Exercices Électricité

Analyse d’un Système Triphasé

Exercice : Analyse d'un Système Triphasé Équilibré

Analyse d’un Système Triphasé Équilibré

Contexte : Le réseau triphasé est le pilier du transport et de la distribution de l'énergie électrique à grande échelle.

Il est utilisé pour alimenter la quasi-totalité des installations industrielles, des moteurs de forte puissance et de nombreuses zones résidentielles. Comprendre son fonctionnement est fondamental pour tout technicien ou ingénieur en électrotechnique. Cet exercice se concentre sur un cas d'école : un récepteur équilibré couplé en triangleLe couplage triangle (ou delta) est un montage où les trois phases du récepteur sont connectées en série pour former une boucle fermée., alimenté par un réseau triphasé standard.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de maîtriser les relations entre les grandeurs de phase et de ligne, et de calculer les différentes puissances dans un circuit triphasé, une compétence essentielle pour le dimensionnement et l'analyse des installations électriques.

Objectifs Pédagogiques

  • Différencier et calculer les tensions simples et composées.
  • Différencier et calculer les courants de phase et de ligne pour un couplage triangle.
  • Calculer l'impédance complexe d'une charge R-L.
  • Calculer les puissances active, réactive et apparente d'une installation triphasée.
  • Déterminer et interpréter le facteur de puissance.

Données de l'étude

Un réseau triphasé alimente une charge équilibrée couplée en triangle. Nous souhaitons analyser le comportement de cette installation.

Schéma de l'installation triphasée
L1 L2 L3 Réseau 400V / 50Hz Z Z Z I₁ J₁₂
Paramètre Description ou Formule Valeur Unité
U Tension composée entre phases du réseau 400 V
f Fréquence du réseau 50 Hz
R Résistance de charge par phase 20 Ω
L Inductance de charge par phase 50 mH

Questions à traiter

  1. Déterminer la tension aux bornes d’une phase du récepteur.
  2. Calculer la valeur efficace des courants de phase (J) dans le récepteur.
  3. Calculer la valeur efficace des courants de ligne (I).
  4. Calculer les puissances active (P), réactive (Q) et apparente (S) totales consommées.
  5. Calculer le facteur de puissance de l'installation.

Les bases sur les Systèmes Triphasés

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les relations fondamentales qui régissent les tensions, les courants et les puissances dans les réseaux triphasés équilibrés.

1. Tensions Simples et Composées
Une tension simple (V)Tension entre une phase et le neutre. Notée V. est la tension entre une phase et le neutre. Une tension composée (U)Tension entre deux phases. Notée U. C'est la tension standard du réseau (ex: 400V). est la tension entre deux phases. Pour un réseau équilibré, la relation est : \[ U = V \cdot \sqrt{3} \]

2. Courants de Phase et de Ligne
Les relations dépendent du couplage. Pour un couplage triangle (delta), la tension aux bornes de chaque phase du récepteur est la tension composée U. Les courants de ligne (I) et de phase (J) sont liés par : \[ I = J \cdot \sqrt{3} \]

3. Puissances en Triphasé
Les formules de puissance totale pour un système triphasé équilibré sont :

  • Puissance Active : \( P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\phi) \) [\text{W}]
  • Puissance Réactive : \( Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin(\phi) \) [\text{VAR}]
  • Puissance Apparente : \( S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \) [\text{VA}]
Où \( \phi \) est le déphasage entre la tension et le courant dans une phase de la charge.

Correction : Analyse d’un Système Triphasé Équilibré

Question 1 : Déterminer la tension aux bornes d’une phase du récepteur.

