Calcul de l'Impédance dans un Circuit RLC Série
Contexte : Étude d'un circuit oscillant en régime sinusoïdal forcé.
Dans de nombreux systèmes électroniques (filtres audio, récepteurs radio, alimentations à découpage), l'association de composants résistifs (R), inductifs (L) et capacitifs (C) est incontournable. Ces circuits, appelés circuits RLC, possèdent des propriétés uniques lorsqu'ils sont soumis à un courant alternatif. Nous allons ici étudier un circuit RLC série soumis à une tension alternative sinusoïdale de fréquence industrielle. L'objectif principal est de déterminer l'ImpédanceRésistance apparente d'un circuit au passage d'un courant alternatif (en Ohms). totale du circuit, qui représente la résistance globale au passage du courant, en prenant en compte les effets de déphasage introduits par la bobine et le condensateur. Enfin, nous en déduirons le courant efficace qui traverse le montage.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre l'électrocinétique en régime alternatif. Il permet de manipuler les concepts de vecteurs de Fresnel sans nécessairement passer par les nombres complexes, et illustre concrètement l'opposition de phase entre l'effet inductif (bobine) et l'effet capacitif (condensateur).
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre fréquence temporelle et pulsation angulaire.
- Savoir calculer les réactances inductives et capacitives à partir des valeurs des composants.
- Maîtriser le calcul de l'impédance totale \(Z\) par somme vectorielle (théorème de Pythagore).
- Appliquer la loi d'Ohm généralisée pour déterminer le courant efficace.
Données de l'étude
On considère un dipôle RLC série composé d'une résistance, d'une bobine idéale et d'un condensateur, alimenté par un générateur de tension alternative sinusoïdale \(u(t)\).
Fiche Technique / Données
| Composant / Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 100 \(\Omega\) |
| Inductance (Bobine) | \(L\) | 0.1 \text{ H} |
| Capacité (Condensateur) | \(C\) | 10 \(\mu\text{F}\) |
| Tension efficace | \(U\) | 230 \text{ V} |
| Fréquence | \(f\) | 50 \text{ Hz} |
Schéma du Circuit RLC Série
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(f\) | 50 | \(\text{Hz}\) |
| Résistance | \(R\) | 100 | \(\Omega\) |
Questions à traiter
- Calculer la pulsation \(\omega\) du courant.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\).
- Calculer la réactance capacitive \(X_C\).
- En déduire l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- Calculer l'intensité efficace \(I\) circulant dans le circuit.
Les bases théoriques
En régime alternatif sinusoïdal, l'analyse des circuits électriques ne peut plus se limiter à la simple résistance. Les composants réactifs, tels que le condensateur et la bobine, introduisent une opposition au courant qui dépend de la fréquence et provoquent un décalage temporel (déphasage) entre la tension et le courant.
Loi d'Ohm en Alternatif
La loi d'Ohm classique \(U=RI\) se généralise en régime alternatif. La relation entre la tension efficace et le courant efficace fait intervenir une nouvelle grandeur appelée impédance, notée \(Z\).
Loi d'Ohm généralisée
Où :
- \(U\) est la tension efficace (Volts).
- \(Z\) est l'impédance totale du circuit (Ohms \(\Omega\)).
- \(I\) est l'intensité efficace du courant (Ampères).
Impédance d'un RLC série
L'impédance totale n'est pas la somme algébrique des résistances et réactances. Elle prend en compte la nature vectorielle des grandeurs. La résistance est en phase avec le courant, tandis que les réactances sont déphasées de +90° (bobine) ou -90° (condensateur).
Formule de Fresnel (Module)
Avec les réactances : \(X_L = L\omega\) et \(X_C = \frac{1}{C\omega}\). Cette formule provient de l'application du théorème de Pythagore dans le diagramme de Fresnel.
Pulsation
La pulsation, notée \(\omega\) (oméga), représente la vitesse angulaire de rotation du vecteur de Fresnel associé au signal sinusoïdal. Elle est le lien mathématique fondamental entre la fréquence temporelle et les fonctions trigonométriques.
