Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Forces entre Particules Chargées dans le Vide

Forces entre Particules Chargées dans le Vide

Forces entre Particules Chargées dans le Vide

Comprendre la Loi de Coulomb et le Principe de Superposition

La loi de Coulomb décrit la force électrostatique entre deux charges ponctuelles. Cette force est directement proportionnelle au produit des magnitudes des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. La force est attractive si les charges sont de signes opposés et répulsive si elles sont de même signe. Lorsque plusieurs charges sont présentes, la force nette exercée sur une charge particulière est la somme vectorielle des forces exercées individuellement par toutes les autres charges. Ce principe est connu sous le nom de principe de superposition. Cet exercice vise à appliquer ces concepts pour calculer la force résultante sur une charge due à d'autres charges.

Données de l'étude

On considère trois charges ponctuelles placées dans le vide aux sommets d'un triangle rectangle :

  • Charge \(q_1 = +4,0 \, \mu\text{C}\) située à l'origine O \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Charge \(q_2 = -2,0 \, \mu\text{C}\) située au point A \((3,0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).
  • Charge \(q_3 = +5,0 \, \mu\text{C}\) située au point B \((0 \, \text{cm}; 4,0 \, \text{cm})\).

On souhaite calculer la force électrostatique totale (nette) exercée sur la charge \(q_3\) située au point B.

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Schéma : Configuration des Charges
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q1 à l'origine (0,0) -> (50,170) en SVG */} q₁ {/* Charge q2 à A (3,0) -> (50+3*30, 170) = (140,170) en SVG (échelle: 1cm = 30px) */} q₂ (A) {/* Charge q3 à B (0,4) -> (50, 170-4*30) = (50,50) en SVG */} q₃ (B) {/* Vecteurs distance (approximatifs) */} {/* r13 */} r₁₃ {/* r23 */} r₂₃ {/* Vecteurs Force (direction qualitative) */} {/* F13 (q1 positive, q3 positive -> répulsion vers le haut) */} F₁₃ {/* F23 (q2 négative, q3 positive -> attraction vers q2) */} F₂₃ Forces sur la charge q₃

Configuration des charges \(q_1, q_2, q_3\).

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{13}\) allant de la charge \(q_1\) à la charge \(q_3\), ainsi que sa norme \(r_{13}\).
  2. Calculer le vecteur force électrique \(\vec{F}_{13}\) exercée par la charge \(q_1\) sur la charge \(q_3\).
  3. Calculer le vecteur \(\vec{r}_{23}\) allant de la charge \(q_2\) à la charge \(q_3\), ainsi que sa norme \(r_{23}\).
  4. Calculer le vecteur force électrique \(\vec{F}_{23}\) exercée par la charge \(q_2\) sur la charge \(q_3\).
  5. En utilisant le principe de superposition, déterminer le vecteur force électrique totale (nette) \(\vec{F}_{\text{tot}}\) exercée sur la charge \(q_3\).
  6. Calculer la magnitude (norme) et l'angle (par rapport à l'axe des x positifs) de la force totale \(\vec{F}_{\text{tot}}\) sur \(q_3\).

Correction : Forces entre Particules Chargées dans le Vide

Question 1 : Vecteur \(\vec{r}_{13}\) et norme \(r_{13}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{13}\) va de la source \(q_1\) au point où se trouve \(q_3\). Si \(q_1\) est en \((x_1, y_1)\) et \(q_3\) en \((x_3, y_3)\), alors \(\vec{r}_{13} = (x_3 - x_1)\hat{i} + (y_3 - y_1)\hat{j}\). La norme est \(r_{13} = |\vec{r}_{13}|\).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de \(q_1\) (Origine O) : \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
  • Position de \(q_3\) (Point B) : \((0 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{13} &= (0 - 0)\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \\ &= 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{13} &= |\vec{r}_{13}| \\ &= \sqrt{(0 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= 0,04 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r}_{13} = 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{13} = 0,04 \, \text{m}\)

Question 2 : Force électrique \(\vec{F}_{13}\)

Principe :

La force exercée par \(q_1\) sur \(q_3\) est donnée par la loi de Coulomb : \(\vec{F}_{13} = k_e \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \hat{u}_{13} = k_e \frac{q_1 q_3}{r_{13}^3} \vec{r}_{13}\), où \(\hat{u}_{13}\) est le vecteur unitaire dirigé de \(q_1\) vers \(q_3\).

Données spécifiques :
  • \(q_1 = +4,0 \, \mu\text{C} = +4,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_3 = +5,0 \, \mu\text{C} = +5,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(\vec{r}_{13} = 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{13} = 0,04 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \hat{u}_{13} = \frac{\vec{r}_{13}}{r_{13}} = \frac{0,04\hat{j} \, \text{m}}{0,04 \, \text{m}} = \hat{j} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{13} &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{(4,0 \times 10^{-6} \, \text{C})(5,0 \times 10^{-6} \, \text{C})}{(0,04 \, \text{m})^2} \hat{j} \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{20,0 \times 10^{-12}}{0,0016} \hat{j} \, \text{N} \\ &= \frac{180 \times 10^{-3}}{0,0016} \hat{j} \, \text{N} \\ &= \frac{0,18}{0,0016} \hat{j} \, \text{N} \\ &= 112,5 \hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\vec{F}_{13} = 112,5 \hat{j} \, \text{N}\).

Question 3 : Vecteur \(\vec{r}_{23}\) et norme \(r_{23}\)

Principe :

Le vecteur \(\vec{r}_{23}\) va de la source \(q_2\) (au point A) au point où se trouve \(q_3\) (point B).

