Performances d’un Transformateur Triphasé
Contexte : Le cœur du réseau électrique.
Le transformateur triphasé est un composant essentiel de tout réseau de transport et de distribution d'énergie électrique. Sa capacité à modifier les niveaux de tension avec une très grande efficacité est fondamentale. Cet exercice vise à modéliser un transformateur réel à partir d'essais standards et à calculer ses performances (pertes et rendement) dans différentes conditions de fonctionnement, une compétence clé pour tout ingénieur électricien.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers la démarche complète d'analyse d'un transformateur. Nous allons d'abord déterminer son schéma équivalentUn circuit électrique simple (résistances, inductances) qui modélise le comportement du transformateur réel. Il permet de calculer tensions, courants et puissances sans avoir à résoudre les équations complexes du champ magnétique. à partir d'essais à vide et en court-circuit. Ensuite, nous utiliserons ce modèle pour calculer les pertes et le rendement, qui sont les indicateurs de performance les plus importants.
Objectifs Pédagogiques
- Interpréter les essais à vide et en court-circuit d'un transformateur.
- Déterminer les éléments du schéma équivalent de Kapp.
- Calculer les pertes FerPertes de puissance dans le circuit magnétique du transformateur, principalement dues aux courants de Foucault et à l'hystérésis. Elles sont considérées comme constantes quelle que soit la charge. et les pertes JoulePertes de puissance par effet Joule (chaleur) dans les enroulements en cuivre du transformateur. Elles varient avec le carré du courant, donc avec le carré de la charge..
- Calculer le rendement du transformateur à différents régimes de charge.
- Comprendre l'influence du taux de charge et du facteur de puissance sur le rendement.
Données de l'étude
Schéma de principe et modèle équivalent de Kapp
Mise en situation réelle du transformateur (Scène 3D interactive)
| Plaque Signalétique | |
|---|---|
| Puissance apparente nominale | \(S_\text{n} = 160 \, \text{kVA}\) |
| Tension primaire nominale (entre phases) | \(U_{1\text{n}} = 20 \, \text{kV}\) |
| Tension secondaire nominale (entre phases) | \(U_{2\text{n}} = 410 \, \text{V}\) |
| Fréquence | \(f = 50 \, \text{Hz}\) |
| Résultats des Essais | |
|---|---|
| Essai à vide (sous tension primaire nominale) | \(P_{10} = 850 \, \text{W}\), \(I_{10} = 0.25 \, \text{A}\) |
| Essai en court-circuit (secondaire en cc) | \(U_{1\text{cc}} = 800 \, \text{V}\), \(I_{2\text{cc}} = I_{2\text{n}}\), \(P_{1\text{cc}} = 2000 \, \text{W}\) |
Questions à traiter
- Calculer le rapport de transformation à vide \(m_0\) et les courants nominaux primaire \(I_{1\text{n}}\) et secondaire \(I_{2\text{n}}\).
- Déterminer les pertes Fer \(P_{\text{fer}}\) et les pertes Joule nominales \(P_{\text{J,n}}\) (aussi appelées pertes cuivre).
- Déterminer les éléments de la résistance \(R_s\) et de la réactance \(X_s\) du schéma équivalent de Kapp ramené au secondaire.
- Calculer le rendement \(\eta\) du transformateur pour une charge correspondant à 75% de la charge nominale (\(x=0.75\)), pour un facteur de puissance de 0.85 (inductif).
Les bases du transformateur triphasé
Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux.
1. Modèle de Kapp :
Pour simplifier l'étude, on utilise un modèle équivalent ramené à l'un des enroulements (ici le secondaire). Ce modèle, dit de Kapp, regroupe les imperfections du transformateur en une seule branche en série :
- La résistance \(R_s\) modélise les pertes Joule totales (cuivre).
- La réactance \(X_s\) modélise les fuites magnétiques.
- Les pertes Fer sont modélisées par une puissance constante, déterminée par l'essai à vide.
