Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
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Un circuit RLC en série est alimenté par une source de tension en courant alternatif (CA) de fréquence variable. Le circuit comprend une résistance \(R\), une bobine d’inductance \(L\), et un condensateur \(C\). L’objectif est de déterminer l’admittance totale du circuit en fonction de la fréquence de la source de tension.
Données Fournies:
Les composants du circuit sont spécifiés comme suit :
- Résistance \(R = 100\, \Omega\)
- Inductance \(L = 0.5\, H\)
- Capacité \(C = 100\, \mu F\) (microfarads)
- La fréquence \(f\) de la source de tension varie de 50 Hz à 1000 Hz.
Questions :
1. Exprimez l’impédance de chaque composant (résistance, inductance, et condensateur) en utilisant la notation complexe.
2. Calculez l’impédance totale du circuit pour une fréquence donnée.
3. Déterminez l’admittance totale du circuit pour les fréquences 50 Hz, 100 Hz, 500 Hz et 1000 Hz.
4. Représentez graphiquement l’admittance totale en fonction de la fréquence sur l’intervalle donné.
Correction : Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
1. Impédance de chaque composant
Nous allons écrire l’expression de l’impédance pour chaque composant du circuit, en tenant compte de la notion de tension et de courant sinusoïdaux.
- Résistance (R) : c’est un composant purement dissipatif, qui s’oppose au passage du courant sans déphasage entre tension et courant. Son impédance est un nombre réel égal à sa valeur nominale :
\[ Z_R = R \]
- Inductance (L) : en régime sinusoïdal, la tension aux bornes d’une inductance devance le courant d’un quart de période (90°). On exprime cette différence de phase avec un terme imaginaire pur positif, proportionnel à la pulsation \( \omega = 2\pi f \) :
\[ Z_L = j\,\omega\,L \]
\[ Z_C = \frac{1}{j\,\omega\,C} \]\[ Z_C = -j\frac{1}{\omega C} \]
Données
- Résistance : \( R = 100~\Omega \)
- Inductance : \( L = 0,5~\mathrm{H} \)
- Capacité : \( C = 100~\mu\mathrm{F} = 100\times10^{-6}~\mathrm{F} \)
- Pulsation : \( \omega = 2\pi f \) (rad/s), où \( f \) est la fréquence en hertz.
Calculs
En remplaçant les valeurs numériques :
2. Impédance totale du circuit
Pour un montage série, l’impédance totale est simplement la somme algébrique (complexe) des impédances de chaque composant.
Comme tous les composants sont parcourus par le même courant sinusoïdal, leurs tensions s’additionnent. En notation complexe, on ajoute donc directement les impédances :
Formule
\[ Z_{\mathrm{tot}}(f) = Z_R + Z_L + Z_C = R + j\,\omega\,L + \frac{1}{j\,\omega\,C} \]
Données
Calcul
En remplaçant et regroupant les termes réels et imaginaires :
\[ Z_{\mathrm{tot}}(f) = 100 + j\,(2\pi f)(0,5) - j\frac{1}{2\pi f\times10^{-4}} \] \[ Z_{\mathrm{tot}}(f) = 100 + j\Bigl(\pi f - \frac{1}{2\pi f\times10^{-4}}\Bigr) \]
3. Admittance totale pour \( f = 50,\,100,\,500 \) et \( 1000~\mathrm{Hz} \)
L’admittance est l’inverse de l’impédance totale :
\[ Y(f) = \frac{1}{Z_{\mathrm{tot}}(f)} \]
L’admittance Y se décompose en partie réelle conductance \( G \) et partie imaginaire susceptance \( B \) : \( Y = G + jB \). Elle indique la facilité pour le courant de circuler dans le circuit.
Formule
\[ Y(f) = \frac{1}{100 + j\bigl(\pi f - \frac{1}{2\pi f\times10^{-4}}\bigr)} \]
Données & Calculs
Pour chaque fréquence, on calcule successivement :
| Fréquence \( f \) (Hz) | \( Z_L = j\,\omega L \) (Ω) | \( Z_C = \frac{1}{j\,\omega C} \) (Ω) | \( Z_{\mathrm{tot}} \) (Ω) | \( Y = \frac{1}{Z_{\mathrm{tot}}} \) (S) |
|---|---|---|---|---|
| 50 | \( j\,157{,}08 \) | \( -j\,31{,}83 \) | \( 100 + j\,125{,}25 \) | \( 0{,}003893 - j\,0{,}004876 \) |
| 100 | \( j\,314{,}16 \) | \( -j\,15{,}915 \) | \( 100 + j\,298{,}245 \) | \( 0{,}0010106 - j\,0{,}0030141 \) |
| 500 | \( j\,1570{,}8 \) | \( -j\,3{,}183 \) | \( 100 + j\,1567{,}617 \) | \( 0{,}00004053 - j\,0{,}00063533 \) |
| 1000 | \( j\,3141{,}59 \) | \( -j\,1{,}5915 \) | \( 100 + j\,3140{,}00 \) | \( 0{,}00001013 - j\,0{,}00031815 \) |
4. Représentation graphique de l’admittance totale
On trace la magnitude de \( Y \), notée \( |Y(f)| \), pour visualiser comment la facilité de passage du courant évolue en fonction de la fréquence. À faible fréquence, le condensateur s’oppose peu (grande admitance), tandis qu’à haute fréquence, l’inductance domine (petite admitance).
Le graphique montre une diminution continue de \( |Y| \) lorsque \( f \) augmente, conformément à l’augmentation de l’impédance réactive de la bobine.
Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
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