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Performances d’un Transformateur Triphasé

Performances d’un Transformateur Triphasé

Performances d’un Transformateur Triphasé

Analyser les performances d'un transformateur triphasé en calculant ses courants nominaux, ses pertes et son rendement à différents régimes de charge.

Les transformateurs triphasés sont des composants essentiels des réseaux de transport et de distribution d'énergie électrique. Leur performance, notamment leur rendement, est un facteur clé pour l'efficacité énergétique globale du système.

Pour un transformateur triphasé :

  • Puissance apparente nominale : \(S_n\) (en VA ou kVA).
  • Tension nominale primaire (entre phases) : \(U_{1n}\).
  • Tension nominale secondaire (entre phases, à vide) : \(U_{20}\).
  • Courant de ligne nominal primaire : \(I_{1n} = \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{1n}}\).
  • Courant de ligne nominal secondaire : \(I_{2n} = \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{20}}\) (approximation).
  • Pertes fer (\(P_{fer}\)) : constantes, déterminées par un essai à vide.
  • Pertes cuivre nominales (\(P_{J,n}\)) : pertes par effet Joule à pleine charge, déterminées par un essai en court-circuit.
  • Pertes cuivre à un taux de charge \(x\) : \(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\), où \(x = S_{charge}/S_n\).
  • Puissance active fournie à la charge : \(P_{charge} = S_{charge} \cdot \cos\phi_{charge}\).
  • Puissance active absorbée : \(P_{absorbee} = P_{charge} + P_{fer} + P_{J,charge}\).
  • Rendement : \(\eta = \frac{P_{charge}}{P_{absorbee}}\).

Données du Problème

Un transformateur triphasé de distribution a les caractéristiques suivantes sur sa plaque signalétique :

  • Puissance apparente nominale : \(S_n = 250 \text{ kVA}\)
  • Tension primaire nominale (entre phases) : \(U_{1n} = 20 \text{ kV}\)
  • Tension secondaire à vide (entre phases) : \(U_{20} = 410 \text{ V}\)
  • Pertes fer mesurées à vide : \(P_{fer} = 600 \text{ W}\)
  • Pertes cuivre mesurées en court-circuit pour le courant nominal : \(P_{J,n} = 3200 \text{ W}\)

Ce transformateur alimente une usine.

U1n (L1,L2,L3) Transformateur Triphasé U20 Usine Pertes
Transformateur triphasé alimentant une usine.

Questions

  1. Convertir la puissance apparente nominale \(S_n\) en Voltampères (VA) et la tension primaire nominale \(U_{1n}\) en Volts (V).
  2. Calculer le courant de ligne nominal primaire \(I_{1n}\).
  3. Calculer le courant de ligne nominal secondaire \(I_{2n}\).
  4. L'usine (charge) absorbe une puissance active \(P_{charge} = 180 \text{ kW}\) avec un facteur de puissance \(\cos\phi_{charge} = 0.85\) (inductif).
    1. Calculer la puissance apparente \(S_{charge}\) absorbée par l'usine.
    2. Calculer le taux de charge \(x\) du transformateur.
    3. Calculer les pertes cuivre (\(P_{J,charge}\)) dans le transformateur pour cette charge.
    4. Calculer les pertes totales (\(P_{totales}\)) du transformateur.
    5. Calculer la puissance active (\(P_{absorbee}\)) que le transformateur doit prélever au réseau primaire.
    6. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur pour cette charge.
  5. Pour quel taux de charge \(x_{opt}\) le rendement de ce transformateur serait-il maximal ?
  6. Calculer la puissance utile \(P_{u,opt}\) que le transformateur fournirait à ce taux de charge optimal, en supposant que le facteur de puissance de la charge reste \(\cos\phi_{charge} = 0.85\).
  7. Calculer le rendement maximal \(\eta_{max}\) du transformateur.

Correction : Performances d’un Transformateur Triphasé

1. Conversion des Unités

\(1 \text{ kVA} = 1000 \text{ VA}\) et \(1 \text{ kV} = 1000 \text{ V}\).

Données :

  • \(S_n = 250 \text{ kVA}\)
  • \(U_{1n} = 20 \text{ kV}\)

Puissance apparente nominale en VA :

\begin{aligned} S_n &= 250 \times 1000 \text{ VA} \\ &= 250000 \text{ VA} \end{aligned}

Tension primaire nominale en V :

\begin{aligned} U_{1n} &= 20 \times 1000 \text{ V} \\ &= 20000 \text{ V} \end{aligned}

\(S_n = 250000 \text{ VA}\)

\(U_{1n} = 20000 \text{ V}\)

2. Calcul du Courant de Ligne Nominal Primaire (\(I_{1n}\))

Pour un système triphasé, \(S_n = \sqrt{3} \cdot U_{1n} \cdot I_{1n}\).