Principe (le concept physique)

Dans un montage en triangle (ou delta), chaque phase du récepteur est directement connectée entre deux lignes du réseau. Par conséquent, la tension à ses bornes est directement la tension qui existe entre ces deux lignes, c'est-à-dire la tension composée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le couplage triangle est l'un des deux montages standards pour les récepteurs triphasés. Sa caractéristique principale est que la tension aux bornes de chaque impédance de la charge (\(U_{\text{phase}}\)) est égale à la tension de ligne du réseau (\(U_{\text{ligne}}\)). Cela le rend particulièrement adapté aux récepteurs nécessitant une tension élevée pour fonctionner.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première étape dans tout problème triphasé est d'identifier le type de couplage (triangle ou étoile) et d'appliquer immédiatement les relations fondamentales qui en découlent. Ici, "triangle" implique directement \(U_{\text{phase}} = U_{\text{ligne}}\). C'est un réflexe à acquérir.

Normes (la référence réglementaire)

Les tensions des réseaux de distribution basse tension en Europe sont normalisées par la norme CENELEC EN 50160. Elle spécifie une tension de 230 V entre phase et neutre, ce qui correspond à 400 V entre phases (car \(230\,\text{V} \times \sqrt{3} \approx 400\,\text{V}\)).

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ U_{\text{phase}} = U_{\text{ligne}} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données utilisées pour cette question proviennent de l'énoncé de l'exercice.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension composée du réseauU400V
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour cette question, il n'y a pas de calcul. C'est une question de cours ! Le piège serait de vouloir chercher une formule complexe alors que la réponse est dans la définition même du montage.

Schéma (Avant les calculs)
Relation Tension de Ligne / Tension de Phase en Triangle
L1L2ZU ligneU phase
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la définition du montage triangle.

\[ U_{\text{phase}} = U = 400 \, \text{V} \]
Schéma (Après les calculs)
Tension aux bornes de la phase
Z400 V
Réflexions (l'interprétation du résultat)

C'est une propriété fondamentale du couplage triangle. Pour un montage en étoile, la tension par phase aurait été la tension simple V, que l'on aurait dû calculer (\(V = U / \sqrt{3} \approx 230 \, \text{V}\)). Le choix du couplage a donc un impact direct sur la tension subie par les composants.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre avec le montage étoile où la tension aux bornes d'une phase est la tension simple V. C'est l'erreur la plus classique.

Points à retenir (maîtriser la question)

Pour un couplage TRIANGLE : La tension par phase est la TENSION COMPOSÉE (U).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le choix entre 50 Hz (Europe, Asie...) et 60 Hz (Amériques, Japon...) est historique. Le 60 Hz permettait un meilleur rendement pour les premiers moteurs et moins de scintillement pour les ampoules à incandescence, tandis que le 50 Hz, promu par l'entreprise allemande AEG, était plus économique pour le transport de l'électricité sur de longues distances grâce à des pertes moindres.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi choisir un couplage triangle plutôt qu'étoile ?

Le couplage triangle soumet chaque phase du récepteur à la tension composée U (plus élevée), ce qui est utile pour les moteurs de forte puissance qui nécessitent une tension importante pour fournir leur couple nominal. En contrepartie, pour une même puissance, le courant de phase sera plus faible qu'en étoile.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La tension aux bornes de chaque phase du récepteur est de 400 V.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si ce même récepteur était couplé en étoile sur le même réseau 400V, quelle serait alors la tension (arrondie à l'entier) aux bornes d'une phase ?

Question 2 : Calculer la valeur efficace des courants de phase (J).

Principe (le concept physique)

Le courant de phase (J) est le courant qui traverse une seule des trois impédances de la charge. Sa valeur se calcule en appliquant la loi d'Ohm en régime alternatif : le courant est égal à la tension aux bornes de l'impédance, divisée par le module de cette impédance.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En régime sinusoïdal, une charge composée d'une résistance R et d'une inductance L en série s'oppose au passage du courant via son impédance Z. La résistance dissipe de l'énergie (puissance active) tandis que l'inductance la stocke temporairement dans un champ magnétique (puissance réactive). Le module de l'impédance Z combine ces deux effets : \(Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul se fait en plusieurs étapes logiques. Ne vous précipitez pas. Calculez d'abord les grandeurs intermédiaires comme la pulsation \(\omega\) et la réactance \(X_L\). Ensuite, calculez l'impédance Z. Enfin seulement, appliquez la loi d'Ohm pour trouver le courant J. Cette décomposition évite les erreurs.