Pulsation
Où \(f\) est la fréquence en Hertz (\(\text{Hz}\)) et \(\omega\) en radians par seconde (\(\text{rad/s}\)).
Correction : Calcul de l'Impédance dans un Circuit RLC Série
Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)
Principe
La pulsation \(\omega\) (en \(\text{rad/s}\)) est la grandeur angulaire correspondant à la fréquence \(f\) (en \(\text{Hz}\)). Dans les formules d'électromagnétisme et de calcul d'impédance, on utilise la pulsation pour simplifier les équations trigonométriques en évitant de répéter le facteur \(2\pi\) à chaque ligne. Elle représente la vitesse de rotation du vecteur tournant (phaseur) dans le plan complexe.
Mini-Cours
La fréquence \(f\) correspond au nombre de tours complets effectués par seconde. Puisqu'un tour complet correspond à un angle de \(2\pi\) radians, la vitesse angulaire (ou pulsation) est logiquement \(2\pi\) multiplié par le nombre de tours par seconde.
Remarque Pédagogique
Ne confondez pas fréquence (phénomène physique observable : clignotement, vibration) et pulsation (outil mathématique pour le calcul trigonométrique). Elles sont proportionnelles mais ont des unités différentes.
Normes
En Europe, la fréquence standard du réseau de distribution électrique est fixée à 50 \(\text{Hz}\) (Norme CEI 60038), avec une tolérance très stricte de ±0.1 \(\text{Hz}\) pour assurer la stabilité du réseau interconnecté.
Formule(s)
Relation pulsation-fréquence
Pulsation
Hypothèses
On suppose que le signal délivré par le générateur est parfaitement sinusoïdal, continu et stable en fréquence. On néglige toute harmonique parasite qui pourrait déformer le signal.
- Signal Sinusoïdal Pur
- Régime permanent établi
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(f\) | 50 | \(\text{Hz}\) |
Astuces
Pour le réseau électrique domestique (50 \(\text{Hz}\)), retenez par cœur que \(\omega \approx 314 \text{ rad/s}\) (car \(100 \times \pi \approx 314.16\)). C'est une valeur qui revient constamment dans les exercices d'électrotechnique !
Représentation Temporelle
Calcul(s)
Conversion(s)
Pas de conversion nécessaire ici, la fréquence est déjà fournie en unité SI (\(\text{Hz}\)).
Calcul Détaillé
Application numérique pas à pas
La définition mathématique de la pulsation est :
Cette formule relie directement la fréquence linéaire \(f\) à la fréquence angulaire \(\omega\). Substituons la fréquence \(f\) par sa valeur de 50 \(\text{Hz}\). Cela revient à multiplier 50 par 2, puis par Pi :
Utilisons la valeur approximative de \(\pi \approx 3.14159\) pour obtenir une valeur décimale utilisable dans les calculs suivants :
Cette valeur correspond à la vitesse angulaire du vecteur de Fresnel. On l'arrondit généralement à deux chiffres après la virgule pour la suite des calculs :
Cela signifie que le vecteur de phase fait un peu plus de 314 radians par seconde, soit 50 tours complets.
Cercle Trigonométrique (Phaseur)
Réflexions
Ce résultat est parfaitement cohérent. La valeur \(100\pi\) est souvent conservée telle quelle dans les calculs intermédiaires pour éviter les erreurs d'arrondi avant le résultat final.
Points de vigilance
Attention à bien régler votre calculatrice en mode radians si vous devez utiliser des fonctions trigonométriques par la suite (sinus, cosinus), bien que pour les calculs d'impédance simple (modules), cela n'impacte pas directement le résultat.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La formule universelle \(\omega = 2\pi f\).
- L'unité : radians par seconde (\(\text{rad/s}\)).
- La valeur approximative à 50 \(\text{Hz}\) : ~314 \(\text{rad/s}\).
Le saviez-vous ?
Aux États-Unis et au Japon (partiellement), la fréquence du réseau est de 60 \(\text{Hz}\), ce qui donne une pulsation d'environ 377 \(\text{rad/s}\). C'est pourquoi certains appareils électriques sensibles (comme les anciens réveils synchronisés sur le secteur ou les moteurs asynchrones) tournent plus vite ou se dérèglent à l'étranger.
