Calcul de l'Intensité Dans les Lignes Triphasées Équilibrées
Contexte : Alimentation d'un moteur industriel.
Dans une installation industrielle, un Moteur AsynchroneMachine électrique transformant l'énergie électrique en énergie mécanique. est alimenté par un réseau triphasé 400 V. Ces moteurs entraînent des pompes, des ventilateurs ou des convoyeurs et représentent 80% des charges industrielles.
L'électricien doit dimensionner les câbles d'alimentation et les protections (disjoncteurs). Pour cela, il est impératif de calculer l'intensité exacte du courant absorbé par la machine en régime nominal.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour tout technicien. Une erreur de calcul d'intensité peut mener à un incendie (câble trop fin) ou à des déclenchements intempestifs qui arrêtent la production.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la formule de la puissance active en triphasé.
- Savoir extraire l'intensité \(I\) de la formule de puissance.
- Comprendre la différence entre puissance Active, Apparente et Réactive.
- Choisir un calibre de protection adapté aux contraintes réelles.
Données de l'étude
On considère un moteur fonctionnant à pleine charge, entraînant une pompe hydraulique.
Plaque Signalétique / Données
| Grandeur | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | \( 15 \text{ kW} \) |
| Tension Composée | \(U\) | \( 400 \text{ V} \) |
| Facteur de PuissanceLe cosinus phi, représentant le déphasage entre courant et tension. | \(\cos \varphi\)) | 0.85 |
Schéma de l'installation
Questions à traiter
- Calculer l'intensité nominale (\(I\)) absorbée par le moteur.
- Calculer la Puissance Apparente (\(S\)) de l'installation.
- Déterminer la Puissance Réactive (\(Q\)) consommée.
- Proposer un calibre de disjoncteur adapté (Standard : 10A, 16A, 20A, 32A, 40A).
Les bases théoriques
En régime triphasé équilibré, la puissance active totale est la somme des puissances des trois phases. Cependant, on utilise couramment la tension composée \(U\) (tension entre phases) pour le calcul.
1. Tensions Simple et Composée : Ne pas confondre !
Dans un réseau triphasé 400V (standard européen), il existe deux niveaux de tension disponibles simultanément :
- La Tension Simple (\(V\)) : C'est la tension mesurée entre une Phase (L1, L2 ou L3) et le Neutre (N). Elle vaut 230 V. C'est celle de vos prises domestiques.
- La Tension Composée (\(U\)) : C'est la tension mesurée entre deux Phases (L1-L2, L2-L3, L3-L1). Elle vaut 400 V. C'est celle qui alimente les gros moteurs.
La relation magique entre les deux vient de la géométrie vectorielle (déphasage de 120°) :
2. Le Triangle des Puissances
L'électricité alternative ne se résume pas aux Watts. Imaginez un homme tirant un chariot sur des rails (le travail utile) mais en tirant avec une corde en biais (l'effort total).
- Puissance Active (\(P\)) en Watts [W] : C'est la force qui fait avancer le chariot. C'est l'énergie réellement transformée en mouvement ou en chaleur. C'est ce que vous payez à EDF.
- Puissance Réactive (\(Q\)) en Volt-Ampères Réactifs [VAR] : C'est l'énergie "perdue" à tirer de travers. Elle sert à créer les champs magnétiques dans les moteurs mais ne produit pas de travail direct.
- Puissance Apparente (\(S\)) en Volt-Ampères [VA] : C'est l'effort total fourni par l'homme. C'est la somme vectorielle de P et Q. C'est elle qui chauffe les câbles et les transfos.
3. La Formule Fondamentale (Boucherot)
Pour calculer la puissance active totale en triphasé, on additionne la puissance de chaque phase. Mais comme on préfère utiliser la tension composée \(U\) (plus facile à mesurer en industrie), la formule devient :
Puissance Active Totale
Cette formule est la clé de voûte de tout dimensionnement électrique industriel.
Correction : Calcul de l'Intensité Dans les Lignes Triphasées Équilibrées
Question 1 : Calculer l'intensité nominale (\(I\)) absorbée par le moteur.
Principe
L'objectif est de dimensionner les conducteurs. Pour cela, nous devons extraire l'intensité \(I\) de l'équation de la puissance. L'intensité représente le débit d'électrons qui va circuler dans chaque phase pour fournir l'énergie nécessaire. C'est un peu comme le débit d'eau dans un tuyau : plus on veut de puissance hydraulique, plus le débit doit être grand si la pression (tension) est fixe.
