Calcul de la Période d'une Onde

Calculer la période d'une onde sinusoïdale en courant alternatif à partir de sa fréquence ou de sa pulsation, et inversement.

La période (\(T\)) d'une onde en courant alternatif (CA) est le temps nécessaire pour que l'onde accomplisse un cycle complet. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence (\(f\)) et liée à la pulsation (\(\omega\), aussi appelée fréquence angulaire).

Formules clés :

Relation entre période et fréquence : \(T = \frac{1}{f}\)
Relation entre pulsation et fréquence : \(\omega = 2\pi f\)
Relation entre pulsation et période : \(\omega = \frac{2\pi}{T}\), d'où \(T = \frac{2\pi}{\omega}\)

Les unités sont : \(T\) en secondes (s), \(f\) en Hertz (Hz), et \(\omega\) en radians par seconde (rad/s).

Données du Problème

On considère trois sources de tension alternative différentes :

Source A : Fréquence \(f_A = 60 \text{ Hz}\)
Source B : Pulsation \(\omega_B = 314 \text{ rad/s}\)
Source C : Une tension dont l'expression temporelle est \(v_C(t) = 170 \sin(120\pi t + \pi/4) \text{ V}\)

Questions

Pour la Source A (\(f_A = 60 \text{ Hz}\)) :
1. Calculer sa période \(T_A\).
2. Calculer sa pulsation \(\omega_A\).
Pour la Source B (\(\omega_B = 314 \text{ rad/s}\)) :
1. Calculer sa fréquence \(f_B\).
2. Calculer sa période \(T_B\).
Pour la Source C (\(v_C(t) = 170 \sin(120\pi t + \pi/4) \text{ V}\)) :
1. Identifier sa pulsation \(\omega_C\).
2. Calculer sa fréquence \(f_C\).
3. Calculer sa période \(T_C\).

Correction : Calcul de la Période d’une Onde

1. Analyse de la Source A

Donnée : \(f_A = 60 \text{ Hz}\)

a. Calcul de la Période \(T_A\)

On utilise la formule \(T_A = \frac{1}{f_A}\).

\begin{aligned} T_A &= \frac{1}{60 \text{ Hz}} \\ &\approx 0.01666... \text{ s} \\ &\approx 16.67 \text{ ms} \end{aligned}

\(T_A \approx 16.67 \text{ ms}\).

b. Calcul de la Pulsation \(\omega_A\)

On utilise la formule \(\omega_A = 2\pi f_A\).

\begin{aligned} \omega_A &= 2\pi \times 60 \text{ Hz} \\ &= 120\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 376.99 \text{ rad/s} \end{aligned}

\(\omega_A = 120\pi \text{ rad/s} \approx 376.99 \text{ rad/s}\).

2. Analyse de la Source B

Donnée : \(\omega_B = 314 \text{ rad/s}\)

a. Calcul de la Fréquence \(f_B\)

On utilise la formule \(f_B = \frac{\omega_B}{2\pi}\).

\begin{aligned} f_B &= \frac{314 \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &\approx \frac{314}{6.28318} \text{ Hz} \\ &\approx 49.974... \text{ Hz} \end{aligned}

Note : \(314 \text{ rad/s}\) est une approximation courante de \(100\pi \text{ rad/s}\), ce qui correspondrait à 50 Hz. Nous utiliserons la valeur donnée pour le calcul.

\(f_B \approx 49.97 \text{ Hz}\).

b. Calcul de la Période \(T_B\)

On utilise la formule \(T_B = \frac{1}{f_B}\) ou \(T_B = \frac{2\pi}{\omega_B}\).

En utilisant \(f_B \approx 49.974 \text{ Hz}\) :

\begin{aligned} T_B &\approx \frac{1}{49.974 \text{ Hz}} \\ &\approx 0.02001 \text{ s} \\ &\approx 20.01 \text{ ms} \end{aligned}

En utilisant \(\omega_B = 314 \text{ rad/s}\) directement :

\begin{aligned} T_B &= \frac{2\pi}{314 \text{ rad/s}} \\ &\approx \frac{6.28318}{314} \text{ s} \\ &\approx 0.02001 \text{ s} \\ &\approx 20.01 \text{ ms} \end{aligned}

\(T_B \approx 20.01 \text{ ms}\).

Quiz Intermédiaire : Pulsation et Fréquence

3. Analyse de la Source C

Donnée : \(v_C(t) = 170 \sin(120\pi t + \pi/4) \text{ V}\)

a. Identification de la Pulsation \(\omega_C\)

La pulsation \(\omega_C\) est le coefficient du temps \(t\) dans l'argument de la fonction sinus.

\omega_C = 120\pi \text{ rad/s}

\(\omega_C = 120\pi \text{ rad/s} \approx 376.99 \text{ rad/s}\).

b. Calcul de la Fréquence \(f_C\)

On utilise la formule \(f_C = \frac{\omega_C}{2\pi}\).

\begin{aligned} f_C &= \frac{120\pi \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &= 60 \text{ Hz} \end{aligned}

\(f_C = 60 \text{ Hz}\).

c. Calcul de la Période \(T_C\)

On utilise la formule \(T_C = \frac{1}{f_C}\).

\begin{aligned} T_C &= \frac{1}{60 \text{ Hz}} \\ &\approx 0.01666... \text{ s} \\ &\approx 16.67 \text{ ms} \end{aligned}

\(T_C \approx 16.67 \text{ ms}\).

Glossaire des Termes Clés

Période (\(T\)) :

Durée d'un cycle complet d'une onde périodique. Unité : seconde (s), milliseconde (ms).

Fréquence (\(f\)) :

Nombre de cycles d'une onde par seconde. Unité : Hertz (Hz). C'est l'inverse de la période (\(f = 1/T\)).

Pulsation (ou Fréquence Angulaire, \(\omega\)) :

Mesure de la vitesse de rotation en radians par seconde (rad/s). Liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\).

Signal Sinusoïdal :

Forme d'onde qui varie comme la fonction sinus (ou cosinus) du temps. Caractérisée par son amplitude, sa fréquence (ou période/pulsation) et sa phase.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi la fréquence de 50 Hz (ou 60 Hz dans certains pays) a-t-elle été choisie pour les réseaux de distribution électrique ?

2. Comment la période d'un signal sonore est-elle liée à la hauteur (grave/aigu) du son perçu ?

3. Outre la tension et le courant, quelles autres grandeurs physiques peuvent être représentées par des ondes périodiques et caractérisées par une période et une fréquence ?

4. Si vous observez un signal sur un oscilloscope et mesurez le temps entre deux pics successifs, quelle grandeur déterminez-vous directement ?

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