Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de l’amplitude de l’onde réfléchie

Calcul de l’Amplitude de l’Onde Réfléchie

Calcul de l’Amplitude de l’Onde Réfléchie

Comprendre la Réflexion et la Transmission des Ondes Électromagnétiques

Lorsqu'une onde électromagnétique, telle que la lumière, rencontre une interface entre deux milieux différents (caractérisés par des indices de réfraction distincts), une partie de l'onde est réfléchie dans le premier milieu, et une autre partie est transmise (ou réfractée) dans le second milieu. Les amplitudes et les phases des ondes réfléchie et transmise par rapport à l'onde incidente sont décrites par les coefficients de Fresnel.

Pour une incidence normale (l'onde arrive perpendiculairement à l'interface), les expressions des coefficients de réflexion et de transmission pour le champ électrique sont simplifiées. Le coefficient de réflexion en amplitude (\(r\)) est donné par \(r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\), où \(n_1\) est l'indice de réfraction du milieu d'incidence et \(n_2\) celui du milieu de transmission. L'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie (\(E_{0r}\)) est alors \(E_{0r} = r \cdot E_{0i}\), où \(E_{0i}\) est l'amplitude du champ électrique de l'onde incidente.

Cet exercice se concentre sur le calcul de l'amplitude de l'onde réfléchie et de l'onde transmise pour une onde électromagnétique arrivant en incidence normale sur une interface entre deux milieux diélectriques non magnétiques.

Données de l'étude

Une onde électromagnétique plane harmonique, polarisée rectilignement, se propage dans l'air et frappe en incidence normale une surface plane d'un bloc de verre.

Caractéristiques de l'onde et des milieux :

  • Milieu 1 : Air, indice de réfraction \(n_1 = 1.00\)
  • Milieu 2 : Verre, indice de réfraction \(n_2 = 1.50\)
  • Amplitude du champ électrique de l'onde incidente (\(E_{0i}\)) : \(100 \, \text{V/m}\)
  • Les milieux sont supposés non magnétiques (\(\mu_1 = \mu_2 = \mu_0\)).
Schéma de la Réflexion et Transmission à une Interface
Milieu 1 (Air, n1) Milieu 2 (Verre, n2) E0i E0r E0t Incidence Normale

Onde électromagnétique incidente (\(E_{0i}\)) arrivant en incidence normale sur une interface entre deux milieux, donnant lieu à une onde réfléchie (\(E_{0r}\)) et une onde transmise (\(E_{0t}\)).

Questions à traiter

  1. Calculer le coefficient de réflexion en amplitude (\(r\)) pour le champ électrique à l'interface air-verre.
  2. Calculer l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie (\(E_{0r}\)).
  3. Calculer le coefficient de transmission en amplitude (\(t\)) pour le champ électrique à l'interface air-verre.
  4. Calculer l'amplitude du champ électrique de l'onde transmise (\(E_{0t}\)).
  5. Vérifier la relation entre les amplitudes à l'interface : \(E_{0i} + E_{0r} = E_{0t}\) est-elle valable ici ? (Attention : cette relation est pour les champs totaux, pas seulement les amplitudes si des déphasages existent). La relation correcte pour les amplitudes en incidence normale est \(1+r=t\). Vérifier cette dernière.
  6. Calculer le coefficient de réflexion en puissance (Réflectance, \(R\)).
  7. Calculer le coefficient de transmission en puissance (Transmittance, \(T\)). Vérifier que \(R+T=1\).

Correction : Calcul de l’Amplitude de l’Onde Réfléchie

Question 1 : Coefficient de réflexion en amplitude (\(r\))

Principe :

Pour une onde électromagnétique en incidence normale sur une interface entre deux milieux diélectriques non magnétiques, le coefficient de réflexion en amplitude pour le champ électrique est donné par la formule de Fresnel : \(r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[r = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\]
Données spécifiques :
  • Indice de réfraction du milieu 1 (air) (\(n_1\)) : \(1.00\)
  • Indice de réfraction du milieu 2 (verre) (\(n_2\)) : \(1.50\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} r &= \frac{1.00 - 1.50}{1.00 + 1.50} \\ &= \frac{-0.50}{2.50} \\ &= -0.20 \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le coefficient de réflexion en amplitude est \(r = -0.20\).