Mini-Cours
Pourquoi \(\sqrt{3}\) ?
C'est une question classique. En triphasé, nous avons deux tensions : la tension simple \(V\) (entre phase et neutre, 230V) et la tension composée \(U\) (entre deux phases, 400V). La relation géométrique entre les deux est \(U = V \times \sqrt{3}\).
La puissance totale est la somme des 3 phases : \(P = 3 \times V \times I \times \cos \varphi\).
Si on remplace \(V\) par \(U/\sqrt{3}\), on obtient : \(P = 3 \times (U/\sqrt{3}) \times I \times \cos \varphi = \sqrt{3} \times U \times I \times \cos \varphi\).
Remarque Pédagogique
C'est le calcul "roi" de l'électricien. Retenez que pour une même puissance, si on augmente la tension, l'intensité diminue. C'est pour cela qu'on utilise la haute tension pour le transport : cela permet de réduire le courant et donc la taille des câbles et les pertes.
Normes
La norme IEC 60038 définit les tensions standards en basse tension : 230/400V. C'est une norme internationale qui garantit que votre moteur acheté en Allemagne fonctionnera sur le réseau français.
Formule(s)
Transformation de la formule
On part de la formule de base \(P = U \cdot I \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \varphi\) et on cherche à isoler \(I\) :
Hypothèses
Pour ce calcul, on suppose :
- Régime permanent établi (on ne calcule pas la pointe de démarrage ici).
- Système triphasé parfaitement équilibré (le courant est identique sur les 3 phases).
- Tension réseau stable à 400V.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance | \(P\) | 15 000 | \( \text{W} \) (car 15 kW) |
| Tension | \(U\) | 400 | \( \text{V} \) |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0.85 | - |
Astuces
Piège classique : La puissance est très souvent donnée en kW sur les plaques signalétiques des moteurs. Multipliez toujours par 1000 pour avoir des Watts avant de diviser, sinon votre résultat sera 1000 fois trop petit !
Données du problème
Calcul(s)
Conversion
Première étape indispensable : conversion de la puissance en unité SI.
Calcul du dénominateur
Calculons d'abord le terme diviseur pour simplifier l'opération :
Ce chiffre intermédiaire (588.88) représente la "capacité de puissance" disponible pour chaque Ampère consommé sous cette tension et ce facteur de puissance.
Calcul Principal
On effectue la division finale :
Nous obtenons 25.47 Ampères. C'est le courant qui circulera dans chacune des trois phases L1, L2 et L3.
Résultat Validé
Réflexions
L'intensité trouvée (25.5 A) est tout à fait cohérente pour un moteur de cette puissance (15 kW). Une approximation "de chantier" courante est \(I \approx 2 \times P_{\text{kW}}\) (ici \(2 \times 15 = 30 \text{ A}\)). Notre calcul précis donne une valeur légèrement inférieure (25.5A), ce qui est normal car l'approximation est pessimiste pour garantir la sécurité.
Points de vigilance
Oublier le \(\sqrt{3}\) est l'erreur fatale. Si vous l'oubliez, vous trouvez 44A ! Cela conduirait à surdimensionner inutilement les câbles et le disjoncteur, augmentant drastiquement le coût de l'installation.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule lie la tension composée U (400V) et le courant de ligne I.
- La puissance doit toujours être en Watts pour le calcul.
Le saviez-vous ?
Sur les plaques signalétiques des moteurs, on voit souvent deux intensités (ex: 25A / 43A). La plus petite correspond toujours au couplage étoile (400V) et la plus grande au triangle (230V). Nous venons de calculer la plus petite, car nous sommes en 400V.
FAQ
Pourquoi le Cos Phi influence-t-il le courant ?
Plus le Cos Phi est bas (mauvais), plus le courant nécessaire pour fournir la même puissance active est élevé. Un mauvais facteur de puissance "encrasse" les lignes avec du courant réactif inutile, obligeant à grossir les câbles.
A vous de jouer
Si la puissance était de 30 kW avec les mêmes autres paramètres, quel serait le courant ?
