Moteur à Courant Continu comme Actionneur

Contexte : L'utilisation d'un Moteur à Courant ContinuUn moteur qui convertit l'énergie électrique en courant continu en énergie mécanique de rotation. (MCC) comme actionneur.

Les moteurs à courant continu sont des composants fondamentaux en électrotechnique et en robotique. Ils servent d'actionneurs, c'est-à-dire qu'ils transforment un signal électrique en une action mécanique (généralement une rotation). Dans cet exercice, nous allons analyser un système simple mais représentatif : un moteur à aimants permanents utilisé pour soulever une charge via un treuil. Cette étude nous permettra de lier les grandeurs électriques (tension, courant) aux grandeurs mécaniques (couple, vitesse).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à modéliser le comportement d'un moteur à courant continu dans une application concrète. Vous appliquerez les lois fondamentales de l'électromécanique pour prédire les performances du système (vitesse, courant de démarrage, rendement).

Objectifs Pédagogiques

Appliquer les équations électrique et mécanique d'un moteur à courant continu.
Calculer le couple, le courant et la vitesse en régime permanent.
Analyser le régime transitoire du démarrage et calculer le courant d'appel.
Évaluer le rendement énergétique du système électromécanique.

Données de l'étude

On s'intéresse à un système de levage simple, constitué d'un moteur à courant continu à aimants permanents qui entraîne un treuil de petit diamètre pour soulever verticalement une masse.

Schéma du système de levage

Caractéristique	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation nominale	\(U_{\text{n}}\)	24	V
Résistance de l'induit	\(R_{\text{a}}\)	0.5	Ω
Constante de moteur (couple/f.c.e.m.)	\(K\)	0.1	N.m/A ou V.s/rad
Masse à soulever	\(m\)	5	kg
Rayon du treuil	\(r\)	0.05	m
Accélération de la pesanteur	\(g\)	9.81	m/s²

Questions à traiter

Calculer le couple résistant \(C_{\text{r}}\) exercé par la charge sur l'arbre du moteur.
En régime permanent et en négligeant les frottements, déterminer le courant d'induit \(I_{\text{a}}\) nécessaire pour soulever la charge.
Calculer la vitesse de rotation du moteur \(ω\) (en rad/s) puis \(N\) (en tr/min) lorsque la charge est soulevée à vitesse constante.
Calculer le courant de démarrage \(I_{\text{d}}\) du moteur (à vitesse nulle).
Calculer la puissance mécanique utile \(P_{\text{u}}\), la puissance électrique absorbée \(P_{\text{a}}\) et le rendement global \(\eta\) du système en régime permanent.

Les bases sur le Moteur à Courant Continu

Le moteur à courant continu à aimants permanents est modélisé par deux équations fondamentales qui lient les domaines électrique et mécanique.

1. Équation électrique
La tension d'alimentation \(U\) se répartit entre la chute de tension dans la résistance de l'induit et la force contre-électromotriceTension induite dans le bobinage du moteur due à sa rotation dans un champ magnétique. Elle s'oppose à la tension d'alimentation. (f.c.e.m.) \(E\). \[ U = E + R_{\text{a}} \cdot I_{\text{a}} \]

2. Équations électromécaniques
La f.c.e.m. \(E\) est proportionnelle à la vitesse de rotation \(ω\). Le couple moteur \(C_{\text{m}}\) (ou couple électromagnétique) est proportionnel au courant d'induit \(I_{\text{a}}\). Pour un moteur à aimants permanents, la constante de proportionnalité \(K\) est la même. \[ E = K \cdot ω \quad \text{et} \quad C_{\text{m}} = K \cdot I_{\text{a}} \]

Correction : Étude d'un Moteur à Courant Continu comme Actionneur

Question 1 : Calculer le couple résistant \(C_{\text{r}}\)

Principe

Le couple résistant est le couple que la charge mécanique (ici, la masse suspendue) oppose à la rotation du moteur. Il est dû à la force (le poids de la masse) s'appliquant à une certaine distance de l'axe de rotation (le rayon du treuil).