Normes (la référence réglementaire)

La fréquence de 50 Hz est une norme en Europe. Elle représente le nombre d'oscillations de la tension par seconde et est un paramètre clé dans le calcul des réactances des bobines et des condensateurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule de la réactance inductive.

\[ X_L = L \cdot 2 \pi f \]

Formule de l'impédance.

\[ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \]

Loi d'Ohm en alternatif.

\[ J = \frac{U_{\text{phase}}}{Z} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • On considère que le régime sinusoïdal est établi.
  • Les composants R et L sont considérés comme parfaits et leur valeur est constante.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données proviennent de l'énoncé et du résultat de la question précédente.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension de phase\(U_{\text{phase}}\)400V
RésistanceR20Ω
InductanceL50mH
Fréquencef50Hz
Astuces (Pour aller plus vite)

Pour un réseau à 50 Hz, la pulsation \( \omega = 2 \pi f \) vaut environ 314 rad/s. Mémoriser cette valeur peut faire gagner du temps dans de nombreux exercices d'électrotechnique.

Schéma (Avant les calculs)
Modèle monophasé équivalent de la charge
~400VR = 20 ΩL = 50 mHJ
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Conversion des unités

Conversion de l'inductance de millihenrys (mH) en henrys (H).

\[ L = 50 \, \text{mH} = 50 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.05 \, \text{H} \]

Étape 2 : Calcul de la réactance inductive (\(X_L\))

\[ \begin{aligned} X_L &= 0.05 \, \text{H} \times 2 \times \pi \times 50 \, \text{Hz} \\ &\Rightarrow X_L \approx 15.71 \, \Omega \end{aligned} \]

Étape 3 : Calcul du module de l'impédance (Z)

\[ \begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{20^2 + 15.71^2} \\ &= \sqrt{400 + 246.8} \\ &= \sqrt{646.8} \\ &\Rightarrow Z \approx 25.43 \, \Omega \end{aligned} \]

Étape 4 : Calcul du courant de phase (J)

\[ \begin{aligned} J &= \frac{U_{\text{phase}}}{Z} \\ &= \frac{400 \, \text{V}}{25.43 \, \Omega} \\ &\Rightarrow J \approx 15.73 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)

On peut représenter les grandeurs R, \(X_L\) et Z dans un diagramme appelé "triangle d'impédance", qui est une représentation graphique de la formule du module.

Triangle d'impédance
R = 20 ΩXL = 15.71 ΩZ = 25.43 Ωφ
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce courant de 15.73 A est le courant qui circule réellement dans chaque enroulement de notre récepteur (par exemple un moteur). C'est cette valeur qui va déterminer l'échauffement des enroulements.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier la conversion de l'inductance de mH en H. Une autre erreur est de mal calculer l'impédance (par exemple, en additionnant R et XL au lieu de faire la somme vectorielle).

Points à retenir (maîtriser la question)
  • Calculer la réactance : \(X_L = L \cdot \omega\).
  • Calculer l'impédance : \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
  • Appliquer la loi d'Ohm : \(J = U_{\text{phase}} / Z\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

À haute fréquence, le courant a tendance à ne circuler qu'à la surface d'un conducteur. C'est "l'effet de peau" (ou effet Kelvin). À 50 Hz, cet effet est négligeable pour la plupart des câbles, mais il devient très important en électronique de puissance ou en radiofréquences.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passerait-il si la charge contenait aussi un condensateur ?

S'il y avait un condensateur de réactance \(X_C\), la réactance totale serait \(X = X_L - X_C\). L'impédance deviendrait \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\). Le courant pourrait alors augmenter ou diminuer selon les valeurs relatives de \(X_L\) et \(X_C\).

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La valeur efficace des courants de phase est J ≈ 15.73 A.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Recalculez le courant de phase J si la résistance était de 30 Ω (garder L = 50 mH).

