Calcul de l'amplitude de l'onde réfléchie

Contexte : La réflexion d'une onde électromagnétiquePhénomène qui se produit lorsqu'une onde frappe l'interface entre deux milieux et rebondit dans son milieu d'origine..

Lorsqu'une onde électromagnétique, comme la lumière ou une onde radio, se propageant dans un milieu rencontre la surface d'un second milieu aux propriétés différentes, une partie de l'onde est réfléchie, une autre est transmise (ou réfractée) dans le second milieu. Ce phénomène fondamental est gouverné par les propriétés électriques et magnétiques de chaque matériau, notamment leur impédance caractéristiqueRapport entre l'amplitude du champ électrique et celle du champ magnétique d'une onde se propageant dans un milieu. C'est une mesure de l'opposition du milieu au passage de l'onde.. Cet exercice a pour but de calculer l'amplitude de l'onde réfléchie pour une incidence normale.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les concepts d'impédance et des conditions aux limites pour résoudre un problème pratique. Comprendre ce phénomène est essentiel pour des applications comme la conception d'antennes, les fibres optiques ou les traitements antireflets.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et calculer l'impédance caractéristique d'un milieu diélectrique.
Calculer le coefficient de réflexion en amplitude à l'interface entre deux milieux.
Déterminer l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie à partir de l'onde incidente.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale et polarisée linéairement se propage dans l'air (milieu 1) et frappe, avec une incidence normale, une surface de verre (milieu 2).

Fiche Technique

Caractéristique	Description
Type d'onde	Onde plane sinusoïdale
Incidence	Normale (perpendiculaire à l'interface)
Polarisation	Linéaire

Interface entre deux milieux

Paramètre	Description	Valeur	Unité
\(E_0\)	Amplitude du champ électrique incident	10	V/m
\(\epsilon_{\text{r1}}\)	Permittivité relative du milieu 1 (air)	1	-
\(\epsilon_{\text{r2}}\)	Permittivité relative du milieu 2 (verre)	4	-
\(\mu_{\text{r1}}, \mu_{\text{r2}}\)	Perméabilité relative des milieux (non magnétiques)	1	-

Questions à traiter

Calculer l'impédance caractéristique \(Z_1\) du milieu 1 (air). On prendra \(Z_0 \approx 377 \, \Omega\) pour l'impédance du vide.
Calculer l'impédance caractéristique \(Z_2\) du milieu 2 (verre).
Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude pour le champ électrique, \(\Gamma_E\).
En déduire l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie, \(|E_{\text{0r}}|\).

Bases sur la Réflexion des Ondes EM

Pour résoudre cet exercice, deux concepts clés de l'électromagnétisme sont nécessaires : l'impédance caractéristique d'un milieu et le coefficient de réflexion à une interface.

1. Impédance Caractéristique d'un Milieu (\(Z\))
L'impédance caractéristique d'un milieu diélectrique parfait est une mesure de son opposition à la propagation d'une onde électromagnétique. Elle est définie comme le rapport des amplitudes du champ électrique \(E\) et du champ magnétique \(H\). Elle se calcule à partir de la perméabilité magnétique \(\mu\) et de la permittivité diélectrique \(\epsilon\) du milieu. \[ Z = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \sqrt{\frac{\mu_0 \mu_{\text{r}}}{\epsilon_0 \epsilon_{\text{r}}}} = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \sqrt{\frac{\mu_{\text{r}}}{\epsilon_{\text{r}}}} = Z_0 \sqrt{\frac{\mu_{\text{r}}}{\epsilon_{\text{r}}}} \] Où \(Z_0 \approx 377 \, \Omega\) est l'impédance caractéristique du vide.

2. Coefficient de Réflexion (\(\Gamma_E\))
Le coefficient de réflexion en amplitude est le rapport entre l'amplitude de l'onde réfléchie et l'amplitude de l'onde incidente. Pour une onde arrivant en incidence normale sur une interface plane entre deux milieux d'impédances \(Z_1\) et \(Z_2\), il est donné par la formule de Fresnel : \[ \Gamma_E = \frac{E_{\text{0r}}}{E_{\text{0i}}} = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \]

Correction : Calcul de l’Amplitude d’une Onde Électromagnétique Réfléchie

Question 1 : Calculer l'impédance caractéristique \(Z_1\) du milieu 1 (air).