Données :

  • \(S_n = 250000 \text{ VA}\)
  • \(U_{1n} = 20000 \text{ V}\)
  • \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
\begin{aligned} I_{1n} &= \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{1n}} \\ &\approx \frac{250000 \text{ VA}}{1.732 \times 20000 \text{ V}} \\ &\approx \frac{250000}{34640} \\ &\approx 7.217 \text{ A} \end{aligned}

Le courant de ligne nominal primaire est \(I_{1n} \approx 7.22 \text{ A}\).

3. Calcul du Courant de Ligne Nominal Secondaire (\(I_{2n}\))

Pour un système triphasé, \(S_n = \sqrt{3} \cdot U_{20} \cdot I_{2n}\) (en utilisant \(U_{20}\) comme approximation de \(U_{2n}\)).

Données :

  • \(S_n = 250000 \text{ VA}\)
  • \(U_{20} = 410 \text{ V}\)
  • \(\sqrt{3} \approx 1.732\)
\begin{aligned} I_{2n} &= \frac{S_n}{\sqrt{3} \cdot U_{20}} \\ &\approx \frac{250000 \text{ VA}}{1.732 \times 410 \text{ V}} \\ &\approx \frac{250000}{710.12} \\ &\approx 352.05 \text{ A} \end{aligned}

Le courant de ligne nominal secondaire est \(I_{2n} \approx 352.05 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Dans la formule de la puissance apparente triphasée \(S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I\), \(U\) représente :

4. Usine alimentée avec \(P_{charge} = 180 \text{ kW}\) et \(\cos\phi_{charge} = 0.85\)

a. Puissance Apparente \(S_{charge}\) Absorbée par l'Usine

\(S_{charge} = P_{charge} / \cos\phi_{charge}\).

Données :

  • \(P_{charge} = 180 \text{ kW} = 180000 \text{ W}\)
  • \(\cos\phi_{charge} = 0.85\)
\begin{aligned} S_{charge} &= \frac{180000 \text{ W}}{0.85} \\ &\approx 211764.7 \text{ VA} \approx 211.76 \text{ kVA} \end{aligned}

La puissance apparente absorbée par l'usine est \(S_{charge} \approx 211.76 \text{ kVA}\).

b. Taux de Charge (\(x\)) du Transformateur

\(x = S_{charge} / S_n\).

Données :

  • \(S_{charge} \approx 211764.7 \text{ VA}\)
  • \(S_n = 250000 \text{ VA}\)
\begin{aligned} x &\approx \frac{211764.7 \text{ VA}}{250000 \text{ VA}} \\ &\approx 0.84705 \end{aligned}

Le taux de charge est \(x \approx 0.847\) (soit environ 84.7%).

c. Pertes Cuivre (\(P_{J,charge}\))

\(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\).

Données :

  • \(x \approx 0.84705\)
  • \(P_{J,n} = 3200 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{J,charge} &\approx (0.84705)^2 \times 3200 \text{ W} \\ &\approx 0.71749 \times 3200 \text{ W} \\ &\approx 2295.97 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes cuivre sont \(P_{J,charge} \approx 2296 \text{ W}\).

d. Pertes Totales (\(P_{totales}\))

\(P_{totales} = P_{fer} + P_{J,charge}\).

Données :

  • \(P_{fer} = 600 \text{ W}\)
  • \(P_{J,charge} \approx 2296 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{totales} &\approx 600 \text{ W} + 2296 \text{ W} \\ &= 2896 \text{ W} \end{aligned}

Les pertes totales sont \(P_{totales} \approx 2896 \text{ W}\).

e. Puissance Active Absorbée (\(P_{absorbee}\))

\(P_{absorbee} = P_{charge} + P_{totales}\).

Données :

  • \(P_{charge} = 180000 \text{ W}\)
  • \(P_{totales} \approx 2896 \text{ W}\)
\begin{aligned} P_{absorbee} &\approx 180000 \text{ W} + 2896 \text{ W} \\ &= 182896 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active absorbée est \(P_{absorbee} \approx 182896 \text{ W}\).

f. Rendement (\(\eta\))

\(\eta = P_{charge} / P_{absorbee}\).

\begin{aligned} \eta &\approx \frac{180000 \text{ W}}{182896 \text{ W}} \\ &\approx 0.98416 \end{aligned}
\[ \eta \approx 98.42 \% \]

Le rendement pour cette charge est \(\eta \approx 98.42 \%\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un transformateur a des pertes fer de 100 W et des pertes cuivre de 300 W lorsqu'il fournit 5000 W à une charge, quelle est sa puissance absorbée ?