Question 3 : Calculer la valeur efficace des courants de ligne (I).

Principe (le concept physique)

Le courant de ligne (I) est le courant qui circule dans les fils d'alimentation du réseau. À chaque point de connexion (nœud), un courant de ligne se divise pour alimenter deux phases du récepteur. D'après la loi des nœuds de Kirchhoff, le courant de ligne est la somme vectorielle de deux courants de phase déphasés. Pour un système équilibré, cela se simplifie par une multiplication par √3.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans un montage triangle, le courant de ligne est déphasé de 30° en arrière par rapport au courant de phase le plus proche. La construction de Fresnel (diagramme vectoriel) de \( \vec{I_1} = \vec{J_{12}} - \vec{J_{31}} \) montre que l'amplitude de I est bien \(J \times \sqrt{3}\) lorsque le système est équilibré et que \(J_{12}\) et \(J_{31}\) sont déphasés de 120°.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Retenez simplement la formule, mais comprenez d'où elle vient : le courant de ligne est plus grand que le courant de phase car il doit "servir" deux phases à la fois. Le facteur √3 n'est pas magique, il provient de la géométrie vectorielle de ce partage.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable. Cette relation découle des lois fondamentales de l'électricité (Loi des nœuds).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Pour un couplage triangle équilibré :

\[ I = J \cdot \sqrt{3} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le système est parfaitement équilibré. Si les impédances Z n'étaient pas identiques, cette formule simple ne serait plus applicable.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

La donnée utilisée est le résultat direct de la question 2.

ParamètreSymboleValeurUnité
Courant de phaseJ15.73A
Astuces (Pour aller plus vite)

Le nombre √3 ≈ 1.732 est omniprésent en triphasé. Le connaître vous permet de faire des estimations rapides. Le courant de ligne est environ 73% plus grand que le courant de phase en triangle.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Fresnel des courants
J₁₂J₃₁J₂₃I₁=J₁₂-J₃₁
Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule des courants.

\[ \begin{aligned} I &= 15.73 \, \text{A} \times \sqrt{3} \\ &\Rightarrow I \approx 27.25 \, \text{A} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Relation des courants à un noeud
L1IJ₁₂-J₃₁
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le courant de ligne de 27.25 A est la valeur qui doit être utilisée pour dimensionner les câbles d'alimentation et les protections (disjoncteurs, fusibles) en amont du récepteur. Utiliser le courant de phase (15.73 A) sous-dimensionnerait l'installation.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne confondez pas les relations pour le couplage triangle et le couplage étoile ! En étoile, \(I = J\). En triangle, \(I = J\sqrt{3}\). C'est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir (maîtriser la question)

Pour un couplage TRIANGLE : Le courant de ligne est \( \sqrt{3} \) fois plus grand que le courant de phase. \( I = J \sqrt{3} \).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'ingénieur italien Galileo Ferraris est l'un des pères du courant alternatif. En 1885, il a démontré indépendamment de Tesla le principe du champ magnétique tournant, qui est à la base de tous les moteurs asynchrones triphasés modernes.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utilise-t-on √3 et pas un autre nombre ?

Ce facteur vient de la loi des cosinus appliquée à un triangle formé par les vecteurs courants. Comme l'angle entre les deux courants de phase qui se rejoignent est de 120°, le calcul vectoriel donne précisément ce facteur √3.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La valeur efficace des courants de ligne est I ≈ 27.25 A.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si le courant de ligne mesuré était de 50 A, quel serait le courant de phase J ?

Question 4 : Calculer les puissances totales (P, Q et S).