Mini-Cours

En mécanique, le couple (ou moment de force) est une grandeur qui mesure l'aptitude d'une force à faire tourner un système autour d'un point ou d'un axe. Pour une force \(\vec{F}\) appliquée à un point P, le moment par rapport à un axe est \(C = \Vert\vec{r}\Vert \cdot \Vert\vec{F}_{\perp}\Vert\), où \(\vec{r}\) est le bras de levier et \(\vec{F}_{\perp}\) est la composante de la force perpendiculaire au bras de levier. Dans notre cas, le poids est perpendiculaire au rayon du treuil, simplifiant le calcul.

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours la transformation du mouvement. Ici, on passe d'une force linéaire (le poids qui tire vers le bas) à un couple de rotation (ce qui fait tourner le treuil). Comprendre cette conversion est la clé pour relier la mécanique de la charge au moteur.

Normes

Bien qu'il n'y ait pas de norme de calcul direct pour cet exercice simple, les méthodologies de calcul mécanique et électrique sont standardisées au niveau international, notamment par l'ISO et la CEI (Commission Électrotechnique Internationale) pour les machines électriques (série CEI 60034).

Formule(s)

Formule du couple

C_{\text{r}} = F \cdot r

Formule du poids

F = P = m \cdot g

Hypothèses

Le câble du treuil est supposé de masse négligeable et parfaitement inextensible.
La force (poids) est appliquée tangentiellement au treuil, ce qui maximise le couple.
On néglige toute forme de frottement dans cette question.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Masse	\(m\)	5	kg
Rayon du treuil	\(r\)	0.05	m
Gravité	\(g\)	9.81	m/s²

Astuces

Pour vérifier rapidement l'ordre de grandeur, on peut approximer g à 10 m/s². Le poids serait de 50 N, et le couple de 50 N * 0.05 m = 2.5 N.m. C'est très proche du résultat exact, ce qui est rassurant.

Schéma (Avant les calculs)

Forces sur le treuil

Calcul(s)

Calcul de la force (Poids)

\begin{aligned} P &= 5 \text{ kg} \times 9.81 \text{ m/s}^2 \\ &= 49.05 \text{ N} \end{aligned}

Calcul du couple résistant

\begin{aligned} C_{\text{r}} &= 49.05 \text{ N} \times 0.05 \text{ m} \\ &= 2.4525 \text{ N.m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Forces sur le treuil avec valeurs calculées

Réflexions

Ce couple de 2.45 N.m est le couple minimal que le moteur doit fournir pour commencer à soulever la charge (en négligeant les frottements et l'inertie). C'est la charge mécanique que le moteur "voit" en régime permanent.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les unités. Si le rayon était donné en centimètres, il faudrait impérativement le convertir en mètres avant le calcul. Une autre erreur est d'oublier la multiplication par \(g\), en confondant masse (kg) et poids (N).

Points à retenir

Le couple est le pont entre le monde linéaire (force) et le monde rotatif.
La formule de base est \(C = F \times r\).
Le poids d'un objet est sa masse multipliée par l'accélération de la pesanteur (\(P=mg\)).

Le saviez-vous ?

L'unité du couple, le Newton-mètre (N.m), est dimensionnellement identique à celle de l'énergie, le Joule (J). Cependant, on utilise des unités distinctes pour ne pas confondre le couple (une grandeur vectorielle liée à la rotation) et le travail ou l'énergie (des grandeurs scalaires).

FAQ

Résultat Final

Le couple résistant exercé par la charge est d'environ 2.45 N.m.

A vous de jouer

Quelle serait la valeur du couple résistant si la masse était de 8 kg ?

Question 2 : Déterminer le courant d'induit \(I_{\text{a}}\) en régime permanent

Principe

En régime permanent (vitesse constante), le couple moteur \(C_{\text{m}}\) fourni par le moteur doit exactement compenser le couple résistant \(C_{\text{r}}\). Comme le couple moteur est directement proportionnel au courant qui le traverse, on peut en déduire la valeur de ce courant.

