Analyse de la Puissance dans un Circuit

Contexte : Installation électrique industrielle et domestique.

Dans une installation électrique alimentée en Courant Alternatif (AC)Courant dont la direction change périodiquement (ex: 50Hz)., la puissance ne se résume pas à un simple produit tension-courant. En raison de la présence de bobines (moteurs) ou de condensateurs, un déphasage apparaît. Il est crucial de distinguer la puissance réellement utile (Puissance ActivePuissance transformée en travail ou chaleur (Watts).) de la puissance "perdue" dans les champs magnétiques (Puissance RéactivePuissance liée au stockage d'énergie magnétique (VAR).).

Remarque Pédagogique : Comprendre le triangle des puissances est essentiel pour dimensionner correctement les câbles et éviter les pénalités de facturation liées à un mauvais facteur de puissance.

Objectifs Pédagogiques

Calculer les puissances Apparente (S), Active (P) et Réactive (Q).
Maîtriser la notion de Facteur de Puissance (\(\text{cos } \varphi\)).
Construire et analyser le Triangle des Puissances.

Données de l'étude

On alimente une charge inductive (type moteur électrique) sous une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz. Les relevés au multimètre et à l'oscilloscope nous donnent les valeurs suivantes.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Tension d'alimentation (V)	230 V
Intensité du courant (I)	5 A
Déphasage tension/courant (\(\varphi\))	45°

Schéma Électrique Équivalent

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Efficace	\(V\)	230	\(\text{V}\)
Intensité Efficace	\(I\)	5	\(\text{A}\)
Angle de déphasage	\(\varphi\)	45	\(\text{degrés}\)

Questions à traiter

Calculer la Puissance Apparente (S).
Déterminer le Facteur de Puissance (\(\text{cos } \varphi\)).
En déduire la Puissance Active (P).
Calculer la Puissance Réactive (Q).
Calculer le courant total si on ajoute une charge résistive pure consommant 5A supplémentaires.

Les bases théoriques : Le Trio des Puissances

En régime alternatif sinusoïdal, le courant et la tension ne sont pas toujours synchronisés (en phase). Ce décalage temporel, appelé déphasage, oblige à distinguer trois formes de puissance pour décrire correctement les échanges d'énergie.

1. Puissance Apparente (S) : La Capacité
C'est la puissance "totale" que la source (réseau, transformateur) doit être capable de fournir. Elle correspond à l'amplitude du signal de puissance sans tenir compte du déphasage. Elle sert à dimensionner les équipements (section des câbles, taille du transformateur, calibre des disjoncteurs) car c'est elle qui détermine le courant maximal qui circulera physiquement dans les conducteurs.

Formule de définition

S = V \cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}

Où :

\(S\) est en Volt-Ampère (\(\text{VA}\)).
C'est la grandeur vectorielle résultante (l'hypoténuse du triangle).

2. Puissance Active (P) : L'Utile
C'est la seule puissance qui correspond à une transformation réelle et irréversible d'énergie électrique en une autre forme (mécanique, thermique, lumineuse, chimique). C'est la puissance "vraie" qui fournit un travail. C'est également la seule puissance enregistrée par les compteurs d'énergie domestiques classiques.

Formule de calcul

P = V \cdot I \cdot \cos \varphi

Où :

\(P\) est en Watts (\(\text{W}\)).
\(\cos \varphi\) est le facteur de qualité de la transmission.
Pour une résistance pure (radiateur), \(\cos \varphi = 1\), donc \(P = S\).

3. Puissance Réactive (Q) : La Magnétisante
Cette puissance ne produit aucun travail direct. Elle correspond à l'énergie qui fait des aller-retours entre la source et la charge pour créer et entretenir les champs électromagnétiques nécessaires au fonctionnement des machines (bobinages des moteurs, transformateurs) ou les champs électriques (condensateurs). Bien qu'elle ne "consomme" rien en moyenne, elle surcharge les lignes car le courant associé doit bien circuler.

Formule de calcul

Q = V \cdot I \cdot \sin \varphi

Où :

\(Q\) est en Volt-Ampère Réactif (\(\text{VAR}\)).
Si \(Q > 0\) : le circuit est Inductif (consomme du réactif).
Si \(Q < 0\) : le circuit est Capacitif (fournit du réactif).