Principe (le concept physique)

L'énergie fournie par le réseau se décompose en trois types de puissance. La puissance active (P) est celle qui est réellement transformée en travail (chaleur, mouvement). La puissance réactive (Q) est "échangée" avec la charge pour magnétiser ses bobines. La puissance apparente (S) est la puissance "totale" que le réseau doit fournir, elle est la somme vectorielle des deux autres.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Ces trois puissances forment le "triangle des puissances", un triangle rectangle où S est l'hypoténuse, P le côté adjacent à l'angle φ, et Q le côté opposé. On a donc la relation pythagoricienne \( S^2 = P^2 + Q^2 \). Le déphasage \( \phi \) de la charge est l'angle clé de ce triangle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le plus simple est de calculer d'abord l'angle de déphasage \( \phi \) de votre charge, car il dépend uniquement de R et XL. Une fois que vous avez \( \phi \), vous pouvez calculer son cosinus et son sinus, puis appliquer directement les formules générales des puissances en triphasé qui utilisent les grandeurs de ligne (U et I).

Normes (la référence réglementaire)

Les fournisseurs d'électricité facturent principalement la consommation de puissance active (P), mesurée en kWh. Cependant, une forte consommation de puissance réactive (Q) est pénalisée car elle augmente le courant de ligne (et donc les pertes) sans produire de travail utile. Des normes imposent souvent un facteur de puissance minimum.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Angle de déphasage.

\[ \phi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) \]

Puissance apparente.

\[ S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \quad [\text{VA}] \]

Puissance active.

\[ P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\phi) \quad [\text{W}] \]

Puissance réactive.

\[ Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin(\phi) \quad [\text{VAR}] \]
Hypothèses (le cadre du calcul)
  • Le système étant équilibré, on peut utiliser les formules globales avec le facteur √3. Sinon, il faudrait calculer la puissance phase par phase et les additionner.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Les données utilisées sont issues de l'énoncé et des résultats des questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Tension de ligneU400V
Courant de ligneI27.25A
RésistanceR20Ω
Réactance Inductive\(X_L\)15.71Ω
Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois P et Q calculées, vous pouvez vérifier S avec le théorème de Pythagore : \( S = \sqrt{P^2 + Q^2} \). C'est une excellente façon de détecter une erreur de calcul sur P ou Q.

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances
P (W)Q (VAR)S (VA)φ
Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du déphasage (\(\phi\))

\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{15.71 \, \Omega}{20 \, \Omega}\right) \\ &= \arctan(0.7855) \\ &\Rightarrow \phi \approx 38.15^\circ \end{aligned} \]

Étape 2 : Calcul de la puissance apparente (S)

\[ \begin{aligned} S &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 27.25 \, \text{A} \\ &\Rightarrow S \approx 18874 \, \text{VA} \end{aligned} \]

Conversion en kilovoltampères.

\[ S \approx 18.87 \, \text{kVA} \]

Étape 3 : Calcul de la puissance active (P)

\[ \begin{aligned} P &= S \times \cos(\phi) \\ &= 18874 \, \text{VA} \times \cos(38.15^\circ) \\ &\approx 18874 \times 0.786 \\ &\Rightarrow P \approx 14838 \, \text{W} \end{aligned} \]

Conversion en kilowatts.

\[ P \approx 14.84 \, \text{kW} \]

Étape 4 : Calcul de la puissance réactive (Q)

\[ \begin{aligned} Q &= S \times \sin(\phi) \\ &= 18874 \, \text{VA} \times \sin(38.15^\circ) \\ &\approx 18874 \times 0.618 \\ &\Rightarrow Q \approx 11654 \, \text{VAR} \end{aligned} \]

Conversion en kilovoltampères réactifs.

\[ Q \approx 11.65 \, \text{kVAR} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances calculé
P ≈ 14.8 kWQ ≈ 11.7 kVARS ≈ 18.9 kVA38.15°
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le récepteur consomme 14.84 kW de puissance utile, mais le réseau doit en fournir 18.87 kVA. La différence correspond à la puissance réactive (11.65 kVAR) nécessaire pour magnétiser les bobines, qui "alourdit" la charge sur le réseau sans produire de travail.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas additionner arithmétiquement P et Q ! Ce sont des grandeurs vectorielles. Utilisez toujours P, Q et S dans un triangle rectangle. Une autre erreur est d'oublier le facteur √3 dans les formules.