📝 Mémo
Ordre de grandeur rapide à 400V : comptez environ 1.7 à 2 Ampères par kW de puissance mécanique.
Question 2 : Calculer la Puissance Apparente (\(S\)) de l'installation.
Principe
La puissance apparente \(S\) représente la puissance totale "dimensionnante" de l'installation (transformateurs, câbles). C'est la somme vectorielle de ce qui travaille réellement (P) et de ce qui magnétise la machine (Q). Le transformateur et les câbles ne "voient" que cette puissance totale, ils doivent donc être dimensionnés pour supporter S, pas seulement P.
Mini-Cours
L'analogie de la bière : Imaginez un verre de bière.
- Le liquide (ce qu'on boit vraiment) est la Puissance Active (P) en Watts.
- La mousse (qui prend de la place mais ne se boit pas) est la Puissance Réactive (Q) en VAR.
- Le volume total du verre nécessaire est la Puissance Apparente (S) en VA.
Remarque Pédagogique
Les transformateurs sont toujours vendus en kVA (kilovolt-ampères), jamais en kW, car le fabricant ne sait pas quel Cos Phi aura votre installation finale. C'est S qui détermine l'échauffement maximal du transfo.
Normes
Symbole normalisé : S. Unité SI : Volt-Ampère (VA).
Formule(s)
Formules utilisées
Relation S, P et Cos Phi
On peut aussi utiliser la formule vectorielle : \(S = U \cdot I \cdot \sqrt{3}\) si on a déjà calculé \(I\). Les deux méthodes sont valides et donnent le même résultat.
Hypothèses
On considère le régime sinusoïdal pur (pas de courants harmoniques perturbateurs qui pourraient créer une puissance déformante D).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | 15 000 | \( \text{W} \) |
| Cos Phi | \(\cos \varphi\) | 0.85 | - |
Astuces
Astuce de vérification absolue : \(S\) est l'hypoténuse du triangle des puissances. Elle doit donc toujours être le plus grand nombre ! Si vous trouvez \(S < P\), vous avez fait une erreur de calcul.
Triangle des puissances (données)
Calcul(s)
Conversion(s)
Les données sont déjà dans les bonnes unités (P en W), aucune conversion n'est nécessaire ici.
Application de la formule
On divise la puissance "utile" (P) par le facteur de qualité (\(\cos \varphi\)) pour trouver la puissance totale "fournie" (S) :
Le résultat est de 17 647 VA. Pour plus de lisibilité, on le convertit généralement en kVA : 17.65 kVA. C'est la charge que "voit" le transformateur.
Schéma (Après les calculs)
Résultat S
Réflexions
On constate que \(S > P\) (17.65 > 15). Cette différence de 2.65 kVA représente la "charge" supplémentaire imposée au réseau par le déphasage inductif du moteur. Si le Cos Phi valait 1 (charge résistive pure), alors S serait égal à P.
Points de vigilance
Ne confondez pas VA (Apparente) et W (Active). Ce sont deux grandeurs physiques différentes bien qu'homogènes en dimension (Tension x Courant). Mélanger ces unités dans un rapport technique est une erreur grave.
Points à Retenir
L'essentiel :
- \(S = P / \cos \varphi\)
- S est toujours > P.
Le saviez-vous ?
EDF impose aux industriels d'avoir un \(\tan \varphi < 0.4\) (soit un \(\cos \varphi > 0.93\)) pendant l'hiver. Sinon, ils paient des pénalités sur l'énergie réactive consommée.
FAQ
Peut-on additionner les puissances apparentes ?
Non ! Si vous avez deux machines de 10 kVA, la somme n'est pas forcément 20 kVA (cela dépend de leur déphasage respectif). On additionne les P et les Q séparément (théorème de Boucherot), puis on recalcule S.
A vous de jouer
Si \(P = 10 \text{ kW}\) et \(\cos \varphi = 0.5\), que vaut \(S\) ?
📝 Mémo
S est toujours la "taille du tuyau" nécessaire pour faire passer la puissance.
Question 3 : Déterminer la Puissance Réactive (\(Q\)) consommée.
Principe
La puissance réactive \(Q\) sert à créer les champs magnétiques dans les bobinages du moteur (stator/rotor). Elle ne produit pas de travail mécanique "utile" (pas de couple), mais elle est indispensable pour que le moteur tourne. C'est une énergie qui fait l'aller-retour entre la source et le moteur 50 fois par seconde.