Quiz Intermédiaire 1 : Un coefficient de réflexion négatif signifie que l'onde réfléchie :

Question 2 : Amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie (\(E_{0r}\))

Principe :

L'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie est le produit du coefficient de réflexion en amplitude et de l'amplitude du champ électrique de l'onde incidente : \(E_{0r} = r \cdot E_{0i}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{0r} = r \cdot E_{0i}\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de réflexion (\(r\)) : \(-0.20\) (de Q1)
  • Amplitude incidente (\(E_{0i}\)) : \(100 \, \text{V/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{0r} &= (-0.20) \cdot (100 \, \text{V/m}) \\ &= -20 \, \text{V/m} \end{aligned} \]

La magnitude de l'amplitude est \(|E_{0r}| = 20 \, \text{V/m}\). Le signe négatif indique un déphasage de \(\pi\) par rapport à l'onde incidente (si l'on considère les champs vectoriels et une convention d'orientation).

Résultat Question 2 : L'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie est \(E_{0r} = -20 \, \text{V/m}\) (magnitude de \(20 \, \text{V/m}\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(n_1 > n_2\) (passage d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent), le coefficient de réflexion \(r\) sera :

Question 3 : Coefficient de transmission en amplitude (\(t\))

Principe :

Pour une onde électromagnétique en incidence normale, le coefficient de transmission en amplitude pour le champ électrique est donné par la formule de Fresnel : \(t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[t = \frac{2n_1}{n_1 + n_2}\]
Données spécifiques :
  • Indice de réfraction du milieu 1 (\(n_1\)) : \(1.00\)
  • Indice de réfraction du milieu 2 (\(n_2\)) : \(1.50\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} t &= \frac{2 \cdot 1.00}{1.00 + 1.50} \\ &= \frac{2.00}{2.50} \\ &= 0.80 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le coefficient de transmission en amplitude est \(t = 0.80\).

Quiz Intermédiaire 3 : Le coefficient de transmission en amplitude \(t\) est-il toujours positif ?

Question 4 : Amplitude du champ électrique de l'onde transmise (\(E_{0t}\))

Principe :

L'amplitude du champ électrique de l'onde transmise est le produit du coefficient de transmission en amplitude et de l'amplitude du champ électrique de l'onde incidente : \(E_{0t} = t \cdot E_{0i}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_{0t} = t \cdot E_{0i}\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de transmission (\(t\)) : \(0.80\) (de Q3)
  • Amplitude incidente (\(E_{0i}\)) : \(100 \, \text{V/m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_{0t} &= (0.80) \cdot (100 \, \text{V/m}) \\ &= 80 \, \text{V/m} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : L'amplitude du champ électrique de l'onde transmise est \(E_{0t} = 80 \, \text{V/m}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si \(n_2 > n_1\), l'amplitude du champ électrique transmis \(E_{0t}\) est-elle toujours inférieure à \(E_{0i}\) ?

Question 5 : Vérification de la relation \(1+r=t\)

Principe :

Pour l'incidence normale sur une interface entre deux milieux diélectriques, la continuité des composantes tangentielles du champ électrique total implique la relation \(1+r=t\) entre les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude.

Données spécifiques :
  • Coefficient de réflexion (\(r\)) : \(-0.20\) (de Q1)
  • Coefficient de transmission (\(t\)) : \(0.80\) (de Q3)
Vérification :
\[ \begin{aligned} 1+r &= 1 + (-0.20) \\ &= 1 - 0.20 \\ &= 0.80 \\ \\ t &= 0.80 \end{aligned} \]

Puisque \(1+r = 0.80\) et \(t = 0.80\), la relation \(1+r=t\) est bien vérifiée.

Résultat Question 5 : La relation \(1+r=t\) est vérifiée (\(0.80 = 0.80\)).

