Fréquences de Résonance d’une Cavité

1. Calcul des fréquences de résonance pour les modes TE₁₀₁, TE₁₀₂ et TE₂₀₁.

Chaque mode TE_mnq correspond à un motif de champ électrique : m demi-ondes le long de \( x \), n demi-ondes le long de \( y \), et q demi-ondes le long de \( z \). Plus il y a de demi-ondes, plus la fréquence est élevée. Les fréquences sont données par :

\[ f_{mnq} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{q}{d}\right)^2 } \]

où \(c\) est la vitesse de la lumière dans le vide.

1.1 Calcul de \(c\)

Formule

\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\varepsilon_0}} \]

1. Calcul du produit :
   \[ \mu_0\,\varepsilon_0 = (4\pi\times10^{-7})(8{,}854\times10^{-12})\] \[ \mu_0\,\varepsilon_0 \approx 1{,}11265\times10^{-17} \]
2. Racine carrée :
   \[ \sqrt{1{,}11265\times10^{-17}} \] \[ \approx 3{,}33564\times10^{-9} \]
3. Inverse :
   \[ c = \frac{1}{3{,}33564\times10^{-9}}\] \[ c \approx 2{,}9979\times10^8\,\mathrm{m/s} \]

Conclusion pour \(c\)

\[ c \approx 2{,}998\times10^8\,\mathrm{m/s}\]Cela signifie que la lumière parcourt presque 300 000 000 m en 1 s.

1.2 TE₁₀₁

Choix des indices : \(m=1, n=0, q=1\). On a :

• Une demi-onde selon l’axe x (largeur).
• Aucune variation selon l’axe y (hauteur).
• Une demi-onde selon l’axe z (longueur).

Formule

\[ f_{101} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left(\frac{1}{a}\right)^2 + \left(0\right)^2 + \left(\frac{1}{d}\right)^2 } \]

Données

Calcul des inverses :
\[\frac{1}{a} = 20\,\mathrm{m^{-1}},\quad \frac{1}{d} = 10\,\mathrm{m^{-1}}\]

Calcul pas à pas

1. Somme sous la racine :
   \[ 20^2 + 10^2 = 400 + 100 = 500 \]
2. Racine carrée :
   \[ \sqrt{500} \approx 22{,}3607 \]
3. Fréquence :
   \[ f_{101} = \frac{c}{2} \times 22{,}3607 \] \[ f_{101} \approx 3{,}3533\times10^9\,\mathrm{Hz} \]

Résultat

\[ f_{101} \approx 3{,}35\,\mathrm{GHz}\]

À cette fréquence, l’énergie reste enfermée selon le motif TE₁₀₁.

1.3 TE₁₀₂

Indices \(m=1, n=0, q=2\) : on a une demi-onde en \( x \), deux demi-ondes (une onde complète) en \( z \).

Formule

\[ f_{102} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left(\frac{1}{a}\right)^2 + 0 + \left(\frac{2}{d}\right)^2 } = \frac{c}{2} \sqrt{ 20^2 + 0 + 20^2 } \]

Calcul

1. Sous la racine :
   \[ 20^2 + 20^2 = 800 \]
2. Racine :
   \[ \sqrt{800} \approx 28{,}2843 \]
3. Fréquence :
   \[ f_{102} = \frac{c}{2} \times 28{,}2843 \] \[ f_{102} \approx 4{,}2426\times10^9\,\mathrm{Hz} \]

Résultat

\[ f_{102} \approx 4{,}24\,\mathrm{GHz}\] Doubler le nombre de demi-ondes en \( z \) augmente la fréquence de résonance.

1.4 TE₂₀₁

Indices \(m=2, n=0, q=1\) : on a deux demi-ondes en \( x \), une en \( z \).

Formule

\[ f_{201} = \frac{c}{2} \sqrt{ \left(\frac{2}{a}\right)^2 + 0 + \left(\frac{1}{d}\right)^2 } = \frac{c}{2} \sqrt{ 40^2 + 0 + 10^2 } \]

Calcul

1. Sous la racine :
   \[ 40^2 + 10^2 = 1700 \]
2. Racine :
   \[ \sqrt{1700} \approx 41{,}2311 \]
3. Fréquence :
   \[ f_{201} = \frac{c}{2} \times 41{,}2311 \] \[ f_{201} \approx 6{,}1847\times10^9\,\mathrm{Hz} \]

Résultat

\[ f_{201} \approx 6{,}18\,\mathrm{GHz}\] Augmenter le nombre de demi-ondes sur l’axe le plus petit \( x \) a l’effet le plus fort.

2. Effet des dimensions de la cavité sur les fréquences de résonance calculées

Dépendance inverse

Plus la dimension \(a, b\) ou \(d\) est petite, plus \(1/\text{dimension}\) est grande, d’où fréquence plus élevée.

Comparaison de modes

• \(\frac{f_{102}}{f_{101}} \approx \frac{4{,}24}{3{,}35} \approx 1{,}27\) → doubler \(q\) augmente la fréquence de 27 %.
• \(\frac{f_{201}}{f_{101}} \approx \frac{6{,}18}{3{,}35} \approx 1{,}84\) → doubler \(m\) augmente la fréquence de 84 %.

Utilité pratique

En modulant \(a, b\) et \(d\), on peut concevoir des cavités pour filtres, oscillateurs ou capteurs micro-ondes.