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Calcul de la Période et de la Pulsation

Calcul de la Période et de la Pulsation

Déterminer la période, la fréquence et la pulsation (fréquence angulaire) de signaux sinusoïdaux en courant alternatif à partir de leurs expressions temporelles ou de l'une de ces grandeurs.

En courant alternatif (CA) sinusoïdal, plusieurs grandeurs caractérisent la variation temporelle du signal. Il est essentiel de comprendre leurs définitions et leurs relations mutuelles.

Formules clés :

  • Période (\(T\)) : Durée d'un cycle complet du signal. Unité : seconde (s).
  • Fréquence (\(f\)) : Nombre de cycles par seconde. Unité : Hertz (Hz). Relation : \(f = \frac{1}{T}\)
  • Pulsation (ou Fréquence Angulaire, \(\omega\)) : Vitesse de rotation du vecteur de Fresnel associé au signal. Unité : radian par seconde (rad/s). Relations :
    • \(\omega = 2\pi f\)
    • \(\omega = \frac{2\pi}{T}\)
  • Un signal sinusoïdal (tension ou courant) peut s'écrire sous la forme : \(x(t) = X_{max} \sin(\omega t + \phi)\) ou \(x(t) = X_{max} \cos(\omega t + \phi')\), où \(X_{max}\) est l'amplitude maximale, \(\omega\) la pulsation, et \(\phi\) (ou \(\phi'\)) la phase à l'origine.

Données du Problème

Considérons les signaux suivants :

  • Signal de tension 1 : \(v_1(t) = 325 \sin(100\pi t - \pi/3) \text{ V}\)
  • Signal de courant 2 : La fréquence de ce courant est \(f_2 = 60 \text{ Hz}\).
  • Signal de tension 3 : La période de cette tension est \(T_3 = 25 \text{ ms}\).
t v(t) Période (T) Vmax
Représentation d'un signal sinusoïdal avec sa période et son amplitude.

Questions

  1. Pour le signal de tension \(v_1(t)\) :
    1. Identifier l'amplitude maximale \(V_{max1}\).
    2. Identifier la pulsation \(\omega_1\).
    3. Calculer la fréquence \(f_1\).
    4. Calculer la période \(T_1\).
  2. Pour le signal de courant 2 (fréquence \(f_2 = 60 \text{ Hz}\)) :
    1. Calculer sa pulsation \(\omega_2\).
    2. Calculer sa période \(T_2\).
  3. Pour le signal de tension 3 (période \(T_3 = 25 \text{ ms}\)) :
    1. Calculer sa fréquence \(f_3\).
    2. Calculer sa pulsation \(\omega_3\).

Correction : Calcul de la Période et de la Pulsation

1. Analyse du Signal de Tension \(v_1(t)\)

Donnée : \(v_1(t) = 325 \sin(100\pi t - \pi/3) \text{ V}\)

a. Amplitude Maximale \(V_{max1}\)

L'amplitude maximale est le coefficient devant la fonction sinusoïdale.

\[ V_{max1} = 325 \text{ V} \]

\(V_{max1} = 325 \text{ V}\).

b. Pulsation \(\omega_1\)

La pulsation est le coefficient du temps \(t\) à l'intérieur de la fonction sinusoïdale.

\[ \omega_1 = 100\pi \text{ rad/s} \]

\(\omega_1 = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

c. Fréquence \(f_1\)

On utilise la relation \(\omega_1 = 2\pi f_1\).

\[ \begin{aligned} f_1 &= \frac{\omega_1}{2\pi} \\ &= \frac{100\pi \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &= 50 \text{ Hz} \end{aligned} \]

\(f_1 = 50 \text{ Hz}\).

d. Période \(T_1\)

On utilise la relation \(T_1 = \frac{1}{f_1}\) ou \(T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}\).

\[ \begin{aligned} T_1 &= \frac{1}{50 \text{ Hz}} \\ &= 0.02 \text{ s} \\ &= 20 \text{ ms} \end{aligned} \]

\(T_1 = 0.02 \text{ s}\) (ou 20 ms).