FAQ
Pourquoi utilise-t-on la pulsation plutôt que la fréquence ?
Elle simplifie considérablement l'écriture mathématique des fonctions sinusoïdales \(u(t) = U_{max}\sin(\omega t)\) et des impédances complexes \(jL\omega\) en évitant de traîner des facteurs \(2\pi\) partout dans les formules dérivées.
A vous de jouer
Quelle serait la pulsation pour une fréquence double de 100 \(\text{Hz}\) ?
📝 Mémo
Gardez cette valeur de 314 \(\text{rad/s}\) en mémoire ou notez-la, elle est la clé de voûte pour toutes les questions suivantes.
Question 2 : Calcul de la réactance inductive \(X_L\)
Principe
La bobine est un enroulement de fil qui stocke de l'énergie sous forme magnétique. Selon la loi de Lenz, elle s'oppose à toute variation du courant qui la traverse en créant une tension inverse (force contre-électromotrice). En régime alternatif, le courant varie en permanence, donc la bobine s'oppose en permanence au passage du courant. Cette "résistance dynamique" s'appelle la réactance inductive \(X_L\).
Mini-Cours
Pour un courant continu (fréquence nulle), la réactance est nulle : la bobine se comporte comme un simple fil conducteur. En très haute fréquence, les variations sont si rapides que la bobine bloque presque totalement le passage du courant (circuit ouvert). C'est le principe de base du filtrage inductif (lissage).
Remarque Pédagogique
Notez que \(X_L\) est une grandeur positive exprimée en Ohms, tout comme une résistance. Cependant, contrairement à une résistance pure, la bobine ne dissipe pas d'énergie thermique (effet Joule) : elle stocke l'énergie pendant une alternance et la restitue au circuit pendant l'autre.
Normes
L'inductance est une caractéristique intrinsèque du composant, définie par sa géométrie (nombre de spires, section) et son noyau magnétique (air, ferrite, fer). Elle est constante tant que le noyau ne sature pas.
Formule(s)
Réactance d'une bobine
Formule Inductive
Hypothèses
On considère une bobine idéale :
- Sans résistance interne (résistance du fil de cuivre négligée).
- Sans capacité parasite entre les spires.
- Sans effet de saturation magnétique du noyau.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Inductance | \(L\) | 0.1 | \(\text{H}\) |
| Pulsation (Q1) | \(\omega\) | 314.16 | \(\text{rad/s}\) |
Astuces
Si \(L\) est donné en \(\text{mH}\) (milliHenry), n'oubliez surtout pas de multiplier par \(10^{-3}\) avant de calculer. Une inductance de 0.1 \(\text{H}\) est relativement élevée pour de l'électronique mais courante en électrotechnique (moteurs, transfos).
Composant Inductif (Modèle)
Calcul(s)
Conversion(s)
\(L\) est déjà en Henry (unité SI), aucune conversion n'est nécessaire.
Calcul Détaillé
Application numérique pas à pas
La réactance inductive est proportionnelle à l'inductance et à la pulsation :
En insérant les valeurs numériques (\(L=0.1\) \(\text{H}\) et \(\omega=314.16\) \(\text{rad/s}\)) :
L'opération mathématique est simple : multiplier par 0.1 revient à décaler la virgule d'un rang vers la gauche :
Le résultat s'exprime en Ohms, représentant l'opposition de la bobine. On l'arrondit à deux décimales :
C'est la résistance apparente de la bobine dans ce circuit spécifique.
Réactance Calculée
Réflexions
Cette valeur de 31.42 Ohms représente l'opposition spécifique de la bobine au courant de 50 \(\text{Hz}\). C'est une valeur significative mais modérée par rapport à la résistance de 100 Ohms. L'effet inductif n'est pas négligeable.
Points de vigilance
Ne confondez pas \(L\) (en Henry) et \(X_L\) (en Ohms). L'un est une constante physique du composant, l'autre est une valeur qui dépend directement de la fréquence du signal appliqué.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(X_L\) est directement proportionnel à la fréquence.
