Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie

1. Longueur d’onde dans le vide

Qu’est-ce qu’une longueur d’onde ? Pensez à des vagues dans un lac : la distance entre deux crêtes successives est la longueur d’onde. Pour les ondes électromagnétiques, c’est la distance parcourue par l’onde pendant une oscillation complète.

Pourquoi diviser la vitesse par la fréquence ? La vitesse de l’onde dans le vide, ( \(c = 3,00\times10^8\ \mathrm{m/s}\)), est constante. La fréquence \(f\) (en Hz) indique le nombre d’oscillations par seconde. Pour savoir combien de mètres l’onde parcourt en une oscillation, on divise vitesse par nombre d’oscillations/seconde.

Formule

\[ \lambda_0 = \frac{c}{f} \]

Données

• \(c = 3,00\times10^8\ \mathrm{m/s}\)
• \(f = 500\ \mathrm{MHz} = 5,00\times10^8\ \mathrm{Hz}\)

Calcul

\[ \lambda_0 = \frac{3,00\times10^8}{5,00\times10^8} \] \[ \lambda_0 = 0,60\ \mathrm{m} \]

Interprétation :

Cette longueur d’onde de 0,60 m est assez grande, typique des communications VHF, et permet une bonne propagation dans le tunnel sans trop de pertes.

2. Longueur d’onde dans le matériau du tunnel

Quand une onde quitte l’air pour entrer dans un matériau, elle ralentit si le matériau est plus « électriquement dense ». La permittivité relative \(\varepsilon_r\) mesure cette densité. Imaginez que vous conduisez sur une route lisse (vide) puis sur un chemin boueux (matériau) : vous irez plus lentement sur la boue. En conclusion, plus le matériau est épais, (\(\varepsilon_r\)) plus l’onde ralentit.

Pour compenser ce ralentissement, la longueur d’onde se raccourcit. Mathématiquement, on divise la longueur d’onde dans le vide par \(\sqrt{\varepsilon_r}\).

Formule

\[ \lambda = \frac{\lambda_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} \]

Données

• \(\lambda_0 = 0,60\ \mathrm{m}\)
• \(\varepsilon_r = 5\)

Calcul

\[ \lambda = \frac{0,60}{\sqrt{5}} \] \[ \lambda = \frac{0,60}{2,236} \] \[ \lambda \approx 0,268\ \mathrm{m} \]

Interprétation :

La longueur d’onde tombe à 0,268 m, ce qui signifie que l’onde est plus concentrée dans le matériau, réduisant la zone de couverture mais augmentant l’intensité locale.

3. Coefficient de réflexion à l’interface air–matériau

Qu’est-ce que l’interface ? C’est la frontière entre l’air et le matériau du tunnel. À cette limite, une partie de l’onde est réfléchie et le reste est transmis. Chaque milieu offre une résistance au passage de l’onde, appelée impédance \(\eta\). Plus la différence d’impédance entre les deux milieux est grande, plus la réflexion est forte.

Nous allons calculer l’impédance de l’air (\(\eta_1=\eta_0=377\ \Omega\)) et celle du matériau (\(\eta_2=\eta_0/\sqrt{\varepsilon_r}\)), puis nous appliquerons la formule du coefficient de réflexion.

Formule

\[ \Gamma = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} \]

Données

• \(\eta_1=\eta_0=377\ \Omega\)
• \(\varepsilon_r = 5\)

Calculs

\[ \eta_2 = \frac{377}{\sqrt{5}} \] \[ \eta_2 \approx 168,6\ \Omega \]
Donc, \[ \Gamma = \frac{168,6 - 377}{168,6 + 377} \] \[ \Gamma = \frac{-208,4}{545,6} \] \[ \Gamma \approx -0,382 \]

Interprétation :

Le coefficient de -0,382 signifie que 38,2 % de l’amplitude est réfléchie et que l’onde est inversée en phase (pic → creux), provoquant des interférences potentielles dans le tunnel.

4. Amplitude de l’onde réfléchie

L’amplitude d’une onde est sa « hauteur ». Pour l’onde réfléchie, on multiplie l’amplitude de l’onde incidente (\(E_i\)) par la « force de rebond » (valeur absolue du coefficient \(|\Gamma|\)), sans tenir compte du signe.

C'est commi si vous lanciez une balle de caoutchouc contre un mur, elle revient avec une vitesse liée à la résistance du mur. Ici, \(|\Gamma|\) joue le rôle de cette résistance.

Formule

\[ E_r = |\Gamma|\,E_i \]

Données

• \(|\Gamma| = 0,382\)
• \(E_i = 1,00\ \mathrm{V/m}\)

Calcul

\[ E_r = 0,382 \times 1,00 \] \[ E_r = 0,382\ \mathrm{V/m} \]

Interprétation :

L’onde réfléchie a une amplitude de 0,382 V/m, indicatif d’une réflexion modérée. Ce signal peut interférer avec l’onde incidente et créer des zones de renforcement ou d’atténuation.