Fréquences de Résonance d'une Cavité

Contexte : L'étude de la cavité résonnanteUne structure métallique creuse qui confine les ondes électromagnétiques, permettant la formation d'ondes stationnaires uniquement à des fréquences discrètes, appelées fréquences de résonance..

Les cavités résonnantes sont des composants fondamentaux en électromagnétisme, utilisées pour stocker de l'énergie sous forme d'ondes stationnaires. On les retrouve dans de nombreuses applications de haute fréquence comme les filtres micro-ondes, les oscillateurs, ou encore les accélérateurs de particules. La géométrie de la cavité impose des conditions aux limites strictes aux champs électromagnétiques, ce qui a pour conséquence de n'autoriser l'existence d'ondes qu'à des fréquences spécifiques. Cet exercice a pour but de déterminer ces fréquences de résonance pour une cavité rectangulaire simple.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra comment les dimensions d'une structure fermée et les équations de Maxwell dictent un ensemble discret de "modes" de fonctionnement, chacun avec sa propre fréquence de résonance. C'est un concept clé pour comprendre les guides d'ondes, les antennes et les circuits RF.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le concept de modes de résonance (TE et TM) dans une cavité.
Savoir appliquer les équations de Maxwell avec des conditions aux limites pour une cavité rectangulaire.
Calculer les fréquences de résonance pour les premiers modes et identifier le mode fondamental.

Données de l'étude

On considère une cavité rectangulaire aux parois parfaitement conductrices et remplie d'air (considéré comme le vide).

Fiche Technique

Caractéristique	Description
Type de cavité	Rectangulaire, parois parfaitement conductrices (PEC).
Milieu interne	Vide (\(\epsilon_r \approx 1, \mu_r \approx 1\)).
Dimensions	\(a\) (sur l'axe x), \(b\) (sur l'axe y), \(d\) (sur l'axe z).

Schéma de la Cavité Rectangulaire

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	\(a\)	3	\(\text{cm}\)
Largeur	\(b\)	2	\(\text{cm}\)
Hauteur	\(d\)	1.5	\(\text{cm}\)
Vitesse de la lumière	\(c\)	\(3 \times 10^8\)	\(\text{m/s}\)

Questions à traiter

Écrire l'expression générale de la fréquence de résonance \(f_{mnp}\) pour les modes TE et TM dans une cavité rectangulaire remplie de vide.
Calculer la fréquence du mode fondamental (le mode non nul avec la plus basse fréquence). Préciser de quel mode il s'agit.
Calculer les fréquences de résonance pour les modes \(TE_{101}\), \(TE_{011}\), et \(TM_{110}\).
Expliquer pourquoi un mode ne peut pas exister si les deux premiers indices (m, n) sont nuls simultanément (par ex. \(TE_{001}\)).
Si la cavité est maintenant remplie d'un diélectrique sans perte de permittivité relative \(\epsilon_r = 4\), quelle est la nouvelle fréquence du mode fondamental ?

Les bases sur les Cavités Résonnantes

Une cavité résonnante est une enceinte métallique qui piège les ondes électromagnétiques. En raison des réflexions multiples sur les parois parfaitement conductrices, des ondes stationnaires ne peuvent s'établir qu'à des fréquences discrètes, appelées fréquences de résonance. Chaque fréquence est associée à une distribution spatiale unique des champs E et B, appelée "mode de résonance".

1. Conditions aux Limites et Modes de Résonance
Pour des parois parfaitement conductrices, la composante tangentielle du champ électrique (\(\vec{E}_t\)) doit être nulle à la surface. Cette condition, appliquée aux solutions des équations de Maxwell, contraint les longueurs d'onde possibles et donc les fréquences. On distingue deux familles de modes :

Modes TE (Transverse Électrique) : Le champ électrique est purement transverse à la direction de propagation (ici, l'axe z, donc \(E_z = 0\)).
Modes TM (Transverse Magnétique) : Le champ magnétique est purement transverse à l'axe z (\(H_z = 0\)).

