Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Champ Magnétique en Milieu Industriel

Champ Magnétique en Milieu Industriel

Champ Magnétique en Milieu Industriel

Comprendre les Champs Magnétiques Générés par les Courants

Dans un environnement industriel, de nombreux équipements et câbles électriques transportent des courants importants. Ces courants génèrent des champs magnétiques dans leur voisinage. La loi de Biot-Savart ou, pour des géométries simples comme un fil rectiligne long, le théorème d'Ampère, permettent de calculer l'intensité de ces champs. Pour un fil rectiligne infini (ou très long par rapport à la distance d'observation) parcouru par un courant \(I\), le champ magnétique \(B\) à une distance \(d\) du fil est donné par \(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}\), où \(\mu_0\) est la perméabilité du vide.

Lorsqu'un autre conducteur parcouru par un courant est placé dans ce champ magnétique, il subit une force électromagnétique, appelée force de Laplace. Si deux fils parallèles de longueur \(L\), parcourus par des courants \(I_1\) et \(I_2\) et séparés par une distance \(d\), la magnitude de la force exercée par le fil 1 sur le fil 2 est \(F_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d}\). Cette force est attractive si les courants sont dans le même sens et répulsive s'ils sont de sens opposés.

Cet exercice se concentre sur le calcul du champ magnétique créé par un câble de puissance et la force exercée sur un câble voisin.

Données de l'étude

Deux longs câbles d'alimentation parallèles sont installés dans une usine. On s'intéresse au champ magnétique créé par le premier câble et à la force qu'il exerce sur le second.

Caractéristiques des câbles et de l'installation :

  • Câble 1 : Parcouru par un courant \(I_1 = 500 \, \text{A}\)
  • Câble 2 : Parcouru par un courant \(I_2 = 300 \, \text{A}\)
  • Distance entre les axes des deux câbles (\(d\)) : \(0.20 \, \text{m}\) (soit \(20 \, \text{cm}\))
  • Longueur considérée pour le calcul de la force sur le câble 2 (\(L\)) : \(10 \, \text{m}\)
  • Les câbles sont dans l'air, on utilise la perméabilité du vide \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Schéma des Câbles Parallèles
⊙ Câble 1 (I1) B1 ⊙ Câble 2 (I2) d = 0.20 m F12 Vue en coupe. Courants initialement dans le même sens (sortant).

Deux câbles parallèles. Le câble 1 crée un champ \(B_1\) qui exerce une force \(F_{12}\) sur le câble 2.

Questions à traiter

  1. Calculer l'intensité du champ magnétique \(B_1\) produit par le câble 1 à la distance \(d\) où se trouve le câble 2.
  2. Si les courants \(I_1\) et \(I_2\) circulent dans le même sens :
    1. Déterminer la direction et le sens de la force \(\vec{F}_{12}\) exercée par le câble 1 sur une longueur \(L\) du câble 2.
    2. Calculer la magnitude de cette force \(F_{12}\).
  3. Si le courant \(I_2\) circule maintenant en sens opposé à \(I_1\) :
    1. Déterminer la direction et le sens de la force \(\vec{F}_{12}\) exercée par le câble 1 sur une longueur \(L\) du câble 2.
    2. Calculer la magnitude de cette force \(F_{12}\).
  4. Calculer la force par unité de longueur exercée entre les deux câbles dans les deux cas (courants de même sens et de sens opposés).

Correction : Champ Magnétique en Milieu Industriel

Question 1 : Intensité du champ magnétique \(B_1\)

Principe :

Pour un fil rectiligne long parcouru par un courant \(I_1\), l'intensité du champ magnétique \(B_1\) à une distance perpendiculaire \(d\) du fil est donnée par la loi d'Ampère (ou Biot-Savart) : \(B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\). Les lignes de champ sont des cercles concentriques centrés sur le fil.

Formule(s) utilisée(s) :
\[B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\]
Données spécifiques :
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\)
  • Courant dans le câble 1 (\(I_1\)) : \(500 \, \text{A}\)
  • Distance (\(d\)) : \(0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} B_1 &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}) \cdot 500 \, \text{A}}{2\pi \cdot 0.20 \, \text{m}} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 500}{0.20} \, \text{T} \\ &= \frac{1000 \times 10^{-7}}{0.20} \, \text{T} \\ &= \frac{1 \times 10^{-4}}{0.20} \, \text{T} \\ &= 5 \times 10^{-4} \, \text{T} \end{aligned} \]

Soit \(B_1 = 0.5 \, \text{mT}\).