Principe

On applique la formule générale de l'impédance caractéristique au milieu 1 (air), en utilisant ses propriétés diélectriques et magnétiques relatives. Le concept est d'évaluer la "résistance" que le milieu oppose au passage de l'onde.

Mini-Cours

L'impédance caractéristique est l'analogue de la résistance électrique pour les ondes électromagnétiques. Elle lie l'amplitude du champ électrique \(E\) à celle du champ magnétique \(H\) (\(Z = E/H\)). Un milieu avec une haute impédance supportera un champ électrique plus grand pour un même champ magnétique, et inversement.

Remarque Pédagogique

Pour les milieux "simples" comme l'air ou le vide, il est bon de mémoriser que leur impédance est la valeur de référence \(Z_0\). C'est le point de départ de nombreux calculs en électromagnétisme.

Normes

Les valeurs des constantes fondamentales comme \(\mu_0\) (perméabilité du vide) et \(\epsilon_0\) (permittivité du vide), qui définissent \(Z_0\), sont fixées par des organismes internationaux comme le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) dans le cadre du Système International d'unités (SI).

Formule(s)

Formule de l'impédance caractéristique

Z_1 = Z_0 \sqrt{\frac{\mu_{\text{r1}}}{\epsilon_{\text{r1}}}}

Hypothèses

L'air est considéré comme un milieu diélectrique parfait, sans pertes.
Les propriétés de l'air sont assimilées à celles du vide, c'est-à-dire \(\mu_{\text{r1}}=1\) et \(\epsilon_{\text{r1}}=1\).

Donnée(s)

Les données suivantes sont issues de l'énoncé de l'exercice et des constantes physiques standards.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance du vide	\(Z_0\)	377	\(\Omega\)
Permittivité relative de l'air	\(\epsilon_{\text{r1}}\)	1	-
Perméabilité relative de l'air	\(\mu_{\text{r1}}\)	1	-

Astuces

Pour tout milieu non-magnétique (\(\mu_{\text{r}}=1\)), la formule se simplifie en \(Z = Z_0 / \sqrt{\epsilon_{\text{r}}}\). C'est le cas pour la plupart des matériaux diélectriques courants.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur le milieu 1, où l'onde incidente se propage avant d'atteindre l'interface. Ce milieu est caractérisé par son impédance intrinsèque \(Z_1\).

Propagation dans le Milieu 1

Calcul(s)

Application numérique pour l'air

\begin{aligned} Z_1 &= 377 \, \Omega \times \sqrt{\frac{1}{1}} \\ &= 377 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul définit la propriété intrinsèque du milieu 1.

Propriété du Milieu 1

Réflexions

Le résultat est logique : l'impédance de l'air est quasiment identique à celle du vide. Cette valeur servira de référence pour calculer la réflexion à l'interface avec le verre.

Points de vigilance

Ne pas confondre l'impédance du vide (\(Z_0\)) avec celle d'un matériau. Toujours vérifier les valeurs de \(\mu_{\text{r}}\) et \(\epsilon_{\text{r}}\) avant d'appliquer la formule.

Points à retenir

L'impédance de l'air est, en première approximation, égale à l'impédance du vide, \(Z_0 \approx 377 \, \Omega\).

Le saviez-vous ?

La valeur exacte de l'impédance du vide est \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\). Avant la redéfinition des unités SI de 2019, \(\mu_0\) était fixé, ce qui donnait une valeur exacte pour \(Z_0\). Aujourd'hui, elle est déterminée expérimentalement, mais \(377 \, \Omega\) reste une excellente approximation.

FAQ

Résultat Final

L'impédance caractéristique de l'air est \(Z_1 = 377 \, \text{ } \Omega\).

A vous de jouer

Sachant que le Téflon a une permittivité relative \(\epsilon_{\text{r}} \approx 2.1\), quelle est son impédance caractéristique (en supposant \(\mu_{\text{r}}=1\)) ?

Question 2 : Calculer l'impédance caractéristique \(Z_2\) du milieu 2 (verre).

Principe

Comme pour la première question, on utilise la formule de l'impédance caractéristique, mais cette fois avec les propriétés du milieu 2 (le verre).

Mini-Cours

La permittivité relative \(\epsilon_{\text{r}}\) d'un matériau indique combien de fois plus un matériau peut stocker d'énergie électrique par rapport au vide. Une \(\epsilon_{\text{r}}\) de 4 signifie que le verre peut stocker 4 fois plus d'énergie. Cela a pour effet de "ralentir" l'onde et de diminuer l'impédance du milieu.

