Calcul de l’impédance dans un circuit RLC
Analyser un circuit RLC série en courant alternatif pour déterminer son impédance, le courant et le déphasage.
Dans un circuit en courant alternatif (AC), l'impédance (\(Z\)) est la mesure de l'opposition totale au passage du courant. Elle généralise la notion de résistance aux circuits contenant des inductances et des capacités. L'impédance est un nombre complexe, mais on travaille souvent avec son module.
Pour les composants de base :
- Résistance (R) : Son impédance est \(Z_R = R\).
- Inductance (L) : Sa réactance inductive est \(X_L = L\omega\), où \(\omega = 2\pi f\) est la pulsation (\(f\) étant la fréquence). Son impédance est \(Z_L = jX_L\).
- Capacité (C) : Sa réactance capacitive est \(X_C = \frac{1}{C\omega}\). Son impédance est \(Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -jX_C\).
Pour un circuit RLC série, l'impédance totale \(Z_{eq}\) est la somme des impédances individuelles. Le module de l'impédance totale, noté \(Z\), est donné par :
Le déphasage (\(\varphi\)) entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant qui le traverse est donné par :
- Si \(X_L > X_C\) (\(\varphi > 0\)), le circuit est dit inductif (le courant est en retard sur la tension).
- Si \(X_C > X_L\) (\(\varphi < 0\)), le circuit est dit capacitif (le courant est en avance sur la tension).
- Si \(X_L = X_C\) (\(\varphi = 0\)), le circuit est dit résistif (ou à la résonance).
Le courant efficace \(I\) dans le circuit est donné par la loi d'Ohm généralisée : \(I = U_S / Z\), où \(U_S\) est la tension efficace de la source.
Données du Problème
Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace \(U_S = 115 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 60 \text{ Hz}\).
- Tension efficace de la source : \(U_S = 115 \text{ V}\)
- Fréquence : \(f = 60 \text{ Hz}\)
- Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
- Inductance : \(L = 80 \text{ mH}\)
- Capacité : \(C = 30 \, \mu\text{F}\)
Questions
- Convertir les valeurs de l'inductance \(L\) et de la capacité \(C\) dans leurs unités de base du Système International (Henry et Farad).
- Calculer la pulsation \(\omega\) du circuit.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\).
- Calculer la réactance capacitive \(X_C\).
- Calculer le module de l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- Calculer l'angle de déphasage \(\varphi\) entre la tension totale et le courant. Le circuit est-il globalement inductif, capacitif ou résistif ?
- Calculer la valeur efficace du courant \(I\) circulant dans le circuit.
- Calculer les valeurs efficaces des tensions aux bornes de la résistance (\(U_R\)), de l'inductance (\(U_L\)), et du condensateur (\(U_C\)).
- Vérifier la loi des mailles pour les valeurs efficaces en calculant \(\sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}\) et en comparant à \(U_S\).
Correction : Calcul de l’impédance dans un circuit RLC
1. Conversion des Unités de \(L\) et \(C\)
\(1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}\) et \(1 \, \mu\text{F} = 10^{-6} \text{ F}\).
Données :
\(L = 80 \text{ mH}\)
\(C = 30 \, \mu\text{F}\)
\(L = 0.080 \text{ H}\).
\(C = 3.0 \times 10^{-5} \text{ F}\).
2. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
On utilise la formule \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 60 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega \approx 376.99 \text{ rad/s}\).
Quiz Intermédiaire : Pulsation et Fréquence
3. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))
On utilise la formule \(X_L = L\omega\).
Données :
\(L = 0.080 \text{ H}\)
\(\omega \approx 376.99 \text{ rad/s}\)
La réactance inductive est \(X_L \approx 30.16 \, \Omega\).
4. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))
On utilise la formule \(X_C = 1/(C\omega)\).
Données :
\(C = 3.0 \times 10^{-5} \text{ F}\)
\(\omega \approx 376.99 \text{ rad/s}\)
La réactance capacitive est \(X_C \approx 88.42 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Réactances
5. Calcul du Module de l'Impédance Totale (\(Z\))
On utilise la formule \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).
Données :
\(R = 50 \, \Omega\)
\(X_L \approx 30.16 \, \Omega\)
\(X_C \approx 88.42 \, \Omega\)
Le module de l'impédance totale est \(Z \approx 76.77 \, \Omega\).