Mini-Cours

Le couple dans un moteur à courant continu est généré par la force de Laplace. Les conducteurs de l'induit, parcourus par le courant \(I_{\text{a}}\) et plongés dans le champ magnétique des aimants permanents, subissent une force qui crée le couple. Pour un moteur donné, la géométrie et le champ magnétique sont fixes, ce qui mène à la relation simple \(C_{\text{m}} = K \cdot I_{\text{a}}\). La constante \(K\) résume toutes ces caractéristiques physiques.

Remarque Pédagogique

Pensez au courant comme "l'effort" électrique. Plus le moteur doit forcer (couple résistant élevé), plus il doit "pomper" de courant pour générer le couple moteur nécessaire. C'est une relation de cause à effet directe : la charge mécanique dicte le courant électrique absorbé.

Normes

Les plaques signalétiques des moteurs, normalisées par la CEI, indiquent souvent le courant nominal. C'est le courant que le moteur peut supporter en continu sans surchauffe. Le courant calculé ici doit être inférieur ou égal à ce courant nominal pour un fonctionnement durable.

Formule(s)

Équilibre des couples

C_{\text{m}} = C_{\text{r}}

Relation couple-courant

C_{\text{m}} = K \cdot I_{\text{a}}

Hypothèses

Le système est en régime permanent (vitesse constante, accélération nulle).
Les frottements mécaniques sont négligés.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Couple résistant	\(C_{\text{r}}\)	2.4525	N.m
Constante de moteur	\(K\)	0.1	N.m/A

Astuces

La constante \(K\) est souvent donnée avec deux unités possibles : N.m/A (pour le couple) ou V.s/rad (pour la f.c.e.m.). Dans le système international, ces deux unités sont rigoureusement équivalentes et la valeur numérique est la même. Ne vous laissez pas perturber !

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des couples sur l'arbre moteur

Calcul(s)

Déduction de la formule du courant

K \cdot I_{\text{a}} = C_{\text{r}} \Rightarrow I_{\text{a}} = \frac{C_{\text{r}}}{K}

Application numérique

\begin{aligned} I_{\text{a}} &= \frac{2.4525 \text{ N.m}}{0.1 \text{ N.m/A}} \\ &= 24.525 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Caractéristique Couple-Courant

Réflexions

Un courant de plus de 24 A est un courant conséquent pour un moteur 24 V. Cela indique que le moteur travaille proche de sa capacité maximale, voire au-delà si son courant nominal est plus faible. C'est une information cruciale pour vérifier si le moteur est bien dimensionné pour l'application.

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le couple moteur \(C_{\text{m}}\) et le couple résistant \(C_{\text{r}}\). Bien qu'ils soient égaux en régime permanent (sans frottements), ils représentent des concepts physiques différents : l'un est moteur (généré par le système), l'autre est résistant (subi par le système).

Points à retenir

En régime permanent, le couple moteur compense le couple résistant.
Le couple moteur est proportionnel au courant : \(C_{\text{m}} = K \cdot I_{\text{a}}\).
Le courant consommé par le moteur dépend directement de la charge mécanique qu'on lui impose.

Le saviez-vous ?

Dans les moteurs industriels plus complexes (à excitation séparée), on peut contrôler le champ magnétique et le courant d'induit indépendamment. Cela permet de faire varier la constante K et d'avoir des stratégies de contrôle beaucoup plus fines du couple et de la vitesse, comme le "démarrage à couple constant" ou le "fonctionnement à puissance constante".

FAQ

Résultat Final

Le courant d'induit nécessaire pour soulever la charge en régime permanent est d'environ 24.53 A.

A vous de jouer

Si la constante K du moteur était de 0.12 N.m/A, quel serait le courant nécessaire ?

Question 3 : Calculer la vitesse de rotation \(ω\) et \(N\)

Principe

La vitesse du moteur s'ajuste pour que la force contre-électromotrice (f.c.e.m.) \(E\), qui dépend de cette vitesse, équilibre l'équation électrique du moteur. En connaissant la tension d'alimentation \(U\), la résistance \(R_{\text{a}}\) et le courant \(I_{\text{a}}\), on peut déduire \(E\) et donc la vitesse \(ω\).

