Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal

Contexte : L'étude des circuits en régime sinusoïdalAnalyse des circuits électriques alimentés par une source de tension ou de courant qui varie de manière sinusoïdale dans le temps. est fondamentale en électrotechnique.

Contrairement au régime continu où les grandeurs sont constantes, le régime sinusoïdal alternatif, utilisé pour le transport et la distribution d'électricité, introduit des notions de phase et de comportement fréquentiel des composants. Cet exercice se concentre sur le circuit le plus simple combinant une résistance (R) et une bobine d'inductance (L) en série. Nous analyserons comment ces deux composants interagissent pour s'opposer au passage du courant, un concept clé appelé impédanceOpposition d'un circuit électrique au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. C'est la généralisation de la notion de résistance., et comment cela affecte la relation entre la tension et le courant.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser les nombres complexes et les diagrammes de FresnelReprésentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales (tensions, courants) qui permet de visualiser leurs amplitudes et leurs déphasages respectifs. pour résoudre un problème de circuit AC, des outils indispensables pour tout technicien ou ingénieur en électricité.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la réactance d'une bobine et l'impédance complexe d'un circuit RL.
Appliquer la loi d'Ohm en régime sinusoïdal pour déterminer le courant.
Calculer le déphasage entre la tension d'alimentation et le courant du circuit.
Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant.
Construire et interpréter le diagramme de Fresnel des tensions.

Données de l'étude

On étudie un dipôle RL série, composé d'un résistor de résistance R et d'une bobine parfaite d'inductance L. Cet ensemble est alimenté par une source de tension sinusoïdale $v(t)$.

Schéma du circuit RL série

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation (expression temporelle)	$v(t)$	$100 \sqrt{2} \sin(100\pi t)$	V
Résistance	$R$	30	$\Omega$
Inductance	$L$	95.5	mH

Questions à traiter

Déterminer la valeur efficace $V$ et la pulsation $\omega$ de la tension d'alimentation.
Calculer la réactance d'inductionOpposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due à son inductance. Elle se mesure en Ohms ($\Omega$) et augmente avec la fréquence. $X_L$ de la bobine.
Calculer le module $|\underline{Z}|$ et l'argument $\phi$ de l'impédance totale du circuit.
Déterminer la valeur efficace $I$ du courant, puis son expression temporelle $i(t)$.
Calculer les valeurs efficaces des tensions $V_R$ aux bornes du résistor et $V_L$ aux bornes de la bobine.
Vérifier la loi des mailles avec les valeurs efficaces. Que constatez-vous ?
Tracer le diagramme de Fresnel des tensions en prenant le courant comme référence de phase.

Les bases sur les Circuits RL en Sinusoïdal

En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe pour simplifier les calculs. Chaque grandeur sinusoïdale (tension $v(t)$, courant $i(t)$) est associée à un nombre complexe, appelé phaseur (ou vecteur de Fresnel), noté $\underline{V}$ ou $\underline{I}$.

1. Impédance Complexe ($\underline{Z}$)
L'impédance généralise la résistance en régime alternatif. Pour un résistor, $\underline{Z}_R = R$. Pour une bobine parfaite, son impédance est un imaginaire pur : $\underline{Z}_L = jL\omega$, où $j$ est l'unité imaginaire ($j^2 = -1$) et $\omega$ est la pulsation en rad/s. En série, les impédances s'ajoutent : \[ \underline{Z} = \underline{Z}_R + \underline{Z}_L = R + jL\omega = R + jX_L \]

2. Loi d'Ohm en Complexe
La relation entre les phaseurs tension et courant est une généralisation de la loi d'Ohm : \[ \underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I} \] Cela implique deux relations : une sur les modules (valeurs efficaces) $| \underline{V} | = | \underline{Z} | \cdot | \underline{I} |$, et une sur les arguments (phases) $\text{arg}(\underline{V}) = \text{arg}(\underline{Z}) + \text{arg}(\underline{I})$. Le déphasage $\phi$ du circuit est l'angle de l'impédance $\text{arg}(\underline{Z})$.