Correction : Analyse de la Puissance dans un Circuit

Question 1 : Calcul de la Puissance Apparente (S)

Principe

La puissance apparente, notée \(S\), représente l'ensemble de la puissance électrique mise en jeu dans le circuit. Elle correspond à l'amplitude du vecteur puissance complexe. Physiquement, c'est la puissance que doit être capable de délivrer la source (générateur ou réseau EDF) et que doivent supporter les conducteurs et les transformateurs, indépendamment du fait que cette puissance soit utilisée pour produire un travail (active) ou pour magnétiser les bobines (réactive). C'est pour cela qu'elle sert de base au dimensionnement des installations.

Mini-Cours

En régime alternatif monophasé sinusoïdal, la puissance apparente se calcule par le produit des valeurs efficaces de la tension et du courant : \(S = V_{\text{eff}} \times I_{\text{eff}}\). Elle s'exprime en Volt-Ampère (\(\text{VA}\)) pour la distinguer clairement des Watts (\(\text{W}\)) qui ne concernent que la puissance active. Elle est aussi le module du vecteur puissance complexe \(\underline{S} = P + jQ\), d'où la relation \(S^2 = P^2 + Q^2\).

Remarque Pédagogique

Imaginez un verre de bière. Le liquide représente la puissance active (ce qu'on boit vraiment), la mousse représente la puissance réactive (inutile mais inévitable). La puissance apparente \(S\) est le volume total du verre nécessaire pour contenir les deux. C'est donc toujours la plus grande valeur.

Normes

Selon la norme internationale IEC 60038, la tension nominale standard basse tension est de \(230 \text{ V}\) entre phase et neutre (\(400 \text{ V}\) entre phases). La puissance souscrite dans les contrats de fourniture d'énergie (EDF, Enedis) est toujours exprimée en \(\text{kVA}\) (kilovoltampères), c'est-à-dire en puissance apparente, car c'est elle qui limite le courant maximal que peut supporter le compteur.

Formule(s)

Formule fondamentale

S = V \times I

Hypothèses

Pour effectuer ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes, classiques en électrotechnique de base :

Le régime est sinusoïdal permanent : les grandeurs ne varient plus en amplitude (pas de régime transitoire d'allumage).
La tension d'alimentation est stable et parfaitement sinusoïdale (pas de pollution harmonique).
Les valeurs données (\(230 \text{ V}\) et \(5 \text{ A}\)) sont bien des valeurs efficaces (RMS - Root Mean Square), ce qui est le cas par défaut sur les appareils de mesure standards.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	\(V\)	230	\(\text{V}\)
Courant absorbé	\(I\)	5	\(\text{A}\)

Astuces

Astuce de vérification : Si lors de vos calculs futurs vous trouvez une Puissance Active \(P\) supérieure à la Puissance Apparente \(S\), c'est impossible ! \(S\) est toujours l'hypoténuse, donc le côté le plus long du triangle des puissances.

[Schéma - Flux de Puissance]

Calcul(s)

Application numérique

Nous utilisons la tension \(V = 230 \text{ V}\) issue du tableau de données, qui correspond à la tension standard du réseau.

Nous utilisons l'intensité \(I = 5 \text{ A}\) mesurée par l'ampèremètre.

Calcul de S

\begin{aligned} S &= 230 \times 5 \\ &= 1150 \text{ VA} \end{aligned}

Le résultat obtenu est de \(1150\) Volt-Ampères. Cela signifie que la source doit être dimensionnée pour fournir cette "capacité" énergétique, même si une partie sera retournée à la source à chaque cycle (puissance réactive).

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Une valeur de \(1150 \text{ VA}\) est une puissance modeste, comparable à celle d'un aspirateur domestique ou d'un gros outillage électroportatif. C'est la valeur de référence "plafond" pour notre installation.

Points de vigilance

Erreur fatale : Ne jamais exprimer \(S\) en Watts (\(\text{W}\)). Bien que physiquement homogène (\(\text{V} \cdot \text{A}\)), l'usage conventionnel impose strictement le \(\text{VA}\) pour distinguer la nature de cette puissance et éviter toute confusion avec la puissance facturée (active).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Unité : Volt-Ampère (\(\text{VA}\)) ou \(\text{kVA}\).
Sert à calibrer les équipements de protection (disjoncteurs) et les transformateurs.
S est toujours supérieure ou égale à P.

Le saviez-vous ?