2. Formule des Fréquences de Résonance
La résolution des équations de Maxwell avec les conditions aux limites pour une boîte rectangulaire de dimensions (\(a,b,d\)) mène à la formule générale suivante pour les fréquences de résonance, valable pour les modes TE et TM : \[ f_{mnp} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\mu\epsilon}} \sqrt{\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 + \left(\frac{p\pi}{d}\right)^2} \] Dans le vide (\(\epsilon = \epsilon_0, \mu = \mu_0\)) où \(c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\), la formule se simplifie : \[ f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2} \] où \(m, n, p\) sont des entiers qui définissent le mode.

Correction : Fréquences de Résonance d’une Cavité Électromagnétique

Question 1 : Écrire l'expression générale de la fréquence de résonance.

Principe

La fréquence de résonance est déterminée par la géométrie de la cavité et la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu qui la remplit. La formule découle directement de la résolution de l'équation d'onde avec les conditions aux limites imposées par les parois conductrices.

Mini-Cours

La formule provient de la résolution de l'équation d'onde de Helmholtz (\(\nabla^2 \vec{E} + k^2 \vec{E} = 0\)) par la méthode de séparation des variables. Les conditions aux limites (champ électrique tangentiel nul aux parois) forcent les solutions à être des sinusoïdes, dont les longueurs d'onde sont quantifiées par les dimensions de la boîte. Les indices \(m,n,p\) représentent le nombre de demi-longueurs d'onde qui "tiennent" le long de chaque dimension \(a,b,d\).

Formule(s)

Pour une cavité rectangulaire de dimensions \(a, b, d\) remplie de vide, la fréquence de résonance pour un mode \((m, n, p)\) est donnée par :

f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}

Réflexions

Cette équation est centrale. Elle montre que, contrairement à un espace ouvert, une cavité ne peut "résonner" (contenir une onde stationnaire) qu'à des fréquences spécifiques. C'est un spectre discret, un peu comme les notes d'une corde de guitare. Changer la taille de la cavité, c'est comme changer la longueur de la corde : cela modifie toutes les fréquences autorisées.

Points de vigilance

Assurez-vous toujours que les dimensions \(a,b,d\) et la vitesse de la lumière \(c\) sont dans des unités cohérentes (généralement le Système International : mètres et m/s). De plus, n'oubliez pas que les indices \(m,n,p\) sont des entiers, avec des contraintes spécifiques pour les modes TE et TM (voir question 4).

Points à retenir

Cette formule est fondamentale. Elle montre que les fréquences autorisées ne sont pas continues mais discrètes, déterminées par les entiers \(m, n, p\) (les "nombres de mode") qui correspondent au nombre de demi-longueurs d'onde le long de chaque dimension de la cavité.

Question 2 : Calculer la fréquence du mode fondamental.

Principe (Le concept physique)

Le mode fondamental est le mode de résonance non nul qui possède la plus basse fréquence possible. Physiquement, il correspond à l'onde stationnaire la plus "simple" que la cavité peut contenir, c'est-à-dire celle qui demande le moins d'énergie pour s'établir car sa longueur d'onde est la plus grande possible. Il faut donc trouver la combinaison d'entiers \((m, n, p)\) qui minimise la formule de la fréquence tout en respectant les conditions d'existence des modes.

Mini-Cours (Approfondissement théorique)

La fréquence est inversement proportionnelle aux dimensions de la cavité. Une dimension plus grande peut accommoder une demi-longueur d'onde plus grande, ce qui correspond à une fréquence plus basse. Le mode fondamental sera donc souvent un mode de bas-ordre (avec des indices \(m, n, p\) faibles) qui "profite" des plus grandes dimensions de la cavité pour minimiser son énergie.

Remarque Pédagogique (Le conseil du professeur)

Pour identifier le mode fondamental, il ne suffit pas de prendre les plus petits indices possibles. Il faut tester les premières combinaisons d'entiers non-nuls autorisées et comparer les résultats. Comme la dimension \(a\) est la plus grande, les modes qui varient lentement le long de cet axe (petit indice \(m\)) sont de bons candidats. Commencez toujours par tester les modes comme \(TE_{101}\), \(TE_{011}\) et \(TE_{110}\).