Correction : Analyse d'un Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal

Question 1 : Déterminer V et $\omega$

Principe

Il s'agit d'identifier les caractéristiques de la source de tension à partir de son expression temporelle. La forme générale est $v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t + \varphi_v)$. La valeur efficace $V$ est liée à la valeur maximale $V_{\text{max}}$ par un facteur $\sqrt{2}$, et la pulsation $\omega$ est le terme qui multiplie le temps $t$ à l'intérieur du sinus.

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, la tension $v(t)$ est caractérisée par son amplitude (valeur maximale $V_{\text{max}}$), sa pulsation $\omega = 2\pi f$ (où $f$ est la fréquence) et sa phase à l'origine $\varphi_v$. La valeur efficace, mesurée par les voltmètres, est une valeur "équivalente" en termes d'énergie à une tension continue. Pour un signal sinusoïdal, ce rapport est toujours $\sqrt{2}$.

Remarque Pédagogique

Prenez l'habitude de toujours vérifier les unités et la forme de l'équation fournie. Une bonne identification des paramètres dès le départ vous évitera des erreurs de calcul en cascade. C'est la première étape et l'une des plus cruciales.

Normes

L'utilisation des valeurs efficaces est une convention normalisée (par l'IEC - International Electrotechnical Commission) car elle permet de comparer la puissance dissipée par des signaux alternatifs et continus de manière cohérente.

Formule(s)

Relation valeur maximale et efficace

V = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}

Hypothèses

La source de tension est considérée comme parfaite (pas de résistance interne).
Le signal est purement sinusoïdal, sans harmoniques.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension d'alimentation	$v(t)$	$100 \sqrt{2} \sin(100\pi t)$	V

Astuces

Pour trouver la fréquence $f$ rapidement, rappelez-vous que $\omega = 2\pi f$. Ici, $\omega=100\pi$, donc $f=50 \text{ Hz}$. C'est la fréquence standard du réseau électrique européen.

Schéma (Avant les calculs)

Allure de la tension v(t)

Calcul(s)

Par identification directe avec la forme $v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t)$ :

Identification de la valeur maximale

V_{\text{max}} = 100\sqrt{2} \text{ V}

Identification de la pulsation

\omega = 100\pi \text{ rad/s}

Calcul de la valeur efficace V

\begin{aligned} V &= \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{100\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= 100 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure de la tension v(t) avec valeurs caractéristiques

Réflexions

Nous travaillerons désormais avec la valeur efficace V=100V et la pulsation $\omega=100\pi$ rad/s pour tous les calculs ultérieurs. Ces valeurs sont les fondations de notre analyse.

Points de vigilance

Ne confondez pas la valeur maximale ($V_{\text{max}}$) et la valeur efficace ($V$). La plupart des formules en régime sinusoïdal (loi d'Ohm, puissances) utilisent les valeurs efficaces.

Points à retenir

La valeur efficace d'un signal sinusoïdal est sa valeur maximale divisée par $\sqrt{2}$.
La pulsation $\omega$ (en rad/s) est liée à la fréquence $f$ (en Hz) par $\omega = 2\pi f$.

Le saviez-vous ?

Le concept de "valeur efficace" (RMS en anglais, pour Root Mean Square) a été développé pour trouver une équivalence de puissance entre le courant alternatif, plus complexe à analyser, et le courant continu, beaucoup plus simple.

FAQ

Résultat Final

La tension efficace est V = 100 V et la pulsation est $\omega$ = 100$\pi$ rad/s (environ 314 rad/s).

A vous de jouer

Si une tension est donnée par $v(t) = 325 \sin(314t)$, quelle est sa valeur efficace ?

Question 2 : Calculer la réactance d'induction $X_L$

Principe

La réactance d'induction $X_L$ représente l'opposition de la bobine au passage du courant alternatif. Elle dépend de l'inductance L de la bobine et de la pulsation $\omega$ du signal. Elle se mesure en Ohms ($\Omega$), tout comme une résistance.

Mini-Cours

Une bobine s'oppose aux variations de courant. En régime alternatif, le courant variant constamment, la bobine présente une opposition permanente. Cette opposition, la réactance $X_L$, est proportionnelle à la "vitesse" de variation du courant (la pulsation $\omega$) et à la "capacité" de la bobine à s'y opposer (l'inductance L).