Remarque Pédagogique

Notez bien la relation inverse entre l'impédance et la racine carrée de la permittivité. C'est une relation fondamentale à retenir : un milieu plus "dense" électriquement (plus grande permittivité) a une impédance plus faible.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire pour ce calcul, mais les valeurs des propriétés des matériaux comme le verre sont tabulées dans des manuels d'ingénierie et des bases de données scientifiques de référence.

Formule(s)

Formule de l'impédance caractéristique

Z_2 = Z_0 \sqrt{\frac{\mu_{\text{r2}}}{\epsilon_{\text{r2}}}}

Hypothèses

Le verre est considéré comme un milieu diélectrique parfait, non-magnétique (\(\mu_{\text{r2}}=1\)).
La valeur de \(\epsilon_{\text{r2}}=4\) est considérée comme constante sur la fréquence de l'onde.

Donnée(s)

Les données suivantes sont issues de l'énoncé de l'exercice et des constantes physiques standards.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance du vide	\(Z_0\)	377	\(\Omega\)
Permittivité relative du verre	\(\epsilon_{\text{r2}}\)	4	-
Perméabilité relative du verre	\(\mu_{\text{r2}}\)	1	-

Astuces

Lorsque vous avez \(\sqrt{1/x}\), c'est simplement \(1/\sqrt{x}\). Ici, \(\sqrt{1/4} = 1/2\), ce qui rend le calcul mental très rapide : la moitié de 377.

Schéma (Avant les calculs)

L'onde s'apprête à pénétrer le milieu 2. Notez que la longueur d'onde y sera plus courte que dans l'air, car la vitesse de l'onde diminue.

Propagation dans le Milieu 2

Calcul(s)

Application numérique pour le verre

\begin{aligned} Z_2 &= 377 \, \Omega \times \sqrt{\frac{1}{4}} \\ &= 377 \times \frac{1}{2} \\ &= 188.5 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul définit la propriété intrinsèque du milieu 2.

Propriété du Milieu 2

Réflexions

L'impédance du verre (\(188.5 \, \Omega\)) est significativement plus faible que celle de l'air (\(377 \, \Omega\)). C'est ce contraste d'impédance qui va causer une réflexion non-nulle à l'interface.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien utiliser la permittivité du bon milieu dans votre calcul. Une erreur courante est de mélanger les indices 1 et 2.

Points à retenir

L'impédance d'un diélectrique non-magnétique est inversement proportionnelle à son indice de réfraction (\(n=\sqrt{\epsilon_{\text{r}}}\)), car \(Z = Z_0/n\).

Le saviez-vous ?

L'adaptation d'impédance est un concept crucial en ingénierie. Pour maximiser la transmission d'énergie (par exemple, d'une antenne à un câble), on cherche à avoir \(Z_1 = Z_2\). Dans ce cas, il n'y a aucune réflexion (\(\Gamma_E = 0\)).

FAQ

Résultat Final

L'impédance caractéristique du verre est \(Z_2 = 188.5 \, \text{ } \Omega\).

A vous de jouer

Calculez l'impédance caractéristique d'un matériau non-magnétique dont la permittivité relative est \(\epsilon_{\text{r}} = 9\).

Question 3 : Déterminer le coefficient de réflexion en amplitude, \(\Gamma_E\).

Principe

La réflexion naît du besoin de respecter les conditions de continuité des champs E et H à l'interface. Le coefficient de réflexion quantifie la fraction de l'amplitude de l'onde qui est renvoyée en arrière, et est directement lié au "saut" d'impédance entre les deux milieux.

Mini-Cours

Les équations de Fresnel, qui décrivent \(\Gamma_E\), sont dérivées des équations de Maxwell en appliquant les conditions aux limites : la composante tangentielle du champ électrique total (incident + réfléchi) dans le milieu 1 doit être égale à la composante tangentielle du champ électrique (transmis) dans le milieu 2, et de même pour le champ magnétique.

Remarque Pédagogique

Pensez au coefficient de réflexion comme à un "pourcentage". Une valeur de -0.333 signifie qu'environ 33.3% de l'amplitude du champ électrique est réfléchie. Le signe moins, lui, est une information sur la phase.

Normes

Les formules de Fresnel sont des résultats fondamentaux de l'électromagnétisme classique et ne dépendent pas d'une norme spécifique, mais de l'application directe des équations de Maxwell.