Normes (La référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme réglementaire (comme les Eurocodes en génie civil) pour ce calcul. La "règle" est l'application directe des équations de Maxwell dans un volume fermé, un des piliers de la physique électromagnétique.

Formule(s) (L'outil mathématique)

La formule unique nécessaire est celle des fréquences de résonance pour une cavité rectangulaire remplie de vide :

f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}

Hypothèses (Le cadre du calcul)

Pour que cette formule soit valide, nous posons plusieurs hypothèses simplificatrices :

Les parois de la cavité sont des conducteurs électriques parfaits (PEC), ce qui implique une réflexion totale des ondes.
La cavité est remplie de vide, donc la vitesse de propagation est \(c\).
La géométrie est un parallélépipède rectangle parfait.

Donnée(s) (Les chiffres d'entrée)

Les dimensions de l'énoncé sont en centimètres. Pour la cohérence des calculs avec la vitesse de la lumière (en m/s), nous devons les convertir en mètres.

Conversion de la longueur a

\begin{aligned} a &= 3 \text{ cm} \\ &= 0.03 \text{ m} \end{aligned}

Conversion de la largeur b

\begin{aligned} b &= 2 \text{ cm} \\ &= 0.02 \text{ m} \end{aligned}

Conversion de la hauteur d

\begin{aligned} d &= 1.5 \text{ cm} \\ &= 0.015 \text{ m} \end{aligned}

Les valeurs converties utilisées pour les calculs sont résumées dans le tableau suivant :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	\(a\)	0.03	\(\text{m}\)
Largeur	\(b\)	0.02	\(\text{m}\)
Hauteur	\(d\)	0.015	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour trouver rapidement le mode fondamental, comparez les valeurs de \(1/a\), \(1/b\) et \(1/d\). Ici, \(1/a \approx 33.3\), \(1/b = 50\), \(1/d \approx 66.7\). Le terme le plus bas est celui associé à la plus grande dimension. Le mode fondamental sera souvent celui qui combine les deux plus petits termes, ici \((1/a)^2\) et \((1/b)^2\), ce qui pointe vers le mode \((m=1, n=1, p=0)\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la cavité avec ses dimensions est la référence pour les calculs qui suivent.

Schéma de la Cavité avec ses Dimensions

Calcul(s) (L'application numérique)

Nous testons les trois modes de plus bas-ordre possibles pour identifier celui avec la fréquence la plus faible.

Calcul pour le mode \(TE_{101}\)

\begin{aligned} f_{101} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{101} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1111.11 + 0 + 4444.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{5555.55} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 74.54 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{101} \approx 11.18 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 11.18 \text{ GHz}

Calcul pour le mode \(TE_{011}\)

\begin{aligned} f_{011} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{011} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{0 + 2500 + 4444.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{6944.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 83.33 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{011} \approx 12.50 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 12.50 \text{ GHz}

Calcul pour le mode \(TE_{110}\)

\begin{aligned} f_{110} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{110} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1111.11 + 2500 + 0} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{3611.11} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 60.09 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{110} \approx 9.01 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 9.01 \text{ GHz}

Schéma (Après les calculs)

La comparaison des résultats montre que le mode \(TE_{110}\) a la plus basse fréquence. Le schéma suivant illustre la distribution du champ électrique pour ce mode fondamental, vue de dessus.

Champ Électrique du Mode Fondamental \(TE_{110}\) (Vue en coupe XY)

Réflexions (L'interprétation du résultat)

En comparant les fréquences, la plus basse est bien \(f_{110} \approx 9.01\) GHz. Cela confirme que l'onde "préfère" s'établir en utilisant les deux plus grandes dimensions (\(a\) et \(b\)) avec le plus simple motif possible (une demi-longueur d'onde dans chaque direction) et sans variation le long de la plus petite dimension (\(d\)).