Le compteur Linky installé chez les particuliers coupe l'électricité si la puissance apparente \(S\) dépasse la valeur souscrite (ex: \(6 \text{ kVA}\)). Contrairement aux anciens disjoncteurs thermiques qui réagissaient à l'intensité (Ampères), le Linky mesure précisément les \(\text{VA}\) instantanés.

FAQ

Pourquoi S est différent de P ?

La puissance active \(P\) est consommée (disparait du circuit). La puissance apparente \(S\) inclut aussi la puissance réactive \(Q\) qui fait des allers-retours "gratuits" entre la source et la charge sans être consommée, mais qui charge les câbles.

Le résultat final est \(1150 \text{ VA}\).

A vous de jouer
Si l'intensité \(I\) double pour passer à \(10 \text{ A}\) (avec la même tension de \(230 \text{ V}\)), combien vaut la nouvelle puissance apparente \(S\) ?

📝 Mémo
\(S = V \times I\). Simple, basique, mais fondamental pour tout dimensionnement.

Question 2 : Facteur de Puissance

Principe

Le facteur de puissance, noté \(k\) ou plus souvent \(\cos \varphi\), est un indicateur de la qualité de la consommation électrique d'un récepteur. Il représente le ratio entre la puissance "utile" (Active) et la puissance totale fournie (Apparente). Il varie théoriquement entre 0 et 1. Plus il est proche de 1, plus l'installation est efficace électriquement.

Mini-Cours

Dans la représentation vectorielle de Fresnel, c'est le cosinus de l'angle \(\varphi\) (phi) entre le vecteur tension et le vecteur courant. Dans le triangle des puissances rectangle, c'est le rapport trigonométrique : \(\cos(\varphi) = \frac{P}{S} = \frac{\text{Côté Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}\).

Remarque Pédagogique

Un mauvais facteur de puissance (proche de 0) signifie que l'on transporte beaucoup de courant "inutile" (réactif) pour peu de travail fourni. Cela oblige le fournisseur à surdimensionner ses lignes, ce qui engendre des pertes par effet Joule inutiles dans les câbles.

Normes

En France, pour les industriels (Tarif Vert ou Jaune), l'énergie réactive est facturée par Enedis pendant les heures pleines d'hiver si le facteur de puissance est trop dégradé. Le seuil de pénalité est généralement fixé si \(\tan \varphi > 0,4\), ce qui correspond mathématiquement à un \(\cos \varphi < 0,93\).

Formule(s)

Formules utilisées

Définition du facteur de puissance

k = \cos \varphi

Hypothèses

On considère ici que le "Facteur de Puissance" est strictement égal au "Facteur de Déplacement" (\(\cos \varphi\)). Cela suppose implicitement l'absence totale d'harmoniques polluants sur le réseau (courants non linéaires), ce qui est une simplification acceptable pour un moteur standard.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle de déphasage	\(\varphi\)	45	Degrés (°)

Astuces

Quelques valeurs remarquables à connaître par cœur pour gagner du temps :
- \(\cos(0^{\circ})=1\) (résistance pure, rendement max)
- \(\cos(60^{\circ})=0.5\)
- \(\cos(90^{\circ})=0\) (inductance pure, rendement nul).

[Cercle Trigonométrique]

Calcul(s)

Application numérique

On calcule simplement le cosinus de l'angle donné par l'oscilloscope ou le phasemètre. C'est une application directe d'une fonction trigonométrique de base :

Calcul du cosinus

\begin{aligned} \cos(45^{\circ}) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\approx 0,707 \end{aligned}

C'est une grandeur adimensionnelle (sans unité), souvent exprimée simplement comme un nombre décimal.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Un facteur de puissance de \(0,707\) est techniquement très médiocre. Dans l'industrie, cela suggère une charge fortement inductive, typiquement un moteur asynchrone surdimensionné fonctionnant à vide ou à très faible charge, où le courant magnétisant est prépondérant devant le courant actif.

Points de vigilance

Vérifiez toujours le réglage de votre calculatrice ! Elle doit impérativement être en mode DEGRÉS (DEG) et non en RADIANS (RAD). Si vous étiez en radians, vous trouveriez \(\cos(45) \approx 0,525\), ce qui fausserait tous les calculs suivants.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

C'est le cosinus de l'angle de déphasage Tension/Courant.
Il doit être le plus proche possible de 1 pour un bon rendement de transport.
Il est toujours compris entre 0 et 1.