Points à retenir (maîtriser la question)

Les trois formules de puissance en triphasé sont fondamentales. Retenez leur forme et l'unité associée à chacune : P en W, Q en VAR, S en VA.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Boucherot (1900) stipule que les puissances actives et réactives totales d'un circuit sont respectivement les sommes des puissances actives et réactives de chaque composant. Cela a permis de simplifier énormément l'analyse des circuits complexes.

FAQ (pour lever les doutes)
La puissance réactive est-elle "perdue" ?

Pas exactement. Elle n'est pas convertie en travail utile, mais elle n'est pas non plus perdue sous forme de chaleur comme le serait la puissance active. Elle est "empruntée" au réseau à chaque demi-période pour créer un champ magnétique, puis "rendue" au réseau à la demi-période suivante. Cependant, son va-et-vient sur la ligne cause des pertes par effet Joule.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les puissances consommées sont : P ≈ 14.84 kW, Q ≈ 11.65 kVAR, et S ≈ 18.87 kVA.
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si la charge était purement résistive (L=0), quelle serait la valeur de la puissance réactive Q ?

Question 5 : Calculer le facteur de puissance de l'installation.

Principe (le concept physique)

Le facteur de puissance (FP) est un indicateur de l'efficacité d'un récepteur électrique. Il représente la proportion de la puissance apparente (celle qui est transportée sur la ligne) qui est effectivement transformée en puissance active (travail utile). Un FP de 1 (ou 100%) est idéal, signifiant que tout le courant sert à un travail utile.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, le facteur de puissance est le cosinus de l'angle de déphasage \( \phi \) entre la tension et le courant. Pour une charge inductive (avec des bobines), le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)), on parle de FP "inductif". Pour une charge capacitive, le courant est en avance (\(\phi < 0\)), on parle de FP "capacitif".

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il y a plusieurs façons de calculer le facteur de puissance, ce qui est très pratique pour vérifier ses résultats. Vous pouvez soit prendre le cosinus de l'angle que vous avez déjà calculé, soit faire le rapport P/S. Les deux doivent donner exactement le même résultat.

Normes (la référence réglementaire)

Les réglementations électriques, comme la norme française NF C 15-100, et les contrats des fournisseurs d'énergie imposent souvent aux installations industrielles de maintenir un facteur de puissance élevé (typiquement \( \cos(\phi) > 0.93 \) ou \( \tan(\phi) < 0.4 \)) pour ne pas "polluer" le réseau avec un excès de puissance réactive.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \text{FP} = \cos(\phi) = \frac{P}{S} = \frac{R}{Z} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Les calculs supposent que la charge est linéaire (composée de R, L, C). Pour des charges non-linéaires (électronique de puissance), la notion de facteur de puissance est plus complexe et inclut la distorsion harmonique.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Toutes les données nécessaires proviennent des résultats calculés dans les questions précédentes.

ParamètreSymboleValeurUnité
Puissance activeP14838W
Puissance apparenteS18874VA
Angle de déphasageφ38.15°
RésistanceR20Ω
ImpédanceZ25.43Ω
Astuces (Pour aller plus vite)

La méthode la plus rapide, si vous avez déjà R et Z, est de calculer directement \( \text{FP} = R/Z \). Cela évite de passer par le calcul des puissances. Ici : \( 20 / 25.43 \approx 0.786 \).

