Exercices Électricité

Calcul du Champ et du Potentiel Électriques

Calcul du Champ et du Potentiel Électriques

Calcul du Champ et du Potentiel Électriques

Comprendre le Champ et le Potentiel Électriques

Le champ électrique (\(\vec{E}\)) est une région de l'espace où une charge électrique subit une force électrostatique. Il est créé par d'autres charges électriques ou par des champs magnétiques variables. Le potentiel électrique (\(V\)) en un point est l'énergie potentielle électrique par unité de charge en ce point. Ces deux grandeurs sont fondamentales en électrostatique et sont reliées par la relation \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\). Le principe de superposition s'applique : le champ (ou le potentiel) total créé par un ensemble de charges est la somme vectorielle (ou algébrique pour le potentiel) des champs (ou potentiels) créés par chaque charge individuelle. Cet exercice se concentre sur le calcul du champ et du potentiel créés par des charges ponctuelles.

Données de l'étude

Deux charges ponctuelles \(q_A\) et \(q_B\) sont placées dans le vide aux points A et B d'un repère cartésien (O, x, y).

Caractéristiques des charges et positions :

  • Charge \(q_A = +2 \, \text{nC}\) placée au point A(\(-1 \, \text{cm}\), \(0 \, \text{cm}\))
  • Charge \(q_B = -3 \, \text{nC}\) placée au point B(\(+2 \, \text{cm}\), \(0 \, \text{cm}\))
  • Point P où l'on veut calculer le champ et le potentiel : P(\(0 \, \text{cm}\), \(2 \, \text{cm}\))

Constante :

  • Constante de Coulomb (\(k_0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\)) : \(9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Configuration des Charges et Point P
x (cm) y (cm) O qA A(-1,0) qB B(2,0) P(0,2) Champ et Potentiel

Configuration des charges \(q_A\) et \(q_B\) et du point P d'observation.

Questions à traiter

  1. Calculer les distances \(r_{AP}\) (distance entre A et P) et \(r_{BP}\) (distance entre B et P).
  2. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_A\) créé par la charge \(q_A\) au point P. Donner ses composantes \(E_{Ax}\) et \(E_{Ay}\) et sa magnitude.
  3. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}_B\) créé par la charge \(q_B\) au point P. Donner ses composantes \(E_{Bx}\) et \(E_{By}\) et sa magnitude.
  4. Calculer le vecteur champ électrique total \(\vec{E}_P = \vec{E}_A + \vec{E}_B\) au point P. Donner ses composantes et sa magnitude.
  5. Calculer le potentiel électrique \(V_A\) créé par la charge \(q_A\) au point P (en prenant le potentiel nul à l'infini).
  6. Calculer le potentiel électrique \(V_B\) créé par la charge \(q_B\) au point P.
  7. Calculer le potentiel électrique total \(V_P = V_A + V_B\) au point P.
  8. Calculer le travail \(W_{OP}\) des forces électrostatiques pour déplacer une charge test \(q_0 = +1 \, \text{nC}\) de l'origine O(0,0) au point P. (Calculer d'abord \(V_O\)).

Correction : Calcul du Champ et du Potentiel Électriques

Question 1 : Distances \(r_{AP}\) et \(r_{BP}\)

Principe :

La distance entre deux points \(M_1(x_1, y_1)\) et \(M_2(x_2, y_2)\) dans un plan est donnée par \(r = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[r_{AP} = \sqrt{(x_P-x_A)^2 + (y_P-y_A)^2}\] \[r_{BP} = \sqrt{(x_P-x_B)^2 + (y_P-y_B)^2}\]
Données spécifiques (coordonnées en cm, convertir en m pour les calculs de champ/potentiel) :
  • A(\(-1 \, \text{cm}\), \(0 \, \text{cm}\)) \(\Rightarrow x_A = -0.01 \, \text{m}, y_A = 0 \, \text{m}\)
  • B(\(+2 \, \text{cm}\), \(0 \, \text{cm}\)) \(\Rightarrow x_B = +0.02 \, \text{m}, y_B = 0 \, \text{m}\)
  • P(\(0 \, \text{cm}\), \(2 \, \text{cm}\)) \(\Rightarrow x_P = 0 \, \text{m}, y_P = 0.02 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r_{AP} &= \sqrt{(0 - (-0.01))^2 + (0.02 - 0)^2} \, \text{m} \\ &= \sqrt{(0.01)^2 + (0.02)^2} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0.0001 + 0.0004} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0.0005} \, \text{m} \\ &\approx 0.02236 \, \text{m} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} r_{BP} &= \sqrt{(0 - 0.02)^2 + (0.02 - 0)^2} \, \text{m} \\ &= \sqrt{(-0.02)^2 + (0.02)^2} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0.0004 + 0.0004} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0.0008} \, \text{m} \\ &\approx 0.02828 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(r_{AP} \approx 0.02236 \, \text{m}\) (ou \(2.236 \, \text{cm}\))
  • \(r_{BP} \approx 0.02828 \, \text{m}\) (ou \(2.828 \, \text{cm}\))

