Calcul de Puissance en Régime Triphasé
Contexte : L'alimentation d'un atelier en régime triphaséSystème de trois tensions alternatives de même fréquence et amplitude, mais déphasées de 120° les unes par rapport aux autres. C'est le standard pour le transport et la distribution d'énergie électrique..
Les installations industrielles et artisanales sont très majoritairement alimentées par un réseau électrique triphasé, car il permet de transporter plus de puissance et d'alimenter des moteurs performants. La gestion de la consommation électrique est un enjeu majeur. Cet exercice se concentre sur le bilan de puissance d'une installation simple, le calcul du facteur de puissanceLe cosinus de l'angle de déphasage entre la tension et le courant. Il mesure l'efficacité avec laquelle la puissance électrique est utilisée. Un facteur proche de 1 est idéal. global et l'étude d'une méthode pour l'améliorer.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de BoucherotThéorème qui stipule que les puissances actives totales et les puissances réactives totales d'une installation sont respectivement les sommes arithmétiques et algébriques des puissances de chaque récepteur., un outil fondamental en électrotechnique pour analyser des installations complexes comportant plusieurs récepteurs de natures différentes.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et différencier les notions de puissance active, réactive et apparente.
- Appliquer le théorème de Boucherot sur un cas concret.
- Calculer le facteur de puissance global d'une installation.
- Dimensionner une batterie de condensateurs pour améliorer le facteur de puissance.
Données de l'étude
Schéma de l'installation triphasée en étoile
| Récepteur (par phase) | Description | Puissance | Facteur de Puissance (\(\cos \varphi\)) |
|---|---|---|---|
| Charge 1 (sur Phase 1) | Radiateurs électriques | \(P_{1} = 3 \text{ kW}\) | 1 (purement résistif) |
| Charge 2 (sur Phase 2) | Moteur asynchrone | \(S_{2} = 5 \text{ kVA}\) | 0.8 (inductif) |
| Charge 3 (sur Phase 3) | Éclairage fluorescent | \(P_{3} = 2 \text{ kW}\) | 0.7 (inductif) |
Questions à traiter
- Pour chaque charge, calculer la puissance active (P) et la puissance réactive (Q).
- En appliquant le théorème de Boucherot, déterminer la puissance active totale (\(P_{\text{T}}\)) et la puissance réactive totale (\(Q_{\text{T}}\)) de l'installation.
- Calculer la puissance apparente totale (\(S_{\text{T}}\)) et le facteur de puissance global (\(\cos \varphi_{\text{T}}\)) de l'installation. Préciser sa nature (inductive ou capacitive).
- Calculer la valeur efficace du courant dans chacune des trois lignes (\(I_{1}, I_{2}, I_{3}\)).
- On souhaite améliorer le facteur de puissance global pour l'amener à une valeur de 0.95. Déterminer la capacité des condensateurs (couplés en étoile) à installer.
Les bases sur les Puissances en Triphasé
En régime sinusoïdal, la puissance est caractérisée par trois grandeurs interdépendantes qui forment ce que l'on appelle le "triangle des puissances".
1. Les Trois Puissances
- La Puissance Active (P), en Watts (W), est la puissance "utile" qui est transformée en travail (mouvement, chaleur...). C'est la seule qui est facturée en tant que consommation d'énergie.
- La Puissance Réactive (Q), en Voltampères Réactifs (var), est la puissance "échangée" avec le réseau, nécessaire au fonctionnement des circuits magnétiques (moteurs, transformateurs). Elle ne produit pas de travail direct.
- La Puissance Apparente (S), en Voltampères (VA), est la puissance totale que le fournisseur doit être capable de fournir. C'est la somme vectorielle de P et Q.
2. Théorème de Boucherot
Ce théorème simplifie grandement l'analyse des systèmes complexes. Il énonce que pour une installation comportant plusieurs récepteurs, les puissances totales sont les sommes des puissances de chaque récepteur.
- La puissance active totale est la somme arithmétique des puissances actives.
