Moteur à Courant Continu comme Actionneur

L'induit d'un moteur à courant continu est modélisé par sa résistance \(R_a\) en série avec sa force contre-électromotrice \(E'\). La tension \(U\) appliquée à ses bornes se répartit entre la chute de tension aux bornes de la résistance d'induit et la f.c.e.m. C'est une application de la loi des mailles.

Le couple électromagnétique \(T_{em}\) est le couple total développé par le moteur. Une partie de ce couple sert à vaincre les frottements et autres pertes mécaniques (représentées par le couple de pertes collectives \(T_p\)), et le reste est le couple utile \(T_u\) qui est effectivement disponible sur l'arbre pour entraîner la charge.

Sachant que les pertes collectives \(P_c\) sont liées au couple de pertes \(T_p\) et à la vitesse angulaire \(\Omega\) par la relation de puissance \(P_c = T_p \cdot \Omega\), on peut exprimer le couple de pertes par \(T_p = \frac{P_c}{\Omega}\).

En substituant cette expression dans la relation des couples, on obtient :

Pour trouver \(I_a\), nous devons combiner les équations établies. Nous avons : 1. \(U = E' + R_a I_a \implies E' = U - R_a I_a\) 2. \(E' = K \Omega \implies \Omega = \frac{E'}{K}\) 3. \(T_{em} = K I_a\) 4. \(T_{em} = T_u + \frac{P_c}{\Omega}\) Substituons (2) dans (4) : \(T_{em} = T_u + \frac{P_c K}{E'}\). Égalons cette expression de \(T_{em}\) avec celle de (3) : \(K I_a = T_u + \frac{P_c K}{E'}\). Substituons maintenant (1) dans cette dernière équation : \[ K I_a = T_u + \frac{P_c K}{U - R_a I_a} \] Multiplions tous les termes par \((U - R_a I_a)\) pour éliminer le dénominateur : \[ K I_a (U - R_a I_a) = T_u (U - R_a I_a) + P_c K \] Développons : \[ K U I_a - K R_a I_a^2 = T_u U - T_u R_a I_a + P_c K \] Réorganisons pour obtenir une équation du second degré en \(I_a\) de la forme \(A I_a^2 + B I_a + C = 0\) : \[ K R_a I_a^2 - (K U + T_u R_a) I_a + (T_u U + K P_c) = 0 \] Calculons les coefficients avec les valeurs numériques : \(A = K R_a = 0.20 \text{ N} \cdot \text{m/A} \times 0.5 \text{ } \Omega = 0.1 \text{ N} \cdot \text{m} \cdot \Omega \text{/A}\) (unité équivalente à V·s/A) \(B = -(K U + T_u R_a) = -(0.20 \times 200 + 18 \times 0.5) = -(40 + 9) = -49\) \(C = T_u U + K P_c = 18 \times 200 + 0.20 \times 80 = 3600 + 16 = 3616\) L'équation du second degré est donc : \[ 0.1 I_a^2 - 49 I_a + 3616 = 0 \] Calculons le discriminant \(\Delta = B^2 - 4AC\): \[ \Delta = (-49)^2 - 4 \times 0.1 \times 3616 = 2401 - 1446.4 = 954.6 \] Les solutions pour \(I_a\) sont \(I_a = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}\). \[ I_a = \frac{49 \pm \sqrt{954.6}}{2 \times 0.1} = \frac{49 \pm 30.90}{0.2} \] Nous obtenons deux solutions mathématiques : \[ I_{a1} = \frac{49 + 30.90}{0.2} = \frac{79.90}{0.2} = 399.5 \text{ A} \] \[ I_{a2} = \frac{49 - 30.90}{0.2} = \frac{18.10}{0.2} = 90.5 \text{ A} \] Pour déterminer la solution physiquement acceptable, on peut calculer la f.c.e.m. \(E' = U - R_a I_a\). Pour \(I_{a1} = 399.5 \text{ A}\) : \(E' = 200 - 0.5 \times 399.5 = 200 - 199.75 = 0.25 \text{ V}\). Cela correspondrait à une vitesse quasi nulle et un couple énorme, typique d'un démarrage bloqué ou d'une surcharge extrême, ce qui n'est pas le régime établi avec un couple utile de \(18 \text{ N} \cdot \text{m}\). Pour \(I_{a2} = 90.5 \text{ A}\) : \(E' = 200 - 0.5 \times 90.5 = 200 - 45.25 = 154.75 \text{ V}\). Cette valeur de \(E'\) est positive et inférieure à \(U\), ce qui est cohérent avec un fonctionnement normal en moteur.

La f.c.e.m. \(E'\) est la tension générée par la rotation de l'induit dans le champ magnétique. Elle s'oppose à la tension d'alimentation \(U\). On la calcule en utilisant la loi d'Ohm appliquée à l'induit du moteur : \(E' = U - R_a I_a\).