Quiz Intermédiaire : Signal \(v_1(t)\)

Question : La phase à l'origine du signal \(v_1(t) = 325 \sin(100\pi t - \pi/3) \text{ V}\) est :

2. Analyse du Signal de Courant 2

Donnée : Fréquence \(f_2 = 60 \text{ Hz}\)

a. Pulsation \(\omega_2\)

On utilise la relation \(\omega_2 = 2\pi f_2\).

\[ \begin{aligned} \omega_2 &= 2\pi \times 60 \text{ Hz} \\ &= 120\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 376.99 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

\(\omega_2 = 120\pi \text{ rad/s} \approx 376.99 \text{ rad/s}\).

b. Période \(T_2\)

On utilise la relation \(T_2 = \frac{1}{f_2}\).

\[ \begin{aligned} T_2 &= \frac{1}{60 \text{ Hz}} \\ &\approx 0.01667 \text{ s} \\ &\approx 16.67 \text{ ms} \end{aligned} \]

\(T_2 \approx 0.01667 \text{ s}\) (ou 16.67 ms).

3. Analyse du Signal de Tension 3

Donnée : Période \(T_3 = 25 \text{ ms} = 25 \times 10^{-3} \text{ s}\)

a. Fréquence \(f_3\)

On utilise la relation \(f_3 = \frac{1}{T_3}\).

\[ \begin{aligned} f_3 &= \frac{1}{25 \times 10^{-3} \text{ s}} \\ &= \frac{1}{0.025 \text{ s}} \\ &= 40 \text{ Hz} \end{aligned} \]

\(f_3 = 40 \text{ Hz}\).

b. Pulsation \(\omega_3\)

On utilise la relation \(\omega_3 = 2\pi f_3\) ou \(\omega_3 = \frac{2\pi}{T_3}\).

\[ \begin{aligned} \omega_3 &= 2\pi \times 40 \text{ Hz} \\ &= 80\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 251.327 \text{ rad/s} \end{aligned} \]

\(\omega_3 = 80\pi \text{ rad/s} \approx 251.33 \text{ rad/s}\).

Quiz Intermédiaire : Relations

Question : Si la période d'un signal est divisée par deux, sa fréquence est :

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : L'unité de la pulsation (\(\omega\)) est :

Question 2 : Si la fréquence d'un signal est \(f\), sa période \(T\) est donnée par :

Question 3 : Un signal avec une pulsation \(\omega = 200\pi\) rad/s a une fréquence de :

Question 4 : Dans l'expression \(x(t) = X_{max} \cos(\omega t + \phi)\), le terme \(\phi\) représente :

Glossaire des Termes Clés

Période (\(T\)) :

Le temps nécessaire pour qu'un cycle complet d'une forme d'onde périodique se produise. Unité : seconde (s).

Fréquence (\(f\)) :

Le nombre de cycles d'une forme d'onde périodique par unité de temps (généralement par seconde). Unité : Hertz (Hz). \(f = 1/T\).

Pulsation (Fréquence Angulaire, \(\omega\)) :

Taux de changement de la phase d'une forme d'onde sinusoïdale, exprimé en radians par seconde (rad/s). \(\omega = 2\pi f\).

Amplitude Maximale (\(X_{max}\)) :

La valeur de crête maximale d'un signal sinusoïdal par rapport à sa valeur moyenne (qui est souvent zéro pour les signaux CA purs).

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Décalage angulaire de la forme d'onde à l'instant \(t=0\), par rapport à une référence (par exemple, une fonction sinus pure). Exprimée en radians ou en degrés.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi utilise-t-on la pulsation \(\omega\) en plus de la fréquence \(f\) dans l'analyse des circuits CA ? Quels avantages offre-t-elle dans certaines formules ?

2. Comment la période d'un signal CA affecte-t-elle la perception humaine (par exemple, le scintillement de la lumière ou le son) ?

3. Si deux signaux sinusoïdaux ont la même fréquence mais des phases à l'origine différentes, comment cela se traduit-il sur leur représentation graphique et leur relation temporelle ?

4. Dans le réseau électrique domestique (par exemple, 50 Hz en Europe, 60 Hz en Amérique du Nord), pourquoi ces fréquences spécifiques ont-elles été choisies ?

5. Comment la période et la fréquence sont-elles utilisées dans les instruments de mesure comme les oscilloscopes pour analyser les signaux CA ?

Calcul de la Période et de la Pulsation

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