Mini-Cours

La f.c.e.m. est une tension générée par le moteur lui-même lorsqu'il tourne. C'est le principe de l'induction électromagnétique (Loi de Lenz-Faraday) : les conducteurs de l'induit coupent les lignes de champ magnétique, ce qui induit une tension. Cette tension s'oppose toujours à la cause qui lui a donné naissance (la tension d'alimentation), d'où le nom "contre-électromotrice". C'est un phénomène d'autorégulation : si le moteur accélère, E augmente, le courant (\(I_{\text{a}} = (U-E)/R_{\text{a}}\)) diminue, le couple moteur diminue, et la vitesse se stabilise.

Remarque Pédagogique

Pensez à la f.c.e.m. comme à un "frein" électrique interne. Plus le moteur tourne vite, plus ce frein est puissant. L'équilibre est atteint lorsque la tension d'alimentation arrive juste à vaincre ce frein électrique (\(E\)) et les pertes par résistance (\(R_{\text{a}} \cdot I_{\text{a}}\)).

Normes

La CEI 60034-1 définit les méthodes d'essai pour déterminer les caractéristiques des machines tournantes, y compris la relation vitesse-tension. La vitesse nominale indiquée sur la plaque signalétique est la vitesse obtenue dans les conditions nominales de tension, courant et charge.

Formule(s)

Loi des mailles électrique

U = E + R_{\text{a}} \cdot I_{\text{a}} \Rightarrow E = U - R_{\text{a}} \cdot I_{\text{a}}

Relation f.c.e.m.-vitesse

E = K \cdot ω \Rightarrow ω = \frac{E}{K}

Conversion de vitesse

N (\text{tr/min}) = ω (\text{rad/s}) \times \frac{60}{2\pi}

Hypothèses

Le moteur fonctionne en régime permanent.
La constante \(K\) est la même pour le couple et la f.c.e.m.
La tension d'alimentation \(U\) est stable et égale à sa valeur nominale.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(U_{\text{n}}\)	24	V
Résistance d'induit	\(R_{\text{a}}\)	0.5	Ω
Courant d'induit	\(I_{\text{a}}\)	24.525	A
Constante de moteur	\(K\)	0.1	V.s/rad

Astuces

Pour la conversion, retenez qu'un tour complet est \(2\pi\) radians et qu'il y a 60 secondes dans une minute. Le facteur de conversion est donc \(60/(2\pi)\), soit environ 9.55. Pour une estimation rapide, on peut multiplier les rad/s par 10. (117 rad/s * 10 ~= 1170 tr/min, proche du résultat).

Schéma (Avant les calculs)

Schéma électrique équivalent du moteur en fonctionnement

Calcul(s)

Calcul de la f.c.e.m. E

\begin{aligned} E &= 24 \text{ V} - (0.5 \text{ Ω} \times 24.525 \text{ A}) \\ &= 24 \text{ V} - 12.2625 \text{ V} \\ &= 11.7375 \text{ V} \end{aligned}

Calcul de la vitesse angulaire ω

\begin{aligned} ω &= \frac{11.7375 \text{ V}}{0.1 \text{ V.s/rad}} \\ &= 117.375 \text{ rad/s} \end{aligned}

Conversion en tr/min

\begin{aligned} N &= 117.375 \times \frac{60}{2\pi} \\ &\approx 1121 \text{ tr/min} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Point de fonctionnement sur la caractéristique Vitesse-Couple

Réflexions

La vitesse de 1121 tr/min est la vitesse d'équilibre pour cette charge précise. Si la charge était plus légère, le courant serait plus faible, la chute de tension \(R_{\text{a}} I_{\text{a}}\) serait moindre, \(E\) serait plus grand, et donc le moteur tournerait plus vite. À l'inverse, une charge plus lourde le ralentirait.

Points de vigilance

L'unité de K est cruciale. Si la vitesse est souhaitée en tr/min, il faut soit calculer en rad/s puis convertir, soit utiliser une constante K' convertie en V/(tr/min). Il est plus sûr de toujours rester en unités SI (rad/s) et de ne convertir qu'à la toute fin.