- La bobine induit un déphasage de +90° : la tension aux bornes de la bobine est en avance sur le courant.
Le saviez-vous ?
Cette propriété de réactance proportionnelle à la fréquence est utilisée dans les "filtres passe-bas" des enceintes (crossovers) pour diriger les basses fréquences (faible réactance) vers le haut-parleur de graves (woofer) et bloquer les aigus (forte réactance).
FAQ
Peut-on mesurer \(X_L\) avec un ohmmètre classique ?
Non ! Un ohmmètre utilise du courant continu (DC) pour faire sa mesure. Il ne mesurera que la résistance parasite du fil de cuivre (généralement quelques Ohms ou moins), pas la réactance inductive qui n'existe qu'en alternatif.
A vous de jouer
Si \(L = 0.2\) \(\text{H}\) (double), que vaut \(X_L\) ? (Indice : c'est une proportionnalité directe)
📝 Mémo
Plus la bobine est grosse ou la fréquence élevée, plus elle freine le courant alternatif.
Question 3 : Calcul de la réactance capacitive \(X_C\)
Principe
Le condensateur est constitué de deux plaques conductrices séparées par un isolant. Il s'oppose fortement aux basses fréquences (il agit comme un circuit ouvert en courant continu, car les électrons ne peuvent pas traverser l'isolant). Sa réactance diminue quand la fréquence augmente, car les charges oscillent plus vite entre les plaques, créant un courant de déplacement apparent plus important.
Mini-Cours
Contrairement à la bobine, le condensateur stocke de l'énergie sous forme de champ électrique. Sa réactance est inversement proportionnelle à la fréquence et à sa capacité : \(X_C \propto \frac{1}{f}\). C'est l'inverse exact du comportement de la bobine.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de maîtriser les puissances de 10 pour convertir les microfarads en Farads sans erreur, car c'est la source d'erreur la plus fréquente dans ce type de calcul.
Normes
Les condensateurs sont marqués en sous-multiples du farad (souvent \(\mu \text{F}\), \(\text{nF}\), \(\text{pF}\)) car 1 Farad est une unité gigantesque. Les condensateurs électrolytiques (polarisés) ont un sens de branchement, mais en alternatif pur, on utilise des condensateurs non polarisés.
Formule(s)
Réactance d'un condensateur
Formule Capacitive
Hypothèses
On considère un condensateur idéal sans fuite diélectrique (résistance parallèle infinie) et sans inductance parasite série (ESL négligeable à 50 \(\text{Hz}\)).
- Condensateur Parfait
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité | \(C\) | 10 | \(\mu \text{F}\) |
| Pulsation (Q1) | \(\omega\) | 314.16 | \(\text{rad/s}\) |
Astuces
Rappel mnémotechnique : \(1 \mu \text{F} = 10^{-6} \text{F} = 0.000001 \text{F}\). Utilisez la touche "Exposant" ou "E" ou "EXP" de votre calculatrice pour entrer \(10 E -6\).
Composant Capacitif (Modèle)
Calcul(s)
Calcul Détaillé
Application numérique pas à pas
Premièrement, il est impératif de convertir la capacité en unité standard (Farads) en utilisant la notation scientifique :
La conversion est l'étape critique. 10 microfarads correspondent à 10 millionièmes de Farad.
Calculons d'abord le produit au dénominateur, qui représente l'admittance capacitive :
Ce chiffre est très petit, ce qui est normal car la réactance est l'inverse de cette valeur.
Enfin, nous prenons l'inverse de ce produit (1 divisé par le dénominateur) pour obtenir la réactance :
L'inversion transforme le petit dénominateur en une grande valeur de résistance.
Nous arrondissons le résultat final à deux décimales pour la cohérence :
Le condensateur présente donc une opposition de plus de 300 Ohms.
Réactance Calculée
Réflexions
En comparant les résultats, on remarque que \(X_C\) (318 \(\Omega\)) est beaucoup plus grand que \(X_L\) (31 \(\Omega\)). À cette fréquence de 50 \(\text{Hz}\), le condensateur oppose beaucoup plus de résistance que la bobine. On dit que le condensateur "domine" le comportement réactif du circuit : le circuit est globalement capacitif.
