Calcul de la vitesse de groupe d’une onde

Exercice : Calcul de la Vitesse de Groupe d’une Onde

Calcul de la Vitesse de Groupe d’une Onde

Comprendre la Vitesse de Groupe et la Dispersion

Lorsqu'une onde électromagnétique se propage dans le vide, toutes ses composantes fréquentielles voyagent à la même vitesse $c$. Cependant, dans un milieu matériel (comme le verre, l'eau, ou un plasma), cette vitesse dépend de la fréquence. Ce phénomène est appelé dispersion. Dans un milieu dispersif, on distingue deux vitesses : la vitesse de phase ($v_\varphi$), qui est la vitesse de propagation d'une onde monochromatique pure, et la vitesse de groupe ($v_g$), qui représente la vitesse de propagation de l'enveloppe d'un "paquet d'ondes" (un signal réel, qui est toujours une superposition de plusieurs fréquences). C'est la vitesse de groupe qui correspond à la vitesse de transport de l'énergie et de l'information.

Remarque Pédagogique : La distinction entre ces deux vitesses est fondamentale. La vitesse de phase peut être supérieure à $c$ dans certains milieux sans violer la relativité, car elle ne transporte aucune information. La vitesse de groupe, elle, reste inférieure ou égale à $c$. Cet exercice illustre le calcul de ces deux vitesses à partir de la relation de dispersion du milieu, qui lie la pulsation $\omega$ au nombre d'onde $k$.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique se propage dans un plasma, un milieu dispersif. Sa relation de dispersion est donnée par :

\omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2

où $\omega$ est la pulsation de l'onde, $k$ est le nombre d'onde, $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide, et $\omega_p$ est la pulsation plasma, une constante caractéristique du milieu.

Constantes et paramètres :

Vitesse de la lumière dans le vide ($c$) : $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$
Pulsation plasma ($\omega_p$) : $6\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}$
On étudie une onde de pulsation $\omega = 10\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}$

Schéma d'un Paquet d'Ondes

Questions à traiter

Calculer le nombre d'onde $k$ pour la pulsation $\omega$ donnée.
Calculer la vitesse de phase $v_\varphi$ de l'onde. Est-elle supérieure ou inférieure à $c$ ?
Trouver l'expression littérale de la vitesse de groupe $v_g$ en fonction de $\omega$.
Calculer la valeur de la vitesse de groupe $v_g$ et la comparer à $c$ et à $v_\varphi$.

Correction : Calcul de la Vitesse de Groupe d’une Onde

Question 1 : Calcul du Nombre d'Onde ($k$)

Principe :

Le nombre d'onde $k$ est directement lié à la pulsation $\omega$ par la relation de dispersion. Il suffit d'isoler $k$ dans l'équation fournie.

Remarque Pédagogique : La relation de dispersion est l' "ADN" du milieu de propagation. C'est elle qui dicte comment les ondes de différentes fréquences s'y comportent. Notons que pour que $k$ soit réel et que l'onde puisse se propager, il faut que $\omega > \omega_p$. $\omega_p$ agit comme une fréquence de coupure.

Calcul :

\begin{aligned} c^2 k^2 &= \omega^2 - \omega_p^2 \\ k &= \frac{\sqrt{\omega^2 - \omega_p^2}}{c} \\ &= \frac{\sqrt{(10\pi \times 10^9)^2 - (6\pi \times 10^9)^2}}{3 \times 10^8} \\ &= \frac{\pi \times 10^9 \sqrt{100 - 36}}{3 \times 10^8} \\ &= \frac{\pi \times 10^9 \sqrt{64}}{3 \times 10^8} = \frac{\pi \times 10^9 \times 8}{3 \times 10^8} \\ &\approx 83.78 \, \text{rad/m} \end{aligned}

Question 2 : Calcul de la Vitesse de Phase ($v_\varphi$)

Principe :

La vitesse de phase est la vitesse à laquelle un point de phase constante (par exemple, un sommet de l'onde) se propage. Elle est définie par le rapport $v_\varphi = \omega / k$.

Remarque Pédagogique : Le résultat est supérieur à $c$ ! Cela peut sembler paradoxal, mais ne viole pas la relativité. La vitesse de phase n'est pas la vitesse de l'énergie ou de l'information, mais juste la vitesse d'un motif mathématique. Aucun signal ne peut être envoyé plus vite que $c$.

Calcul :

\begin{aligned} v_\varphi &= \frac{\omega}{k} \\ &= \frac{10\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}}{83.78 \, \text{rad/m}} \\ &\approx 3.75 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned}

On a $v_\varphi \approx 1.25 c$. La vitesse de phase est supérieure à la vitesse de la lumière dans le vide.

Question 3 : Expression de la Vitesse de Groupe ($v_g$)

Principe :

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'enveloppe du paquet d'ondes. Elle est définie par la dérivée de la pulsation par rapport au nombre d'onde : $v_g = d\omega/dk$. Pour la calculer, il faut dériver la relation de dispersion.

Remarque Pédagogique : La dérivation implicite est une technique très utile ici. Au lieu d'exprimer $\omega(k)$ explicitement, on dérive chaque terme de la relation $\omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2$ par rapport à $k$. C'est souvent plus rapide et moins source d'erreurs.