Le saviez-vous ?

Pour corriger un mauvais cosinus phi causé par des moteurs (inductifs), on installe des batteries de condensateurs en parallèle de l'installation. C'est ce qu'on appelle la "compensation de l'énergie réactive" ou le "relèvement du facteur de puissance".

FAQ

Le cosinus phi peut-il être négatif ?

Oui, physiquement cela signifie que le flux d'énergie s'inverse (la charge devient génératrice, comme un panneau solaire renvoyant sur le réseau). Cependant, en analyse de consommation pure, on considère souvent sa valeur absolue.

Le facteur de puissance est ≈ 0,707.

A vous de jouer
Combien vaut le cosinus si l'angle est de \(60^{\circ}\) ?

📝 Mémo
Proche de 1 = Bien (rentable). Proche de 0 = Pas bien (pertes en ligne).

Question 3 : Puissance Active (P)

Principe

La puissance active, notée \(P\), représente la puissance réellement "absorbée" et transformée en une autre forme d'énergie "utile" (mécanique pour un moteur, thermique pour un radiateur, lumineuse pour une lampe). C'est la projection horizontale du vecteur puissance apparente sur l'axe réel.

Mini-Cours

Mathématiquement, \(P\) correspond à la valeur moyenne de la puissance instantanée \(p(t) = v(t) \cdot i(t)\) calculée sur une période entière. Seule cette puissance correspond à une consommation nette et irréversible d'énergie électrique.

Remarque Pédagogique

C'est la seule puissance qui a un coût direct pour le particulier : votre compteur électrique (Linky ou ancien disque) enregistre des \(\text{kWh}\) (kilowattheures), qui sont l'intégration de cette puissance active \(P\) dans le temps.

Normes

Attention aux indications sur les machines : La puissance indiquée sur la plaque signalétique d'un moteur est toujours sa puissance active **utile** (mécanique disponible en bout d'arbre). La puissance électrique active absorbée (celle que l'on calcule ici) est toujours supérieure, à cause du rendement interne de la machine.

Formule(s)

Formules utilisées

Loi de Puissance Active

P = S \times \cos \varphi

En développant S, on retrouve la forme complète : \( P = V \cdot I \cdot \cos \varphi \)

Hypothèses

On utilise les résultats calculés précédemment (\(S\) et \(\cos \varphi\)) en supposant qu'ils sont exacts et stables.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance Apparente	\(S\)	1150	\(\text{VA}\)
Facteur de Puissance	\(k\)	0,707	-

Astuces

Puisque le terme \(\cos \varphi\) est toujours compris entre 0 et 1 (en valeur absolue), la puissance active \(P\) sera mathématiquement toujours inférieure ou égale à la puissance apparente \(S\). C'est un bon test de cohérence.

[Projection Vectorielle]

Calcul(s)

Application numérique

Nous récupérons la valeur de \(S = 1150 \text{ VA}\) calculée à la question 1.

Nous récupérons la valeur de \(\cos \varphi \approx 0,707\) calculée à la question 2.

On effectue le produit de la puissance apparente par le facteur de puissance :

Calcul de P

\begin{aligned} P &= 1150 \times 0,707 \\ &\approx 813,05 \text{ W} \end{aligned}

Pour plus de clarté dans la suite de l'exercice, nous arrondirons ce résultat à l'entier le plus proche.

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

On constate que seulement environ 70% de la capacité totale de la source (\(1150 \text{ VA}\)) est utilisée pour produire un travail réel (\(813 \text{ W}\)). Les 30% restants "circulent" sans produire de travail direct facturable.

Points de vigilance

Attention à l'unité ! La puissance active s'exprime exclusivement en Watts (\(\text{W}\)) ou \(\text{kW}\). Ne jamais utiliser \(\text{VA}\) ou \(\text{VAR}\) pour cette grandeur, au risque de confondre le lecteur.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

P = Puissance Utile / Vraie / Facturable.
P = VI est une simplification qui n'est vraie QUE si la charge est une résistance pure (chauffage, lampe incandescente).

Le saviez-vous ?

James Watt (1736-1819) a donné son nom à l'unité de puissance pour ses travaux fondamentaux sur l'amélioration de la machine à vapeur. Il n'a jamais travaillé sur l'électricité, mais son concept de "Cheval-Vapeur" a permis de standardiser la mesure de la puissance industrielle.