5. Taux de Charge (\(x_{opt}\)) pour Rendement Maximal

Le rendement est maximal lorsque les pertes cuivre sont égales aux pertes fer : \(P_{J,charge} = P_{fer}\). Donc, \(x_{opt}^2 \cdot P_{J,n} = P_{fer}\).

Données :

  • \(P_{fer} = 600 \text{ W}\)
  • \(P_{J,n} = 3200 \text{ W}\)
\begin{aligned} x_{opt}^2 &= \frac{P_{fer}}{P_{J,n}} \\ x_{opt} &= \sqrt{\frac{P_{fer}}{P_{J,n}}} \\ x_{opt} &= \sqrt{\frac{600 \text{ W}}{3200 \text{ W}}} = \sqrt{\frac{6}{32}} = \sqrt{\frac{3}{16}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \approx \frac{1.732}{4} \\ &\approx 0.433 \end{aligned}

Le taux de charge pour un rendement maximal est \(x_{opt} \approx 0.433\) (soit 43.3%).

6. Puissance Utile (\(P_{u,opt}\)) et Rendement Maximal (\(\eta_{max}\))

Pour \(x_{opt} \approx 0.433\) et \(\cos\phi_{charge} = 0.85\).

Puissance apparente à charge optimale :

\begin{aligned} S_{opt} &= x_{opt} \cdot S_n \\ &\approx 0.433 \times 250000 \text{ VA} \\ &\approx 108250 \text{ VA} \end{aligned}

Puissance utile à charge optimale :

\begin{aligned} P_{u,opt} &= S_{opt} \cdot \cos\phi_{charge} \\ &\approx 108250 \text{ VA} \times 0.85 \\ &\approx 92012.5 \text{ W} \end{aligned}

Pertes cuivre à charge optimale (égales aux pertes fer) :

\[ P_{J,opt} = P_{fer} = 600 \text{ W} \]

Puissance absorbée à charge optimale :

\begin{aligned} P_{a,opt} &= P_{u,opt} + P_{fer} + P_{J,opt} \\ &\approx 92012.5 \text{ W} + 600 \text{ W} + 600 \text{ W} \\ &= 93212.5 \text{ W} \end{aligned}

Rendement maximal :

\begin{aligned} \eta_{max} &= \frac{P_{u,opt}}{P_{a,opt}} \\ &\approx \frac{92012.5 \text{ W}}{93212.5 \text{ W}} \\ &\approx 0.987127... \end{aligned}
\[ \eta_{max} \approx 98.71 \% \]

La puissance utile pour le rendement maximal est \(P_{u,opt} \approx 92.01 \text{ kW}\).

Le rendement maximal est \(\eta_{max} \approx 98.71 \%\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La puissance apparente d'un système triphasé est calculée avec la formule :

Question 2 : Les pertes fer dans un transformateur sont aussi appelées :

Question 3 : Le rendement d'un transformateur est maximal lorsque :

Question 4 : Si le taux de charge \(x\) d'un transformateur est de 0.25 (25%), les pertes cuivre sont multipliées par :

Glossaire des Termes Clés

Transformateur Triphasé :

Dispositif utilisant trois phases de courant alternatif pour transférer l'énergie, typiquement pour des applications industrielles et de distribution de puissance élevée.

Puissance Apparente Nominale (\(S_n\)) :

Capacité maximale de puissance qu'un transformateur peut gérer en continu. Unité : VA ou kVA.

Pertes Fer (\(P_{fer}\)) :

Pertes constantes dans le noyau magnétique, indépendantes de la charge.

Pertes Cuivre (\(P_J\)) :

Pertes par effet Joule dans les enroulements, proportionnelles au carré du courant de charge.

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport de la puissance active de sortie à la puissance active d'entrée.

Taux de Charge (\(x\)) :

Rapport entre la puissance apparente de la charge et la puissance apparente nominale du transformateur.

Facteur de Puissance (\(\cos\phi\)) :

Indique la proportion de la puissance apparente qui est effectivement transformée en puissance active.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi le rendement d'un transformateur n'est-il pas constant mais varie avec le taux de charge ?

2. Comment le type de charge (résistive, inductive, capacitive) influence-t-il le courant absorbé par le transformateur pour une même puissance active fournie ?

3. Les transformateurs de distribution sont souvent conçus pour avoir un rendement maximal à un taux de charge typique de leur utilisation (par exemple, 75%). Pourquoi ?

4. Quels sont les avantages d'utiliser des transformateurs triphasés par rapport à trois transformateurs monophasés pour alimenter une charge triphasée de même puissance ?

5. Comment la température ambiante et le système de refroidissement d'un transformateur affectent-ils sa capacité à gérer sa puissance nominale et ses surcharges éventuelles ?

Performances d’un Transformateur Triphasé

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