Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle
Comprendre l'Admittance d’un Circuit RLC Parallèle
L'admittance (\(Y\)) est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit ou un composant laisse passer un courant alternatif. C'est l'inverse de l'impédance (\(Z\)), de la même manière que la conductance est l'inverse de la résistance en courant continu. L'admittance est une grandeur complexe, exprimée en Siemens (S), et s'écrit sous la forme \(Y = G + jB\), où \(G\) est la conductance (partie réelle) et \(B\) est la susceptance (partie imaginaire). Pour les circuits parallèles, il est souvent plus simple de travailler avec les admittances car elles s'additionnent directement, contrairement aux impédances.
Données de l'étude
- Résistance \(R\) : \(25 \, \Omega\)
- Inductance \(L\) : \(50 \, \text{mH}\)
- Capacité \(C\) : \(100 \, \mu\text{F}\)
- Fréquence de la source : \(f = 60 \, \text{Hz}\)
Schéma : Circuit RLC Parallèle
Circuit RLC parallèle alimenté par une source de tension alternative.
Questions à traiter
- Calculer la pulsation angulaire \(\omega\) de la source.
- Calculer la conductance \(G\) de la résistance.
- Calculer la susceptance inductive \(B_L\).
- Calculer la susceptance capacitive \(B_C\).
- Calculer la susceptance totale \(B\) du circuit.
- Exprimer l'admittance totale \(Y\) du circuit sous forme rectangulaire (\(G + jB\)).
- Calculer le module \(|Y|\) de l'admittance totale.
- Calculer l'angle de phase \(\theta_Y\) de l'admittance totale (en degrés). Le circuit est-il globalement inductif ou capacitif ?
Correction : Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle
Question 1 : Pulsation angulaire \(\omega\)
Principe :
La pulsation angulaire \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(f = 60 \, \text{Hz}\)
Calcul :
Question 2 : Conductance \(G\)
Principe :
La conductance \(G\) est l'inverse de la résistance \(R\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(R = 25 \, \Omega\)
Calcul :
Question 3 : Susceptance Inductive \(B_L\)
Principe :
La susceptance inductive \(B_L\) est l'inverse négatif de la réactance inductive \(X_L = L\omega\). Donc, \(B_L = -\frac{1}{L\omega}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(L = 50 \, \text{mH} = 50 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
- \(\omega \approx 376.991 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : La susceptance inductive est toujours :
Question 4 : Susceptance Capacitive \(B_C\)
Principe :
La susceptance capacitive \(B_C\) est l'inverse de la réactance capacitive \(X_C = \frac{1}{C\omega}\), mais comme \(X_C\) est souvent considérée comme \(1/(jC\omega)\) et \(B_C = 1/X_C\), alors \(B_C = C\omega\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
- \(\omega \approx 376.991 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
Question 5 : Susceptance Totale \(B\)
Principe :
La susceptance totale \(B\) d'un circuit parallèle est la somme algébrique des susceptances individuelles : \(B = B_L + B_C\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(B_L \approx -0.05305 \, \text{S}\)
- \(B_C \approx 0.037699 \, \text{S}\)
Calcul :
Question 6 : Admittance Totale \(Y\) (forme rectangulaire)
Principe :
L'admittance totale \(Y\) est donnée par \(Y = G + jB\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(G = 0.04 \, \text{S}\)
- \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
Question 7 : Module \(|Y|\) de l'Admittance Totale
Principe :
Le module d'un nombre complexe \(Y = G + jB\) est \(|Y| = \sqrt{G^2 + B^2}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(G = 0.04 \, \text{S}\)
- \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : L'admittance est l'inverse de :
Question 8 : Angle de Phase \(\theta_Y\) de l'Admittance Totale
Principe :
L'angle de phase \(\theta_Y\) de l'admittance \(Y = G + jB\) est donné par \(\theta_Y = \arctan\left(\frac{B}{G}\right)\). Si \(B < 0\), le circuit est globalement inductif (l'admittance a une composante inductive dominante). Si \(B > 0\), il est capacitif.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(G = 0.04 \, \text{S}\)
- \(B \approx -0.015351 \, \text{S}\)
Calcul :
Conversion en degrés : \(\theta_Y \approx -0.3669 \times \frac{180}{\pi} \approx -21.02^\circ\).
Puisque \(B < 0\) (ou \(\theta_Y < 0\)), le circuit est globalement inductif.
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. L'unité de l'admittance est le :
2. La conductance \(G\) est la partie ______ de l'admittance.
3. Si la susceptance totale \(B\) d'un circuit parallèle est positive, le circuit est globalement :
Glossaire
- Admittance (Y)
- Inverse de l'impédance (\(Z\)). Mesure de la facilité avec laquelle un circuit laisse passer un courant alternatif. Unité : Siemens (S). \(Y = 1/Z\).
- Conductance (G)
- Partie réelle de l'admittance. Inverse de la résistance pour un composant purement résistif. Unité : Siemens (S). \(G = 1/R\).
- Susceptance (B)
- Partie imaginaire de l'admittance. Unité : Siemens (S).
- Susceptance Inductive (\(B_L\))
- Susceptance due à une inductance. \(B_L = -1/(L\omega)\). Elle est négative.
- Susceptance Capacitive (\(B_C\))
- Susceptance due à une capacité. \(B_C = C\omega\). Elle est positive.
- Impédance (Z)
- Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, incluant résistance et réactances. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
- Pulsation Angulaire (\(\omega\))
- Vitesse de rotation du vecteur de phase dans la représentation de Fresnel, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radians par seconde (rad/s).
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