Données spécifiques (converties en mètres) :
  • Position de \(q_2\) (Point A) : \((0,03 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
  • Position de \(q_3\) (Point B) : \((0 \, \text{m}; 0,04 \, \text{m})\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{r}_{23} &= (x_B - x_A)\hat{i} + (y_B - y_A)\hat{j} \\ &= (0 - 0,03)\hat{i} + (0,04 - 0)\hat{j} \, \text{m} \\ &= -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r_{23} &= |\vec{r}_{23}| \\ &= \sqrt{(-0,03 \, \text{m})^2 + (0,04 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0009 \, \text{m}^2 + 0,0016 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0025 \, \text{m}^2} \\ &= 0,05 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • \(\vec{r}_{23} = -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{23} = 0,05 \, \text{m}\)

Question 4 : Force électrique \(\vec{F}_{23}\)

Principe :

\(\vec{F}_{23} = k_e \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \hat{u}_{23} = k_e \frac{q_2 q_3}{r_{23}^3} \vec{r}_{23}\).

Données spécifiques :
  • \(q_2 = -2,0 \, \mu\text{C} = -2,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(q_3 = +5,0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(\vec{r}_{23} = -0,03\hat{i} + 0,04\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r_{23} = 0,05 \, \text{m}\) \(\Rightarrow r_{23}^2 = 0,0025 \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \hat{u}_{23} = \frac{\vec{r}_{23}}{r_{23}} = \frac{-0,03\hat{i} + 0,04\hat{j}}{0,05} = -0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{23} &= (9,0 \times 10^9) \frac{(-2,0 \times 10^{-6})(5,0 \times 10^{-6})}{(0,05)^2} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-10,0 \times 10^{-12}}{0,0025} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= \frac{-90 \times 10^{-3}}{0,0025} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= -36000 \times 10^{-3} (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= -36 (-0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (36 \times 0,6)\hat{i} - (36 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N} \\ &= 21,6\hat{i} - 28,8\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : \(\vec{F}_{23} = 21,6\hat{i} - 28,8\hat{j} \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 1 : La force entre deux charges ponctuelles :

Question 5 : Force électrique totale \(\vec{F}_{\text{tot}}\) sur \(q_3\)

Principe :

La force totale sur \(q_3\) est la somme vectorielle des forces exercées par \(q_1\) et \(q_2\) sur \(q_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{F}_{\text{tot}} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}\]
Données spécifiques :
  • \(\vec{F}_{13} = 112,5 \hat{j} \, \text{N}\)
  • \(\vec{F}_{23} = 21,6\hat{i} - 28,8\hat{j} \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{\text{tot}} &= (0\hat{i} + 112,5\hat{j}) + (21,6\hat{i} - 28,8\hat{j}) \, \text{N} \\ &= (0 + 21,6)\hat{i} + (112,5 - 28,8)\hat{j} \, \text{N} \\ &= 21,6\hat{i} + 83,7\hat{j} \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(\vec{F}_{\text{tot}} = 21,6\hat{i} + 83,7\hat{j} \, \text{N}\).

Question 6 : Magnitude et direction de \(\vec{F}_{\text{tot}}\)

Principe :

La magnitude est \(|\vec{F}_{\text{tot}}| = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\). L'angle \(\alpha\) avec l'axe des x positifs est \(\alpha = \text{atan2}(F_y, F_x)\).

Données spécifiques :
  • \(F_x = 21,6 \, \text{N}\)
  • \(F_y = 83,7 \, \text{N}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\vec{F}_{\text{tot}}| &= \sqrt{(21,6 \, \text{N})^2 + (83,7 \, \text{N})^2} \\ &= \sqrt{466,56 + 7005,69} \, \text{N} \\ &= \sqrt{7472,25} \, \text{N} \\ &\approx 86,44 \, \text{N} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{F_y}{F_x} \\ &= \frac{83,7}{21,6} \\ &\approx 3,875 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \alpha &= \arctan(3,875) \\ &\approx 75,52^{\circ} \end{aligned} \]

Comme \(F_x > 0\) et \(F_y > 0\), le vecteur est dans le premier quadrant, donc l'angle est correct.

Résultat Question 6 :
  • Magnitude : \(|\vec{F}_{\text{tot}}| \approx 86,44 \, \text{N}\)
  • Angle avec l'axe des x positifs : \(\alpha \approx 75,52^{\circ}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Si la charge \(q_3\) était négative au lieu de positive, la direction de la force totale \(\vec{F}_{\text{tot}}\) sur \(q_3\) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Coulomb stipule que la force entre deux charges ponctuelles est :

2. Le principe de superposition pour les forces électrostatiques signifie que :

3. L'unité de la force électrique dans le Système International (SI) est le :

Glossaire

Force Électrostatique
Force d'attraction ou de répulsion entre des objets chargés électriquement. Elle est décrite par la loi de Coulomb.
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point par rapport aux distances impliquées.
Loi de Coulomb
Loi fondamentale qui quantifie la force électrostatique entre deux charges ponctuelles : \(F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\).
Principe de Superposition
La force nette exercée sur une charge par un ensemble d'autres charges est la somme vectorielle des forces individuelles exercées par chaque charge de l'ensemble.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0) \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}\))
Vecteur de norme (longueur) égale à 1, utilisé pour indiquer une direction.
Newton (N)
Unité SI de la force.
Microcoulomb (\(\mu\text{C}\))
Unité de charge électrique égale à \(10^{-6}\) coulombs.
Forces entre Particules Chargées - Exercice d'Application

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