Points de vigilance (Les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de supposer que le mode fondamental est toujours \(TE_{101}\). C'est faux. L'ordre des modes dépend du rapport entre les dimensions \(a, b, d\). Il faut impérativement calculer les fréquences des premiers modes pour les comparer. Une autre erreur classique est l'oubli de la conversion des centimètres en mètres.

Points à retenir (Maîtriser la question)

Pour trouver le mode fondamental : 1. Convertir toutes les dimensions en mètres. 2. Identifier les combinaisons d'indices \((m,n,p)\) de bas-ordre autorisées. 3. Calculer la fréquence pour chaque combinaison. 4. La plus petite fréquence non-nulle correspond au mode fondamental.

Le saviez-vous ? (La culture de l'ingénieur)

Le mode fondamental est aussi appelé "mode dominant". Dans la conception de guides d'ondes, on choisit les dimensions pour que seule la fréquence du mode fondamental puisse se propager, tandis que les autres modes (dits "supérieurs") sont "évanescents" (ils s'atténuent très vite). C'est ce qui garantit la transmission d'un signal propre.

FAQ (Pour lever les doutes)

Pourquoi le mode \(TE_{110}\) existe-t-il si p=0 ?

Une onde stationnaire peut exister avec zéro variation le long d'un axe (p=0). Cela signifie simplement que les champs sont uniformes le long de cet axe. Les conditions d'existence des modes TE (m et n non nuls simultanément) et TM (m et n non nuls) sont respectées.

Résultat Final (La conclusion chiffrée)

Le mode fondamental est le mode \(TE_{110}\). Sa fréquence de résonance est d'environ 9.01 GHz.

À vous de jouer !

Quelle serait la fréquence du mode \(TE_{210}\) ? (Utilisez a=3cm, b=2cm)

Question 3 : Calculer les fréquences pour les modes \(TE_{101}\), \(TE_{011}\), et \(TM_{110}\).

Principe (Le concept physique)

Cette question est une application directe de la formule de résonance. Chaque triplet d'indices \((m,n,p)\) définit un "motif" d'onde stationnaire unique à l'intérieur de la cavité. Le but est de substituer ces indices dans l'équation mathématique pour trouver la fréquence temporelle à laquelle ce motif spatial peut exister.

Mini-Cours (Approfondissement théorique)

Les indices \(m\), \(n\), et \(p\) représentent le nombre de demi-variations sinusoïdales du champ le long des axes x, y, et z respectivement. Un indice plus élevé signifie une variation spatiale plus rapide du champ, ce qui correspond à une longueur d'onde plus courte et, par conséquent, à une fréquence de résonance plus élevée. Par exemple, le mode \(TE_{101}\) varie une demi-période sur la longueur \(a\) et une demi-période sur la hauteur \(d\).

Remarque Pédagogique (Le conseil du professeur)

Soyez méthodique. Traitez chaque mode séparément. Écrivez clairement les valeurs de \(m, n, p\) pour chaque cas avant de commencer le calcul. Cela vous évitera de mélanger les dimensions et les indices, une erreur fréquente. Vérifiez bien quel indice est associé à quelle dimension (\(m \to a\), \(n \to b\), \(p \to d\)).

Normes (La référence réglementaire)

Comme pour la question 2, ce calcul relève des principes fondamentaux de l'électromagnétisme et n'est pas régi par une norme de construction.

Formule(s) (L'outil mathématique)

La formule reste inchangée :

f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}

Hypothèses (Le cadre du calcul)

Les hypothèses sont identiques à celles de la question 2 : parois perfectly conductrices, cavité remplie de vide, et géométrie rectangulaire parfaite.

Donnée(s) (Les chiffres d'entrée)

Nous utilisons les mêmes dimensions converties en mètres.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur	\(a\)	0.03	\(\text{m}\)
Largeur	\(b\)	0.02	\(\text{m}\)
Hauteur	\(d\)	0.015	\(\text{m}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque ces calculs ont déjà été effectués pour trouver le mode fondamental dans la question 2, cette question est avant tout une vérification de votre capacité à identifier et présenter correctement les résultats demandés.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de la cavité avec ses dimensions est la référence pour les calculs qui suivent.