Avec \(U = 200 \text{ V}\), \(R_a = 0.5 \text{ } \Omega\), et le courant calculé \(I_a \approx 90.5 \text{ A}\).

La f.c.e.m. \(E'\) est directement proportionnelle à la vitesse de rotation angulaire \(\Omega\) du moteur, selon la relation \(E' = K \Omega\), où \(K\) est la constante de f.c.e.m. du moteur.

Avec \(E' \approx 154.75 \text{ V}\) et \(K = 0.20 \text{ V/(rad/s)}\).

Pour convertir la vitesse angulaire \(\Omega\) en radians par seconde (rad/s) en une vitesse de rotation \(N\) en tours par minute (tr/min), on utilise la relation \(\Omega = \frac{2\pi N}{60}\), ce qui donne \(N = \frac{60 \Omega}{2\pi}\).

La puissance électrique absorbée par l'induit du moteur est la puissance fournie par la source d'alimentation. Elle se calcule par le produit de la tension d'alimentation \(U\) et du courant d'induit \(I_a\).

Les pertes par effet Joule (\(P_J\)) représentent l'énergie dissipée sous forme de chaleur dans la résistance de l'induit \(R_a\) lorsque celui-ci est parcouru par le courant \(I_a\). Elles se calculent par la formule \(P_J = R_a \cdot I_a^2\).

La puissance électromagnétique \(P_{em}\) est la puissance effectivement convertie de forme électrique en forme mécanique par l'interaction du champ magnétique et du courant d'induit. Elle correspond à la puissance développée par la f.c.e.m. \(E'\) et est donnée par \(P_{em} = E' \cdot I_a\). C'est également la puissance électrique absorbée \(P_a\) diminuée des pertes par effet Joule dans l'induit \(P_J\).

Méthode 1 : \(P_{em} = E' \cdot I_a\)

Méthode 2 : \(P_{em} = P_a - P_J\)

La puissance utile \(P_u\) est la puissance mécanique réellement disponible sur l'arbre du moteur pour entraîner la charge. Elle est obtenue en soustrayant les pertes collectives \(P_c\) (pertes mécaniques et ferromagnétiques) de la puissance électromagnétique \(P_{em}\). Elle peut aussi se calculer directement à partir du couple utile \(T_u\) et de la vitesse angulaire \(\Omega\) par la relation \(P_u = T_u \cdot \Omega\).

Méthode 1 : \(P_u = P_{em} - P_c\)

Méthode 2 : \(P_u = T_u \cdot \Omega\)

La petite différence entre les deux méthodes est due aux arrondis des calculs intermédiaires (notamment pour \(I_a\) et \(\Omega\)). Utilisons la valeur issue de \(P_{em} - P_c\) pour la suite, car \(P_c\) est une donnée directe.

Le rendement \(\eta\) d'un moteur est une mesure de son efficacité à convertir l'énergie électrique qu'il absorbe en énergie mécanique utile. Il est défini comme le rapport de la puissance utile \(P_u\) sur la puissance électrique absorbée \(P_a\). Il est souvent exprimé en pourcentage.

En pourcentage : \(\eta \approx 0.76933 \times 100\% \approx 76.933\%\)

Moteur à Courant Continu (MCC) :

Machine électrique qui convertit l'énergie électrique en courant continu en énergie mécanique de rotation.

Induit :

Partie du moteur (généralement le rotor dans les MCC classiques) où sont induites les forces électromagnétiques et où circule le courant principal \(I_a\).

Inducteur :

Partie du moteur (généralement le stator) qui crée le champ magnétique principal (par des aimants permanents ou des électroaimants).

Force Contre-Électromotrice (f.c.e.m., \(E'\)) :

Tension induite dans l'induit du moteur due à sa rotation dans le champ magnétique. Elle s'oppose à la tension d'alimentation. \(E' = K \Omega\).

Courant d'Induit (\(I_a\)) :

Courant circulant dans l'enroulement de l'induit.

Couple Électromagnétique (\(T_{em}\)) :

Couple produit par les forces de Laplace sur les conducteurs de l'induit. \(T_{em} = K I_a\).

Couple Utile (\(T_u\)) :

Couple disponible sur l'arbre de sortie du moteur pour entraîner la charge.

Pertes Collectives (\(P_c\)) :

Ensemble des pertes mécaniques (frottements) et des pertes ferromagnétiques (hystérésis, courants de Foucault) dans le moteur.

Pertes Joule (\(P_J\)) :

Pertes d'énergie par dissipation thermique dans la résistance des enroulements (principalement l'induit). \(P_J = R_a I_a^2\).

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport entre la puissance utile fournie par le moteur et la puissance électrique absorbée. \(\eta = P_u / P_a\).