Quiz Intermédiaire 5 : La relation \(1+r=t\) pour les amplitudes des champs électriques en incidence normale découle de :

Question 6 : Coefficient de réflexion en puissance (Réflectance, \(R\))

Principe :

La réflectance \(R\) est la fraction de la puissance incidente qui est réfléchie. Elle est égale au carré du module du coefficient de réflexion en amplitude : \(R = |r|^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R = |r|^2\]
Données spécifiques :
  • Coefficient de réflexion (\(r\)) : \(-0.20\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R &= |-0.20|^2 \\ &= (0.20)^2 \\ &= 0.04 \end{aligned} \]

Cela signifie que 4% de la puissance incidente est réfléchie.

Résultat Question 6 : Le coefficient de réflexion en puissance (Réflectance) est \(R = 0.04\) (soit 4%).

Quiz Intermédiaire 6 : La réflectance \(R\) est une grandeur :

Question 7 : Coefficient de transmission en puissance (Transmittance, \(T\)) et vérification

Principe :

La transmittance \(T\) est la fraction de la puissance incidente qui est transmise dans le second milieu. Pour des milieux non absorbants et en incidence normale, elle est donnée par \(T = \frac{n_2}{n_1} |t|^2\). On doit aussi avoir \(R+T=1\) (conservation de l'énergie).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T = \frac{n_2}{n_1} |t|^2 \quad \text{et} \quad R+T=1\]
Données spécifiques :
  • \(n_1 = 1.00\), \(n_2 = 1.50\)
  • Coefficient de transmission en amplitude (\(t\)) : \(0.80\) (de Q3)
  • Réflectance (\(R\)) : \(0.04\) (de Q6)
Calcul de \(T\) :
\[ \begin{aligned} T &= \frac{1.50}{1.00} \cdot (0.80)^2 \\ &= 1.50 \cdot 0.64 \\ &= 0.96 \end{aligned} \]

Vérification de la conservation de l'énergie :

\[ \begin{aligned} R + T &= 0.04 + 0.96 \\ &= 1.00 \end{aligned} \]

La relation \(R+T=1\) est bien vérifiée.

Résultat Question 7 : Le coefficient de transmission en puissance (Transmittance) est \(T = 0.96\) (soit 96%). La conservation de l'énergie (\(R+T=1\)) est vérifiée.

Quiz Intermédiaire 7 : Si la réflectance \(R = 0.1\), et en supposant l'absence d'absorption, la transmittance \(T\) est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les coefficients de Fresnel décrivent :

2. En incidence normale, si \(n_1 < n_2\) (par exemple, air vers verre), le coefficient de réflexion en amplitude \(r\) pour le champ électrique est :

3. La réflectance \(R\) est définie comme :

Glossaire

Onde Électromagnétique
Onde composée de champs électriques et magnétiques oscillants qui se propagent à travers l'espace et transportent de l'énergie.
Interface
Surface séparant deux milieux aux propriétés physiques différentes (ex: indices de réfraction différents).
Incidence Normale
Situation où une onde frappe une interface perpendiculairement à sa surface.
Indice de Réfraction (\(n\))
Nombre sans dimension qui décrit comment la lumière (ou toute autre onde électromagnétique) se propage à travers un milieu. Il est défini comme le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à la vitesse de phase de l'onde dans le milieu.
Coefficient de Réflexion en Amplitude (\(r\))
Rapport de l'amplitude du champ électrique (ou magnétique) de l'onde réfléchie à celle de l'onde incidente.
Coefficient de Transmission en Amplitude (\(t\))
Rapport de l'amplitude du champ électrique (ou magnétique) de l'onde transmise à celle de l'onde incidente.
Réflectance (\(R\))
Fraction de la puissance (ou de l'intensité) incidente qui est réfléchie par une interface. \(R = |r|^2\).
Transmittance (\(T\))
Fraction de la puissance (ou de l'intensité) incidente qui est transmise à travers une interface. Pour des milieux non absorbants, \(T = (n_2/n_1)|t|^2\).
Lois de Fresnel
Ensemble d'équations qui décrivent le comportement de la lumière (ou d'autres ondes électromagnétiques) lorsqu'elle rencontre une interface entre deux milieux optiques différents.
Impédance Caractéristique (\(Z\))
Pour une onde électromagnétique plane dans un milieu, rapport entre l'amplitude du champ électrique et l'amplitude du champ magnétique. Pour le vide, \(Z_0 = \sqrt{\mu_0/\epsilon_0}\).
Calcul de l’Amplitude de l’Onde Réfléchie

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