Remarque Pédagogique

Visualisez la réactance comme une "résistance dynamique". Contrairement à une résistance R qui dissipe l'énergie en chaleur, une réactance emmagasine et restitue l'énergie (sous forme magnétique pour une bobine), sans perte (pour une bobine idéale).

Normes

Le calcul $X_L = L\omega$ est une formule fondamentale définie dans les standards de l'électrotechnique, découlant directement des lois de l'électromagnétisme (loi de Lenz-Faraday).

Formule(s)

Formule de la réactance inductive

X_L = L \omega

Hypothèses

La bobine est considérée comme parfaite, c'est-à-dire sans résistance interne. Dans la réalité, tout bobinage a une petite résistance.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Inductance	L	95.5	mH
Pulsation	$\omega$	100$\pi$	rad/s

Astuces

Pour vérifier l'ordre de grandeur, sachez qu'à 50 Hz ($\omega \approx 314$ rad/s), une inductance de 1 H a une réactance de 314 $\Omega$. Une inductance de 100 mH (0.1 H) aura donc une réactance d'environ 31.4 $\Omega$. Notre valeur de 95.5 mH est proche, le résultat doit donc être autour de 30 $\Omega$.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit avec la bobine à étudier

Calcul(s)

Conversion des unités de l'inductance

\begin{aligned} L &= 95.5 \text{ mH} \\ &= 95.5 \times 10^{-3} \text{ H} \\ &= 0.0955 \text{ H} \end{aligned}

Application de la formule

\begin{aligned} X_L &= L \omega \\ &= 0.0955 \text{ H} \times 100\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 30.00 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Représentation de l'impédance de la bobine

Réflexions

La réactance de la bobine (30 $\Omega$) est ici égale à la résistance (30 $\Omega$). Cela signifie que les effets résistifs (dissipation d'énergie) et inductifs (stockage d'énergie) ont une "force" d'opposition égale dans ce circuit. C'est un cas particulier qui mènera à un déphasage de 45°.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est d'oublier de convertir l'inductance de millihenrys (mH) en henrys (H) avant le calcul. Travaillez toujours dans les unités du Système International (V, A, $\Omega$, H, F, s).

Points à retenir

La réactance d'une bobine $X_L$ dépend de l'inductance ET de la fréquence.
En courant continu ($f=0$), la réactance est nulle : une bobine parfaite est un court-circuit.

Le saviez-vous ?

Les grosses bobines, appelées "réactances shunt", sont utilisées sur les réseaux très haute tension pour compenser l'effet capacitif des longues lignes électriques et ainsi stabiliser la tension du réseau.

FAQ

Résultat Final

La réactance de la bobine est $X_L \approx 30 \, \Omega$.

A vous de jouer

Quelle serait la réactance de cette même bobine si elle était branchée sur le réseau américain (60 Hz) ? ($\omega = 120\pi$ rad/s)

Question 3 : Calculer le module $|\underline{Z}|$ et l'argument $\phi$

Principe

L'impédance totale $\underline{Z}$ du circuit série est la somme complexe de la résistance $R$ et de la réactance $jX_L$. On peut la représenter dans le plan complexe. Son module correspond à l'opposition globale du circuit au courant, et son argument est le déphasage tension-courant.

Mini-Cours

Le "triangle des impédances" est une représentation graphique de $\underline{Z} = R + jX_L$. C'est un triangle rectangle où le côté adjacent est $R$, le côté opposé est $X_L$, et l'hypoténuse est le module $|\underline{Z}|$. L'angle entre le côté adjacent ($R$) et l'hypoténuse ($|\underline{Z}|$) est le déphasage $\phi$. Les relations trigonométriques classiques s'appliquent.

Remarque Pédagogique

Le passage en notation polaire (module et argument) est très utile. Le module $|\underline{Z}|$ vous donnera directement le rapport entre les valeurs efficaces V et I, tandis que l'argument $\phi$ vous donnera directement le déphasage entre $v(t)$ et $i(t)$.

Normes

La composition des impédances en série par addition est une règle fondamentale des lois des circuits (dérivée des lois de Kirchhoff), applicable dans tous les standards internationaux.

Formule(s)

Expression de l'impédance complexe

\underline{Z} = R + jX_L

Formule du module de l'impédance

|\underline{Z}| = \sqrt{R^2 + X_L^2}

Formule de l'argument de l'impédance

\phi = \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right)

Hypothèses

Les composants sont en série parfaite, les connexions n'ont aucune impédance.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	30	$\Omega$
Réactance	$X_L$	30	$\Omega$

Astuces

Lorsque $R = X_L$, le triangle des impédances est un triangle isocèle rectangle. L'angle est donc forcément de 45°, et le module est $R\sqrt{2}$ (ou $X_L\sqrt{2}$). Ici, $30\sqrt{2} \approx 42.42$. Cela permet de trouver le résultat de tête !

Schéma (Avant les calculs)

Triangle des impédances

Calcul(s)

Calcul du module

\begin{aligned} |\underline{Z}| &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{30^2 + 30^2} \\ &= \sqrt{900 + 900} \\ &= \sqrt{1800} \\ &\approx 42.43 \text{ } \Omega \end{aligned}

Calcul de l'argument

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{30}{30}\right) \\ &= \arctan(1) \\ &= 45^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Triangle des impédances avec valeurs

Réflexions

Un angle de 45° est positif, ce qui signifie que la tension aux bornes du circuit est en avance de phase sur le courant. C'est caractéristique d'un circuit inductif.

Points de vigilance

Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "degrés" si vous voulez un résultat en degrés, ou en mode "radians" sinon. Une erreur de mode est très fréquente.

Points à retenir

L'impédance totale en série est la somme (complexe) des impédances individuelles.
Le module se calcule avec Pythagore, l'argument avec l'arc tangente.

Le saviez-vous ?

Le concept d'impédance a été introduit par Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle. C'était un mathématicien et physicien autodidacte qui a grandement simplifié les équations de Maxwell pour les rendre utilisables par les ingénieurs.

FAQ

Résultat Final

L'impédance a pour module $|\underline{Z}| \approx 42.43 \, \Omega$ et pour argument $\phi = 45^\circ$.

A vous de jouer

Si $R=40\,\Omega$ et $X_L=30\,\Omega$, quel serait le module de l'impédance ?

Question 4 : Déterminer $I$ et $i(t)$

Principe

On utilise la **loi d'Ohm en régime sinusoïdal**, qui est une généralisation de la loi d'Ohm en continu. Elle stipule que le phaseur du courant est égal au phaseur de la tension divisé par l'impédance complexe ($\underline{I} = \underline{V} / \underline{Z}$). En pratique, cela signifie que la valeur efficace du courant $I$ s'obtient en divisant la valeur efficace de la tension $V$ par le module de l'impédance $|\underline{Z}|$, et que la phase du courant est décalée par rapport à celle de la tension de l'opposé de l'angle de l'impédance.

Mini-Cours

Puisque $\underline{V} = \underline{Z} \cdot \underline{I}$, alors $\underline{I} = \frac{\underline{V}}{\underline{Z}}$. En notation polaire, cela signifie qu'on divise les modules ($I = V/Z$) et qu'on soustrait les phases ($\phi_i = \phi_v - \phi_z$). Si on prend la tension comme référence de phase ($\phi_v = 0$), alors la phase du courant est simplement l'opposé de la phase de l'impédance ($\phi_i = -\phi$).

Remarque Pédagogique

Il est crucial de bien distinguer la valeur efficace $I$ de l'expression temporelle $i(t)$. La première est un nombre constant qui donne une information sur "l'intensité" du courant, la seconde est une fonction du temps qui décrit l'oscillation complète du courant.

Normes

La loi d'Ohm généralisée est le pilier de l'analyse des circuits linéaires en régime sinusoïdal, reconnue et utilisée universellement.

Formule(s)

Formule du courant efficace

I = \frac{V}{|\underline{Z}|}

Expression du courant temporel

i(t) = I\sqrt{2} \sin(\omega t + \phi_v - \phi)

Hypothèses

Le régime permanent sinusoïdal est établi (les phénomènes transitoires de démarrage sont terminés).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension efficace	V	100	V
Module d'impédance	$\|\underline{Z}\|$	42.43	$\Omega$
Argument d'impédance	$\phi$	45	$^\circ$

Astuces

Pensez "CIVIL" : dans un circuit Capacitif (C), le courant (I) est en avance sur la tension (V) ; dans un circuit Inductif (L), la tension (V) est en avance sur le courant (I). Ici, le circuit est inductif, donc le courant doit être en retard sur la tension, son angle doit être négatif.

Schéma (Avant les calculs)

Triangle des impédances (base du calcul)

Calcul(s)

Calcul de la valeur efficace I

\begin{aligned} I &= \frac{V}{|\underline{Z}|} \\ &= \frac{100 \text{ V}}{42.43 \text{ } \Omega} \\ &\approx 2.357 \text{ A} \end{aligned}

Calcul de la valeur maximale du courant

\begin{aligned} I_{\text{max}} &= I\sqrt{2} \\ &\approx 2.357 \times \sqrt{2} \\ &\approx 3.333 \text{ A} \end{aligned}

Écriture de l'expression temporelle i(t)

La phase à l'origine de la tension est $0^\circ$, donc celle du courant est $0^\circ - \phi = -45^\circ$.

i(t) = 3.33 \sin(100\pi t - 45^\circ) \text{ A}

Schéma (Après les calculs)

Allures de v(t) et i(t)

Réflexions

Le courant est de 2.36 A. Si le circuit n'avait contenu que la résistance de 30 $\Omega$, le courant aurait été de $100/30 = 3.33$ A. La présence de la bobine a donc réduit le courant et l'a mis en retard sur la tension.

Points de vigilance

N'oubliez pas le signe "moins" dans la phase du courant. Un circuit inductif ($X_L > 0$, $\phi > 0$) provoque un retard de phase du courant sur la tension, d'où l'angle négatif pour $i(t)$.

Points à retenir

Le module de l'impédance fixe le rapport des amplitudes V/I.
L'argument de l'impédance fixe le déphasage entre v(t) et i(t).

Le saviez-vous ?

Ce déphasage entre tension et courant est à l'origine de la notion de "puissance réactive", une puissance "non utile" qui est échangée entre la source et la bobine sans être consommée, mais qui charge inutilement les lignes électriques.

FAQ

Résultat Final

La valeur efficace du courant est $I \approx 2.36$ A et son expression temporelle est $i(t) = 3.33 \sin(100\pi t - 45^\circ)$ A.

A vous de jouer

Si l'impédance d'un circuit est $|\underline{Z}|=50\,\Omega$ et son argument $\phi=60^\circ$, quel est le courant efficace pour une tension de 100 V ?

Question 5 : Calculer $V_R$ et $V_L$

Principe

On applique la loi d'Ohm aux bornes de chaque composant, en utilisant les valeurs efficaces. La tension aux bornes du résistor est le produit de la résistance et du courant. La tension aux bornes de la bobine est le produit de sa réactance et du courant.

Mini-Cours

La loi d'Ohm s'applique individuellement à chaque dipôle linéaire. Pour le résistor : $V_R = R \cdot I$. Pour la bobine : $V_L = X_L \cdot I$. Il est important de noter que $\underline{V}_R$ sera en phase avec $\underline{I}$ alors que $\underline{V}_L$ sera en avance de 90° sur $\underline{I}$.

Remarque Pédagogique

Le courant $I$ est le même dans tout le circuit série. Il sert donc de "pivot" ou de référence commune pour calculer les tensions aux bornes des différents éléments.

Normes

C'est une application directe de la loi d'Ohm, une convention de base de l'électrocinétique.

Formule(s)

Tension aux bornes du résistor

V_R = R \cdot I

Tension aux bornes de la bobine

V_L = X_L \cdot I

Hypothèses

On calcule les valeurs efficaces (modules des phaseurs).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	30	$\Omega$
Réactance	$X_L$	30	$\Omega$
Courant efficace	I	2.357	A

Astuces

Puisque R et $X_L$ sont égaux, les tensions $V_R$ et $V_L$ seront nécessairement égales elles aussi. Il suffit de faire un seul calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul des tensions partielles

Calcul(s)

Calcul de $V_R$

\begin{aligned} V_R &= R \cdot I \\ &= 30 \text{ } \Omega \times 2.357 \text{ A} \\ &\approx 70.71 \text{ V} \end{aligned}

Calcul de $V_L$

\begin{aligned} V_L &= X_L \cdot I \\ &= 30 \text{ } \Omega \times 2.357 \text{ A} \\ &\approx 70.71 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel des tensions

Réflexions

On remarque que $V_R$ et $V_L$ sont toutes deux inférieures à la tension d'alimentation V (100V). C'est normal. Cependant, leur somme arithmétique ($70.71+70.71 = 141.42$ V) est supérieure à V. Cela peut sembler contre-intuitif mais s'explique par le déphasage entre ces tensions.

Points de vigilance

Ne soyez pas tenté d'additionner $V_R$ et $V_L$ pour retrouver V. La loi des mailles ne s'applique pas aux valeurs efficaces directement !

Points à retenir

Chaque composant a sa propre tension, calculée avec son impédance (ou résistance/réactance) et le courant commun.

Le saviez-vous ?

Dans un circuit RLC série à la résonance, la tension aux bornes de la bobine (et du condensateur) peut être beaucoup plus élevée que la tension d'alimentation. Ce phénomène de "surtension" est utilisé dans les circuits d'accord des radios, mais peut être dangereux dans les circuits de puissance.

FAQ

Résultat Final

Les tensions efficaces sont $V_R \approx 70.7$ V et $V_L \approx 70.7$ V.

A vous de jouer

Si le courant est de 2 A dans un circuit avec $R=40\,\Omega$ et $X_L=30\,\Omega$, que vaut $V_L$ ?

Question 6 : Vérifier la loi des mailles

Principe

En régime sinusoïdal, la loi des mailles s'applique aux phaseurs (addition vectorielle), pas directement aux valeurs efficaces (addition arithmétique). On doit vérifier que la somme vectorielle des tensions $\underline{V}_R$ et $\underline{V}_L$ est bien égale au phaseur de la tension d'alimentation $\underline{V}$. Pour les modules, cela se traduit par une relation de type Pythagore, car les vecteurs $\underline{V}_R$ et $\underline{V}_L$ sont orthogonaux (déphasés de 90°).

Mini-Cours

La loi de Kirchhoff pour les tensions stipule que la somme des tensions dans une maille fermée est nulle à chaque instant : $v(t) - v_R(t) - v_L(t) = 0$. En passant aux phaseurs, cela devient $\underline{V} = \underline{V}_R + \underline{V}_L$. Comme $\underline{V}_R$ et $\underline{V}_L$ sont perpendiculaires dans le plan de Fresnel, le module de leur somme $|\underline{V}|$ se calcule avec le théorème de Pythagore sur les modules $|\underline{V}_R|$ et $|\underline{V}_L|$.

Remarque Pédagogique

Cette question est un excellent moyen de vérifier la cohérence de tous vos calculs précédents. Si la somme vectorielle ne retombe pas sur la tension de la source, c'est qu'il y a une erreur quelque part.

Normes

La loi des mailles de Kirchhoff est une loi fondamentale de la théorie des circuits électriques, valide quel que soit le régime de fonctionnement (continu, sinusoïdal, etc.).

Formule(s)

Loi des mailles en complexe

\underline{V} = \underline{V}_R + \underline{V}_L

Loi des mailles pour les modules (cas RL)

V = \sqrt{V_R^2 + V_L^2}

Hypothèses

Le circuit correspond bien à une maille unique.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension source	V	100	V
Tension résistor	$V_R$	70.71	V
Tension bobine	$V_L$	70.71	V

Astuces

Visualisez le diagramme de Fresnel : vous construisez un triangle rectangle avec les vecteurs tensions. $V_R$ et $V_L$ sont les côtés, $V$ est l'hypoténuse. La vérification est alors une simple application du théorème de Pythagore.

Schéma (Avant les calculs)

Construction vectorielle (Fresnel)

Calcul(s)

Somme arithmétique (incorrecte pour vérification)

\begin{aligned} V_R + V_L &= 70.71 \text{ V} + 70.71 \text{ V} \\ &= 141.42 \text{ V} \end{aligned}

Somme quadratique (correcte)

\begin{aligned} \sqrt{V_R^2 + V_L^2} &= \sqrt{70.71^2 + 70.71^2} \\ &= \sqrt{5000 + 5000} \\ &= \sqrt{10000} \\ &= 100 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel finalisé

Réflexions

On constate que la somme arithmétique ($141.42$ V) est différente de la tension d'alimentation ($100$ V). En revanche, la somme quadratique (ou vectorielle) est bien égale à la tension d'alimentation. Cela confirme que les tensions sont déphasées et doivent être additionnées vectoriellement.

Points de vigilance

L'erreur fatale est d'écrire $V = V_R + V_L$. C'est uniquement vrai en courant continu. En alternatif, il FAUT utiliser la somme vectorielle ou complexe.

Points à retenir

La loi des mailles s'applique aux valeurs instantanées ($v(t)=v_R(t)+v_L(t)$) et aux phaseurs ($\underline{V}=\underline{V}_R+\underline{V}_L$).
Elle ne s'applique PAS à l'addition simple des valeurs efficaces, sauf si tous les éléments sont en phase (circuit purement résistif).

Le saviez-vous ?

Gustav Kirchhoff a énoncé ses lois sur les circuits (loi des nœuds et loi des mailles) en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois sont les fondations de toute l'analyse des circuits électriques.

FAQ

Résultat Final

La loi des mailles est vérifiée vectoriellement : $\sqrt{V_R^2 + V_L^2} = 100 \text{ V} = V$.

A vous de jouer

Dans un circuit, on mesure $V_R=40$ V et $V_L=30$ V. Quelle est la tension totale V de la source ?

Question 7 : Tracer le diagramme de Fresnel

Principe

Le diagramme de Fresnel est une représentation graphique des phaseurs (vecteurs tournants) associés aux grandeurs sinusoïdales. Il permet de visualiser les relations d'amplitude et de phase entre les différentes tensions et le courant du circuit. On représente chaque grandeur par un vecteur dont la longueur est proportionnelle à sa valeur efficace et dont l'angle par rapport à une référence représente son déphasage.

Mini-Cours

Pour construire le diagramme, on suit ces règles :
1. On choisit une grandeur de référence, généralement celle qui est commune à tous les éléments. Dans un circuit série, c'est le courant $\underline{I}$. On le place sur l'axe horizontal (phase 0).
2. La tension aux bornes de la résistance, $\underline{V}_R$, est toujours en phase avec le courant. Son vecteur sera donc sur le même axe que $\underline{I}$.
3. La tension aux bornes de la bobine parfaite, $\underline{V}_L$, est toujours en avance de 90° ($\pi/2$ rad) sur le courant. Son vecteur sera donc vertical, pointant vers le haut.
4. La tension totale $\underline{V}$ est la somme vectorielle de $\underline{V}_R$ et $\underline{V}_L$, obtenue par la règle du parallélogramme (ou en mettant les vecteurs bout à bout).

Remarque Pédagogique

Le diagramme de Fresnel est un outil puissant pour "voir" la solution et vérifier rapidement la cohérence des calculs. Le choix d'une échelle appropriée (par exemple, 1 cm pour 10 V) est essentiel pour obtenir un dessin lisible et précis.

Hypothèses

Le courant $\underline{I}$ est pris comme référence de phase (angle 0°).
Les longueurs des vecteurs sont proportionnelles aux valeurs efficaces calculées précédemment : $I$, $V_R$, $V_L$, et $V$.
Les angles respectent les déphasages physiques : $\phi(V_R/I) = 0^\circ$, $\phi(V_L/I) = +90^\circ$.

Astuces

La construction "bout à bout" est souvent la plus simple : tracez le vecteur $\underline{V}_R$ depuis l'origine, puis tracez le vecteur $\underline{V}_L$ en partant de l'extrémité de $\underline{V}_R$. Le vecteur $\underline{V}$ est alors celui qui relie l'origine à l'extrémité de $\underline{V}_L$.