Quiz Intermédiaire : Impédance à la Résonance
6. Calcul du Déphasage (\(\varphi\)) et Nature du Circuit
On utilise \(\tan\varphi = (X_L - X_C) / R\).
Données :
\(X_L - X_C \approx -58.26 \, \Omega\)
\(R = 50 \, \Omega\)
Puisque \(X_C > X_L\) (ou \(\varphi < 0\)), le circuit est globalement capacitif. Le courant est en avance sur la tension.
Le déphasage est \(\varphi \approx -49.39^\circ\). Le circuit est capacitif.
7. Calcul du Courant Efficace (\(I\))
On utilise \(I = U_S / Z\).
Données :
\(U_S = 115 \text{ V}\)
\(Z \approx 76.77 \, \Omega\)
Le courant efficace dans le circuit est \(I \approx 1.498 \text{ A}\).
8. Calcul des Tensions Efficaces (\(U_R, U_L, U_C\))
\(U_R = RI\), \(U_L = X_L I\), \(U_C = X_C I\).
Données :
\(R = 50 \, \Omega\)
\(X_L \approx 30.16 \, \Omega\)
\(X_C \approx 88.42 \, \Omega\)
\(I \approx 1.498 \text{ A}\)
\(U_R \approx 74.90 \text{ V}\).
\(U_L \approx 45.18 \text{ V}\).
\(U_C \approx 132.45 \text{ V}\).
9. Vérification de la Loi des Mailles
On vérifie si \(U_S \approx \sqrt{U_R^2 + (U_L - U_C)^2}\).
Données :
\(U_R \approx 74.90 \text{ V}\)
\(U_L \approx 45.18 \text{ V}\)
\(U_C \approx 132.45 \text{ V}\)
\(U_S = 115 \text{ V}\)
La valeur calculée (\(115.00 \text{ V}\)) est égale à la tension source \(U_S\). La loi des mailles est vérifiée (aux arrondis près).
La vérification \(\sqrt{74.90^2 + (45.18 - 132.45)^2} \approx 115.00 \text{ V}\) confirme la loi des mailles.
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Glossaire des Termes Clés
Impédance (\(Z\)) :
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle est la généralisation de la résistance pour les circuits AC et est une grandeur complexe (ou son module en Ohms).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Partie imaginaire de l'impédance d'une inductance, représentant son opposition au changement de courant. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Capacitive (\(X_C\)) :
Partie imaginaire de l'impédance d'un condensateur, représentant son opposition au changement de tension. \(X_C = 1/(C\omega)\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Déphasage (\(\varphi\)) :
Différence de phase entre la tension totale aux bornes d'un circuit et le courant qui le traverse.
Circuit RLC Série :
Circuit électrique comprenant une résistance (R), une inductance (L) et une capacité (C) connectées en série.
Valeur Efficace :
Valeur d'un courant continu (ou d'une tension continue) qui produirait le même échauffement (puissance dissipée) dans une résistance qu'un courant alternatif (ou une tension alternative) donné. Pour un signal sinusoïdal, \(X_{eff} = X_{max}/\sqrt{2}\).
Résonance (en série) :
Condition dans un circuit RLC série où la réactance inductive égale la réactance capacitive (\(X_L = X_C\)), ce qui minimise l'impédance (égale à R) et maximise le courant pour une tension donnée.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment varie l'impédance d'un circuit RLC série en fonction de la fréquence ? Tracez qualitativement l'allure de \(Z(f)\).
2. Qu'est-ce que la fréquence de résonance \(f_0\) d'un circuit RLC série ? Comment la calcule-t-on et quelles sont les caractéristiques du circuit à cette fréquence ?
3. Expliquez le concept de facteur de qualité (Q) d'un circuit RLC série et son lien avec la sélectivité du circuit en fréquence.
4. Comment les tensions \(U_L\) et \(U_C\) peuvent-elles être individuellement supérieures à la tension source \(U_S\) dans un circuit RLC série, notamment près de la résonance ? Cela contredit-il la loi des mailles ?
5. Si les composants R, L, C étaient montés en parallèle au lieu d'être en série, comment calculerait-on l'admittance totale du circuit et comment cela se rapporterait-il à l'impédance ?
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