- La puissance réactive totale est la somme algébrique des puissances réactives (on considère Q > 0 pour les charges inductives et Q < 0 pour les capacitives).
Correction : Calcul de Puissance en Régime Triphasé
Question 1 : Calcul des puissances P et Q pour chaque charge
Principe
L'objectif est de décomposer la puissance de chaque charge en sa partie active (P) et sa partie réactive (Q). Le concept physique est celui du "triangle des puissances", où la puissance apparente (S) est l'hypoténuse, et les puissances active (P) et réactive (Q) en sont les côtés, liés par l'angle de déphasage φ.
Mini-Cours
Toute charge électrique en régime alternatif est caractérisée par son impédance. Si elle est purement résistive (un radiateur), tension et courant sont en phase, et seule de la puissance active est consommée (Q=0). Si elle possède une composante inductive (un moteur) ou capacitive (un condensateur), un déphasage apparaît, donnant naissance à de la puissance réactive Q.
Remarque Pédagogique
Pour chaque charge, il est très utile de visualiser ou de dessiner son triangle des puissances. Cela aide à comprendre intuitivement si la charge est plutôt résistive (triangle "plat") ou fortement réactive (triangle "haut").
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de norme directe pour ce calcul, les valeurs de tension et fréquence (400V, 50Hz) sont standardisées en Europe par la norme CENELEC EN 50160, qui définit les caractéristiques de la tension fournie par les réseaux publics de distribution.
Formule(s)
Puissance Active
Puissance Réactive
Hypothèses
On suppose que le régime est parfaitement sinusoïdal. En réalité, il y a toujours des harmoniques qui créent une troisième sorte de puissance (déformante), mais elle est négligée dans cet exercice.
Donnée(s)
On reprend les données de l'énoncé pour chaque charge.
| Charge | Donnée 1 | Donnée 2 |
|---|---|---|
| Charge 1 | \(P_{1} = 3000 \text{ W}\) | \(\cos \varphi_{1} = 1\) |
| Charge 2 | \(S_{2} = 5000 \text{ VA}\) | \(\cos \varphi_{2} = 0.8\) |
| Charge 3 | \(P_{3} = 2000 \text{ W}\) | \(\cos \varphi_{3} = 0.7\) |
Astuces
Pour une charge purement résistive, le calcul est immédiat : \(Q=0\) et \(S=P\). Pour les autres, une fois qu'on a \(\cos\varphi\), il est souvent plus rapide de calculer l'angle \(\varphi = \arccos(\dots)\) puis d'utiliser \(Q = P \cdot \tan\varphi\) ou \(P = S \cdot \cos\varphi\).
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances générique
Calcul(s)
Charge 1 (Chauffage)
Charge 2 (Moteur)
Calcul de la puissance active \(P_2\)
Calcul de la puissance réactive \(Q_2\)
Charge 3 (Éclairage)
Calcul de l'angle \(\varphi_3\)
Calcul de la puissance réactive \(Q_3\)
Schéma (Après les calculs)
Triangles des puissances des 3 charges
Réflexions
On voit bien que les charges inductives (moteur, éclairage) "consomment" de la puissance réactive, tandis que la charge purement résistive n'en consomme pas. Cette puissance réactive est indispensable à leur fonctionnement mais "encombre" le réseau électrique.
Points de vigilance
La principale source d'erreur est de confondre P et S. Toujours bien vérifier si la donnée est en W/kW (c'est P) ou en VA/kVA (c'est S). Une plaque de moteur indique souvent la puissance utile (active) en kW et son cos φ.
Points à retenir
Maîtriser les trois formules du triangle des puissances est essentiel. Savoir passer de (S, cos φ) à (P, Q) et de (P, cos φ) à (S, Q) est la compétence clé de cette question.
Le saviez-vous ?
La puissance réactive ne se "déplace" pas sur de longues distances sur le réseau. C'est pourquoi les fournisseurs d'électricité insistent pour qu'elle soit compensée au plus près des charges qui la consomment, afin de ne pas surcharger inutilement les lignes de transport.