Schéma de la Cavité Rectangulaire

Calcul(s) (L'application numérique)

Calcul pour le mode \(TE_{101}\)

\begin{aligned} f_{101} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{101} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1111.11 + 0 + 4444.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{5555.55} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 74.54 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{101} \approx 11.18 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 11.18 \text{ GHz}

Calcul pour le mode \(TE_{011}\)

\begin{aligned} f_{011} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{011} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{0 + 2500 + 4444.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{6944.44} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 83.33 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{011} \approx 12.50 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 12.50 \text{ GHz}

Calcul pour le mode \(TM_{110}\)

\begin{aligned} f_{110} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.015}\right)^2} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f_{110} &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{1111.11 + 2500 + 0} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{3611.11} \\ &= 1.5 \times 10^8 \times 60.09 \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f_{110} \approx 9.01 \times 10^9 \text{ Hz} \approx 9.01 \text{ GHz}

Schéma (Après les calculs)

Un graphique à barres permet de visualiser et de comparer rapidement l'ordre des fréquences pour ces modes.

Comparaison des Fréquences des Modes

Réflexions (L'interprétation du résultat)

Le graphique confirme que le mode \(TM_{110}\) a la fréquence la plus basse parmi les trois, suivi par \(TE_{101}\), puis \(TE_{011}\). Cet ordre est directement lié aux dimensions de la cavité. Le mode \(TM_{110}\) n'implique pas la plus petite dimension (\(d\)), ce qui contribue à sa basse fréquence.

Points de vigilance (Les erreurs à éviter)

Faites attention à ne pas mélanger les indices. Par exemple, pour le mode \(TE_{101}\), l'indice \(n=0\) doit bien être associé au terme en \((n/b)^2\). Une inversion des indices avec les dimensions est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir (Maîtriser la question)

Le calcul de la fréquence d'un mode spécifique est un processus mécanique : 1. Identifier les indices \(m, n, p\). 2. S'assurer que les dimensions \(a, b, d\) sont en mètres. 3. Substituer les valeurs dans la formule de fréquence de résonance.

Le saviez-vous ? (La culture de l'ingénieur)

Dans la conception de filtres hyperfréquences, les ingénieurs jouent sur les dimensions des cavités pour placer précisément les fréquences de résonance. Un filtre "passe-bande", par exemple, est conçu pour que seule une plage de fréquences autour d'un mode spécifique puisse traverser, tandis que les autres sont bloquées.

FAQ (Pour lever les doutes)

Le mode \(TE_{110}\) a-t-il la même fréquence que le mode \(TM_{110}\) ?

Oui. Dans une cavité rectangulaire vide, la formule de la fréquence est la même pour les modes TE et TM. Si les indices \((m,n,p)\) sont identiques, les fréquences le seront aussi. Cependant, la distribution spatiale des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) sera différente.

Résultat Final (La conclusion chiffrée)

Les fréquences de résonance calculées sont : \(f_{101} \approx 11.18\) GHz, \(f_{011} \approx 12.50\) GHz, et \(f_{110} \approx 9.01\) GHz.

À vous de jouer !

Calculez la fréquence du mode \(TE_{111}\) (en GHz).

Question 4 : Expliquer pourquoi les modes \((0,0,p)\) n'existent pas.

Principe

Un mode de résonance correspond à une distribution non-nulle des champs électromagnétiques. Si une combinaison d'indices \((m,n,p)\) conduit à des champs qui sont nuls partout dans la cavité, alors ce n'est pas une solution physique valide et le mode n'existe pas.