Schéma (Avant les calculs)
Déphasage tension-courant
0Tension (V)Courant (I)φ
Calcul(s) (l'application numérique)

Méthode 1 : À partir de l'angle φ

\[ \begin{aligned} \text{FP} &= \cos(\phi) \\ &= \cos(38.15^\circ) \\ &\Rightarrow \text{FP} \approx 0.786 \end{aligned} \]

Méthode 2 : À partir des puissances P et S

\[ \begin{aligned} \text{FP} &= \frac{P}{S} \\ &= \frac{14838 \, \text{W}}{18874 \, \text{VA}} \\ &\Rightarrow \text{FP} \approx 0.786 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Facteur de Puissance sur le Triangle des Puissances
PQSφFP = cos(φ) = P/S
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un facteur de puissance de 0.786 est relativement faible. Il indique qu'une part importante de l'énergie (et donc du courant) circulant sur la ligne est de nature réactive. Pour améliorer cela, on devrait installer une batterie de condensateurs en parallèle de la charge pour "fournir" localement la puissance réactive dont les bobines ont besoin. C'est ce qu'on appelle la compensation d'énergie réactive.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

N'oubliez pas de préciser si le facteur de puissance est inductif (courant en retard, cas le plus fréquent avec des moteurs) ou capacitif (courant en avance). Cela a une grande importance pour la compensation.

Points à retenir (maîtriser la question)

Le facteur de puissance \( \text{FP} = P/S = \cos(\phi) \). Il est sans unité et toujours compris entre 0 et 1. Plus il est proche de 1, plus l'installation est efficace.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les grands réseaux électriques sont un équilibre fragile. Trop de charges inductives (moteurs) font chuter la tension, tandis que trop de charges capacitives (lignes à haute tension à vide) la font monter dangereusement. La gestion de la puissance réactive est un enjeu majeur pour les opérateurs de réseau comme RTE en France.

FAQ (pour lever les doutes)
Comment peut-on physiquement corriger le facteur de puissance ?

Puisque la charge est inductive (elle consomme des VAR), on installe en parallèle une charge capacitive (banc de condensateurs) qui "fournit" des VAR. Le but est que les VAR "s'échangent" localement entre les bobines et les condensateurs, plutôt que de faire des allers-retours sur tout le réseau depuis la centrale électrique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le facteur de puissance de l'installation est d'environ 0.786 (inductif).
A vous de jouer (vérifier la compréhension)

Si on augmentait la résistance R à 30 Ω (en gardant L=50mH), le facteur de puissance augmenterait-il ou diminuerait-il ? Calculez sa nouvelle valeur.

Outil Interactif : Simulateur d'une Charge Triphasée

Utilisez les curseurs pour faire varier la tension du réseau et la résistance de la charge. Observez en temps réel l'impact sur le courant de ligne et la puissance active consommée. L'inductance est fixe à 50 mH.

Paramètres d'Entrée
400 V
20 Ω
Résultats Clés
Courant de Ligne (I) - A
Puissance Active (P) - kW

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un montage triangle, si la tension de ligne est de 400V, quelle est la tension aux bornes d'une phase de la charge ?

2. Si le courant de phase dans une charge en triangle est de 10 A, quel est le courant de ligne ?

3. Une charge purement résistive a un facteur de puissance de :

4. L'unité de la puissance réactive est le :

5. Que se passe-t-il si on augmente la tension d'alimentation d'une charge R-L, sans changer la charge ?

Glossaire

Tension Simple (V)
Tension mesurée entre une phase et le conducteur neutre dans un système triphasé. Dans un réseau 230/400V, la tension simple est de 230V.
Tension Composée (U)
Tension mesurée entre deux phases d'un système triphasé. C'est la tension la plus couramment spécifiée pour un réseau. Dans un réseau 230/400V, la tension composée est de 400V.
Couplage Triangle (Delta)
Montage où les trois enroulements (ou impédances) d'un récepteur ou générateur sont connectés en série pour former une boucle fermée, ressemblant à la lettre grecque Delta (Δ).
Puissance Active (P)
Partie de la puissance qui produit un travail utile (chaleur, lumière, mouvement). Elle se mesure en Watts (W).
Puissance Réactive (Q)
Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) du circuit, nécessaire à la création des champs magnétiques et électriques. Elle se mesure en Voltampères Réactifs (VAR).
Facteur de Puissance (cos φ)
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il mesure l'efficacité d'une installation électrique. Un facteur de puissance proche de 1 est idéal.
Exercice : Analyse d'un Système Triphasé Équilibré

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