FAQ
Résultat Final
Charge 2 : \(P_{2} = 4000 \text{ W}, Q_{2} = 3000 \text{ var}\).
Charge 3 : \(P_{3} = 2000 \text{ W}, Q_{3} \approx 2040 \text{ var}\).
A vous de jouer
Si la charge 2 (Moteur) avait une puissance apparente de 6 kVA et un cos φ de 0.75, que vaudraient \(P_{2}\) et \(Q_{2}\) ? (Réponse en W et var)
Question 2 : Calcul des puissances totales \(P_{\text{T}}\) et \(Q_{\text{T}}\)
Principe
Le théorème de Boucherot est le concept clé. Il stipule que pour un ensemble de charges, les puissances actives s'additionnent entre elles, et les puissances réactives s'additionnent entre elles. C'est une simple conservation de l'énergie.
Mini-Cours
L'avantage majeur du théorème de Boucherot est qu'il permet d'ignorer la complexité du circuit (étoile, triangle, tensions, courants...). On peut faire un "bilan de puissance" global en se contentant de sommer les puissances de chaque appareil, comme on ferait une liste de courses.
Remarque Pédagogique
Attention : Le théorème de Boucherot ne s'applique PAS aux puissances apparentes S ! On ne peut PAS sommer les kVA. Il faut obligatoirement passer par la somme des P et des Q, puis recalculer le S total.
Normes
La facturation de l'énergie électrique par les fournisseurs se base sur ce principe. Ils mesurent la puissance active totale consommée (pour les kWh) et surveillent la puissance réactive totale (pour d'éventuelles pénalités).
Formule(s)
Somme des puissances actives
Somme des puissances réactives
Hypothèses
On suppose que toutes les charges sont alimentées par la même source de tension et à la même fréquence, ce qui est le cas dans une installation connectée au même réseau.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(P_1\) | 3000 | W |
| \(P_2\) | 4000 | W |
| \(P_3\) | 2000 | W |
| \(Q_1\) | 0 | var |
| \(Q_2\) | 3000 | var |
| \(Q_3\) | 2040 | var |
Astuces
Pour des installations complexes, il est très pratique de faire un tableau à deux colonnes (P et Q) pour chaque récepteur, puis de sommer chaque colonne. Cela évite les erreurs de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Addition des puissances selon Boucherot
Calcul(s)
Calcul de la puissance active totale \(P_T\)
Calcul de la puissance réactive totale \(Q_T\)
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances total résultant
Réflexions
L'installation consomme au total 9 kW de puissance utile et "emprunte" en permanence 5.04 kvar de puissance réactive au réseau pour fonctionner. C'est ce bilan qui va caractériser l'installation dans son ensemble.
Points de vigilance
La principale erreur à éviter est de sommer les puissances apparentes (\(S_1+S_2+S_3 \neq S_T\)). C'est physiquement incorrect car cela ignore les déphasages différents de chaque charge.
Points à retenir
La compétence clé est d'appliquer Boucherot : sommer les W avec les W, les var avec les var.
Le saviez-vous ?
Paul Boucherot était un ingénieur français qui a travaillé sur les moteurs asynchrones. Son fameux théorème a été présenté au Congrès International d'Électricité de Paris en 1900, une date clé dans l'histoire de l'électrotechnique.
FAQ
Résultat Final
Puissance réactive totale : \(Q_{\text{T}} \approx 5.04 \text{ kvar}\).
A vous de jouer
Si l'on ajoutait un quatrième récepteur purement capacitif fournissant \(Q_{4} = 1000\) var, quelles seraient les nouvelles valeurs de \(P_{\text{T}}\) et \(Q_{\text{T}}\) ?
Question 3 : Calcul de \(S_{\text{T}}\) et du facteur de puissance global
Principe
À partir du bilan de puissance (\(P_{\text{T}}\) et \(Q_{\text{T}}\)), on reconstruit le triangle des puissances global de l'installation. L'hypoténuse de ce triangle est la puissance apparente totale \(S_{\text{T}}\), et le cosinus de son angle est le facteur de puissance global \(\cos \varphi_{\text{T}}\).
