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Exercices Électricité

Conception d’un éclairage de scène

Conception d’un éclairage de scène

Conception d’un éclairage de scène

Calculer la puissance totale, l'intensité et le dimensionnement des protections pour un système d'éclairage de scène en courant alternatif monophasé.

La conception d'un système d'éclairage de scène nécessite de prendre en compte la puissance de chaque projecteur, leur groupement sur des lignes électriques, et le dimensionnement correct des protections (disjoncteurs) pour assurer la sécurité et le bon fonctionnement de l'installation.

En courant alternatif monophasé, la puissance active (\(P\)) consommée par une charge est donnée par \(P = U \cdot I \cdot \cos\varphi\), où \(U\) est la tension efficace, \(I\) le courant efficace, et \(\cos\varphi\) le facteur de puissance de la charge.

La puissance apparente (\(S\)) est \(S = U \cdot I\). L'unité est le Voltampère (VA).

Si plusieurs charges sont en parallèle sur une même ligne, la puissance active totale est la somme des puissances actives individuelles. L'intensité totale peut être calculée à partir de la puissance apparente totale ou, si les facteurs de puissance sont différents, par une somme vectorielle des courants (souvent simplifiée en additionnant les puissances apparentes pour une estimation).

Les disjoncteurs sont dimensionnés en fonction de l'intensité maximale admissible par la ligne et les charges.

Données du Problème

Un petit théâtre est équipé du matériel d'éclairage suivant, alimenté par un réseau monophasé \(230 \text{ V} - 50 \text{ Hz}\) :

  • Ligne 1 : Projecteurs traditionnels (PAR)
    • Nombre de projecteurs PAR : 6
    • Puissance par projecteur PAR : \(P_{\text{PAR}} = 500 \text{ W}\)
    • Facteur de puissance des PAR : \(\cos\varphi_{\text{PAR}} = 1\) (considérés comme purement résistifs)
  • Ligne 2 : Projecteurs à LED
    • Nombre de projecteurs LED : 4
    • Puissance par projecteur LED : \(P_{\text{LED}} = 150 \text{ W}\)
    • Facteur de puissance des LED : \(\cos\varphi_{\text{LED}} = 0.92\) (inductif)
  • Ligne 3 : Lyres motorisées
    • Nombre de Lyres : 2
    • Puissance par Lyre : \(P_{\text{Lyre}} = 250 \text{ W}\)
    • Facteur de puissance des Lyres : \(\cos\varphi_{\text{Lyre}} = 0.85\) (inductif)
  • Tension d'alimentation du réseau : \(U = 230 \text{ V}\)
Alimentation 230V Tableau de Distribution (Disjoncteurs par ligne) Ligne 1 6 x PAR 500W cos φ = 1 Ligne 2 4 x LED 150W cos φ = 0.92 Ligne 3 2 x Lyres 250W cos φ = 0.85
Schéma de l'installation d'éclairage de scène avec différentes lignes.

Questions

  1. Pour la Ligne 1 (PARs) :
    1. Calculer la puissance active totale \(P_1\).
    2. Calculer la puissance apparente totale \(S_1\).
    3. Calculer l'intensité totale \(I_1\) consommée par cette ligne.
  2. Pour la Ligne 2 (LEDs) :
    1. Calculer la puissance active totale \(P_2\).
    2. Calculer la puissance apparente totale \(S_2\).
    3. Calculer l'intensité totale \(I_2\) consommée par cette ligne.
  3. Pour la Ligne 3 (Lyres) :
    1. Calculer la puissance active totale \(P_3\).
    2. Calculer la puissance apparente totale \(S_3\).
    3. Calculer l'intensité totale \(I_3\) consommée par cette ligne.
  4. Calculer la puissance active totale \(P_{\text{total}}\) de l'ensemble de l'installation d'éclairage.
  5. Calculer la puissance apparente totale \(S_{\text{total}}\) de l'ensemble de l'installation. (Attention : les puissances apparentes ne s'additionnent pas directement si les \(\cos\varphi\) sont différents. Il faut sommer les puissances actives et réactives totales).
  6. Calculer l'intensité totale \(I_{\text{total}}\) absorbée par l'installation depuis la source.
  7. Si la Ligne 1 est protégée par un disjoncteur, quel calibre minimal normalisé (parmi 10A, 16A, 20A, 25A, 32A) faudrait-il choisir pour cette ligne ?