Mini-Cours

Les expressions mathématiques des composantes des champs (par exemple, \(E_x, E_y, H_x, H_y\)) pour les modes TE et TM sont des combinaisons de sinus et de cosinus qui dépendent des indices \(m, n, p\). Pour un mode \(TE_{00p}\) ou \(TM_{00p}\), on aurait \(m=0\) et \(n=0\). En injectant ces valeurs dans les équations des champs, toutes les composantes transverses s'annulent. Un champ nul ne peut pas transporter d'énergie et ne constitue pas une onde. Par conséquent, au moins un des indices \(m\) ou \(n\) doit être non nul pour qu'une onde puisse s'établir.

Réflexions

Physiquement, cela signifie qu'une onde TE ou TM a besoin d'au moins une "variation" ou "ondulation" dans le plan transverse (le plan xy) pour exister. Un mode \((0,0,p)\) correspondrait à un champ qui ne varie pas du tout dans ce plan, ce qui est incompatible avec la nature transverse de ces ondes dans une structure à simple conducteur comme une cavité creuse.

Points de vigilance

Ne pas confondre les modes TE/TM avec le mode TEM (Transverse Électromagnétique). Un mode TEM, qui peut exister dans des structures à deux conducteurs comme un câble coaxial, n'a pas de composante de champ dans la direction de propagation et n'a pas de fréquence de coupure. Il ne peut pas exister dans une cavité creuse.

Points à retenir

Pour qu'un mode existe dans une cavité rectangulaire :

Pour un mode TE, au moins un des indices \(m\) ou \(n\) doit être non nul.
Pour un mode TM, ni \(m\) ni \(n\) ne peuvent être nuls.

Question 5 : Nouvelle fréquence fondamentale avec un diélectrique (\(\epsilon_r=4\)).

Principe (Le concept physique)

L'introduction d'un matériau diélectrique dans la cavité ralentit la propagation de l'onde électromagnétique. La géométrie de la cavité impose toujours la même longueur d'onde (\(\lambda\)) pour un mode donné. Comme la fréquence, la vitesse et la longueur d'onde sont liées par \(f = v/\lambda\), si la vitesse \(v\) diminue et que \(\lambda\) est constant, la fréquence \(f\) doit nécessairement diminuer.

Mini-Cours (Approfondissement théorique)

La vitesse d'une onde électromagnétique dans un milieu matériel non-magnétique est donnée par \(v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}\), où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide et \(\epsilon_r\) est la permittivité relative du matériau. Puisque la formule de la fréquence de résonance est directement proportionnelle à la vitesse de propagation, la nouvelle fréquence \(f'\) sera simplement l'ancienne fréquence \(f\) divisée par \(\sqrt{\epsilon_r}\).

Remarque Pédagogique (Le conseil du professeur)

Cette relation est extrêmement importante en conception de circuits hyperfréquences. Elle permet de "miniaturiser" les composants : en utilisant un substrat avec un \(\epsilon_r\) élevé, on peut réduire les dimensions physiques d'un filtre ou d'une antenne tout en conservant la même fréquence de fonctionnement.

Formule(s) (L'outil mathématique)

Vitesse dans le diélectrique

v = \frac{c}{\sqrt{\epsilon_r}}

Formule de mise à l'échelle de la fréquence

f'_{mnp} = \frac{f_{mnp}}{\sqrt{\epsilon_r}}

Hypothèses (Le cadre du calcul)

Nous supposons que le matériau diélectrique est parfait (sans pertes), non-magnétique (\(\mu_r=1\)), et qu'il remplit uniformément et complètement l'intérieur de la cavité.

Donnée(s) (Les chiffres d'entrée)

Nous utilisons le résultat de la question 2 et la nouvelle donnée de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur
Fréquence fondamentale dans le vide	\(f_{110}\)	\(\approx 9.01 \text{ GHz}\)
Permittivité relative	\(\epsilon_r\)	4

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma représente la cavité remplie d'un matériau diélectrique, ce qui modifie la vitesse de propagation de l'onde à l'intérieur.