Mini-Cours
Le facteur de puissance global est un indicateur clé de la performance d'une installation. Il représente la part de la puissance apparente (totale fournie) qui est réellement transformée en puissance active (utile). Plus il est proche de 1, plus l'installation est efficace et moins elle "pollue" le réseau avec de la puissance réactive.
Remarque Pédagogique
Un faible facteur de puissance oblige le fournisseur à dimensionner ses lignes et transformateurs pour une puissance apparente S élevée, alors que le client ne consomme qu'une puissance active P plus faible. C'est pourquoi cette "sur-sollicitation" est souvent pénalisée financièrement.
Normes
En France, le fournisseur d'électricité (comme Enedis) peut facturer des pénalités si, pendant les heures de pointe, la puissance réactive dépasse 40% de la puissance active, ce qui correspond à un \(\tan \varphi > 0.4\), soit un \(\cos \varphi < 0.928\).
Formule(s)
Puissance apparente totale (Pythagore)
Facteur de puissance global
Hypothèses
On continue de négliger la puissance déformante et on suppose que les valeurs de P et Q calculées sont stables.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(P_T\) | 9000 | W |
| \(Q_T\) | 5040 | var |
Astuces
On peut aussi calculer l'angle global d'abord avec \(\varphi_{\text{T}} = \arctan(Q_{\text{T}} / P_{\text{T}})\), puis trouver le cosinus de cet angle. Cela donne directement la nature de la charge : si l'angle est positif, la charge est inductive.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances total à construire
Calcul(s)
Calcul de la puissance apparente totale \(S_T\)
Calcul du facteur de puissance global \(\cos \varphi_T\)
Puisque \(Q_{\text{T}} = 5040\) est positive, la nature de l'installation globale est inductive.
Schéma (Après les calculs)
Triangle des puissances total de l'installation
Réflexions
Un facteur de puissance de 0.872 est moyen. Il indique que pour 10.32 kVA de puissance "livrée", seulement 9 kW sont réellement utiles. Les 1.32 kVA restants correspondent à de la puissance "perdue" en partie dans les câbles à cause de la surintensité due au réactif. Ce facteur est probablement trop bas et pourrait être sujet à des pénalités.
Points de vigilance
Ne jamais, jamais, JAMAIS calculer le facteur de puissance global en faisant la moyenne des facteurs de puissance individuels. C'est mathématiquement faux et conduit à des résultats absurdes.
Points à retenir
La méthode est toujours la même : 1. Calculer \(P_{\text{T}}\) et \(Q_{\text{T}}\) (Boucherot). 2. Construire le triangle final avec Pythagore pour trouver \(S_{\text{T}}\). 3. En déduire \(\cos \varphi_{\text{T}} = P_{\text{T}} / S_{\text{T}}\).
Le saviez-vous ?
Améliorer le facteur de puissance d'une usine de 0.85 à 0.95 ne réduit pas la facture d'énergie active (en kWh), mais peut faire baisser la facture globale de 5 à 10% en éliminant les pénalités et en permettant de réduire la puissance souscrite (l'abonnement en kVA).
FAQ
Résultat Final
Facteur de puissance global : \(\cos \varphi_{\text{T}} \approx 0.87\) inductif.
A vous de jouer
Avec \(P_{\text{T}} = 9 \text{ kW}\), si on voulait que la puissance apparente totale \(S_{\text{T}}\) soit exactement de 10 kVA, quelle serait la valeur maximale de la puissance réactive \(Q_{\text{T}}\) (en kvar) ?
Question 4 : Calcul des courants de ligne \(I_{1}, I_{2}, I_{3}\)
Principe
Le courant dans une ligne alimentant une charge monophasée dans un système triphasé se calcule à partir de la puissance apparente de cette charge (\(S_{\text{phase}}\)) et de la tension à ses bornes. Dans un couplage étoile, la tension aux bornes d'une charge est la tension simple (V).
