Application du Théorème de Thévenin

Contexte : Le théorème de ThéveninPrincipe qui permet de simplifier n'importe quel circuit électrique linéaire en un générateur de tension idéal en série avec une résistance. est un outil fondamental en électrotechnique.

Il permet de simplifier des portions de circuits complexes en un modèle équivalent beaucoup plus simple, composé d'une unique source de tension et d'une unique résistance. Cette simplification est extrêmement utile pour analyser l'effet d'une charge sur un circuit ou pour comprendre le comportement d'un réseau électrique sans avoir à résoudre de multiples équations simultanées.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera pas à pas dans l'application de ce théorème pour simplifier un circuit qui pourrait sembler complexe au premier abord. L'objectif est de maîtriser la méthode pour pouvoir l'appliquer à n'importe quel circuit linéaire.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la tension équivalente de Thévenin (\(V_{\text{th}}\)) d'un circuit.
Calculer la résistance équivalente de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)).
Modéliser le circuit équivalent de Thévenin.
Déterminer le courant et la tension aux bornes d'une résistance de charge (\(R_{\text{L}}\)).

Données de l'étude

On s'intéresse au circuit en courant continu ci-dessous. L'objectif est de déterminer le courant \(I_{\text{L}}\) qui traverse la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) en utilisant le théorème de Thévenin.

Schéma du circuit à analyser

Caractéristique	Symbole	Valeur
Source de tension	\(V_{1}\)	32 V
Résistance 1	\(R_{1}\)	4 kΩ
Résistance 2	\(R_{2}\)	12 kΩ
Résistance 3	\(R_{3}\)	8 kΩ
Résistance de charge	\(R_{\text{L}}\)	1 kΩ

Questions à traiter

Déterminer la tension de Thévenin (\(V_{\text{th}}\)) aux bornes A et B (après avoir retiré \(R_{\text{L}}\)).
Déterminer la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)) vue depuis les bornes A et B.
Dessiner le circuit équivalent de Thévenin complet, incluant la charge \(R_{\text{L}}\).
Calculer le courant \(I_{\text{L}}\) traversant la résistance de charge \(R_{\text{L}}\).

Les bases sur le Théorème de Thévenin

Le théorème de Thévenin est un principe d'analyse des circuits qui stipule que toute combinaison de sources de tension, de sources de courant et de résistances avec deux bornes est électriquement équivalente à une unique source de tension \(V_{\text{th}}\) en série avec une unique résistance \(R_{\text{th}}\).

1. Le Générateur de Thévenin Équivalent
Le modèle équivalent simplifie l'analyse en remplaçant un réseau complexe par un générateur de tension simple. Ce modèle est défini par deux valeurs :

\(V_{\text{th}}\) : La tension de Thévenin, qui est la tension mesurée aux bornes A-B lorsque le circuit est ouvert (aucune charge connectée).
\(R_{\text{th}}\) : La résistance de Thévenin, qui est la résistance équivalente vue depuis les bornes A-B lorsque toutes les sources indépendantes sont "éteintes".

2. Comment "éteindre" les sources ?
Pour calculer \(R_{\text{th}}\), on doit neutraliser les sources de tension et de courant indépendantes du circuit original :

Une source de tension idéale est remplacée par un court-circuit (un fil, résistance nulle).
Une source de courant idéale est remplacée par un circuit ouvert (une coupure, résistance infinie).

Correction : Application du Théorème de Thévenin

Question 1 : Calcul de la tension de Thévenin (\(V_{\text{th}}\))

Principe (le concept physique)

La première étape consiste à retirer la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) du circuit. La tension de Thévenin \(V_{\text{th}}\) est alors la tension à vide (ou en circuit ouvert) qui apparaît entre les bornes A et B.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Lorsque les bornes A et B sont ouvertes, aucun courant ne peut circuler dans la branche contenant la résistance \(R_3\). Par conséquent, il n'y a aucune chute de tension à ses bornes (\(V_{R3} = R_3 \times I\), avec \(I=0\)). La tension au point A est donc la même que la tension au nœud situé entre \(R_1\), \(R_2\) et \(R_3\). Cette tension se calcule en utilisant la formule du pont diviseur de tension sur les résistances \(R_1\) et \(R_2\), qui forment une boucle fermée avec la source \(V_1\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur la plus classique est d'inclure R3 dans le calcul du pont diviseur. Rappelez-vous toujours de cette règle d'or : s'il n'y a pas de chemin pour que le courant circule (circuit ouvert), il n'y a pas de chute de tension aux bornes d'une résistance.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul des circuits en courant continu est régi par les lois fondamentales de l'électricité : la Loi d'Ohm et les Lois de Kirchhoff. Ces principes sont universels en physique et ne dépendent pas de normes régionales spécifiques (comme les normes IEC pour les installations électriques), mais en constituent le fondement théorique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du pont diviseur de tension