Points de vigilance
Attention à la division par zéro si \(\omega = 0\) (courant continu) : \(X_C\) tend vers l'infini, ce qui confirme mathématiquement qu'un condensateur est un isolant parfait en courant continu.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(X_C\) diminue quand la fréquence augmente (effet inverse).
- Le condensateur induit un déphasage de -90° (le courant est en avance sur la tension car il faut du courant pour charger la tension).
Le saviez-vous ?
Les condensateurs sont utilisés pour bloquer la composante continue d'un signal audio tout en laissant passer la musique (qui est un signal alternatif). On appelle cela un condensateur de liaison ou de découplage DC.
FAQ
Pourquoi la formule est en 1/Cw et pas Cw ?
C'est une relation physique inverse : plus le condensateur est "gros" (\(C\) grand), plus il a de surface de plaques pour stocker des charges rapidement, donc plus il laisse "passer" facilement le courant alternatif (sa résistance apparente diminue). De même, plus la fréquence est élevée, plus les échanges de charges sont fréquents, donc le courant passe mieux.
A vous de jouer
Si \(C = 20\) \(\mu\text{F}\) (double), que devient \(X_C\) ? (Indice : c'est inversement proportionnel, donc ça devrait être divisé par 2).
📝 Mémo
Basse fréquence = Gros \(X_C\) (bloque). Haute fréquence = Petit \(X_C\) (laisse passer).
Question 4 : Impédance totale \(Z\)
Principe
L'impédance totale \(Z\) représente l'opposition globale du circuit au courant. Elle combine l'effet résistif \(R\) (qui dissipe l'énergie) et l'effet réactif total \(X_T = X_L - X_C\) (qui stocke l'énergie). Ces deux effets sont "orthogonaux" (décalés de 90° dans le plan complexe). On ne peut donc pas les additionner arithmétiquement (\(R + X_T\)). On utilise une somme vectorielle qui revient à calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle (théorème de Pythagore).
Mini-Cours
Dans le diagramme de Fresnel, le vecteur résistance R est tracé horizontalement (axe réel). Le vecteur réactance totale est vertical (axe imaginaire). L'impédance Z est la longueur du vecteur résultant. C'est aussi le module du nombre complexe \(Z = R + j(X_L - X_C)\).
Remarque Pédagogique
L'impédance \(Z\) est toujours supérieure ou égale à la résistance \(R\) seule. Elle n'est égale à \(R\) que dans le cas très particulier de la résonance (quand \(X_L = X_C\)).
Normes
L'impédance se mesure en Ohms (\(\Omega\)), tout comme la résistance et la réactance. Elle est valable uniquement pour une fréquence donnée.
Formule(s)
Théorème de Pythagore appliqué à l'impédance
Formule de Z
Hypothèses
Les composants sont branchés en série : le même courant traverse tous les composants, servant de référence de phase commune.
- Montage Série
- Courant commun
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(R\) | 100 | \(\Omega\) |
| \(X_L\) (Q2) | 31.42 | \(\Omega\) |
| \(X_C\) (Q3) | 318.31 | \(\Omega\) |
Astuces
Calculez d'abord la réactance totale \(X_T = X_L - X_C\), puis élevez le résultat au carré. Le signe négatif éventuel disparaîtra au carré, donc ne vous inquiétez pas si \(X_C > X_L\).
Diagramme Vectoriel (Principe)
Calcul(s)
Calcul Détaillé
Étape 1 : La Réactance Totale \(X_T\)
Nous déterminons d'abord la réactance nette du circuit, qui est la différence entre l'effet inductif et l'effet capacitif :
Le résultat est négatif, ce qui signifie que l'effet capacitif (condensateur) est prépondérant sur l'effet inductif. Le circuit est globalement capacitif.
Étape 2 : Le Théorème de Pythagore
Préparons les termes pour le théorème de Pythagore en les élevant au carré. Notez que le carré d'un nombre négatif est toujours positif :
On voit ici que la contribution réactive (82305) est bien plus importante que la contribution résistive (10000).