Formule(s)

Formule de Fresnel pour l'incidence normale

\Gamma_E = \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1}

Hypothèses

L'interface entre l'air et le verre est considérée comme infiniment fine et plane.
L'onde incidente est en incidence normale, ce qui permet d'utiliser la forme simplifiée des équations de Fresnel.

Donnée(s)

Les données suivantes proviennent des résultats calculés dans les questions 1 et 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Impédance du milieu 1	\(Z_1\)	377	\(\Omega\)
Impédance du milieu 2	\(Z_2\)	188.5	\(\Omega\)

Astuces

La formule peut être réécrite en utilisant l'indice de réfraction \(n\) pour les milieux non-magnétiques (\(Z=Z_0/n\)): \(\Gamma_E = (n_1-n_2)/(n_1+n_2)\). Ici, \(n_1=1\) et \(n_2=\sqrt{4}=2\), donc \(\Gamma_E = (1-2)/(1+2) = -1/3\). C'est souvent plus rapide.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le concept de "désadaptation d'impédance" à l'interface, qui est la cause physique de la réflexion.

Désadaptation d'impédance

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} \Gamma_E &= \frac{188.5 - 377}{188.5 + 377} \\ &= \frac{-188.5}{565.5} \\ &\approx -0.333 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le signe négatif du résultat indique une inversion de phase du champ électrique lors de la réflexion. Le vecteur du champ électrique réfléchi pointe dans la direction opposée à celui du champ incident à l'interface.

Inversion de phase de E à l'interface

Réflexions

Le coefficient de réflexion est négatif. Physiquement, cela signifie que le champ électrique de l'onde réfléchie est en opposition de phase (déphasé de 180° ou \(\pi\) radians) par rapport au champ de l'onde incidente à l'interface. C'est typique d'une réflexion sur un milieu optiquement plus dense (indice \(n_2>n_1\)).

Points de vigilance

Attention à l'ordre des termes dans la formule de Fresnel. C'est toujours \((Z_{\text{destination}} - Z_{\text{origine}}) / (Z_{\text{destination}} + Z_{\text{origine}})\). Inverser les termes change le signe du résultat.

Points à retenir

Le coefficient de réflexion quantifie la désadaptation d'impédance. Si \(Z_1=Z_2\), \(\Gamma_E=0\). Plus la différence est grande, plus \(|\Gamma_E|\) s'approche de 1.

Le saviez-vous ?

Le même principe de réflexion par désadaptation d'impédance s'applique aux ondes acoustiques. C'est ce qui permet à l'échographie médicale de "voir" les interfaces entre différents organes et tissus dans le corps, qui ont des impédances acoustiques différentes.

FAQ

Résultat Final

Le coefficient de réflexion en amplitude est \(\Gamma_E \approx -0.333\).

A vous de jouer

Calculez le coefficient de réflexion \(\Gamma_E\) pour une onde passant de l'air (\(Z_1=377\,\Omega\)) au Téflon (\(Z_2 \approx 260\,\Omega\)).

Question 4 : En déduire l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie, \(|E_{\text{0r}}|\).

Principe

L'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie s'obtient simplement en multipliant l'amplitude de l'onde incidente par le coefficient de réflexion. C'est la définition même de ce coefficient.

Mini-Cours

Le champ électrique total dans le milieu 1 est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie. Juste à l'interface (en \(z=0\)), \(E_1(0,t) = E_{0\text{i}} e^{j\omega t} + E_{0\text{r}} e^{j\omega t}\). Cette superposition peut créer des ondes stationnaires si la réflexion est forte.

Remarque Pédagogique

Le calcul final est une simple multiplication. La physique du problème réside dans les étapes précédentes. Cette dernière étape ne fait que concrétiser le résultat en lui donnant une valeur physique (en V/m).

Normes

Pas de norme applicable pour cette étape de calcul.

Formule(s)

Relation champ réfléchi / champ incident

E_{\text{0r}} = \Gamma_E \times E_0

Calcul de l'amplitude

|E_{\text{0r}}| = |\Gamma_E \times E_0|

Hypothèses

On suppose que le champ incident \(E_0\) est bien celui qui atteint l'interface, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'atténuation dans le milieu 1.

Donnée(s)

Les données suivantes proviennent de l'énoncé de l'exercice et du résultat calculé à la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Coefficient de réflexion	\(\Gamma_E\)	-0.333	-
Amplitude incidente	\(E_0\)	10	V/m

Astuces

Puisqu'on cherche l'amplitude (une grandeur toujours positive), on peut calculer directement avec la valeur absolue du coefficient de réflexion : \(|E_{\text{0r}}| = |\Gamma_E| \times |E_0|\).

