\pi \times 50 \times 0.5 \] \[ X_L = 3.1416 \times 50 \times 0.5 \] \[ X_L = 157.08\, \text{ohms} \]
L’impédance inductive de la bobine est de 157.08 ohms.
2. Calcul de l’intensité du courant \(I_0\)
Données:
- Amplitude de la tension \(V_0 = 120\, \text{V}\)
- Impédance inductive \(X_L = 157.08\, \text{ohms}\) calculée précédemment
Formule:
\[ I_0 = \frac{V_0}{X_L} \]
Substitution des valeurs et calcul:
\[ I_0 = \frac{120}{157.08} \] \[ I_0 = \frac{120}{157.08} \] \[ I_0 \approx 0.764\, \text{A} \]
L’amplitude du courant \(I_0\) est d’environ 0.764 ampères.
3. Graphique du courant au fil du temps
Formule du courant instantané \(I(t)\):
\[ I = I_0 \sin(\omega t – \frac{\pi}{2}) \]
où \(\omega = 2\pi f\) et \(f = 50\, \text{Hz}\).
Substitution des valeurs:
- \( \omega = 2\pi \times 50 = 314\, \text{rad/s} \)
\[ I(t) = 0.764 \sin(314t – \frac{\pi}{2}) \]
Analyse graphique:
Le graphique du courant \(I(t)\) représenterait une sinusoïde commençant à -0.764 A à \(t = 0\) s, atteignant 0 A à \(t \approx 0.0025\) s, et 0.764 A à \(t \approx 0.005\) s, pour un cycle complet.
4. Analyse de l’effet de la fréquence
- Nouvelle fréquence \(f = 100\, \text{Hz}\)
Calcul de \(X_L\) avec la nouvelle fréquence:
\[ X_L = 2\pi \times 100 \times 0.5 \] \[ X_L = 314.16\, \text{ohms} \]
Calcul de \(I_0\) avec la nouvelle impédance:
\[ I_0 = \frac{120}{314.16} \] \[ I_0 \approx 0.382\, \text{A} \]
Comparaison et analyse:
Lorsque la fréquence est doublée, l’impédance inductive double également, ce qui réduit de moitié l’amplitude du courant.
Ceci illustre le principe que l’augmentation de la fréquence dans un circuit inductif augmente l’opposition au courant, réduisant ainsi son intensité.
Analyse du Courant Alternatif dans une Bobine
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