Étape 3 : Somme et Racine
L'impédance totale \(Z\) est la racine carrée de la somme des carrés (c'est l'hypoténuse du triangle des impédances) :
On obtient une impédance de 303.82 Ohms, ce qui est cohérent car elle doit être supérieure à la plus grande des composantes individuelles.
Triangle d'Impédance Résolu
Réflexions
L'impédance totale (303.8 \(\Omega\)) est largement dominée par la partie réactive (286.9 \(\Omega\)) plutôt que par la résistance (100 \(\Omega\)). Le circuit est donc fortement capacitif. Le courant sera limité principalement par le condensateur.
Points de vigilance
N'oubliez pas la racine carrée à la fin du calcul ! Une erreur très fréquente est de s'arrêter à la valeur de \(Z^2\), ce qui donne un résultat incohérent.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Les impédances s'ajoutent vectoriellement (Pythagore), pas arithmétiquement. On ne fait jamais \(R + X_L + X_C\).
- \(Z\) est la grandeur qui limite le courant total fourni par le générateur.
Le saviez-vous ?
Si \(X_L = X_C\), le terme réactif s'annule (\(X_T = 0\)). C'est le phénomène de résonance. L'impédance devient minimale et purement résistive (\(Z=R\)), et le courant devient maximal. C'est le principe utilisé pour sélectionner une fréquence radio précise parmi toutes les ondes ambiantes.
FAQ
Z peut-il être négatif ?
Non, jamais. Z est une amplitude (un module de vecteur), donc c'est une grandeur physique toujours positive. Seule la partie réactive (imaginaire) peut être négative, indiquant une dominance capacitive.
A vous de jouer
Si le circuit était purement résistif (pas de \(L\) ni \(C\)), que vaudrait \(Z\) ? (Indice : regardez la formule de Pythagore si \(X_L\) et \(X_C\) sont nuls).
📝 Mémo
Pythagore est votre meilleur ami en régime sinusoïdal pour combiner ce qui chauffe (R) et ce qui stocke (X).
Question 5 : Courant efficace \(I\)
Principe
Une fois l'impédance totale \(Z\) connue, le circuit complet peut être vu comme une "boîte noire" ayant une résistance équivalente de valeur \(Z\) vis-à-vis de la source de tension. Nous appliquons donc simplement la loi d'Ohm généralisée pour trouver le courant efficace total circulant dans la boucle.
Mini-Cours
La loi d'Ohm en alternatif (\(U=Z \cdot I\)) s'applique aux valeurs efficaces (ou aux amplitudes maximales). Elle donne la grandeur (le module) du courant mais ne dit rien sur son retard ou son avance (phase) par rapport à la tension. Pour la phase, il faudrait calculer \(\phi = \arctan(X_T/R)\).
Remarque Pédagogique
Le courant est le même partout dans un circuit série : c'est l'intensité unique qui traverse \(R\), puis \(L\), puis \(C\). Il n'y a pas de bifurcation.
Normes
Le courant s'exprime en Ampères (\(\text{A}\)), symbole normalisé SI. Dans le domaine industriel, on précise souvent s'il s'agit de courant efficace (RMS).
Formule(s)
Loi d'Ohm généralisée
Loi d'Ohm
Hypothèses
On suppose le régime permanent établi (on ignore les phénomènes transitoires de quelques millisecondes à l'allumage où le courant peut être différent).
- Régime Permanent
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | \(U\) | 230 | \(\text{V}\) |
| Impédance (Q4) | \(Z\) | 303.82 | \(\Omega\) |
Astuces
Vérifiez toujours l'ordre de grandeur. 230V sur environ 300 Ohms doit donner un peu moins de 1 Ampère (car 230/230 = 1 et 300 > 230). Si vous trouvez 1000A ou 0.001A, il y a probablement une erreur de calcul !
Circuit Équivalent de Thévenin
Calcul(s)
Calcul Détaillé
Application numérique pas à pas
1. Identification des valeurs : nous avons une tension de source \(U = 230 \text{ V}\) et une impédance totale \(Z = 303.82 \, \Omega\) (calculée précédemment).