V_{\text{th}} = V_{\text{AB}} = V_1 \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour cette analyse, nous posons les hypothèses suivantes :

Les composants (résistances, source de tension) sont considérés comme idéaux (valeur constante, pas d'effet de la température).
Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Le circuit est en régime établi (les valeurs ne varient pas dans le temps).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Source de tension	\(V_{1}\)	32 V
Résistance 1	\(R_{1}\)	4 kΩ
Résistance 2	\(R_{2}\)	12 kΩ

Astuces (Pour aller plus vite)

Avant tout calcul, visualisez le chemin du courant. Ici, avec la sortie ouverte en A-B, le seul chemin possible pour le courant partant de \(V_1\) est à travers \(R_1\) puis \(R_2\). Cela vous confirme immédiatement que ces deux résistances sont en série et forment un pont diviseur.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de V_th (charge retirée)

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la tension V_th

\begin{aligned} V_{\text{th}} &= V_1 \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} \\ &= 32 \, \text{V} \times \frac{12 \, \text{k}\Omega}{4 \, \text{k}\Omega + 12 \, \text{k}\Omega} \\ &= 32 \, \text{V} \times \frac{12}{16} \\ &= 32 \, \text{V} \times 0.75 \\ \Rightarrow V_{\text{th}} &= 24 \, \text{V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma du résultat pour la tension de Thévenin

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le résultat de 24 V est la tension que l'on mesurerait avec un voltmètre idéal placé entre A et B si \(R_{\text{L}}\) était déconnectée. Il est crucial de comprendre que la présence de \(R_3\) n'influence pas ce calcul car la condition de circuit ouvert à ses bornes annule le courant qui la traverse.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale erreur à éviter est de mal identifier les résistances qui composent le pont diviseur. Assurez-vous toujours que le courant traverse bien en série les éléments du pont et qu'aucune dérivation ne vient perturber ce chemin.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

\(V_{\text{th}}\) est la tension en circuit ouvert aux bornes de la charge.
Pour la calculer, on retire la charge.
Le pont diviseur de tension est l'outil clé lorsque deux résistances sont en série aux bornes d'une source.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Léon Charles Thévenin, un ingénieur du télégraphe français, a publié son célèbre théorème en 1883. Son travail visait à simplifier l'analyse des circuits télégraphiques, qui étaient de longs réseaux de résistances et de sources.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La tension équivalente de Thévenin aux bornes A-B est de 24 V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour vérifier votre compréhension, recalculez \(V_{\text{th}}\) si la source de tension \(V_1\) avait une valeur de 48 V.

Question 2 : Calcul de la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\))

Principe (le concept physique)

Pour trouver \(R_{\text{th}}\), on se place du point de vue de la charge (aux bornes A et B) et on calcule la résistance équivalente de tout le circuit, après avoir "éteint" toutes les sources d'énergie indépendantes.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

"Éteindre" les sources signifie les remplacer par leur résistance interne idéale. Pour une source de tension idéale, sa résistance interne est nulle, on la remplace donc par un court-circuit (un simple fil). Pour une source de courant idéale, sa résistance interne est infinie, on la remplace par un circuit ouvert. Une fois les sources éteintes, le circuit ne contient plus que des résistances, et on peut le simplifier en utilisant les lois d'association série et parallèle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Il est très fortement conseillé de redessiner le circuit après avoir éteint les sources. Cela permet de mieux visualiser les nouvelles connexions entre les résistances et d'identifier correctement les associations en série et en parallèle, qui ne sont pas toujours évidentes sur le schéma de départ.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul de la résistance équivalente est basé sur les lois fondamentales d'association des résistances (série et parallèle), qui sont des piliers de la théorie des circuits électriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule des résistances en parallèle

R_{\text{eq}} = \frac{R_{\text{A}} \times R_{\text{B}}}{R_{\text{A}} + R_{\text{B}}}

Formule des résistances en série

R_{\text{eq}} = R_{\text{A}} + R_{\text{B}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la source de tension \(V_1\) est une source idéale, ce qui justifie de la remplacer par un court-circuit parfait (résistance de 0 Ω).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Résistance 1	\(R_1\)	4 kΩ
Résistance 2	\(R_2\)	12 kΩ
Résistance 3	\(R_3\)	8 kΩ

Astuces (Pour aller plus vite)

Imaginez que vous injectez un courant dans la borne A. Visualisez où ce courant se sépare et où il se rejoint avant de sortir par la borne B. Si le courant se divise pour passer dans plusieurs branches qui se rejoignent ensuite, ces branches sont en parallèle.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de R_th (source éteinte)

Calcul(s) (l'application numérique)

Depuis les bornes A et B, on voit que la résistance \(R_3\) est en série avec l'ensemble des résistances \(R_1\) et \(R_2\). Comme la source \(V_1\) est court-circuitée, \(R_1\) et \(R_2\) se retrouvent en parallèle.