Points à retenir

La vitesse du moteur est directement liée à la f.c.e.m. (\(E = K \cdot ω\)).
La f.c.e.m. est la tension "utile" qui reste après les pertes Joule (\(E = U - R_{\text{a}} I_{\text{a}}\)).
La vitesse d'un moteur CC diminue lorsque la charge (et donc le courant) augmente.

Le saviez-vous ?

C'est grâce à cette relation entre vitesse et f.c.e.m. qu'un moteur à courant continu peut fonctionner en génératrice (dynamo). Si on entraîne mécaniquement l'arbre du moteur, il produit une tension \(E = K \cdot ω\) à ses bornes, convertissant l'énergie mécanique en énergie électrique.

FAQ

Résultat Final

La vitesse de rotation du moteur est de 117.4 rad/s, soit environ 1121 tr/min.

A vous de jouer

Si on alimentait le moteur sous 20V seulement, quelle serait sa nouvelle vitesse en tr/min (avec la même charge) ?

Question 4 : Calculer le courant de démarrage \(I_{\text{d}}\)

Principe

Au moment précis du démarrage (t=0), l'arbre du moteur est encore immobile. Puisque la vitesse de rotation est nulle, la force contre-électromotrice \(E\), qui est proportionnelle à la vitesse, est également nulle. L'équation électrique se simplifie alors drastiquement, et le seul élément qui limite le courant est la résistance interne de l'induit.

Mini-Cours

Cet instant transitoire est le plus critique pour le moteur et son alimentation. L'absence de f.c.e.m. fait que le bobinage de l'induit se comporte comme un simple résistor. Le courant n'est alors limité que par la loi d'Ohm. Ce courant, souvent appelé "courant de rotor bloqué" ou "courant d'appel", peut être 5 à 10 fois supérieur au courant nominal, provoquant des contraintes thermiques et électrodynamiques importantes.

Remarque Pédagogique

Imaginez que vous poussez une voiture. Au début, il faut un effort énorme pour la mettre en mouvement (phase de démarrage). Une fois qu'elle roule, l'effort pour maintenir la vitesse est bien plus faible. C'est pareil pour le moteur : le courant de démarrage est l'effort électrique maximal pour vaincre l'inertie et démarrer la rotation.

Normes

Les normes (CEI 60034-12) définissent les classes de démarrage des moteurs et les surintensités admissibles. Les dispositifs de protection (disjoncteurs, fusibles) doivent avoir des courbes de déclenchement adaptées (type D, par exemple) pour tolérer cette pointe de courant brève sans disjoncter inutilement.

Formule(s)

Loi des mailles au démarrage

U = R_{\text{a}} \cdot I_{\text{d}} \Rightarrow I_{\text{d}} = \frac{U}{R_{\text{a}}}

Hypothèses

On se place à l'instant exact du démarrage (\(t=0^+\)), où la vitesse est encore nulle.
On néglige l'inductance de l'induit, qui en pratique retarde légèrement l'établissement du courant mais ne change pas sa valeur de crête théorique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(U_{\text{n}}\)	24	V
Résistance d'induit	\(R_{\text{a}}\)	0.5	Ω

Astuces

Le calcul est une simple application de la loi d'Ohm. L'astuce est de se souvenir que la f.c.e.m. est nulle au démarrage, c'est la seule différence avec le calcul en régime permanent.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma électrique équivalent au démarrage (E=0)

Calcul(s)

Application de la loi d'Ohm

\begin{aligned} I_{\text{d}} &= \frac{24 \text{ V}}{0.5 \text{ Ω}} \\ &= 48 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure du courant au démarrage

Réflexions

Le courant de démarrage (48 A) est presque le double du courant nominal en charge (24.53 A). Cette surintensité est caractéristique des démarrages de moteurs et doit être prise en compte pour le dimensionnement de l'alimentation et des protections.

Points de vigilance

Ne jamais laisser un moteur CC bloqué sous tension. Le courant de démarrage, s'il est maintenu, va dissiper une puissance énorme (\(P = R_{\text{a}} I_{\text{d}}^2 = 0.5 \times 48^2 = 1152 \text{ W}\)) dans la petite résistance de l'induit, ce qui le détruira très rapidement par surchauffe.

