Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Comprendre le Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Considérez une sphère de rayon \(R\) qui porte une charge totale \(Q\) répartie uniformément sur sa surface. On vous demande de calculer le champ électrique à une distance \(r\) de son centre dans deux cas distincts :
1. Pour un point situé à l’extérieur de la sphère (\(r > R\)).
2. Pour un point situé à l’intérieur de la sphère (\(r < R\)).
Données:
- \(Q = 8.0 \times 10^{-6}\) coulombs (la charge totale de la sphère)
- \(R = 0.1\) mètres (le rayon de la sphère)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) farad/mètre (la permittivité du vide)
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss stipule que le flux électrique à travers une surface fermée est égal à la charge enfermée divisée par la permittivité du vide:
\[ \Phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0} \]
Correction : Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
Cas 1 : Point à l’Extérieur de la Sphère (\( r > R \))
Choix de la Surface de Gauss
Pour profiter de la symétrie sphérique, on choisit comme surface de Gauss une sphère imaginaire de rayon \( r \) centrée sur la sphère chargée.
Calcul du Flux Électrique
Sur cette surface symétrique, le champ électrique \( \vec{E} \) est de même norme et radieusement dirigé. Le flux se simplifie en :
\[ \Phi_E = E \times (4\pi r^2) \]
Application du Théorème de Gauss
Puisque la charge \( Q \) est entièrement enfermée dans la surface (charge située sur la surface réelle de la sphère) :
\[ E \times (4\pi r^2) = \frac{Q}{\epsilon_0} \]
Expression du Champ Électrique
En isolant \( E \) :
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
Substitution des Valeurs Données
Pour un point extérieur, par exemple, si l’on souhaite connaître le champ à \( r = 0.2 \) m (cela respecte \( r > R \) puisque \( 0.2 > 0.1 \)) :
- Calcul du dénominateur :
\( r^2 = (0.2 \text{ m})^2 = 0.04 \text{ m}^2 \)
\( 4\pi \epsilon_0 = 4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \text{ F/m} \)
Évaluons numériquement \( 4\pi \) :
\( 4\pi \approx 12.57 \)
Ainsi :
\[ 4\pi \epsilon_0 \approx 12.57 \times 8.85 \times 10^{-12} \] \[ 4\pi \epsilon_0 \approx 1.113 \times 10^{-10} \text{ F/m} \]
Et le dénominateur complet :
\[ 4\pi \epsilon_0 r^2 \approx 1.113 \times 10^{-10} \times 0.04 \] \[ 4\pi \epsilon_0 r^2 \approx 4.452 \times 10^{-12} \]
Calcul de \( E \) :
\[ E = \frac{8.0 \times 10^{-6} \text{ C}}{4.452 \times 10^{-12}} \] \[ E \approx 1.797 \times 10^{6} \text{ N/C} \]
Interprétation : À une distance de \( 0.2 \) m du centre de la sphère, le champ électrique vaut environ \( 1.80 \times 10^{6} \text{ N/C} \).
Cas 2 : Point à l’Intérieur de la Sphère (\( r < R \))
Considération de la Distribution de la Charge
La charge \( Q \) est répartie uniformément sur la surface de la sphère. Pour un point situé à l’intérieur (\( r < R \)), la surface de la sphère de Gauss choisie ne contient aucune partie de la charge, car celle-ci se trouve uniquement à la surface \( r = R \).
Application du Théorème de Gauss
La charge enfermée \( Q_{\text{enc}} \) par une surface de Gauss de rayon \( r < R \) est nulle :
Par le théorème de Gauss :
\[ \Phi_E = E \times (4\pi r^2) \] \[ \Phi_E = \frac{0}{\epsilon_0} \] \[ \Phi_E = 0 \]
Ce qui conduit à :
\[ E = 0 \text{ N/C} \]
Interprétation : À l’intérieur de la sphère (\( r < R \)), le champ électrique est nul.
Conclusion
- Pour \( r > R \) (extérieur) : Le champ électrique est donné par
\[ E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r^2} \]
Par exemple, pour \( r = 0.2 \) m, \( E \approx 1.80 \times 10^{6} \text{ N/C} \).
- Pour \( r < R \) (intérieur) : Puisqu’aucune charge n’est enfermée à l’intérieur, le champ est nul :
\[ E = 0 \text{ N/C} \]
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Théorème de Gauss pour une Sphère Chargée
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