Calcul de la résistance parallèle \(R_{1||2}\)

\begin{aligned} R_{1||2} &= \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2} \\ &= \frac{4 \, \text{k}\Omega \times 12 \, \text{k}\Omega}{4 \, \text{k}\Omega + 12 \, \text{k}\Omega} \\ &= \frac{48}{16} \, \text{k}\Omega \\ \Rightarrow R_{1||2} &= 3 \, \text{k}\Omega \end{aligned}

Calcul de la résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\)

\begin{aligned} R_{\text{th}} &= R_3 + R_{1||2} \\ &= 8 \, \text{k}\Omega + 3 \, \text{k}\Omega \\ \Rightarrow R_{\text{th}} &= 11 \, \text{k}\Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma de la résistance équivalente de Thévenin

Réflexions (l'interprétation du résultat)

\(R_{\text{th}}\) représente la "résistance interne" du circuit vu depuis la charge. Cette valeur est cruciale car elle détermine comment la tension aux bornes de la charge chutera lorsque celle-ci demandera du courant. Une \(R_{\text{th}}\) faible signifie que le circuit se comporte comme une source de tension plus "robuste" ou "idéale".

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est de mal identifier les associations série/parallèle après avoir éteint les sources. Redessiner le circuit est la meilleure parade. N'oubliez jamais : on court-circuite une source de tension, mais on ouvre une source de courant !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Pour calculer \(R_{\text{th}}\), on "éteint" les sources indépendantes.
Sources de tension -> Court-circuit. Sources de courant -> Circuit ouvert.
On calcule ensuite la résistance équivalente vue depuis les bornes de la charge.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème de Thévenin a un "dual" : le théorème de Norton. Il permet de simplifier un circuit en une source de courant idéale en parallèle avec une résistance. La résistance de Norton est d'ailleurs exactement la même que la résistance de Thévenin (\(R_{\text{N}} = R_{\text{th}}\)).

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La résistance équivalente de Thévenin vue depuis A-B est de 11 kΩ.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour vérifier votre compréhension, recalculez \(R_{\text{th}}\) si la résistance \(R_3\) avait une valeur de 4 kΩ au lieu de 8 kΩ.

Question 3 : Schéma du circuit équivalent de Thévenin

Principe

Le circuit original, aussi complexe soit-il, peut maintenant être remplacé par son équivalent de Thévenin : une source de tension \(V_{\text{th}}\) en série avec une résistance \(R_{\text{th}}\). On reconnecte ensuite la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) à ce circuit simplifié.

Mini-Cours

Cette étape est la synthèse des deux calculs précédents. Le modèle de Thévenin est toujours composé de la même manière : une source de tension idéale (\(V_{\text{th}}\)) placée en série avec une résistance (\(R_{\text{th}}\)). L'ensemble forme le "Générateur de Thévenin Équivalent". C'est à ce générateur simplifié que l'on vient brancher la charge \(R_L\) pour analyser son comportement.

Schéma

Circuit Équivalent de Thévenin avec la Charge

Réflexions

La construction de ce schéma est l'aboutissement de la méthode. On a transformé un circuit à trois résistances et une source en un circuit beaucoup plus simple à une boucle. L'avantage majeur est que si l'on voulait tester l'effet de 10 valeurs différentes pour \(R_L\), on n'aurait pas à refaire toute l'analyse du circuit de base à chaque fois. On utilise ce modèle simple et on change juste la valeur de \(R_L\), ce qui rend les calculs itératifs extrêmement rapides.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente ici est un mauvais branchement. Assurez-vous que \(V_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\) sont bien en **série**. Un montage en parallèle correspondrait au modèle de Norton, pas de Thévenin. Vérifiez également que la charge \(R_L\) est bien connectée aux bornes A et B du générateur équivalent.