Question 2 : Champ électrique \(\vec{E}_A\) au point P

Principe :

Le champ électrique \(\vec{E}\) créé par une charge ponctuelle \(q\) en un point M situé à une distance \(r\) de la charge est donné par \(\vec{E} = k_0 \frac{q}{r^2} \vec{u}_r\), où \(\vec{u}_r\) est le vecteur unitaire dirigé de la charge vers le point M.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_A = k_0 \frac{q_A}{r_{AP}^2} \vec{u}_{AP}\] \[\vec{u}_{AP} = \frac{\vec{AP}}{r_{AP}} = \frac{(x_P-x_A)\vec{i} + (y_P-y_A)\vec{j}}{r_{AP}}\]
Données spécifiques :
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(q_A = +2 \, \text{nC} = +2 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(r_{AP} \approx 0.02236 \, \text{m}\)
  • \(\vec{AP} = (0 - (-0.01))\vec{i} + (0.02 - 0)\vec{j} = 0.01\vec{i} + 0.02\vec{j} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_A &= k_0 \frac{|q_A|}{r_{AP}^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{2 \times 10^{-9}}{(0.02236)^2} \\ &\approx \frac{18}{0.0005} \\ &\approx 36000 \, \text{N/C} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \vec{u}_{AP} &= \frac{0.01\vec{i} + 0.02\vec{j}}{0.02236} \\ &\approx 0.4472\vec{i} + 0.8944\vec{j} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \vec{E}_A &= E_A \vec{u}_{AP} \\ &\approx 36000 \times (0.4472\vec{i} + 0.8944\vec{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx (16099\vec{i} + 32198\vec{j}) \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Donc, \(E_{Ax} \approx 16099 \, \text{N/C}\) et \(E_{Ay} \approx 32198 \, \text{N/C}\).

Résultat Question 2 : \(\vec{E}_A \approx (16099\vec{i} + 32198\vec{j}) \, \text{N/C}\). Magnitude \(|\vec{E}_A| \approx 36000 \, \text{N/C}\).

Question 3 : Champ électrique \(\vec{E}_B\) au point P

Principe :

Similaire à la question 2, mais pour la charge \(q_B\). Le champ \(\vec{E}_B\) sera dirigé de P vers B car \(q_B\) est négative.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_B = k_0 \frac{q_B}{r_{BP}^2} \vec{u}_{BP}\] \[\vec{u}_{BP} = \frac{\vec{BP}}{r_{BP}} = \frac{(x_P-x_B)\vec{i} + (y_P-y_B)\vec{j}}{r_{BP}}\]
Données spécifiques :
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(q_B = -3 \, \text{nC} = -3 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(r_{BP} \approx 0.02828 \, \text{m}\)
  • \(\vec{BP} = (0 - 0.02)\vec{i} + (0.02 - 0)\vec{j} = -0.02\vec{i} + 0.02\vec{j} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_B &= k_0 \frac{|q_B|}{r_{BP}^2} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{3 \times 10^{-9}}{(0.02828)^2} \\ &\approx \frac{27}{0.0008} \\ &\approx 33750 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \vec{E}_B &= k_0 \frac{q_B}{r_{BP}^3} \vec{BP} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{-3 \times 10^{-9}}{(0.02828)^3} (-0.02\vec{i} + 0.02\vec{j}) \\ &\approx \frac{-27}{(0.02828)^3} (-0.02\vec{i} + 0.02\vec{j}) \\ &\approx \frac{-27}{2.2627 \times 10^{-5}} (-0.02\vec{i} + 0.02\vec{j}) \\ &\approx -1193264.68 \times (-0.02\vec{i} + 0.02\vec{j}) \\ &\approx (23865\vec{i} - 23865\vec{j}) \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Alternativement avec le vecteur unitaire \(\vec{u}_{BP} = \frac{-0.02\vec{i} + 0.02\vec{j}}{0.02828} \approx -0.7071\vec{i} + 0.7071\vec{j}\) :

