Calcul de puissance en régime triphasé

En régime triphasé équilibré, les puissances sont des grandeurs fondamentales pour caractériser le fonctionnement des installations électriques industrielles, qui utilisent majoritairement des moteurs et autres charges triphasées.

Les relations pour les puissances en triphasé sont :

Puissance active ($P$) : C'est la puissance réellement consommée par la charge et transformée en travail ou en chaleur. $P = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos\phi$ Unité : Watt (W) ou kilowatt (kW).
Puissance réactive ($Q$) : Elle est échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) de la charge. Elle est nécessaire à la création des champs magnétiques et électriques. $Q = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \sin\phi$ Unité : Voltampère réactif (var) ou kilovoltampère réactif (kvar).
Puissance apparente ($S$) : C'est la puissance que la source doit être capable de fournir. $S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \quad \text{ou} \quad S = \sqrt{P^2 + Q^2}$ Unité : Voltampère (VA) ou kilovoltampère (kVA).
Facteur de puissance ($\cos\phi$) : Il représente l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. $\cos\phi = \frac{P}{S}$

Dans ces formules, $U$ est la tension efficace entre phases (tension de ligne) et $I$ est le courant efficace de ligne.

Données du Problème

Une installation industrielle est alimentée par un réseau triphasé $400 \text{ V} - 50 \text{ Hz}$. Elle comprend principalement un moteur asynchrone triphasé et un ensemble de fours résistifs.

Moteur asynchrone triphasé :

Puissance utile nominale : $P_{un,moteur} = 15 \text{ kW}$
Rendement nominal : $\eta_{n,moteur} = 90\%$
Facteur de puissance nominal : $\cos\phi_{moteur} = 0.85$ (inductif)

Ensemble de fours résistifs triphasés :

Puissance active totale consommée par les fours : $P_{fours} = 10 \text{ kW}$

Alimentation triphasée d'une installation industrielle.

Questions

Convertir la puissance utile nominale du moteur $P_{un,moteur}$ en Watts.
Calculer la puissance active nominale $P_{an,moteur}$ absorbée par le moteur.
Calculer la puissance apparente nominale $S_{n,moteur}$ absorbée par le moteur.
Calculer le courant de ligne nominal $I_{Ln,moteur}$ absorbé par le moteur.
Calculer la puissance réactive nominale $Q_{n,moteur}$ absorbée par le moteur. (Rappel : $\sin\phi = \sqrt{1-\cos^2\phi}$).
Pour l'ensemble de fours résistifs :
1. Quelle est la valeur de son facteur de puissance $\cos\phi_{fours}$ ?
2. En déduire sa puissance réactive $Q_{fours}$ et sa puissance apparente $S_{fours}$.
Pour l'installation complète (moteur fonctionnant à son régime nominal + fours) :
1. Calculer la puissance active totale $P_{tot}$ consommée.
2. Calculer la puissance réactive totale $Q_{tot}$ consommée.
3. Calculer la puissance apparente totale $S_{tot}$ de l'installation.
4. Calculer le facteur de puissance global $\cos\phi_{tot}$ de l'installation.
5. Calculer le courant de ligne total $I_{L,tot}$ absorbé par l'installation.

Correction : Calcul de Puissance en Régime Triphasé

1. Conversion de la Puissance Utile Nominale du Moteur ($P_{un,moteur}$)

$1 \text{ kW} = 1000 \text{ W}$.

Donnée :

$P_{un,moteur} = 15 \text{ kW}$

\begin{aligned} P_{un,moteur} &= 15 \times 1000 \text{ W} \\ &= 15000 \text{ W} \end{aligned}

La puissance utile nominale du moteur est $P_{un,moteur} = 15000 \text{ W}$.

2. Calcul de la Puissance Active Nominale Absorbée par le Moteur ($P_{an,moteur}$)

$\eta_{n,moteur} = P_{un,moteur} / P_{an,moteur} \Rightarrow P_{an,moteur} = P_{un,moteur} / \eta_{n,moteur}$.

Données :

$P_{un,moteur} = 15000 \text{ W}$
$\eta_{n,moteur} = 90\% = 0.90$

\begin{aligned} P_{an,moteur} &= \frac{15000 \text{ W}}{0.90} \\ &\approx 16666.67 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active nominale absorbée par le moteur est $P_{an,moteur} \approx 16666.7 \text{ W}$.