2. Bilan des puissances et Rendement :
Le rendement \(\eta\) est le rapport entre la puissance utile fournie à la charge (\(P_2\)) et la puissance absorbée au primaire (\(P_1\)).
\[ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{pertes}}} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{Joule}}} \]
La puissance utile \(P_2\) dépend du taux de charge \(x\) (\(x = I_2 / I_{2\text{n}}\)) et du facteur de puissance de la charge \(\cos(\varphi_2)\) :
\[ P_2 = x \cdot S_\text{n} \cdot \cos(\varphi_2) \]
Les pertes Joule varient avec le carré de la charge : \(P_\text{J} = x^2 \cdot P_{\text{J,n}}\).
Correction : Performances d’un Transformateur Triphasé
Question 1 : Rapport de transformation et courants nominaux
Principe (le concept physique)
Le rapport de transformation \(m\) relie les tensions simples (phase-neutre) du primaire et du secondaire. Les courants nominaux sont les courants maximaux que les enroulements peuvent supporter en continu, calculés à partir de la puissance apparente nominale \(S_\text{n}\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans un couplage étoile (Y), la tension entre phases (composée) \(U\) est \(\sqrt{3}\) fois plus grande que la tension entre phase et neutre (simple) \(V\). Ainsi, \(U = \sqrt{3} \cdot V\). Le rapport de transformation \(m\) est défini avec les tensions simples. Pour un couplage Yy, il est donc égal au rapport des tensions composées : \(m = V_2/V_1 = (U_2/\sqrt{3})/(U_1/\sqrt{3}) = U_2/U_1\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La puissance apparente \(S_\text{n}\) en kVA représente la "taille" électrique du transformateur. C'est elle qui dimensionne les enroulements et le circuit magnétique. Elle ne représente pas la puissance active (en kW) que le transformateur délivre, celle-ci dépendant de la charge connectée.
Normes (la référence réglementaire)
Les calculs des grandeurs nominales des machines électriques triphasées suivent les conventions et définitions des normes internationales comme la CEI 60076.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Pour un transformateur triphasé, les relations fondamentales sont :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère le transformateur comme parfait pour le calcul du rapport de transformation à vide. Les tensions du réseau sont supposées sinusoïdales et équilibrées.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(S_\text{n} = 160 \, \text{kVA} = 160000 \, \text{VA}\)
- \(U_{1\text{n}} = 20 \, \text{kV} = 20000 \, \text{V}\)
- \(U_{2\text{n}} = 410 \, \text{V}\) (c'est la tension à vide \(U_{20}\))
Astuces(Pour aller plus vite)
Attention aux unités ! Convertissez toujours les kVA en VA et les kV en V avant de faire les calculs pour éviter les erreurs d'un facteur 1000.
Schéma (Avant les calculs)
Formule de la puissance triphasée
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Rapport de transformation :
2. Courant nominal secondaire :
3. Courant nominal primaire :
Schéma (Après les calculs)
Grandeurs nominales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le transformateur est un abaisseur de tension (\(m_0 < 1\)), ce qui est typique pour la distribution finale vers les utilisateurs. Le courant est beaucoup plus élevé au secondaire qu'au primaire, ce qui est logique puisque la puissance est conservée (en première approximation) et la tension est plus faible.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre tensions simples et composées. La formule \(S = \sqrt{3}UI\) utilise la tension composée (entre phases). Si vous utilisiez la tension simple \(V\), la formule serait \(S=3VI\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La puissance apparente triphasée est \(S_\text{n} = \sqrt{3} U_\text{n} I_\text{n}\).
- Le rapport de transformation à vide est \(m_0 = U_{20} / U_{1\text{n}}\) pour un couplage Yy.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les transformateurs sont dimensionnés en puissance apparente (kVA) et non en puissance active (kW) car les pertes Joule dépendent du courant total (\(I\)), pas seulement de sa composante active. Le fabricant ne connaissant pas le facteur de puissance de la future charge, il doit garantir que les enroulements supporteront le courant nominal, quelle que soit la nature de la charge.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le courant secondaire nominal \(I_{2\text{n}}\) pour un transformateur de 250 kVA avec la même tension secondaire (410 V).