\[ \begin{aligned} \vec{E}_B &= k_0 \frac{q_B}{r_{BP}^2} \vec{u}_{BP} \\ &= (9 \times 10^9) \frac{-3 \times 10^{-9}}{(0.02828)^2} (-0.7071\vec{i} + 0.7071\vec{j}) \\ &\approx \frac{-27}{0.0008} (-0.7071\vec{i} + 0.7071\vec{j}) \\ &\approx -33750 (-0.7071\vec{i} + 0.7071\vec{j}) \, \text{N/C} \\ &\approx (23863\vec{i} - 23863\vec{j}) \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Donc, \(E_{Bx} \approx 23863 \, \text{N/C}\) et \(E_{By} \approx -23863 \, \text{N/C}\).

Résultat Question 3 : \(\vec{E}_B \approx (23863\vec{i} - 23863\vec{j}) \, \text{N/C}\). Magnitude \(|\vec{E}_B| \approx 33750 \, \text{N/C}\).

Question 4 : Champ électrique total \(\vec{E}_P\) au point P

Principe :

Le champ électrique total au point P est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E}_P = \vec{E}_A + \vec{E}_B\] \[E_{Px} = E_{Ax} + E_{Bx}\] \[E_{Py} = E_{Ay} + E_{By}\] \[|\vec{E}_P| = \sqrt{E_{Px}^2 + E_{Py}^2}\]
Données spécifiques (résultats des Q2 et Q3) :
  • \(E_{Ax} \approx 16099 \, \text{N/C}\), \(E_{Ay} \approx 32198 \, \text{N/C}\)
  • \(E_{Bx} \approx 23863 \, \text{N/C}\), \(E_{By} \approx -23863 \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{Px} &\approx 16099 + 23863 \\ &= 39962 \, \text{N/C} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} E_{Py} &\approx 32198 + (-23863) \\ &= 32198 - 23863 \\ &= 8335 \, \text{N/C} \end{aligned} \] \[ \vec{E}_P \approx (39962\vec{i} + 8335\vec{j}) \, \text{N/C} \] \[ \begin{aligned} |\vec{E}_P| &= \sqrt{(39962)^2 + (8335)^2} \\ &= \sqrt{1596961444 + 69472225} \\ &= \sqrt{1666433669} \\ &\approx 40822 \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{E}_P \approx (39962\vec{i} + 8335\vec{j}) \, \text{N/C}\). Magnitude \(|\vec{E}_P| \approx 40822 \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le principe de superposition pour le champ électrique stipule que :

Question 5 : Potentiel électrique \(V_A\) au point P

Principe :

Le potentiel électrique \(V\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_0 \frac{q}{r}\) (avec le potentiel nul à l'infini).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_A = k_0 \frac{q_A}{r_{AP}}\]
Données spécifiques :
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(q_A = +2 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(r_{AP} \approx 0.02236 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_A &= (9 \times 10^9) \frac{2 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0.02236 \, \text{m}} \\ &= \frac{18}{0.02236} \, \text{V} \\ &\approx 805.01 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le potentiel électrique \(V_A \approx 805.01 \, \text{V}\).

Question 6 : Potentiel électrique \(V_B\) au point P

Principe :

Similaire à la question 5, mais pour la charge \(q_B\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_B = k_0 \frac{q_B}{r_{BP}}\]
Données spécifiques :
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(q_B = -3 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(r_{BP} \approx 0.02828 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_B &= (9 \times 10^9) \frac{-3 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0.02828 \, \text{m}} \\ &= \frac{-27}{0.02828} \, \text{V} \\ &\approx -954.74 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le potentiel électrique \(V_B \approx -954.74 \, \text{V}\).