2. Division (Selon la Loi d'Ohm en alternatif, le courant est le rapport de la tension sur l'impédance) :
3. Résultat brut du calcul :
4. Résultat arrondi à 2 décimales pour respecter la précision des données :
Le courant efficace circulant dans tout le circuit est de 0.76 Ampère.
Résultat Final
Réflexions
Si on avait négligé le condensateur et la bobine, le courant aurait été \(230/100 = 2.3 \text{ A}\). On voit bien que les composants réactifs (et surtout le condensateur ici) ont fortement limité le courant en augmentant l'impédance globale du circuit.
Points de vigilance
Ne jamais diviser \(U\) par \(R\) seul ou par \(X\) seul ! Il faut impérativement diviser par l'impédance totale \(Z\).
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(I_{eff} = U_{eff} / Z\).
- Ce courant est une valeur efficace, ce qui signifie qu'il produit le même échauffement qu'un courant continu de même valeur dans une résistance.
Le saviez-vous ?
Ce courant de 0.76 A sous 230 V représente une puissance apparente d'environ 175 VA (\(S=UI\)), mais la puissance active (celle qui est facturée et qui chauffe vraiment) sera plus faible (\(P=UI\cos\phi\)) à cause du déphasage important.
FAQ
Est-ce que ça disjoncte ?
Non, un disjoncteur domestique standard est calibré à 16A ou 20A. Ici avec 0.76A, nous sommes très largement en dessous du seuil de déclenchement.
A vous de jouer
Si la tension était de 110 V (comme aux USA, mais à 50Hz pour simplifier), quel serait le courant ?
📝 Mémo
La loi d'Ohm est universelle, à condition d'utiliser l'impédance Z (et non juste R) en alternatif !
Schéma Bilan : Triangle d'Impédance
Représentation vectorielle des composantes de l'impédance dans le plan complexe.
📝 Grand Mémo : RLC Série
Points clés pour réussir vos calculs d'impédance :
-
🔑
Point Clé 1 : Fréquence
Tout commence par \(\omega = 2\pi f\). Sans pulsation correcte, tous les calculs suivants sont faux. C'est le moteur de la réactance. -
📐
Point Clé 2 : Pythagore
L'impédance n'est pas une somme simple (\(R + X_L + X_C\)) mais une somme vectorielle (quadratique) à cause du déphasage à 90°. -
⚠️
Point Clé 3 : Unités
Toujours convertir \(C\) en Farads (souvent donné en \(\mu \text{F}\)) et \(L\) en Henry. C'est l'erreur "bête" la plus fréquente. -
💡
Point Clé 4 : Résonance
Si \(X_L = X_C\), l'impédance est minimale (\(Z=R\)) et le courant est maximal. C'est un état particulier très recherché en radio pour capter un signal.
🎛️ Simulateur : Réponse en Fréquence
Observez comment l'impédance \(Z\) évolue en fonction de la fréquence en modifiant les composants. Le point le plus bas de la courbe correspond à la résonance, où \(Z\) est minimale.
Paramètres du Circuit
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Que se passe-t-il à la résonance (\(X_L = X_C\)) ?
2. Si j'augmente la fréquence, que fait la réactance du condensateur \(X_C\) ?
📚 Glossaire
- Impédance (Z)
- Mesure de l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Elle combine résistance et réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
- Réactance (X)
- Partie imaginaire de l'impédance, due aux bobines et condensateurs. Elle ne dissipe pas d'énergie mais crée un déphasage.
- Henry (H)
- Unité de l'inductance d'une bobine. Une bobine de 1H crée une tension de 1V si le courant varie de 1A en 1s.
- Farad (F)
- Unité de la capacité électrique. C'est une unité très grande, on utilise souvent le microfarad (\(\mu \text{F}\)).
- Pulsation (\(\omega\))
- Vitesse angulaire correspondant à la fréquence \(f\). \(\omega = 2\pi f\). Elle s'exprime en \(\text{rad/s}\).
Le Saviez-vous ?
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