Question 2 : Détermination des pertes Fer et Joule
Principe (le concept physique)
Les pertes d'un transformateur se décomposent en deux catégories : les pertes Fer, indépendantes de la charge, et les pertes Joule (ou cuivre), qui dépendent de la charge. Les essais spécifiques permettent de les isoler.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
- L'essai à vide est réalisé à tension nominale. Le courant secondaire est nul et le courant primaire est très faible. Les pertes Joule au primaire sont donc négligeables. La puissance mesurée \(P_{10}\) correspond alors uniquement aux pertes dans le circuit magnétique : les pertes Fer.
- L'essai en court-circuit est réalisé à courant nominal mais à tension primaire très réduite. Le flux magnétique est donc très faible, rendant les pertes Fer négligeables. La puissance mesurée \(P_{1\text{cc}}\) correspond alors uniquement aux pertes Joule pour le courant nominal.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Imaginez les pertes comme une "taxe" énergétique. Les pertes Fer sont une taxe fixe que le transformateur paie dès qu'il est sous tension, même sans charge. Les pertes Joule sont une taxe variable qui augmente fortement avec le "trafic" (le courant) qui le traverse.
Normes (la référence réglementaire)
La méthode de détermination des pertes par les essais à vide et en court-circuit est une procédure standardisée, décrite par exemple dans la norme IEEE C57.12.90.
Formule(s) (l'outil mathématique)
L'identification se fait par lecture directe des résultats d'essais :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que les pertes Joule à vide sont négligeables (\(I_{10} \ll I_{1\text{n}}\)) et que les pertes Fer en court-circuit sont négligeables (\(U_{1\text{cc}} \ll U_{1\text{n}}\)). Ce sont des hypothèses très bien vérifiées en pratique.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Puissance mesurée à vide : \(P_{10} = 850 \, \text{W}\)
- Puissance mesurée en court-circuit (pour \(I_{2\text{cc}}=I_{2\text{n}}\)) : \(P_{1\text{cc}} = 2000 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour retenir quel essai correspond à quelle perte : Vide = Pertes Fer (contient un V, comme Voltage, car l'essai se fait à tension nominale). Court-Circuit = Pertes Cuivre (Joule).
Schéma (Avant les calculs)
Essais du transformateur
Calcul(s) (l'application numérique)
L'identification est directe à partir des données des essais :
Schéma (Après les calculs)
Bilan des pertes nominales
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Connaître ces deux valeurs est crucial. Les pertes Fer représentent une consommation d'énergie permanente, 24h/24, tant que le transformateur est sous tension. Les pertes Joule, elles, n'apparaissent que lorsque le transformateur débite du courant et sont la principale source d'échauffement en charge.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les deux essais. L'essai à vide donne les pertes Fer. L'essai en court-circuit donne les pertes Joule nominales. C'est une convention fondamentale en électrotechnique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Essai à vide (\(U=U_\text{n}, I=I_{10}\)) \(\Rightarrow\) Pertes Fer \(P_{\text{fer}}\).
- Essai en court-circuit (\(I=I_\text{n}, U=U_{1\text{cc}}\)) \(\Rightarrow\) Pertes Joule nominales \(P_{\text{J,n}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Pour les très gros transformateurs, les pertes Fer peuvent atteindre plusieurs dizaines de kilowatts. C'est l'équivalent de la consommation de plusieurs maisons, perdue en permanence juste pour maintenir le transformateur "éveillé". L'optimisation de ces pertes est un enjeu économique et écologique majeur.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si l'essai en court-circuit avait donné \(P_{1\text{cc}} = 2.2\) kW, quelle serait la nouvelle valeur des pertes Joule nominales ?
Question 3 : Éléments du schéma équivalent de Kapp
Principe (le concept physique)
Les résultats de l'essai en court-circuit permettent de déterminer les paramètres de l'impédance série du modèle de Kapp (\(R_s\) et \(X_s\)). \(R_s\) est directement liée aux pertes Joule, et l'impédance totale \(Z_s\) est liée à la tension de court-circuit.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le modèle de Kapp est une simplification du modèle réel. La résistance \(R_s\) représente la résistance physique des enroulements primaire et secondaire, "ramenée" à un seul côté. La réactance \(X_s\) représente l'effet du flux magnétique de fuite, c'est-à-dire la partie du flux qui ne passe pas du primaire au secondaire et ne participe pas à la transformation d'énergie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette étape est la clé pour pouvoir prédire le comportement du transformateur en charge. Une fois \(R_s\) et \(X_s\) connus, on peut calculer la chute de tension et les pertes pour n'importe quel courant, sans avoir à refaire de mesure.