Correction : Conception d’un éclairage de scène

1. Ligne 1 (PARs)

a. Puissance active totale \(P_1\).

\[ \begin{aligned} P_1 &= \text{Nombre de PARs} \times P_{\text{PAR}} \\ &= 6 \times 500 \text{ W} \\ &= 3000 \text{ W} \end{aligned} \]

b. Puissance apparente totale \(S_1\). Comme \(\cos\varphi_{\text{PAR}} = 1\), alors \(P_1 = S_1\).

\[ S_1 = P_1 = 3000 \text{ VA} \]

c. Intensité totale \(I_1\). On utilise \(S_1 = U \cdot I_1\).

\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{S_1}{U} \\ &= \frac{3000 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 13.04 \text{ A} \end{aligned} \]

Ligne 1 : \(P_1 = 3000 \text{ W}\), \(S_1 = 3000 \text{ VA}\), \(I_1 \approx 13.04 \text{ A}\).

2. Ligne 2 (LEDs)

a. Puissance active totale \(P_2\).

\[ \begin{aligned} P_2 &= \text{Nombre de LEDs} \times P_{\text{LED}} \\ &= 4 \times 150 \text{ W} \\ &= 600 \text{ W} \end{aligned} \]

b. Puissance apparente totale \(S_2\). On utilise \(P_2 = S_2 \cdot \cos\varphi_{\text{LED}}\).

\[ \begin{aligned} S_2 &= \frac{P_2}{\cos\varphi_{\text{LED}}} \\ &= \frac{600 \text{ W}}{0.92} \\ &\approx 652.17 \text{ VA} \end{aligned} \]

c. Intensité totale \(I_2\). On utilise \(S_2 = U \cdot I_2\).

\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{S_2}{U} \\ &= \frac{652.17 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 2.84 \text{ A} \end{aligned} \]

Ligne 2 : \(P_2 = 600 \text{ W}\), \(S_2 \approx 652.17 \text{ VA}\), \(I_2 \approx 2.84 \text{ A}\).

3. Ligne 3 (Lyres)

a. Puissance active totale \(P_3\).

\[ \begin{aligned} P_3 &= \text{Nombre de Lyres} \times P_{\text{Lyre}} \\ &= 2 \times 250 \text{ W} \\ &= 500 \text{ W} \end{aligned} \]

b. Puissance apparente totale \(S_3\). On utilise \(P_3 = S_3 \cdot \cos\varphi_{\text{Lyre}}\).

\[ \begin{aligned} S_3 &= \frac{P_3}{\cos\varphi_{\text{Lyre}}} \\ &= \frac{500 \text{ W}}{0.85} \\ &\approx 588.24 \text{ VA} \end{aligned} \]

c. Intensité totale \(I_3\). On utilise \(S_3 = U \cdot I_3\).

\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{S_3}{U} \\ &= \frac{588.24 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 2.56 \text{ A} \end{aligned} \]

Ligne 3 : \(P_3 = 500 \text{ W}\), \(S_3 \approx 588.24 \text{ VA}\), \(I_3 \approx 2.56 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire : Puissance Active et Apparente

Question : Si une charge a une puissance active de 100W et un facteur de puissance de 0.5, sa puissance apparente est de :

4. Puissance Active Totale (\(P_{\text{total}}\))

La puissance active totale est la somme des puissances actives de chaque ligne.

\[ \begin{aligned} P_{\text{total}} &= P_1 + P_2 + P_3 \\ &= 3000 \text{ W} + 600 \text{ W} + 500 \text{ W} \\ &= 4100 \text{ W} \end{aligned} \]

La puissance active totale de l'installation est \(P_{\text{total}} = 4100 \text{ W}\).