Question 7 : Potentiel électrique total \(V_P\) au point P

Principe :

Le potentiel électrique total au point P est la somme algébrique des potentiels créés par chaque charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_P = V_A + V_B\]
Données spécifiques (résultats des Q5 et Q6) :
  • \(V_A \approx 805.01 \, \text{V}\)
  • \(V_B \approx -954.74 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_P &\approx 805.01 \, \text{V} + (-954.74 \, \text{V}) \\ &= 805.01 - 954.74 \, \text{V} \\ &= -149.73 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le potentiel électrique total au point P est \(V_P \approx -149.73 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le potentiel électrique est une grandeur :

Question 8 : Travail \(W_{OP}\) pour déplacer \(q_0\) de O à P

Principe :

Le travail \(W_{AB}\) des forces électrostatiques pour déplacer une charge \(q_0\) d'un point A à un point B est \(W_{AB} = q_0 (V_A - V_B)\). Il faut d'abord calculer le potentiel à l'origine O(0,0).

Coordonnées de O : \(x_O = 0 \, \text{m}, y_O = 0 \, \text{m}\).

Distance \(r_{AO} = \sqrt{(0 - (-0.01))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(0.01)^2} = 0.01 \, \text{m}\).

Distance \(r_{BO} = \sqrt{(0 - 0.02)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-0.02)^2} = 0.02 \, \text{m}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_O = V_{A,O} + V_{B,O} = k_0 \frac{q_A}{r_{AO}} + k_0 \frac{q_B}{r_{BO}}\] \[W_{OP} = q_0 (V_O - V_P)\]
Données spécifiques :
  • \(q_0 = +1 \, \text{nC} = +1 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(q_A = +2 \times 10^{-9} \, \text{C}\), \(r_{AO} = 0.01 \, \text{m}\)
  • \(q_B = -3 \times 10^{-9} \, \text{C}\), \(r_{BO} = 0.02 \, \text{m}\)
  • \(V_P \approx -149.73 \, \text{V}\)
  • \(k_0 = 9 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{A,O} &= (9 \times 10^9) \frac{2 \times 10^{-9}}{0.01} \\ &= \frac{18}{0.01} \\ &= 1800 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_{B,O} &= (9 \times 10^9) \frac{-3 \times 10^{-9}}{0.02} \\ &= \frac{-27}{0.02} \\ &= -1350 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_O &= 1800 \, \text{V} - 1350 \, \text{V} \\ &= 450 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} W_{OP} &= (1 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (450 \, \text{V} - (-149.73 \, \text{V})) \\ &= 10^{-9} \times (450 + 149.73) \\ &= 10^{-9} \times 599.73 \, \text{J} \\ &\approx 5.997 \times 10^{-7} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le travail des forces électrostatiques pour déplacer \(q_0\) de O à P est \(W_{OP} \approx 6.00 \times 10^{-7} \, \text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le champ électrique créé par une charge ponctuelle positive :

2. Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) (avec \(V(\infty)=0\)) est :

3. Le travail des forces électrostatiques pour déplacer une charge \(q_0\) d'un point A à un point B :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, qui exerce une force sur d'autres charges. Unité SI : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Potentiel Électrique (\(V\))
Énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. C'est une grandeur scalaire. Unité SI : Volt (V).
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions sont considérées comme négligeables par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb
Loi décrivant la force électrostatique entre deux charges ponctuelles.
Constante de Coulomb (\(k_0\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, \(k_0 = 1/(4\pi\epsilon_0)\), où \(\epsilon_0\) est la permittivité du vide.
Principe de Superposition
Le champ électrique (ou le potentiel) total créé par un ensemble de charges est la somme vectorielle (ou algébrique pour le potentiel) des champs (ou potentiels) créés par chaque charge individuelle.
Travail des Forces Électrostatiques
Travail effectué par le champ électrique lorsqu'une charge se déplace. Il est égal à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle électrique, \(W_{AB} = q_0(V_A - V_B)\).
Lignes de Champ
Lignes imaginaires qui représentent la direction et l'intensité du champ électrique. Elles partent des charges positives et se dirigent vers les charges négatives.
Surfaces Équipotentielles
Surfaces sur lesquelles le potentiel électrique est constant. Les lignes de champ électrique sont toujours perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
Calcul du Champ et du Potentiel Électriques

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