Quiz Intermédiaire

3. Calcul de la Puissance Apparente Nominale Absorbée par le Moteur ($S_{n,moteur}$)

$S_{n,moteur} = P_{an,moteur} / \cos\phi_{n,moteur}$.

Données :

$P_{an,moteur} \approx 16666.67 \text{ W}$
$\cos\phi_{n,moteur} = 0.85$

\begin{aligned} S_{n,moteur} &\approx \frac{16666.67 \text{ W}}{0.85} \\ &\approx 19607.85 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente nominale absorbée par le moteur est $S_{n,moteur} \approx 19607.9 \text{ VA}$ (ou $19.61 \text{ kVA}$).

4. Calcul du Courant de Ligne Nominal Absorbé par le Moteur ($I_{Ln,moteur}$)

$S_{n,moteur} = \sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_{Ln,moteur}$, donc $I_{Ln,moteur} = \frac{S_{n,moteur}}{\sqrt{3} \cdot U_n}$. Note : L'énoncé donne déjà $I_{Ln} = 8.5 \text{ A}$. Vérifions si nos calculs sont cohérents. Si nous utilisons $P_{an,moteur} = \sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_{Ln,moteur} \cdot \cos\phi_{n,moteur}$ :

Données :

$P_{an,moteur} \approx 16666.67 \text{ W}$
$U_n = 400 \text{ V}$
$\cos\phi_{n,moteur} = 0.85$
$\sqrt{3} \approx 1.732$

\begin{aligned} I_{Ln,moteur} &= \frac{P_{an,moteur}}{\sqrt{3} \cdot U_n \cdot \cos\phi_{n,moteur}} \\ &\approx \frac{16666.67 \text{ W}}{1.732 \times 400 \text{ V} \times 0.85} \\ &\approx \frac{16666.67}{588.88} \\ &\approx 28.30 \text{ A} \end{aligned}

Il y a une incohérence avec le courant nominal de $8.5 \text{ A}$ donné dans l'énoncé pour un moteur de 15 kW. Un moteur de 15kW sous 400V triphasé avec cos $\phi$ = 0.85 et $\eta$ = 0.9 aurait un courant d'environ 28.3 A. Nous allons continuer avec le courant calculé de 28.30 A, car $I_{Ln} = 8.5 \text{ A}$ est trop faible pour cette puissance.

Le courant de ligne nominal calculé est $I_{Ln,moteur} \approx 28.30 \text{ A}$. (Nous utiliserons cette valeur calculée).

5. Calcul de la Puissance Réactive Nominale Absorbée par le Moteur ($Q_{n,moteur}$)

On a $\cos\phi_{n,moteur} = 0.85$. Il faut calculer $\sin\phi_{n,moteur}$. $\sin\phi = \sqrt{1 - \cos^2\phi}$. Puis $Q_{n,moteur} = \sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_{Ln,moteur} \cdot \sin\phi_{n,moteur}$ ou $Q_{n,moteur} = S_{n,moteur} \cdot \sin\phi_{n,moteur}$.

Données :

$\cos\phi_{n,moteur} = 0.85$
$S_{n,moteur} \approx 19607.85 \text{ VA}$

\begin{aligned} \sin\phi_{n,moteur} &= \sqrt{1 - (0.85)^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.7225} \\ &= \sqrt{0.2775} \\ &\approx 0.5268 \end{aligned}

\begin{aligned} Q_{n,moteur} &\approx S_{n,moteur} \cdot \sin\phi_{n,moteur} \\ &\approx 19607.85 \text{ VA} \times 0.5268 \\ &\approx 10329.5 \text{ var} \end{aligned}

La puissance réactive nominale absorbée par le moteur est $Q_{n,moteur} \approx 10329.5 \text{ var}$ (ou $10.33 \text{ kvar}$).

Quiz Intermédiaire

6. Analyse des Fours Résistifs

a. Facteur de Puissance des Fours ($\cos\phi_{fours}$)

Les fours sont purement résistifs. Pour une charge purement résistive, la tension et le courant sont en phase.

\cos\phi_{fours} = 1

Le facteur de puissance des fours est $\cos\phi_{fours} = 1$.

b. Puissances Réactive ($Q_{fours}$) et Apparente ($S_{fours}$) des Fours

Si $\cos\phi_{fours} = 1$, alors $\sin\phi_{fours} = \sqrt{1-1^2} = 0$. Donc $Q_{fours} = S_{fours} \cdot \sin\phi_{fours} = S_{fours} \cdot 0 = 0$. Et $S_{fours} = P_{fours} / \cos\phi_{fours} = P_{fours} / 1 = P_{fours}$.