Cavité Remplie d'un Diélectrique

Calcul(s) (L'application numérique)

Formule appliquée

\begin{aligned} f'_{110} &= \frac{f_{110}}{\sqrt{\epsilon_r}} \end{aligned}

Application numérique

\begin{aligned} f'_{110} &= \frac{9.01 \text{ GHz}}{\sqrt{4}} \end{aligned}

Calcul intermédiaire

\begin{aligned} f'_{110} &= \frac{9.01 \text{ GHz}}{2} \end{aligned}

Résultat

\Rightarrow f'_{110} \approx 4.51 \text{ GHz}

Schéma (Après les calculs)

Le graphique compare la fréquence du mode fondamental dans le vide et dans le diélectrique, illustrant la réduction de fréquence.

Impact du Diélectrique sur la Fréquence Fondamentale

Réflexions (L'interprétation du résultat)

La fréquence a été divisée par deux. C'est une réduction significative. Cela montre l'impact majeur du milieu diélectrique sur le comportement des ondes. Le matériau a "ralenti" l'onde, et pour maintenir le même motif d'onde stationnaire dans la boîte, la fréquence a dû diminuer d'autant.

Points de vigilance (Les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier la racine carrée et de diviser par \(\epsilon_r\) directement, ce qui donnerait un résultat incorrect. Rappelez-vous toujours que la vitesse (et donc la fréquence) dépend de \(1/\sqrt{\epsilon_r}\).

Points à retenir (Maîtriser la question)

L'ajout d'un diélectrique de permittivité \(\epsilon_r\) dans une cavité résonnante réduit toutes les fréquences de résonance d'un facteur \(\sqrt{\epsilon_r}\).

Le saviez-vous ? (La culture de l'ingénieur)

Les patchs d'antenne des téléphones portables et du Wi-Fi sont de petites cavités résonnantes "aplaties" sur un substrat diélectrique à haute permittivité. Sans ce substrat, l'antenne pour le Wi-Fi (2.4 GHz) devrait mesurer environ 6 cm, alors qu'elle ne fait que quelques centimètres dans la réalité.

FAQ (Pour lever les doutes)

Que se passerait-il si le matériau était aussi magnétique (\(\mu_r > 1\)) ?

La vitesse de l'onde dans un milieu est \(v = 1/\sqrt{\mu\epsilon} = c/\sqrt{\mu_r\epsilon_r}\). La fréquence serait donc réduite par un facteur \(\sqrt{\mu_r\epsilon_r}\). Les matériaux magnétiques sont cependant plus rares et complexes à utiliser en hyperfréquences.

Résultat Final (La conclusion chiffrée)

La nouvelle fréquence du mode fondamental est d'environ 4.51 GHz.

À vous de jouer !

Si l'on voulait que la fréquence fondamentale de la cavité remplie de ce diélectrique (\(\epsilon_r = 4\)) soit de 4 GHz, quelle devrait être approximativement la longueur 'a' (en gardant b=2cm) ?

Outil Interactif : Simulateur de Fréquence

Ce simulateur vous permet de calculer la fréquence de résonance du mode \(TE_{110}\) en faisant varier la longueur (a) et la largeur (b) de la cavité (hauteur d=1.5cm fixée).

Paramètres d'Entrée

Longueur a (cm) 3.0 cm

Largeur b (cm) 2.0 cm

Résultats Clés (Mode \(TE_{110}\))

Fréquence \(f_{110}\) (GHz) -

Longueur d'onde \(\lambda_{110}\) (cm) -

Glossaire

Cavité Résonnante: Une structure métallique creuse qui confine les ondes électromagnétiques, permettant la formation d'ondes stationnaires uniquement à des fréquences discrètes.
Mode de Résonance: Une distribution spatiale spécifique des champs électriques et magnétiques à l'intérieur d'une cavité, qui ne peut exister qu'à une fréquence de résonance donnée.
Mode TE (Transverse Électrique): Un mode de résonance où le champ électrique est entièrement perpendiculaire (transverse) à une direction de référence (généralement l'axe de la structure).
Mode TM (Transverse Magnétique): Un mode de résonance où le champ magnétique est entièrement perpendiculaire (transverse) à une direction de référence.