Mini-Cours
Quadrature : Le courant réactif est déphasé de 90° par rapport à la tension. C'est pourquoi on utilise les fonctions trigonométriques (tangente, sinus) pour le calculer.
Remarque Pédagogique
Si Q est trop élevé, on installe des "batteries de condensateurs". Les condensateurs produisent du réactif (Q négatif) qui compense celui consommé par le moteur (Q positif).
Normes
Symbole : Q. Unité : Volt-Ampère Réactif (VAR).
Formule(s)
Formules utilisées
On utilise la géométrie du triangle rectangle formé par P, Q et S :
Une autre méthode valide est le théorème de Pythagore : \(Q = \sqrt{S^2 - P^2}\). Nous utiliserons la tangente car c'est la méthode la plus courante en compensation d'énergie.
Hypothèses
Le moteur est une charge inductive, donc \(Q > 0\). (Un condensateur aurait \(Q < 0\)).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | \( 15 000 \text{ W} \) |
| Cos Phi | \(\cos \varphi\) | 0.85 |
Astuces
Comment trouver \(\tan \varphi\) si on a seulement \(\cos \varphi\) ?
Sur votre calculatrice : tapez acos(0.85) pour trouver l'angle, puis tapez tan(ans) sur le résultat.
Recherche de Q
Calcul(s)
Étape 1 : Trouver l'angle \(\varphi\) et sa tangente
À partir du \(\cos \varphi\) (0.85), nous devons retrouver l'angle de déphasage en utilisant la fonction arccosinus :
Un angle de 31.79° indique un décalage significatif. Calculons maintenant la tangente de cet angle, qui servira de multiplicateur :
Cela signifie que la puissance réactive représente 62% de la puissance active.
Étape 2 : Calcul final de Q
On applique simplement ce ratio à la puissance active connue :
Le moteur consomme 9300 VAR pour son aimantation. C'est une énergie qui "occupe" le réseau sans produire de travail mécanique.
Triangle complet
Réflexions
Ce résultat signifie que pour 15 kW de puissance utile, le réseau doit "prêter" 9.3 kVAR d'énergie magnétique. C'est une valeur assez élevée mais typique pour un moteur asynchrone chargé. Si le moteur était à vide, le ratio serait encore pire (Q resterait élevé alors que P chuterait).
Points de vigilance
Ne jamais oublier l'unité VAR (Volt Ampère Réactif). C'est la signature de la puissance réactive.
Points à Retenir
L'essentiel : \(\tan \varphi\) est le rapport "Mousse / Bière" (Q / P).
Le saviez-vous ?
Les résistances pures (chauffage) ont un Q = 0. Elles ne consomment que de la puissance active.
FAQ
Est-ce que Q chauffe les câbles ?
Oui ! Même si Q ne produit pas de travail, le courant nécessaire pour la transporter circule dans les câbles. Et comme \(P_{\text{pertes}} = R \cdot I^2\), ce courant fait chauffer les fils. C'est pour ça qu'on cherche à réduire Q.
A vous de jouer
Si l'angle \(\varphi\) était de 45°, que vaudrait \(\tan \varphi\) ? (Indice : c'est le cas où P = Q).
📝 Mémo
Q = Énergie Magnétique.
Question 4 : Proposer un calibre de disjoncteur adapté.
Principe
La fonction d'un disjoncteur est double : protéger contre les surcharges (thermique, lent) et contre les courts-circuits (magnétique, rapide). Le choix du calibre se fait principalement pour protéger le câble d'alimentation contre l'échauffement excessif. La règle d'or est que le disjoncteur doit laisser passer le courant normal de fonctionnement, mais couper avant que le câble ne fonde.
Mini-Cours
Calibre In : C'est la valeur maximale de courant que le disjoncteur peut supporter indéfiniment sans déclencher.
Courbe D : Pour un moteur, au démarrage, le courant monte brièvement à 7 fois l'intensité nominale (\(7 \times 25\text{ A} = 175\text{ A}\)). Un disjoncteur "maison" (courbe C) sauterait immédiatement. On utilise donc une Courbe D qui tolère ce pic temporaire.