FAQ

P peut-elle être nulle ?

Oui, pour un composant purement réactif comme un condensateur parfait ou une bobine idéale (\(\varphi = 90^{\circ}\), donc \(\cos \varphi = 0\)), la puissance active est nulle. Le composant absorbe du courant mais ne consomme aucune énergie nette (pas d'échauffement ni de travail).

Le résultat final est ≈ 813 W.

A vous de jouer
Si \(S = 1000 \text{ VA}\) et \(\cos \varphi = 1\) (charge résistive), que vaut \(P\) ?

📝 Mémo
P est la projection horizontale de S. C'est ce qu'on paie.

Question 4 : Puissance Réactive (Q)

Principe

La puissance réactive, notée \(Q\), est une puissance un peu abstraite qui ne correspond pas à un travail. Elle représente l'énergie qui oscille périodiquement entre la source et la charge pour créer et entretenir les champs magnétiques (dans les bobines) ou électriques (dans les condensateurs). Elle est nécessaire au fonctionnement mais ne produit pas de "résultat" direct comme de la chaleur ou du mouvement.

Mini-Cours

Elle correspond à la composante verticale du triangle des puissances. Par convention, \(Q > 0\) pour un comportement inductif (consommation de réactif pour magnétisation) et \(Q < 0\) pour un comportement capacitif (fourniture de réactif par champ électrique).

Remarque Pédagogique

Dans le triangle rectangle des puissances, \(Q\) est le côté opposé à l'angle \(\varphi\). C'est pour cela que l'on utilise le sinus.

Normes

L'unité normalisée est le VAR (Volt-Ampère Réactif). Cette distinction d'unité est cruciale pour éviter les confusions avec les Watts lors de la lecture de bilans énergétiques.

Formule(s)

Formules utilisées

Loi de Puissance Réactive

Q = S \times \sin \varphi

On peut aussi utiliser le théorème de Pythagore, puisque \(S\) est l'hypoténuse : \( Q = \sqrt{S^2 - P^2} \)

Hypothèses

La charge est inductive (moteur), donc le courant est en retard sur la tension (déphasage "arrière"). \(Q\) sera donc positif selon la convention récepteur habituelle.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Angle de déphasage	\(\varphi\)	45	Degrés
Puissance Apparente	\(S\)	1150	\(\text{VA}\)

Astuces

Cas particulier : Comme l'angle est de \(45^{\circ}\), on sait que \(\sin(45^{\circ}) = \cos(45^{\circ}) \approx 0,707\). Par conséquent, dans ce cas précis, nous devrions trouver \(Q\) numériquement égal à \(P\). C'est un excellent moyen de vérifier le calcul précédent !

[Composante Verticale]

Calcul(s)

Calcul du sinus

Nous devons d'abord déterminer le sinus de l'angle de \(45^{\circ}\) :

\begin{aligned} \sin(45^{\circ}) &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\approx 0,707 \end{aligned}

Calcul Principal

Nous multiplions ensuite la puissance apparente \(S\) issue de la question 1 par ce sinus pour obtenir la composante verticale :

\begin{aligned} Q &= 1150 \times 0,707 \\ &\approx 813,05 \text{ VAR} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

On consomme autant de puissance réactive que de puissance active. C'est un cas limite où l'efficacité du transport est compromise : le réseau doit transporter deux fois "l'effort" nécessaire pour fournir le travail.

Points de vigilance

Ne jamais écrire "Watts réactifs". L'unité est impérativement le \(\text{VAR}\) (Volt-Ampère Réactif).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Q est la "puissance fluctuante" ou "magnétisante".
Q = 0 pour une résistance (radiateur, four).
Q est maximale pour un condensateur ou une bobine parfaite.

Le saviez-vous ?

Sur les lignes à très haute tension (400 000V), à faible charge (la nuit), la ligne elle-même se comporte comme un immense condensateur géant à cause de la proximité du sol. Elle génère alors du réactif (effet Ferranti) qu'il faut parfois absorber avec des bobines d'inductance géantes pour éviter que la tension ne monte trop haut !

FAQ

Comment réduire Q ?

Pour réduire le \(Q\) total absorbé par une installation industrielle (et donc réduire le courant total \(S\)), on ajoute des condensateurs. Ils fournissent le \(Q\) réclamé par les moteurs localement. C'est le principe de la compensation.