Mini-Cours
Dans un système triphasé, on distingue la tension entre deux phases, dite "composée" (notée U), et la tension entre une phase et le neutre, dite "simple" (notée V). Elles sont liées par la relation \(U = V \sqrt{3}\). Un réseau "230V / 400V" signifie V=230V et U=400V. Dans un montage étoile, chaque récepteur est bien branché entre sa phase et le neutre, il est donc soumis à la tension V.
Remarque Pédagogique
Cette question met en évidence le déséquilibre de l'installation. Puisque les charges sur chaque phase sont différentes, les courants de ligne le seront aussi. Ce déséquilibre crée un courant dans le fil de neutre, qui doit être dimensionné pour le supporter.
Normes
La norme NF C 15-100 en France impose des règles strictes sur la protection des circuits et le dimensionnement des conducteurs (y compris le neutre) en fonction des courants calculés, notamment en cas de déséquilibre.
Formule(s)
Pour chaque phase (charge monophasée) :
Hypothèses
On suppose que la tension du réseau est stable et parfaitement égale à 230.9 V sur chaque phase.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| Tension simple (V) | 230.9 | V |
| \(S_1\) | 3000 | VA |
| \(S_2\) | 5000 | VA |
| \(S_3\) | ~2857 | VA |
Astuces
Attention, la formule \(I = P / (V \cos\varphi)\) est juste, mais il est plus direct d'utiliser \(I = S / V\) car on n'a pas besoin du \(\cos\varphi\). C'est une étape de moins et donc un risque d'erreur en moins.
Schéma (Avant les calculs)
Relation Tension-Courant pour une charge
Calcul(s)
Calcul du courant de ligne \(I_1\)
Calcul du courant de ligne \(I_2\)
Calcul du courant de ligne \(I_3\)
Schéma (Après les calculs)
Comparaison des courants de ligne
Réflexions
Le courant le plus élevé est sur la phase 2, qui alimente le moteur (charge avec la plus grande puissance apparente). C'est ce courant de 21.65 A qui dimensionnera le disjoncteur et le câble de la phase 2. On voit bien que le déséquilibre a des conséquences directes sur le dimensionnement de l'installation.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'utiliser la mauvaise tension : il faut utiliser la tension simple V (230V) et non la tension composée U (400V) car les charges sont branchées en étoile (entre phase et neutre).
Points à retenir
En couplage étoile, la tension aux bornes d'une charge est V (tension simple) et le courant de ligne est égal au courant dans la charge.
Le saviez-vous ?
Le courant dans le fil de neutre n'est pas la somme arithmétique des courants (\(13+21.65+12.37\)), mais leur somme vectorielle, en tenant compte de leur déphasage de 120° les uns par rapport aux autres. Son calcul est plus complexe et nécessite l'utilisation des nombres complexes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension simple du réseau était de 240 V, quelle serait la nouvelle valeur du courant \(I_{2}\) (pour \(S_{2} = 5000 \text{ VA}\)) ?
Question 5 : Amélioration du facteur de puissance à 0.95
Principe
Le principe est la "compensation d'énergie réactive". On installe des condensateurs, qui sont des générateurs de puissance réactive, pour fournir localement la puissance réactive demandée par les charges inductives. Ainsi, cette puissance réactive n'a plus besoin d'être transportée par le réseau, ce qui le soulage.
Mini-Cours
Un condensateur branché sur un réseau alternatif produit une puissance réactive capacitive \(Q_{\text{C}} = -C \omega V^2\) (par phase). Cette puissance, étant négative, vient "annuler" une partie de la puissance réactive inductive positive des moteurs. Le but est de réduire la hauteur du triangle des puissances (\(Q_{\text{T}}\)) sans toucher à sa base (\(P_{\text{T}}\)).
Remarque Pédagogique
On ne cherche quasiment jamais à compenser à 100% (pour avoir \(\cos\varphi = 1\)) car c'est très coûteux et peut mener à des phénomènes de surtension si les charges inductives sont déconnectées (compensation à vide). On vise généralement une valeur comme 0.93 ou 0.95.
