Fréquences de Résonance d’une Cavité

Exercice : Fréquences de Résonance d’une Cavité

Fréquences de Résonance d’une Cavité

Comprendre les Cavités Résonnantes

Une cavité résonnante est une structure conductrice fermée qui peut confiner des ondes électromagnétiques. De la même manière qu'une corde de guitare ne peut vibrer qu'à certaines fréquences, une cavité ne peut "résonner" qu'à des fréquences discrètes bien précises, appelées fréquences de résonance. À ces fréquences, l'énergie électromagnétique peut être stockée de manière très efficace. Ces fréquences dépendent de la géométrie de la cavité et sont associées à des configurations de champ spécifiques appelées modes propres (TE ou TM). Cet exercice se concentre sur le calcul de ces fréquences pour la géométrie la plus simple : la cavité rectangulaire.

Remarque Pédagogique : Les cavités résonnantes sont les équivalents tridimensionnels des circuits RLC en électronique des basses fréquences. Elles sont des composants fondamentaux dans le domaine des micro-ondes pour la conception de filtres, d'oscillateurs (comme dans un four à micro-ondes) et d'accélérateurs de particules. Comprendre comment leurs dimensions déterminent leur spectre de fréquences est la clé de leur utilisation.

Données de l'étude

On considère une cavité rectangulaire remplie d'air, aux parois parfaitement conductrices. Ses dimensions sont :

Longueur ($L$) : $4 \, \text{cm}$
Largeur ($w$) : $3 \, \text{cm}$
Hauteur ($h$) : $2 \, \text{cm}$

Constantes :

Vitesse de la lumière dans le vide ($c$) : $3 \times 10^8 \, \text{m/s}$

Schéma de la Cavité Rectangulaire

Questions à traiter

Donner la formule générale des fréquences de résonance $f_{mnp}$ pour une cavité rectangulaire.
Identifier et calculer la fréquence du mode fondamental (mode de plus basse fréquence non nul).
Calculer les fréquences des deux modes suivants (en ordre croissant de fréquence).
Calculer la fréquence du mode $TM_{111}$.

Correction : Fréquences de Résonance d’une Cavité

Question 1 : Formule Générale des Fréquences de Résonance

Principe :

La fréquence de résonance d'un mode $(m, n, p)$ est déterminée par la condition que les dimensions de la cavité doivent correspondre à un nombre entier de demi-longueurs d'onde du champ stationnaire dans chaque direction.

Remarque Pédagogique : Les indices $(m, n, p)$ sont des entiers qui représentent le nombre de demi-variations du champ le long des directions x (longueur L), y (largeur w) et z (hauteur h). Ils ne peuvent pas être tous nuls simultanément (ce qui correspondrait à l'absence de champ).

Formule(s) utilisée(s) :

f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{L}\right)^2 + \left(\frac{n}{w}\right)^2 + \left(\frac{p}{h}\right)^2}

Pour les modes TE (Transverse Électrique), l'un des indices $m, n$ peut être nul, mais pas les deux à la fois, et $p$ peut être nul. Pour les modes TM (Transverse Magnétique), les indices $m$ et $n$ doivent être non nuls ($m\ge1, n\ge1$), tandis que $p$ peut être nul.

Question 2 : Mode Fondamental

Principe :

Le mode fondamental est celui qui a la plus basse fréquence de résonance possible. Il faut tester les combinaisons d'indices $(m, n, p)$ les plus faibles possibles tout en respectant les conditions des modes TE et TM pour trouver la plus petite fréquence non nulle.

Remarque Pédagogique : Comme $L$ est la plus grande dimension, le terme $(\frac{m}{L})^2$ sera le plus petit pour $m=1$. Le mode fondamental est donc souvent un mode $TE_{101}$ ou $TE_{011}$, en fonction des dimensions relatives. Ici, $L > w > h$, donc on s'attend à ce que le mode $TE_{101}$ soit le fondamental.

Calcul :

On convertit d'abord les dimensions en mètres : $L=0.04\text{m}, w=0.03\text{m}, h=0.02\text{m}$.
Testons les modes les plus bas :
Mode $TE_{101}$ (m=1, n=0, p=1):

\begin{aligned} f_{101} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.04}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{(25)^2 + 0 + (50)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{625 + 2500} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{3125} \\ &\approx 1.5 \times 10^8 \times 55.9 \\ &\approx 8.385 \times 10^9 \, \text{Hz} = 8.385 \, \text{GHz} \end{aligned}

Mode $TE_{011}$ (m=0, n=1, p=1): $f_{011} \approx 9.014 \, \text{GHz}$.
Mode $TM_{110}$ (m=1, n=1, p=0): $f_{110} \approx 6.255 \, \text{GHz}$.

Résultat : Le mode de plus basse fréquence est le $TM_{110}$ à $6.255 \, \text{GHz}$. C'est le mode fondamental de la cavité.

Question 3 : Deux Modes Suivants

Principe :

Après avoir identifié le mode fondamental, on continue de calculer les fréquences pour les combinaisons d'indices suivantes par ordre croissant pour trouver les deux prochaines fréquences de résonance.

Remarque Pédagogique : L'ordre des modes n'est pas toujours intuitif. Une augmentation d'un indice sur une petite dimension peut avoir plus d'impact sur la fréquence qu'une augmentation d'indice sur une grande dimension. Il faut donc calculer plusieurs candidats pour être certain de l'ordre.