Donnée :

$P_{fours} = 10 \text{ kW} = 10000 \text{ W}$

\begin{aligned} Q_{fours} &= 0 \text{ var} \\ S_{fours} &= 10000 \text{ VA} = 10 \text{ kVA} \end{aligned}

Pour les fours : $Q_{fours} = 0 \text{ var}$ et $S_{fours} = 10 \text{ kVA}$.

7. Analyse de l'Installation Complète

a. Puissance Active Totale ($P_{tot}$)

Les puissances actives s'additionnent.

\begin{aligned} P_{tot} &= P_{an,moteur} + P_{fours} \\ &\approx 16666.67 \text{ W} + 10000 \text{ W} \\ &\approx 26666.67 \text{ W} \end{aligned}

$P_{tot} \approx 26.67 \text{ kW}$.

b. Puissance Réactive Totale ($Q_{tot}$)

Les puissances réactives s'additionnent (en tenant compte de leur nature).

\begin{aligned} Q_{tot} &= Q_{n,moteur} + Q_{fours} \\ &\approx 10329.5 \text{ var} + 0 \text{ var} \\ &\approx 10329.5 \text{ var} \end{aligned}

$Q_{tot} \approx 10.33 \text{ kvar}$.

c. Puissance Apparente Totale ($S_{tot}$)

$S_{tot} = \sqrt{P_{tot}^2 + Q_{tot}^2}$.

\begin{aligned} S_{tot} &\approx \sqrt{(26666.67)^2 + (10329.5)^2} \\ &\approx \sqrt{711111288.89 + 106698570.25} \\ &\approx \sqrt{817809859.14} \\ &\approx 28597.37 \text{ VA} \end{aligned}

$S_{tot} \approx 28.60 \text{ kVA}$.

d. Facteur de Puissance Global ($\cos\phi_{tot}$)

$\cos\phi_{tot} = P_{tot} / S_{tot}$.

\begin{aligned} \cos\phi_{tot} &\approx \frac{26666.67 \text{ W}}{28597.37 \text{ VA}} \\ &\approx 0.93248 \end{aligned}

Le facteur de puissance global est $\cos\phi_{tot} \approx 0.93$.

e. Courant de Ligne Total ($I_{L,tot}$)

$S_{tot} = \sqrt{3} \cdot U_n \cdot I_{L,tot}$.

\begin{aligned} I_{L,tot} &= \frac{S_{tot}}{\sqrt{3} \cdot U_n} \\ &\approx \frac{28597.37 \text{ VA}}{1.732 \times 400 \text{ V}} \\ &\approx \frac{28597.37}{692.8} \\ &\approx 41.278 \text{ A} \end{aligned}

Le courant de ligne total est $I_{L,tot} \approx 41.28 \text{ A}$.

Glossaire des Termes Clés

Régime Triphasé :

Système de trois tensions alternatives de même fréquence, déphasées de 120° les unes par rapport aux autres.

Puissance Active ($P$) :

Puissance moyenne réellement consommée par une charge et convertie en travail ou en chaleur. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive ($Q$) :

Puissance "oscillante" échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) d'une charge. Unité : Voltampère réactif (var).

Puissance Apparente ($S$) :

Produit de la tension efficace par le courant efficace (multiplié par $\sqrt{3}$ en triphasé pour les grandeurs de ligne). Elle représente la "demande" totale de puissance sur la source. Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance ($\cos\phi$) :

Rapport entre la puissance active et la puissance apparente. Il indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance apparente.

Tension de Ligne ($U$) :

En triphasé, tension efficace entre deux phases.

Courant de Ligne ($I$) :

En triphasé, courant efficace circulant dans une ligne d'alimentation.

Rendement ($\eta$) :

Rapport entre la puissance utile fournie par un appareil et la puissance active qu'il absorbe.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi est-il important d'avoir un bon facteur de puissance (proche de 1) dans une installation industrielle ?

2. Comment peut-on améliorer le facteur de puissance d'une installation qui a de nombreuses charges inductives (comme des moteurs) ?

3. Expliquez la différence entre une tension simple et une tension composée en régime triphasé.

4. Quels sont les avantages des systèmes triphasés par rapport aux systèmes monophasés pour le transport de l'énergie et l'alimentation des moteurs de forte puissance ?

5. Comment les pertes dans les lignes d'alimentation affectent-elles le bilan de puissance global d'une installation ?

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