Résultat Question 1 : L'intensité du champ magnétique \(B_1\) à la position du câble 2 est \(5.0 \times 10^{-4} \, \text{T}\) (ou \(0.5 \, \text{mT}\)).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la distance \(d\) à un fil long double, le champ magnétique \(B\) produit par le fil :

Question 2 : Force \(\vec{F}_{12}\) (courants de même sens)

Principe :

Un conducteur de longueur \(L\) parcouru par un courant \(I_2\) et placé dans un champ magnétique externe \(\vec{B}_1\) subit une force de Laplace \(\vec{F}_{12} = I_2 (\vec{L} \times \vec{B}_1)\). Si \(\vec{L}\) (orienté dans le sens de \(I_2\)) est perpendiculaire à \(\vec{B}_1\), la magnitude de la force est \(F_{12} = I_2 L B_1\). Lorsque les courants sont parallèles et de même sens, la force est attractive.

a) Direction et sens de la force :

En utilisant la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) : si \(I_1\) sort de la page (⊙), \(\vec{B}_1\) au niveau du câble 2 est dirigé vers le haut (tangentiellement aux lignes de champ circulaires). Si \(I_2\) sort aussi de la page, le produit vectoriel \(\vec{L} \times \vec{B}_1\) (où \(\vec{L}\) est dans la direction de \(I_2\)) donne une force dirigée vers le câble 1. La force est donc attractive.

b) Magnitude de la force \(F_{12}\) :
\[F_{12} = I_2 L B_1\]
Données spécifiques :
  • Courant dans le câble 2 (\(I_2\)) : \(300 \, \text{A}\)
  • Longueur du segment du câble 2 (\(L\)) : \(10 \, \text{m}\)
  • Champ magnétique \(B_1\) : \(5.0 \times 10^{-4} \, \text{T}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{12} &= (300 \, \text{A}) \cdot (10 \, \text{m}) \cdot (5.0 \times 10^{-4} \, \text{T}) \\ &= 3000 \cdot 5.0 \times 10^{-4} \, \text{N} \\ &= 15000 \times 10^{-4} \, \text{N} \\ &= 1.5 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 :
  • a) La force est attractive (dirigée du câble 2 vers le câble 1).
  • b) La magnitude de la force est \(F_{12} = 1.5 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Deux conducteurs parallèles parcourus par des courants de même sens :

Question 3 : Force \(\vec{F}_{12}\) (courants de sens opposés)

Principe :

La magnitude de la force est calculée de la même manière, \(F_{12} = I_2 L B_1\). Cependant, lorsque les courants sont parallèles et de sens opposés, la force est répulsive.

a) Direction et sens de la force :

Si \(I_1\) sort de la page (⊙) et \(I_2\) entre dans la page (⊗), \(\vec{B}_1\) au niveau du câble 2 est toujours dirigé vers le haut. Le produit vectoriel \(\vec{L} \times \vec{B}_1\) (où \(\vec{L}\) est maintenant dans la direction opposée, entrant) donne une force dirigée à l'opposé du câble 1. La force est donc répulsive.

b) Magnitude de la force \(F_{12}\) :

La magnitude de la force ne dépend que des magnitudes des courants, de la distance et de la longueur, pas du sens relatif des courants (tant qu'ils sont parallèles).

\[F_{12} = I_2 L B_1\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{12} &= (300 \, \text{A}) \cdot (10 \, \text{m}) \cdot (5.0 \times 10^{-4} \, \text{T}) \\ &= 1.5 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • a) La force est répulsive (dirigée à l'opposé du câble 1 par rapport au câble 2).
  • b) La magnitude de la force est \(F_{12} = 1.5 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 3 : La force de Lorentz sur une charge \(q\) se déplaçant à une vitesse \(\vec{v}\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) est donnée par :

Question 4 : Force par unité de longueur

Principe :

La force par unité de longueur (\(F/L\)) est obtenue en divisant la magnitude de la force totale par la longueur \(L\) du segment de câble considéré.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{F_{12}}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\]

Ou directement \(F_{12}/L = I_2 B_1\).