Points à retenir

Au démarrage, vitesse nulle \(\Rightarrow\) f.c.e.m. nulle.
Le courant de démarrage n'est limité que par la résistance d'induit: \(I_{\text{d}} = U/R_{\text{a}}\).
Le courant de démarrage est toujours la valeur de courant la plus élevée que le moteur consommera.

Le saviez-vous ?

Pour limiter ce courant d'appel, on utilise des "rhéostats de démarrage" (résistances en série que l'on court-circuite progressivement) ou, plus modernement, des variateurs de vitesse électroniques (hacheurs) qui font monter la tension progressivement, limitant ainsi le courant.

FAQ

Résultat Final

Le courant de démarrage du moteur est de 48 A.

A vous de jouer

Si la résistance d'induit était de 0.8 Ω, quel serait le courant de démarrage ?

Question 5 : Calculer les puissances et le rendement \(\eta\)

Principe

Le rendement d'un système est le rapport entre ce qu'il fournit (puissance utile) et ce qu'il consomme (puissance absorbée). Pour notre moteur, la puissance absorbée est électrique, et la puissance utile est la puissance mécanique transmise à la charge. La différence entre les deux correspond aux pertes.

Mini-Cours

L'énergie ne se crée pas, ne se perd pas, elle se transforme. Dans un moteur, la puissance électrique absorbée (\(P_{\text{a}}\)) se divise en deux : une partie est dissipée en chaleur par effet Joule dans la résistance (\(P_{\text{j}}\)), et le reste est converti en puissance électromécanique (\(P_{\text{em}}\)). Cette puissance électromécanique sert à la fois à fournir la puissance utile à la charge (\(P_{\text{u}}\)) et à compenser les pertes mécaniques (frottements, \(P_{\text{f}}\)). Le bilan des puissances est donc : \(P_{\text{a}} = P_{\text{j}} + P_{\text{u}} + P_{\text{f}}\).

Remarque Pédagogique

Le rendement est le critère le plus important pour juger de l'efficacité d'une conversion d'énergie. Un bon rendement signifie moins d'énergie gaspillée en chaleur, donc une meilleure autonomie (pour un système sur batterie) et une facture d'électricité plus faible (pour un système sur secteur).

Normes

La norme CEI 60034-2-1 définit les méthodes normalisées pour mesurer les pertes et le rendement des machines électriques. Cela permet de comparer équitablement les performances de différents moteurs. Les classes de rendement (IE1, IE2, IE3, IE4, IE5) classifient les moteurs selon leur efficacité.

Formule(s)

Puissance électrique absorbée

P_{\text{a}} = U \cdot I_{\text{a}}

Puissance mécanique utile

P_{\text{u}} = C_{\text{r}} \cdot ω

Rendement

\eta = \frac{P_{\text{u}}}{P_{\text{a}}}

Hypothèses

On se place en régime permanent.
On néglige les pertes mécaniques (frottements) et les pertes fer (magnétiques), donc la puissance utile est directement la puissance transmise à la charge.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension	\(U\)	24	V
Courant d'induit	\(I_{\text{a}}\)	24.525	A
Couple résistant	\(C_{\text{r}}\)	2.4525	N.m
Vitesse angulaire	\(ω\)	117.375	rad/s

Astuces

On peut aussi calculer la puissance utile via l'électrique. La puissance convertie en mouvement est \(P_{\text{em}} = E \cdot I_{\text{a}}\). Comme on néglige les pertes mécaniques, \(P_{\text{u}} = P_{\text{em}}\). Calculons: \(11.7375 \text{ V} \times 24.525 \text{ A} \approx 287.87\) W. On retrouve bien le même résultat, ce qui confirme la cohérence des calculs.

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des flux de puissance

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la puissance absorbée \(P_{\text{a}}\)

\begin{aligned} P_{\text{a}} &= 24 \text{ V} \times 24.525 \text{ A} \\ &= 588.6 \text{ W} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la puissance utile \(P_{\text{u}}\)

\begin{aligned} P_{\text{u}} &= 2.4525 \text{ N.m} \times 117.375 \text{ rad/s} \\ &\approx 287.87 \text{ W} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul du rendement \(\eta\)

\begin{aligned} \eta &= \frac{287.87 \text{ W}}{588.6 \text{ W}} \\ &\approx 0.489 \\ &\Rightarrow \eta \approx 48.9 \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme des puissances

Réflexions

Un rendement de près de 49% signifie que pour chaque Watt d'électricité consommé, seulement 0.49 Watt est utilisé pour soulever la charge. Le reste (plus de la moitié !) est dissipé sous forme de chaleur dans les bobinages du moteur (pertes Joule). C'est pourquoi les moteurs chauffent en fonctionnement.

Points de vigilance

Ne pas confondre la puissance utile \(P_{\text{u}}\) et la puissance électromécanique \(P_{\text{em}}\). \(P_{\text{em}}\) est la puissance totale convertie, tandis que \(P_{\text{u}}\) est ce qui reste après les pertes mécaniques. Ici on les a supposées nulles, mais dans un cas réel il faudrait les soustraire.

Points à retenir

Le rendement est le rapport de la puissance de sortie (utile) sur la puissance d'entrée (absorbée).
La principale source de perte dans ce modèle est l'effet Joule (\(P_{\text{j}} = R_{\text{a}} I_{\text{a}}^2\)).
Le bilan de puissance \(P_{\text{a}} = P_{\text{j}} + P_{\text{u}}\) (en négligeant les autres pertes) est fondamental.

Le saviez-vous ?

Le rendement d'un moteur n'est pas constant. Il est maximal pour un certain point de fonctionnement (un certain couple et une certaine vitesse). Les ingénieurs choisissent un moteur de sorte que son point de rendement maximal soit le plus proche possible du point de fonctionnement nominal de l'application.

FAQ

Résultat Final

La puissance absorbée est de 588.6 W, la puissance utile de 287.9 W, et le rendement est d'environ 48.9%.

A vous de jouer

Quel serait le rendement si le courant était de 20A et la vitesse de 140 rad/s (avec U=24V et Cr=2 N.m) ?

Outil Interactif : Simulateur de Charge

Utilisez les curseurs pour faire varier la masse de la charge et la tension d'alimentation. Observez l'impact sur le courant, le couple et la vitesse du moteur.

Paramètres d'Entrée

Masse de la charge (kg) 5 kg

Tension d'alimentation (V) 24 V

Résultats en Régime Permanent

Couple Résistant (N.m) -

Courant d'Induit (A) -

Vitesse (tr/min) -

Actionneur: Dispositif qui convertit une énergie (souvent électrique) en un travail mécanique (mouvement, force).
Couple Moteur (\(C_{\text{m}}\)): Le couple généré par les forces électromagnétiques à l'intérieur du moteur, qui provoque la rotation de l'arbre.
Couple Résistant (\(C_{\text{r}}\)): Le couple qui s'oppose à la rotation du moteur, généré par la charge mécanique (poids, frottements...).
Force Contre-Électromotrice (f.c.e.m.): Tension générée par la rotation du moteur qui s'oppose à la tension d'alimentation. Elle est proportionnelle à la vitesse.
Régime Permanent: État de fonctionnement où les grandeurs caractéristiques (vitesse, courant) sont stables et ne varient plus dans le temps.

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du système de levage

Questions à traiter

Les bases sur le Moteur à Courant Continu

Correction : Étude d'un Moteur à Courant Continu comme Actionneur

Question 1 : Calculer le couple résistant \(C_{\text{r}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Forces sur le treuil

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Forces sur le treuil avec valeurs calculées

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Déterminer le courant d'induit \(I_{\text{a}}\) en régime permanent

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Bilan des couples sur l'arbre moteur

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Caractéristique Couple-Courant

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Calculer la vitesse de rotation \(ω\) et \(N\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Schéma électrique équivalent du moteur en fonctionnement

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Point de fonctionnement sur la caractéristique Vitesse-Couple

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Calculer le courant de démarrage \(I_{\text{d}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)