Calcul :

Nous avons déjà calculé les fréquences de plusieurs modes. En les classant :

$f_{110}$ (TM) = 6.255 GHz (Mode fondamental)
$f_{101}$ (TE) = 8.385 GHz (Deuxième mode)
$f_{011}$ (TE) = 9.014 GHz (Troisième mode)

Résultat : Les deux modes suivants sont le $TE_{101}$ à $8.385 \, \text{GHz}$ et le $TE_{011}$ à $9.014 \, \text{GHz}$.

Question 4 : Fréquence du Mode $TM_{111}$

Principe :

On applique la formule générale avec les indices $m=1, n=1, p=1$. Ce mode est valide car pour un mode TM, il suffit que $m \ge 1$ et $n \ge 1$.

Remarque Pédagogique : Ce mode combine des variations de champ dans les trois directions. Sa fréquence est nécessairement plus élevée que celle des modes où l'un des indices est nul, car on ajoute un terme non nul sous la racine carrée.

Calcul :

\begin{aligned} f_{111} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.04}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.03}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.02}\right)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{(25)^2 + (33.33)^2 + (50)^2} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{625 + 1111 + 2500} \\ &= 1.5 \times 10^8 \sqrt{4236} \\ &\approx 1.5 \times 10^8 \times 65.08 \\ &\approx 9.762 \times 10^9 \, \text{Hz} = 9.762 \, \text{GHz} \end{aligned}

Résultat : La fréquence de résonance du mode $TM_{111}$ est d'environ $9.762 \, \text{GHz}$.

Simulation Interactive des Fréquences de Résonance

Modifiez les dimensions de la cavité pour voir comment son spectre de fréquences de résonance est affecté. Le graphique montre les fréquences des premiers modes TE et TM.

Paramètres de la Cavité

Longueur (L): 4.0 cm

Largeur (w): 3.0 cm

Hauteur (h): 2.0 cm

Spectre de Résonance (Premiers Modes)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Modes Dégénérés

Si deux dimensions de la cavité sont égales (par exemple, si $L=w$), il est possible que des modes différents aient la même fréquence de résonance. Par exemple, le mode $TE_{101}$ et le mode $TE_{011}$ auraient la même fréquence. On parle alors de modes dégénérés. Cette propriété peut être souhaitable ou non, selon l'application.

Facteur de Qualité (Q)

Une cavité idéale aux parois parfaitement conductrices aurait un facteur de qualité infini. En réalité, les pertes dans les parois limitent le Q. Un Q élevé signifie que la résonance est très "piquée" (l'énergie n'est stockée que dans une bande de fréquence très étroite) et que la cavité stocke l'énergie très efficacement. Un Q faible signifie une résonance "large".

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi les indices m et n ne peuvent-ils pas être nuls pour un mode TM ?

Un mode TM (Transverse Magnétique) a un champ magnétique entièrement transversal à la direction de propagation (ici, l'axe z). Cependant, la structure des champs TM exige qu'il y ait une composante longitudinale du champ électrique ($E_z$). Les équations de Maxwell montrent que cette composante $E_z$ est nulle si m ou n est nul. Un mode TM ne peut donc pas exister si m=0 ou n=0.

À quoi sert une cavité résonnante en pratique ?

Leurs applications sont nombreuses : dans les fours à micro-ondes (la cavité est conçue pour résonner à 2.45 GHz), comme filtres de fréquence très sélectifs dans les systèmes de communication, comme oscillateurs pour générer des signaux à des fréquences très stables, et dans les accélérateurs de particules pour transférer de l'énergie aux particules chargées.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on diminue la plus grande dimension (L) d'une cavité, la fréquence du mode fondamental va :

Diminuer.
Augmenter.
Rester la même.
Cela dépend des autres dimensions.

2. Lequel de ces modes n'existe PAS dans une cavité rectangulaire ?

$TM_{101}$
$TE_{101}$
$TM_{110}$
$TE_{011}$

Glossaire

Cavité Résonnante: Structure métallique creuse et fermée capable de piéger et de stocker de l'énergie électromagnétique à un ensemble de fréquences discrètes, appelées fréquences de résonance.
Mode Propre (TE/TM): Configuration spatiale spécifique du champ électromagnétique qui peut exister de manière stable dans une cavité à une fréquence de résonance donnée. TE (Transverse Électrique) signifie que le champ électrique est entièrement perpendiculaire à une direction de référence, tandis que TM (Transverse Magnétique) signifie que le champ magnétique l'est.
Fréquence de Résonance: Fréquence spécifique à laquelle une cavité peut stocker de l'énergie de manière très efficace, conduisant à des ondes stationnaires de grande amplitude.
Mode Fondamental: Le mode propre ayant la plus basse fréquence de résonance non nulle. C'est la fréquence minimale à laquelle la cavité peut résonner.

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Question 1 : Formule Générale des Fréquences de Résonance

Principe :

Formule(s) utilisée(s) :

Question 2 : Mode Fondamental

Principe :

Calcul :

Question 3 : Deux Modes Suivants

Principe :

Calcul :

Question 4 : Fréquence du Mode \(TM_{111}\)

Principe :

Calcul :

Simulation Interactive des Fréquences de Résonance

Paramètres de la Cavité

Spectre de Résonance (Premiers Modes)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

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