5. Puissance Apparente Totale (\(S_{\text{total}}\))

Pour calculer la puissance apparente totale, il faut d'abord calculer la puissance réactive totale (\(Q_{\text{total}}\)).
\(Q = S \sin\varphi = S \sqrt{1 - \cos^2\varphi} = P \tan\varphi\).
Ligne 1 (PARs) : \(\cos\varphi_1 = 1 \rightarrow \sin\varphi_1 = 0 \rightarrow Q_1 = 0 \text{ VAR}\).
Ligne 2 (LEDs) : \(\cos\varphi_2 = 0.92 \rightarrow \sin\varphi_2 = \sqrt{1 - 0.92^2} = \sqrt{1 - 0.8464} = \sqrt{0.1536} \approx 0.3919\).
\(Q_2 = S_2 \sin\varphi_2 \approx 652.17 \text{ VA} \times 0.3919 \approx 255.58 \text{ VAR}\).
Ligne 3 (Lyres) : \(\cos\varphi_3 = 0.85 \rightarrow \sin\varphi_3 = \sqrt{1 - 0.85^2} = \sqrt{1 - 0.7225} = \sqrt{0.2775} \approx 0.5268\).
\(Q_3 = S_3 \sin\varphi_3 \approx 588.24 \text{ VA} \times 0.5268 \approx 310.00 \text{ VAR}\).
\(Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3\).
Puis \(S_{\text{total}} = \sqrt{P_{\text{total}}^2 + Q_{\text{total}}^2}\).

Puissance réactive totale :

\[ \begin{aligned} Q_{\text{total}} &= 0 + 255.58 + 310.00 \\ &= 565.58 \text{ VAR} \end{aligned} \]

Puissance apparente totale :

\[ \begin{aligned} S_{\text{total}} &= \sqrt{P_{\text{total}}^2 + Q_{\text{total}}^2} \\ &= \sqrt{(4100)^2 + (565.58)^2} \\ &= \sqrt{16810000 + 319880.9} \\ &= \sqrt{17129880.9} \\ &\approx 4138.83 \text{ VA} \end{aligned} \]

La puissance apparente totale de l'installation est \(S_{\text{total}} \approx 4138.83 \text{ VA}\).

6. Intensité Totale (\(I_{\text{total}}\))

On utilise \(S_{\text{total}} = U \cdot I_{\text{total}}\).

\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{S_{\text{total}}}{U} \\ &= \frac{4138.83 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \\ &\approx 17.995 \text{ A} \end{aligned} \]

L'intensité totale absorbée par l'installation est \(I_{\text{total}} \approx 18.0 \text{ A}\).

7. Dimensionnement du Disjoncteur pour la Ligne 1

Le disjoncteur doit avoir un calibre supérieur ou égal à l'intensité consommée par la ligne, tout en étant le plus proche possible pour une protection efficace. L'intensité de la Ligne 1 est \(I_1 \approx 13.04 \text{ A}\).

Parmi les calibres normalisés (10A, 16A, 20A, 25A, 32A), le calibre immédiatement supérieur ou égal à 13.04 A est 16A.

Il faudrait choisir un disjoncteur de calibre \(16 \text{ A}\) pour la Ligne 1.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Si un projecteur a une puissance active de 1000W et un facteur de puissance de 0.8, sa puissance apparente est :

Question 2 : Pour des charges purement résistives en parallèle, la puissance active totale est :

Question 3 : Un facteur de puissance de 1 signifie que :

Question 4 : Le calibre d'un disjoncteur est choisi pour protéger contre :

Glossaire des Termes Clés

Puissance Active (\(P\)) :

Puissance réellement consommée par une charge et transformée en une autre forme d'énergie (lumière, chaleur, travail mécanique). Unité : Watt (W).

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit de la tension efficace et du courant efficace dans un circuit AC. Elle représente la puissance totale que la source doit fournir. Unité : Voltampère (VA).

Puissance Réactive (\(Q\)) :

Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit. Elle ne produit pas de travail utile. Unité : Voltampère réactif (VAR).

Facteur de Puissance (\(\cos\varphi\)) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(P/S\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est utilisée par une charge.

Disjoncteur :

Appareil de protection électrique qui interrompt automatiquement le courant en cas de surcharge ou de court-circuit.

Calibre d'un Disjoncteur :

Valeur maximale du courant (en Ampères) que le disjoncteur peut laisser passer en continu sans déclencher.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi est-il important de considérer le facteur de puissance des équipements lors de la conception d'une installation électrique ? Quelles peuvent être les conséquences d'un mauvais facteur de puissance global ?

2. Comment pourrait-on améliorer le facteur de puissance global d'une installation comportant de nombreuses charges inductives ?

3. Outre la puissance et l'intensité, quels autres facteurs sont importants dans la conception d'un éclairage de scène (par exemple, température de couleur, angle de faisceau, type de contrôle) ?

4. Expliquez la différence entre une surcharge et un court-circuit, et comment un disjoncteur protège contre ces deux phénomènes.

5. Si les lignes d'alimentation avaient une longueur significative, quelles autres considérations (comme la chute de tension) devraient être prises en compte ?

Conception d’un éclairage de scène

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