Schéma (Avant les calculs)

On visualise les amplitudes des ondes incidente et réfléchie. Le but du calcul est de trouver l'amplitude de l'onde réfléchie.

Rapport d'amplitudes

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul du champ électrique réfléchi (avec phase)

\begin{aligned} E_{\text{0r}} &= -0.333 \times 10 \, \text{V/m} \\ &= -3.33 \, \text{V/m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de l'amplitude du champ réfléchi

\begin{aligned} |E_{\text{0r}}| &= |-3.33 \, \text{V/m}| \\ &= 3.33 \, \text{V/m} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma compare visuellement les magnitudes des champs électriques incident et réfléchi. La flèche de l'onde réfléchie est environ un tiers de la taille de celle de l'onde incidente.

Comparaison des Amplitudes

Réflexions

L'amplitude du champ électrique réfléchi est d'environ 3.33 V/m, soit un tiers de l'amplitude incidente. Le reste de l'énergie de l'onde a été transmis dans le verre.

Points de vigilance

Ne pas oublier de prendre la valeur absolue si seule l'amplitude est demandée. La valeur signée contient l'information de phase, mais l'amplitude est par définition une quantité positive.

Points à retenir

L'amplitude réfléchie est toujours une fraction de l'amplitude incidente, déterminée par le coefficient de réflexion : \(|E_{\text{réfléchi}}| = |\Gamma_E| \times |E_{\text{incident}}|\).

Le saviez-vous ?

Les miroirs sans tain fonctionnent sur ce principe. C'est une fine couche métallique sur du verre qui réfléchit une partie de la lumière et en transmet une autre. La pièce la plus éclairée verra son reflet, tandis que la personne dans la pièce sombre pourra voir à travers, car la lumière transmise depuis la pièce claire est plus intense que la lumière réfléchie de la pièce sombre.

FAQ

Résultat Final

L'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie est \(|E_{\text{0r}}| \approx 3.33 \, \text{V/m}\).

A vous de jouer

Calculez l'amplitude réfléchie \(|E_{\text{0r}}|\) pour une onde incidente de 10 V/m passant de l'air à l'eau (\(\epsilon_{\text{r2}} = 81\)).

Outil Interactif : Simulateur de Réflexion

Ce simulateur vous permet de faire varier la permittivité du second milieu et l'amplitude de l'onde incidente pour observer leur influence sur l'onde réfléchie.

Paramètres d'Entrée

Permittivité relative du milieu 2, \(\epsilon_{\text{r2}}\) 4

Amplitude incidente, \(E_0\) (V/m) 10 V/m

Résultats Clés

Coefficient de réflexion, \(\Gamma_E\) -

Amplitude réfléchie, \(|E_{\text{0r}}|\) (V/m) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'impédance caractéristique d'un milieu diélectrique non-magnétique augmente lorsque sa permittivité...

Augmente
Diminue
Reste constante

2. Si l'impédance du second milieu \(Z_2\) est plus grande que celle du premier milieu \(Z_1\), le coefficient de réflexion \(\Gamma_E\) sera...

Positif
Négatif
Nul

3. Un coefficient de réflexion \(\Gamma_E = -1\) signifie que...

L'onde est totalement transmise.
L'onde est totalement réfléchie sans changement de phase.
L'onde est totalement réfléchie avec une inversion de phase.

Impédance Caractéristique (\(Z\)): Rapport entre l'amplitude du champ électrique et celle du champ magnétique d'une onde se propageant dans un milieu. Elle caractérise la capacité du milieu à laisser l'onde se propager. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Coefficient de Réflexion (\(\Gamma\)): Rapport complexe entre l'amplitude de l'onde réfléchie et celle de l'onde incidente à une interface. Sa magnitude indique la fraction de l'amplitude réfléchie et sa phase indique le déphasage lors de la réflexion.
Permittivité (\(\epsilon\)): Propriété physique d'un matériau décrivant sa capacité à se polariser sous l'effet d'un champ électrique, et donc à emmagasiner de l'énergie électrique. Unité : Farad par mètre (F/m).
Perméabilité (\(\mu\)): Propriété physique d'un matériau décrivant sa capacité à canaliser les lignes de champ magnétique. Unité : Henry par mètre (H/m).