Calcul :

On part de $\omega^2 = \omega_p^2 + c^2 k^2$. On dérive par rapport à $k$:

\begin{aligned} \frac{d}{dk}(\omega^2) &= \frac{d}{dk}(\omega_p^2 + c^2 k^2) \\ 2\omega \frac{d\omega}{dk} &= 0 + c^2(2k) \\ \omega \, v_g &= c^2 k \\ v_g &= \frac{c^2 k}{\omega} \end{aligned}

Question 4 : Calcul de la Vitesse de Groupe

Principe :

On applique la formule trouvée à la question précédente avec les valeurs numériques de $\omega$ et $k$. On peut alors comparer les trois vitesses : $v_g$, $v_\varphi$ et $c$.

Remarque Pédagogique : Notez la relation remarquable que l'on peut déduire : $v_g = c^2/v_\varphi$, ce qui implique que $v_g v_\varphi = c^2$. C'est une propriété caractéristique de ce type de milieu dispersif. Comme $v_\varphi > c$, on a nécessairement $v_g < c$, ce qui est cohérent avec la théorie de la relativité.

Calcul :

\begin{aligned} v_g &= \frac{c^2 k}{\omega} \\ &= \frac{(3 \times 10^8)^2 \cdot (83.78)}{10\pi \times 10^9} \\ &= \frac{9 \times 10^{16} \cdot 83.78}{3.1416 \times 10^{10}} \\ &\approx 2.4 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned}

On a $v_g = 0.8 c$. On vérifie bien que $v_g < c < v_\varphi$.

Résultat : La vitesse de groupe est $v_g = 2.4 \times 10^8 \, \text{m/s}$, soit 80% de la vitesse de la lumière.

Simulation Interactive de la Dispersion

Modifiez la pulsation de l'onde $\omega$. Observez comment la vitesse de phase et la vitesse de groupe évoluent. Le graphique montre la relation de dispersion $\omega(k)$. La pente de la droite rouge représente la vitesse de phase, tandis que la pente de la tangente (en vert) représente la vitesse de groupe.

Paramètres de l'Onde

Pulsation ($\omega$): 10.0 π Trad/s ($\times 10^9$)

(Note: $\omega_p = 6\pi \times 10^9$. L'onde ne se propage que si $\omega > \omega_p$.)

Vitesse de Phase ($v_\varphi$)

Vitesse de Groupe ($v_g$)

Relation de Dispersion $\omega(k)$

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Dispersion Anormale

Dans certaines régions de fréquence, près d'une résonance d'absorption du milieu, on peut avoir une "dispersion anormale" où la vitesse de groupe devient supérieure à $c$, voire négative ! Cela ne contredit toujours pas la relativité car dans ces régions, le concept de vitesse de groupe comme vitesse du signal perd son sens en raison de la forte déformation du paquet d'ondes.

Guides d'Ondes

Les guides d'ondes (tubes métalliques creux utilisés pour guider les micro-ondes) sont un autre exemple classique de milieu dispersif. Leur relation de dispersion est très similaire à celle du plasma, avec une fréquence de coupure qui dépend des dimensions transversales du guide. En dessous de cette fréquence, aucune onde ne peut se propager.

Foire Aux Questions (FAQ)

Quelle est l'intuition derrière la vitesse de groupe ?

Imaginez deux trains de vagues de fréquences légèrement différentes sur l'eau. Parfois ils s'additionnent (grande vague), parfois ils s'annulent (eau calme). La "grande vague" (l'enveloppe) se déplace à une vitesse (la vitesse de groupe) qui n'est pas la même que celle des petites vagues individuelles (la vitesse de phase) qui la composent. Les petites vagues semblent naître à l'arrière du groupe, le traverser et disparaître à l'avant.

Tous les milieux sont-ils dispersifs ?

Pratiquement oui. Le vide est le seul milieu parfaitement non-dispersif où toutes les fréquences voyagent à la même vitesse $c$. Pour la plupart des matériaux transparents comme le verre, la dispersion est faible dans le spectre visible, mais elle devient significative à d'autres fréquences.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un milieu non-dispersif comme le vide, quelle est la relation entre $v_g$ et $v_\varphi$ ?

$v_g > v_\varphi$
$v_g < v_\varphi$
$v_g = v_\varphi = c$
La vitesse de groupe est nulle.

2. La vitesse de propagation de l'énergie d'un signal est donnée par :

La vitesse de phase $v_\varphi$
La vitesse de groupe $v_g$
La moyenne des deux.
La vitesse de la lumière $c$.

Glossaire

Dispersion: Phénomène par lequel la vitesse de propagation d'une onde dans un milieu dépend de sa fréquence (ou de sa longueur d'onde). Cela provoque la décomposition d'un signal complexe en ses différentes composantes fréquentielles.
Vitesse de Phase ($v_\varphi$): Vitesse à laquelle la phase d'une onde monochromatique se propage. Elle est donnée par $v_\varphi = \omega/k$. Elle peut être supérieure à $c$.
Vitesse de Groupe ($v_g$): Vitesse à laquelle l'enveloppe d'un paquet d'ondes (qui transporte l'énergie et l'information) se propage. Elle est donnée par $v_g = d\omega/dk$. Elle est toujours inférieure ou égale à $c$.
Relation de Dispersion: Équation mathématique qui lie la pulsation $\omega$ d'une onde à son nombre d'onde $k$ dans un milieu donné. C'est la signature du comportement propagatoire du milieu.

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Question 1 : Calcul du Nombre d'Onde (\(k\))

Principe :

Calcul :

Question 2 : Calcul de la Vitesse de Phase (\(v_\varphi\))

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Calcul :

Question 3 : Expression de la Vitesse de Groupe (\(v_g\))

Principe :

Calcul :

Question 4 : Calcul de la Vitesse de Groupe

Principe :

Calcul :

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Paramètres de l'Onde

Relation de Dispersion \(\omega(k)\)

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