Normes (la référence réglementaire)
Le modèle de Kapp est un modèle simplifié mais universellement accepté en électrotechnique pour l'étude des transformateurs en régime permanent.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Les pertes Joule totales sont localisées dans la résistance \(R_s\). Pour le régime triphasé :
L'impédance totale \(Z_s\) se calcule à partir de la tension de court-circuit ramenée au secondaire :
Enfin, la réactance se déduit par Pythagore :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise le modèle de Kapp ramené au secondaire. Les valeurs de \(R_s\) et \(X_s\) sont considérées comme constantes.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_{1\text{cc}} = 2000 \, \text{W}\)
- \(I_{2\text{cc}} = I_{2\text{n}} \approx 225.5 \, \text{A}\)
- \(U_{1\text{cc}} = 800 \, \text{V}\)
- \(m_0 = 0.0205\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour calculer \(Z_s\), on peut aussi calculer l'impédance vue du primaire \(Z_1 = (U_{1\text{cc}}/\sqrt{3})/I_{1\text{n}}\) puis la ramener au secondaire avec la formule \(Z_s = m_0^2 \cdot Z_1\). Les deux méthodes doivent donner le même résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Modèle de Kapp à déterminer
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la résistance \(R_s\) :
2. Calcul de l'impédance \(Z_s\) :
3. Calcul de la réactance \(X_s\) :
Schéma (Après les calculs)
Modèle de Kapp déterminé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On constate que la réactance de fuite \(X_s\) est environ trois fois plus grande que la résistance des enroulements \(R_s\). C'est typique pour les transformateurs de cette puissance. Cela signifie que la chute de tension en charge sera principalement due à cette réactance de fuite.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à bien utiliser les tensions simples (\(U/\sqrt{3}\)) pour calculer l'impédance par phase. Utiliser la tension composée \(U_{1\text{cc}}\) directement dans la formule de \(Z_s\) est une erreur fréquente.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- \(R_s\) se déduit des pertes en court-circuit (\(P_{1\text{cc}}\)).
- \(Z_s\) se déduit de la tension de court-circuit (\(U_{1\text{cc}}\)).
- \(X_s\) se calcule avec le triangle des impédances (\(X_s = \sqrt{Z_s^2 - R_s^2}\)).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La valeur de l'impédance de court-circuit, souvent exprimée en pourcentage (\(Z_{\text{cc}}\% = (Z_s I_{2\text{n}} / V_{2\text{n}}) \times 100\)), est une donnée capitale. Elle détermine le courant de court-circuit que le transformateur peut débiter, une information cruciale pour dimensionner les protections (disjoncteurs, fusibles) en aval.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si les enroulements étaient moins bien couplés, quelle valeur augmenterait le plus : \(R_s\) ou \(X_s\) ?
Question 4 : Calcul du rendement
Principe (le concept physique)
Le rendement est le rapport de la puissance utile sur la puissance absorbée. Pour le calculer, il faut déterminer la puissance utile fournie à la charge, puis les pertes Fer (constantes) et les pertes Joule (qui dépendent du carré de la charge).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le flux de puissance dans un transformateur est : \(P_1 = P_2 + P_{\text{pertes}}\). La puissance \(P_1\) est absorbée au réseau primaire. Une partie est perdue sous forme de chaleur (pertes Fer et Joule). Le reste, \(P_2\), est la puissance active utile transmise à la charge. Le rendement mesure l'efficacité de cette transmission.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Le calcul du rendement est l'aboutissement de l'analyse. Il permet de juger de la qualité du transformateur. Un bon rendement est crucial, car même une différence de 1% sur un gros transformateur fonctionnant en continu représente une énorme quantité d'énergie gaspillée sur une année.