Le résultat final est ≈ 813 VAR.

A vous de jouer
Si l'angle est de \(0^{\circ}\) (résistance pure), que vaut \(Q\) ?

📝 Mémo
Q = S × sin(phi). C'est le côté vertical du triangle.

Question 5 : Ajout d'une charge résistive

Principe

On modifie l'installation en branchant en parallèle un radiateur électrique (résistance pure). L'objectif est de trouver le nouveau courant total appelé par l'ensemble. Le piège classique est de vouloir additionner les courants scalaires (5A + 5A), ce qui est FAUX en régime alternatif car les courants ne sont pas en phase (ils n'atteignent pas leur maximum au même instant t).

Mini-Cours

Théorème de Boucherot : Pour un ensemble de récepteurs, les puissances actives s'additionnent algébriquement (\(P_{\text{tot}} = \sum P\)). Les puissances réactives s'additionnent algébriquement (\(Q_{\text{tot}} = \sum Q\)). Les puissances apparentes \(S\) ne s'additionnent PAS arithmétiquement, elles se recalculent vectoriellement à la fin par Pythagore.

Remarque Pédagogique

C'est l'erreur n°1 des étudiants et débutants : faire \(I_{\text{total}} = I_1 + I_2\). Cette addition simple ne fonctionne que dans un cas très précis : si les deux charges ont exactement le même \(\cos \varphi\) (même déphasage), ce qui est rare.

Normes

Le dimensionnement du câble d'alimentation général et du disjoncteur principal de tête devra impérativement se baser sur ce nouveau courant \(I_{\text{total}}\) calculé rigoureusement par la méthode de Boucherot, et non par une simple addition.

Formule(s)

Méthode de Boucherot

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= P_1 + P_2 \\ Q_{\text{tot}} &= Q_1 + Q_2 \\ S_{\text{tot}} &= \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} \\ I_{\text{tot}} &= \frac{S_{\text{tot}}}{V} \end{aligned}

Hypothèses

La charge ajoutée est purement résistive : cela implique qu'elle consomme de la puissance active \(P\) mais que sa puissance réactive \(Q\) est nulle (\(\cos \varphi = 1\)).

Donnée(s)

Composant	Courant	Nature
Charge 1 (Moteur)	5 A	Inductive (\(\varphi=45^\circ\))
Charge 2 (Résistance)	5 A	Résistive (\(\varphi=0^\circ\))

Astuces

Le fait d'ajouter de la puissance active (résistance) sans ajouter de réactif va mécaniquement améliorer (augmenter) le facteur de puissance global de l'installation, car l'angle global va diminuer.

[Circuit Modifié en Parallèle]

Calcul(s)

1. Puissances de la charge résistive

Pour une résistance pure, la puissance apparente égale la puissance active (\(S = P\)) et la puissance réactive est nulle (\(Q = 0\)). Calculons sa puissance active avec \(P = V \times I\) car \(\cos \varphi = 1\) :

\begin{aligned} P_{\text{res}} &= 230 \times 5 \\ &= 1150 \text{ W} \end{aligned}

Q_{\text{res}} = 0 \text{ VAR}

2. Bilan des Puissances (Tableau de Boucherot)

On additionne maintenant les puissances du moteur (calculées aux questions 3 et 4) avec celles de la résistance pour obtenir les totaux de l'installation :

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= 813 (\text{moteur}) + 1150 (\text{résist}) \\ &= 1963 \text{ W} \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{\text{tot}} &= 813 (\text{moteur}) + 0 (\text{résist}) \\ &= 813 \text{ VAR} \end{aligned}

3. Nouvelle Puissance Apparente

On applique le théorème de Pythagore sur le nouveau triangle global des puissances pour trouver la nouvelle puissance apparente totale :

\begin{aligned} S_{\text{tot}} &= \sqrt{P_{\text{tot}}^2 + Q_{\text{tot}}^2} \\ &= \sqrt{1963^2 + 813^2} \\ &\approx \sqrt{3853369 + 660969} \\ &\approx \sqrt{4514338} \\ &\approx 2125 \text{ VA} \end{aligned}

4. Nouveau Courant Total

Résultat final

Enfin, on divise la nouvelle puissance apparente totale par la tension pour trouver le courant réel qui circulera dans le câble d'alimentation :

\begin{aligned} I_{\text{tot}} &= \frac{S_{\text{tot}}}{V} \\ &= \frac{2125}{230} \\ &\approx 9,24 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Comparaison des courants)

Réflexions

Le courant total (\(9,24 \text{ A}\)) est nettement inférieur à la somme arithmétique des courants (\(10 \text{ A}\)). Cela prouve l'importance de la prise en compte du caractère vectoriel des grandeurs en alternatif. Les "pics" de consommation des deux appareils ne se produisent pas en même temps, ce qui "lisse" légèrement la demande totale.