Schéma (Avant les calculs)

Axes et vecteur de référence (Courant I)

Raisonnement

Nous allons construire le diagramme pas à pas. D'abord, on dessine le vecteur $\underline{I}$ sur l'axe horizontal. Ensuite, on dessine le vecteur $\underline{V}_R$ de longueur proportionnelle à 70.71 V, superposé à $\underline{I}$ car il n'y a pas de déphasage. Puis, à partir de l'extrémité de $\underline{V}_R$, on dessine le vecteur $\underline{V}_L$ verticalement vers le haut, avec une longueur proportionnelle à 70.71 V. Enfin, on trace le vecteur $\underline{V}$ de l'origine à l'extrémité de $\underline{V}_L$. On vérifie que sa longueur correspond à 100 V et que l'angle $\phi$ avec l'horizontale est de 45°.

Schéma (Après les calculs)

Diagramme de Fresnel des tensions

Réflexions

Le diagramme montre clairement que la tension totale $V$ est en avance de phase de 45° sur le courant $I$. Il illustre aussi parfaitement la loi des mailles vectorielle : $\underline{V}$ est bien l'hypoténuse du triangle rectangle formé par $\underline{V}_R$ et $\underline{V}_L$. On voit pourquoi la somme simple des modules ne fonctionne pas.

Points de vigilance

Attention à bien respecter le sens des angles : un déphasage en avance se représente par une rotation dans le sens anti-horaire (positif), tandis qu'un retard se représente dans le sens horaire (négatif).

Points à retenir

Dans un circuit série, le courant est la référence la plus pratique pour le diagramme de Fresnel.
La tension aux bornes d'une résistance est en phase avec le courant.
La tension aux bornes d'une inductance est en avance de 90° sur le courant.

Le saviez-vous ?

La méthode de représentation par des vecteurs tournants a été développée indépendamment par plusieurs ingénieurs à la fin du 19ème siècle, mais c'est Arthur Kennelly qui a popularisé l'usage des nombres complexes pour simplifier cette représentation, rendant les calculs en régime alternatif beaucoup plus abordables.

FAQ

Résultat Final

Le résultat est le diagramme de Fresnel correctement construit, montrant un vecteur $\underline{V}_R$ de 70.7V sur l'axe horizontal, un vecteur $\underline{V}_L$ de 70.7V sur l'axe vertical, et un vecteur $\underline{V}$ de 100V à 45°.

Outil Interactif : Simulateur de circuit RL

Utilisez les curseurs pour modifier la résistance et l'inductance d'un circuit alimenté par une source de 100 V / 50 Hz. Observez comment l'impédance, le courant et le déphasage sont affectés.

Paramètres d'Entrée

Résistance R ($\Omega$) 30 $\Omega$

Inductance L (mH) 95.5 mH

Résultats Clés (à 50 Hz)

Impédance $|\underline{Z}|$ ($\Omega$) -

Courant efficace $I$ (A) -

Déphasage $\phi$ (degrés) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la réactance et de l'impédance ?

Le Henry (H)
L'Ohm ($\Omega$)
Le Volt (V)

2. Dans un circuit RL série, la tension totale V par rapport au courant I est...

en avance de phase.
en retard de phase.
en phase.

3. Si la fréquence de la source d'alimentation augmente, que devient l'impédance du circuit RL série ?

Elle diminue.
Elle ne change pas.
Elle augmente.

Impédance ($\underline{Z}$): Grandeur complexe qui caractérise l'opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle est mesurée en Ohms ($\Omega$) et possède un module (rapport V/I) et un argument (déphasage tension-courant).
Réactance ($X$): Partie imaginaire de l'impédance, représentant l'opposition due aux éléments capacitifs ou inductifs. Pour une bobine, la réactance d'induction $X_L = L\omega$ est positive.
Diagramme de Fresnel: Représentation géométrique où les grandeurs sinusoïdales sont représentées par des vecteurs (ou phaseurs) dans un plan. La longueur du vecteur représente l'amplitude (ou valeur efficace) et son angle représente la phase.
Valeur efficace: Pour une tension ou un courant sinusoïdal, c'est la valeur qui produirait le même échauffement dans une résistance qu'un signal continu de même valeur. Elle est égale à la valeur maximale divisée par $\sqrt{2}$. Les voltmètres et ampèremètres en mode AC mesurent cette valeur.