Normes
Le dimensionnement et l'installation de batteries de condensateurs sont encadrés par la norme NF C 15-100 pour garantir la sécurité et la compatibilité avec le réseau et les protections existantes.
Formule(s)
Puissance réactive de compensation
Capacité d'un condensateur (couplage étoile)
Hypothèses
On suppose que les condensateurs sont parfaits (sans pertes) et que leur valeur ne varie pas avec la température ou le vieillissement.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(P_T\) | 9000 | W |
| \(\cos \varphi_{\text{initial}}\) | 0.872 | - |
| \(\cos \varphi_{\text{final}}\) | 0.95 | - |
| V | 230.9 | V |
| f | 50 | Hz |
Astuces
La formule \(Q_{\text{C}} = P_{\text{T}}(\tan \varphi_{\text{initial}} - \tan \varphi_{\text{final}})\) est extrêmement pratique et évite de calculer les puissances réactives intermédiaires. C'est la méthode la plus rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Principe de la compensation d'énergie réactive
Calcul(s)
Calcul des angles
Calcul de la puissance réactive à compenser (\(Q_C\))
Calcul de la capacité C par phase
Schéma (Après les calculs)
Installation avec la batterie de condensateurs
Réflexions
En installant ces condensateurs, la puissance apparente totale va chuter de 10.32 kVA à \(S'_{\text{T}} = P_{\text{T}} / \cos\varphi'_{\text{T}} = 9000 / 0.95 \approx 9.47\) kVA. Le courant total appelé sur le réseau diminuera dans les mêmes proportions, ce qui réduit les pertes et peut permettre de baisser la puissance d'abonnement.
Points de vigilance
Assurez-vous d'utiliser la bonne formule de \(Q_{\text{C}}\) en fonction du couplage des condensateurs (la formule est \(Q_C = 3 C \omega V^2\) pour l'étoile et \(Q_C = C \omega U^2\) pour le triangle, ce qui donne des valeurs de C différentes).
Points à retenir
L'ajout de condensateurs en parallèle ne change pas la puissance active P consommée par l'installation. Il ne fait que fournir la puissance réactive Q localement.
Le saviez-vous ?
Certains équipements modernes (comme les variateurs de vitesse pour moteurs) intègrent une compensation d'énergie réactive électronique. On parle alors de "filtres actifs", capables de s'adapter en temps réel aux besoins de l'installation.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la puissance réactive \(Q_{\text{C}}\) à fournir si l'on voulait atteindre un facteur de puissance parfait de 1.0 ?
Outil Interactif : Impact du Moteur
Utilisez cet outil pour voir comment les caractéristiques du moteur (Charge 2) influencent la performance globale de l'installation. Observez l'impact direct sur le facteur de puissance total.
Paramètres du Moteur (Charge 2)
Résultats Globaux de l'Installation
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la puissance réactive ?
2. Selon le théorème de Boucherot :
3. Si on améliore le facteur de puissance d'une installation (sans changer sa puissance active) :
4. Un moteur asynchrone est une charge qui consomme principalement de la puissance :
Glossaire
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Il caractérise l'efficacité énergétique d'un récepteur ou d'une installation. Un facteur de puissance proche de 1 est idéal.
- Puissance Active (P)
- Partie de la puissance qui produit un travail utile (chaleur, lumière, mouvement). Mesurée en Watts (W).
- Puissance Apparente (S)
- Puissance totale fournie par la source, qui inclut les puissances active et réactive. Mesurée en Volt-Ampères (VA).
- Puissance Réactive (Q)
- Puissance échangée entre la source et les récepteurs, nécessaire à la création des champs magnétiques et électriques. Mesurée en Volt-Ampères Réactifs (var).
- Régime Triphasé
- Système de production et de distribution d'énergie électrique utilisant trois courants alternatifs déphasés, permettant de transporter plus de puissance et d'alimenter des moteurs plus efficacement.
- Théorème de Boucherot
- Principe fondamental qui permet de calculer les puissances totales d'une installation en additionnant les puissances de même nature de tous les récepteurs.
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