Points de vigilance

Ne jamais additionner les puissances apparentes \(S\) : \(S_{\text{tot}} \neq S_1 + S_2\) (\(1150 + 1150 = 2300 \neq 2125\)). C'est une erreur classique.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Toujours passer par P et Q pour additionner des charges (Boucherot).
S se recalcule toujours à la toute fin par Pythagore.
I se déduit toujours de S à la fin.

Le saviez-vous ?

Paul Boucherot (1869-1943) était un ingénieur français, pionnier de la distribution électrique. C'est lui qui a formalisé cette méthode de calcul simple et puissante qui porte son nom.

FAQ

Le nouveau cos phi est-il meilleur ?

Oui ! Nouveau cos phi = \(P_{\text{tot}} / S_{\text{tot}} = 1963 / 2125 \approx 0,92\). On est passé de 0,7 à 0,92 simplement en ajoutant une charge résistive, car le ratio P/S a augmenté.

Le résultat final est ≈ 9,24 A.

A vous de jouer
Calculez le nouveau cos phi (arrondi à 2 décimales).

📝 Mémo
P et Q s'ajoutent. S se recalcule avec la racine carrée. I se recalcule ensuite.

Schéma Bilan : Triangle des Puissances (Q1-Q4)

Représentation vectorielle de P, Q et S pour la situation initiale (avant ajout résistance).

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :

📐
Point Clé 1 : [Boucherot]
Les puissances P et Q s'additionnent algébriquement, mais pas les puissances apparentes S ni les courants !
⚡
Point Clé 2 : [Unités]
Ne jamais confondre Watts (W), VAR et VA. C'est l'erreur la plus courante.
⚠️
Point Clé 3 : [Facteur de Puissance]
Un mauvais \(\cos \varphi\) augmente le courant en ligne inutilement sans augmenter le travail fourni.
💡
Point Clé 4 : [Application]
Le courant total d'une installation n'est pas la somme arithmétique des courants des appareils.

"SOH CAH TOA... mais pour les électriciens, c'est P, Q et S !"

🎛️ Simulateur : Influence du Déphasage

Fixons le courant à 10A. Modifiez la tension et le déphasage pour voir comment évolue la puissance active (utile).

Paramètres

Tension (V) : 230 V

Déphasage (Degrés) : 0°

Puissance Active (P) : - W

Puissance Réactive (Q) : - VAR

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la puissance Apparente (S) ?

Watt (W)
Volt-Ampère (VA)
Joule (J)

2. Si le déphasage est de 90° (condensateur pur), que vaut la puissance active ?

0 W
Maximale

📚 Glossaire Élec

Impédance (Z): Résistance totale d'un composant au passage du courant alternatif (en Ohms).
Déphasage: Décalage temporel entre la sinusoïde de tension et celle de courant.
Inductif: Comportement d'un circuit contenant des bobinages (crée un retard du courant).
Capacitif: Comportement d'un circuit contenant des condensateurs (crée une avance du courant).
Réseau: Système de distribution d'électricité (ex: 230V/50Hz en France).

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Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma Électrique Équivalent

Questions à traiter

Les bases théoriques : Le Trio des Puissances

Correction : Analyse de la Puissance dans un Circuit

Question 1 : Calcul de la Puissance Apparente (S)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Schéma - Flux de Puissance]

Calcul(s)

Application numérique

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Facteur de Puissance

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Cercle Trigonométrique]

Calcul(s)

Application numérique

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Puissance Active (P)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Projection Vectorielle]

Calcul(s)

Application numérique

Schéma (Après les calculs)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Puissance Réactive (Q)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Composante Verticale]

Calcul(s)

Calcul du sinus

Calcul Principal

Schéma (Après les calculs)

Réflexions