Remarque Pédagogique
Choisir un calibre trop juste (ex: 25A pour 25.47A) provoquera des coupures intempestives (déclenchement thermique) dès qu'il fera chaud dans l'armoire électrique ou que le moteur forcera un tout petit peu.
Normes
La norme NF C 15-100 impose les règles de protection des conducteurs. Elle définit les calibres standards (10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 63 A).
Formule(s)
Condition de choix
Hypothèses
On suppose un démarrage direct classique et un disjoncteur disponible dans les calibres standards du commerce.
Donnée(s)
| Donnée | Valeur |
|---|---|
| Courant calculé (\(I\)) | \( 25.47 \text{ A} \) |
| Calibres dispo | 10, 16, 20, 25, 32, 40, \( 63 \text{ A} \) |
Astuces
Prenez toujours une marge de sécurité de 10 à 20% si vous avez le choix, sauf si cela impose de surdimensionner énormément le câble.
Comparaison des calibres
Calcul(s) (Raisonnement)
Analyse des calibres
On compare l'intensité calculée \(I_{\text{emploi}} = 25.47 \text{ A}\) aux calibres standards disponibles :
- 20 A : \(20 < 25.47\) \(\rightarrow\) Trop petit. Le disjoncteur sautera instantanément.
- 25 A : \(25 < 25.47\) \(\rightarrow\) Trop juste. Risque de déclenchement intempestif à chaud ou en charge.
- 32 A : \(32 > 25.47\) \(\rightarrow\) Correct. Offre une marge de fonctionnement d'environ 25%.
- 40 A : Possible, mais oblige à installer un câble plus gros (plus cher) pour respecter la cohérence protection/câble.
Schéma (Après choix)
Réflexions
Le choix du 32A implique que le câble en aval devra supporter 32A en permanence. On utilisera donc probablement du cuivre de section 6 mm² (qui supporte environ 32-40A selon le mode de pose). Si on avait choisi 40A, il aurait fallu du 10mm² !
Points de vigilance
Attention : Le disjoncteur protège la ligne. Pour protéger le moteur lui-même contre les petites surcharges précises, on doit ajouter un Relais Thermique réglé exactement sur 25.5 A sous le disjoncteur.
Points à Retenir
On choisit toujours le calibre standard immédiatement supérieur à l'intensité calculée.
Le saviez-vous ?
Il existe des "Disjoncteurs-Moteurs" (type GV2) qui combinent la fonction disjoncteur (magnétique) et relais thermique réglable. C'est la solution moderne la plus compacte.
FAQ
Pourquoi ne pas prendre 63A pour être tranquille ?
Si vous mettez un 63A, vous devez installer un câble capable de supporter 63A (du 16mm² !), ce qui coûte beaucoup plus cher. La protection doit être ajustée au besoin réel pour optimiser le coût.
A vous de jouer
Si le courant calculé était de 14A, quel calibre choisiriez-vous parmi : 10, 16, 20 ?
📝 Mémo
Protection = Sécurité. Ne jamais sous-dimensionner le calibre, ne jamais sous-dimensionner le câble.
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées, les états finaux et la configuration du système.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :
-
🔑
Point Clé 1 : [Formule]
\(I = P / (U \cdot \sqrt{3} \cdot \cos \varphi)\) (P en Watts !). -
📐
Point Clé 2 : [Puissances]
\(S = P / \cos\varphi\) (Dimensionnement) et \(Q = P \cdot \tan\varphi\) (Magnétisation). -
🛡️
Point Clé 3 : [Protection]
Choisir le calibre standard directement supérieur à l'intensité calculée pour éviter les déclenchements intempestifs.
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les paramètres pour voir l'impact sur le graphique.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la valeur approximative de \(\sqrt{3}\) ?
2. Si le Cos Phi diminue, que fait le courant pour une même puissance active ?
📚 Glossaire
- Tension Composée
- Tension mesurée entre deux phases (ex: 400V). C'est la tension qui "travaille" dans les formules de puissance globale.
- Tension Simple
- Tension mesurée entre une phase et le neutre (ex: 230V).
- Puissance Active
- Puissance "utile" transformée en mouvement ou chaleur (en Watts). C'est celle qu'on facture.
- Triphasé
- Système de courant alternatif utilisant 3 conducteurs déphasés de 120°. Permet un transport plus efficace de l'énergie.
Le Saviez-vous ?
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