Normes (la référence réglementaire)
Le calcul du rendement à partir des pertes séparées est la méthode indirecte préconisée par les normes pour sa précision, notamment pour les machines à haut rendement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Avec :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le facteur de puissance de la charge est constant et que les pertes Fer ne varient pas avec la charge.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Taux de charge : \(x = 0.75\)
- Facteur de puissance : \(\cos(\varphi_2) = 0.85\)
- Puissance nominale : \(S_\text{n} = 160000 \, \text{VA}\)
- Pertes Fer : \(P_{\text{fer}} = 850 \, \text{W}\)
- Pertes Joule nominales : \(P_{\text{J,n}} = 2000 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
La formule peut s'écrire \(\eta = 1 - \frac{P_{\text{pertes}}}{P_1}\). C'est utile pour voir que minimiser les pertes est la seule façon d'augmenter le rendement.
Schéma (Avant les calculs)
Bilan de puissance
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la puissance utile \(P_2\) :
2. Calcul des pertes Joule pour cette charge :
3. Calcul du rendement \(\eta\) :
Schéma (Après les calculs)
Bilan de puissance à x=0.75
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le rendement est de 98.1%, ce qui est une valeur très élevée, caractéristique des transformateurs de puissance qui sont des machines statiques très optimisées. On remarque que pour cette charge, les pertes Joule (1125 W) sont devenues supérieures aux pertes Fer (850 W).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de mettre le taux de charge \(x\) au carré pour le calcul des pertes Joule. Les pertes sont proportionnelles à \(I^2\), donc à \(x^2\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le rendement d'un transformateur est toujours très élevé (typiquement > 95%).
- Les pertes Fer sont constantes, mais les pertes Joule varient avec le carré du taux de charge.
- Le rendement maximal est atteint lorsque les pertes Joule sont égales aux pertes Fer.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les normes d'efficacité énergétique (comme la norme européenne Ecodesign) imposent des niveaux de pertes de plus en plus bas pour les transformateurs neufs. Un transformateur moderne a des pertes significativement plus faibles que celui de cet exercice, avec des rendements pouvant dépasser 99% sur une large plage de charge.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez le rendement (en %) à 50% de charge (\(x=0.5\)) avec un facteur de puissance de 1.
Outil Interactif : Courbe de Rendement
Utilisez les curseurs pour faire varier le taux de charge et le facteur de puissance, et observez leur impact sur les pertes et le rendement du transformateur.
Paramètres de Fonctionnement
Performances Calculées
Le Saviez-Vous ?
Le rendement d'un transformateur est si élevé qu'il est souvent plus précis de le mesurer par la "méthode des pertes séparées" (utilisée dans cet exercice) plutôt qu'en mesurant directement la puissance d'entrée et de sortie. La différence entre P1 et P2 serait si faible que les erreurs de mesure des wattmètres pourraient rendre le calcul direct de \(\eta = P_2/P_1\) très imprécis.
Foire Aux Questions (FAQ)
À quel moment le rendement est-il maximal ?
Le rendement d'un transformateur est maximal lorsque les pertes variables (Pertes Joule) sont égales aux pertes constantes (Pertes Fer). Pour notre transformateur, cela se produit pour un taux de charge \(x\) tel que \(x^2 \cdot P_{\text{J,n}} = P_{\text{fer}}\), soit \(x = \sqrt{P_{\text{fer}}/P_{\text{J,n}}} = \sqrt{850/2000} \approx 0.65\). Le rendement est donc maximal à environ 65% de sa charge nominale.
Pourquoi le facteur de puissance de la charge influence-t-il le rendement ?
Le rendement dépend de la puissance active \(P_2 = x S_\text{n} \cos(\varphi_2)\). Pour une même puissance apparente (et donc un même courant et les mêmes pertes Joule), une charge avec un mauvais facteur de puissance (cos(\(\varphi_2\)) faible) consomme moins de puissance active. La part des pertes devient alors plus importante par rapport à la puissance utile, ce qui diminue le rendement.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si on double la charge du transformateur (x passe de 0.5 à 1.0), les pertes Joule sont...
2. Les pertes Fer d'un transformateur dépendent principalement de...
- Puissance Apparente (S)
- Puissance totale fournie par la source, mesurée en Volt-Ampères (VA). C'est la "taille" du transformateur. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
- Puissance Active (P)
- La puissance réellement consommée par la charge pour produire un travail, mesurée en Watts (W). C'est la puissance utile.
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Il mesure l'efficacité avec laquelle la charge utilise le courant qui lui est fourni.
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