Question 4 : Calcul du courant de charge \(I_{\text{L}}\)

Principe (le concept physique)

Grâce au circuit équivalent, le calcul de \(I_{\text{L}}\) devient une simple application de la loi d'Ohm à une boucle série unique. Le courant est simplement la tension totale du générateur de Thévenin divisée par la résistance totale de la boucle.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le circuit équivalent de Thévenin reconnecté à la charge forme une simple boucle série. Dans une telle boucle, la résistance totale est la somme de toutes les résistances en série (\(R_{\text{totale}} = R_{\text{th}} + R_{\text{L}}\)). La loi d'Ohm (\(V=RI\)) peut alors être appliquée directement à l'ensemble du circuit pour trouver le courant unique qui y circule.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La beauté et toute la puissance du théorème de Thévenin se révèlent dans cette étape finale : un calcul qui aurait pu nécessiter plusieurs lois de Kirchhoff dans le circuit original est réduit à une unique et simple division. C'est l'illustration parfaite de l'intérêt de la simplification de circuits.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul final est une application directe de la Loi d'Ohm, la loi la plus fondamentale de l'électrocinétique, établie par Georg Ohm en 1827.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Loi d'Ohm appliquée au circuit équivalent

I_{\text{L}} = \frac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}} + R_{\text{L}}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On part de l'hypothèse que le modèle équivalent de Thévenin que nous avons calculé est une représentation fidèle du circuit original vu depuis les bornes A et B.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension de Thévenin	\(V_{\text{th}}\)	24 V
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{th}}\)	11 kΩ
Résistance de charge	\(R_{\text{L}}\)	1 kΩ

Astuces (Pour aller plus vite)

Lorsque vous travaillez avec des kΩ, vous pouvez souvent faire le calcul directement et le résultat sera en milliampères (mA), car V / kΩ = mA. Par exemple, 24 / (11+1) = 24 / 12 = 2. Le résultat est 2 mA. C'est un raccourci mental très pratique.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de I_L

Calcul(s) (l'application numérique)

\begin{aligned} I_{\text{L}} &= \frac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}} + R_{\text{L}}} \\ &= \frac{24 \, \text{V}}{11 \, \text{k}\Omega + 1 \, \text{k}\Omega} \\ &= \frac{24 \, \text{V}}{12 \, \text{k}\Omega} \\ \Rightarrow I_{\text{L}} &= 2 \, \text{mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Schéma du courant dans la boucle équivalente

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un courant de 2 mA circulera dans la charge de 1 kΩ. Grâce à ce résultat, on peut facilement calculer d'autres grandeurs, comme la tension aux bornes de la charge (\(V_{\text{L}} = R_{\text{L}} \times I_{\text{L}} = 1 \text{k}\Omega \times 2 \text{mA} = 2 \text{V}\)) ou la puissance dissipée par celle-ci (\(P_{\text{L}} = V_{\text{L}} \times I_{\text{L}} = 2 \text{V} \times 2 \text{mA} = 4 \text{mW}\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Une erreur fréquente est d'oublier d'additionner \(R_{\text{L}}\) à \(R_{\text{th}}\) dans le dénominateur. Le courant circule à travers la résistance de Thévenin ET la résistance de charge, il faut donc utiliser la résistance totale de la boucle. Attention également aux unités (V, kΩ, mA).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le circuit équivalent Thévenin + Charge est une simple boucle série.
La résistance totale est \(R_{\text{tot}} = R_{\text{th}} + R_{\text{L}}\).
Le courant de charge est \(I_{\text{L}} = V_{\text{th}} / R_{\text{tot}}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le théorème du transfert de puissance maximal, une conséquence directe du théorème de Thévenin, stipule que pour transférer la puissance maximale d'une source à une charge, la résistance de la charge (\(R_{\text{L}}\)) doit être égale à la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)) du circuit source.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant traversant la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) est de 2 mA.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour vous entraîner, calculez le courant \(I_{\text{L}}\) si la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) est remplacée par une résistance de 5 kΩ.

Outil Interactif : Simulateur d'Analyse de Charge

Utilisez les curseurs pour faire varier la tension d'alimentation du circuit original (\(V_1\)) et la valeur de la résistance de charge (\(R_{\text{L}}\)). Observez en temps réel comment le courant de charge \(I_{\text{L}}\) est affecté. Le graphique montre la relation entre \(I_{\text{L}}\) et \(R_{\text{L}}\) pour la tension \(V_1\) sélectionnée.

Paramètres d'Entrée

Tension d'alimentation \(V_1\) (V) 32 V

Résistance de charge \(R_{\text{L}}\) (kΩ) 1.0 kΩ

Résultats Clés (Calculés)

Tension de Thévenin \(V_{\text{th}}\) (V) -

Courant de charge \(I_{\text{L}}\) (mA) -

Glossaire

Théorème de Thévenin: Un principe d'analyse des circuits linéaires qui permet de remplacer un réseau complexe par une source de tension unique en série avec une résistance unique.
Tension à vide (\(V_{\text{oc}}\)): La tension mesurée aux bornes de deux points d'un circuit lorsqu'il n'y a pas de charge connectée. C'est la valeur de \(V_{\text{th}}\).
Circuit Équivalent: Un circuit simplifié qui se comporte de la même manière (en termes de tension et de courant) qu'un circuit plus complexe, vu depuis des bornes spécifiques.

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