Données spécifiques :
  • Magnitude de la force (\(F_{12}\)) : \(1.5 \, \text{N}\) (des Q2 et Q3)
  • Longueur (\(L\)) : \(10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{F_{12}}{L} &= \frac{1.5 \, \text{N}}{10 \, \text{m}} \\ &= 0.15 \, \text{N/m} \end{aligned} \]

Cette valeur est la même que les courants soient de même sens ou de sens opposés, seule la nature (attractive/répulsive) de la force change.

Résultat Question 4 : La force par unité de longueur entre les deux câbles est de \(0.15 \, \text{N/m}\).

Quiz Intermédiaire 4 : L'Ampère (unité de courant) est défini à partir de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant \(I\) à une distance \(d\) est :

2. La force entre deux conducteurs parallèles parcourus par des courants est attractive si :

3. La perméabilité du vide \(\mu_0\) a une valeur de :

Glossaire

Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel décrivant l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Unité : Tesla (T).
Théorème d'Ampère
Loi fondamentale de la magnétostatique qui relie la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé au courant total traversant la surface délimitée par ce contour.
Loi de Biot-Savart
Loi qui décrit le champ magnétique créé par un courant électrique constant. Elle permet de calculer le champ magnétique en tout point de l'espace généré par un circuit filiforme.
Force de Laplace
Force électromagnétique exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant électrique. \(\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})\).
Perméabilité du Vide (\(\mu_0\))
Constante physique fondamentale représentant la capacité du vide à supporter la formation d'un champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\).
Courant Électrique (\(I\))
Flux de charges électriques à travers un conducteur. Unité : Ampère (A).
Tesla (T)
Unité de mesure de l'intensité du champ magnétique (ou densité de flux magnétique) dans le Système International.
Champ Magnétique en Milieu Industriel

D’autres exercices d’electromagnétique:

Calcul de la portée d’un radar
Calcul de la portée d’un radar

Calcul de la Portée d’un Radar Calcul de la Portée d’un Radar Comprendre la Portée d'un Radar Le radar (Radio Detection and Ranging) est un système qui utilise des ondes radio pour détecter la présence, la direction, la distance et/ou la vitesse d'objets tels que des...

Rayonnement d’un Dipôle Oscillant
Rayonnement d’un Dipôle Oscillant

Rayonnement d’un Dipôle Oscillant Rayonnement d’un Dipôle Oscillant Comprendre le Rayonnement d’un Dipôle Oscillant Un dipôle oscillant, souvent modélisé comme un dipôle de Hertz, est une source fondamentale de rayonnement électromagnétique. Il consiste en un courant...

Force électromotrice induite dans un circuit
Force électromotrice induite dans un circuit

Calcul de la Force Électromotrice Induite Force Électromotrice (f.é.m.) Induite dans un Circuit Comprendre la Force Électromotrice Induite Lorsqu'un circuit conducteur est soumis à une variation de flux magnétique à travers sa surface, une tension électrique, appelée...

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur
Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur

Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur Théorème d’Ampère autour d’un Conducteur Comprendre le Théorème d'Ampère Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale de l'électromagnétisme qui relie le champ magnétique à sa source, le courant électrique. Il stipule que la...

Fréquences de Résonance d’une Cavité
Fréquences de Résonance d’une Cavité

Fréquences de Résonance d’une Cavité Fréquences de Résonance d’une Cavité Comprendre la Résonance dans les Cavités Électromagnétiques Une cavité résonnante est une structure tridimensionnelle, généralement à parois conductrices, capable de confiner des ondes...

Orientation Satellite via Dipôle Magnétique
Orientation Satellite via Dipôle Magnétique

Orientation d’un Satellite via Dipôle Magnétique Orientation d’un Satellite via Dipôle Magnétique Comprendre l'Orientation Magnétique des Satellites L'orientation (ou attitude) d'un satellite en orbite est cruciale pour de nombreuses missions, que ce soit pour pointer...

L’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse
L’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse

Calcul de l’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse Calcul de l’Angle de Réfraction d’une Onde Lumineuse Comprendre la Réfraction et la Loi de Snell-Descartes La réfraction est le phénomène de déviation d'une onde (lumineuse, sonore, etc.) lorsqu'elle passe d'un...

Propagation d’une onde électromagnétique plane
Propagation d’une onde électromagnétique plane

Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane Comprendre les Ondes Électromagnétiques Planes Une onde électromagnétique plane est une idéalisation d'une onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *