Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal

Les circuits R-L (Résistance - Inductance) sont fondamentaux en électrotechnique. Lorsqu'ils sont alimentés par une tension alternative sinusoïdale, leur comportement est caractérisé par l'impédance, qui combine la résistance et la réactance inductive.

Pour un circuit R-L série :

La réactance inductive (\(X_L\)) d'une bobine d'inductance \(L\) est donnée par \(X_L = L\omega = 2\pi f L\), où \(f\) est la fréquence et \(\omega\) la pulsation.
L'impédance (\(Z\)) du circuit est \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
Le courant efficace (\(I\)) est \(I = U/Z\), où \(U\) est la tension efficace aux bornes du circuit.
Le déphasage (\(\phi\)) du courant par rapport à la tension est donné par \(\tan \phi = X_L/R\). Dans un circuit RL, le courant est en retard sur la tension (\(\phi > 0\)).
La puissance active (\(P\)) est \(P = UI \cos \phi = RI^2\).
La puissance réactive (\(Q\)) est \(Q = UI \sin \phi = X_L I^2\).
La puissance apparente (\(S\)) est \(S = UI = ZI^2\).

Données du Problème

Un circuit R-L série est alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale de valeur efficace \(U = 230 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).

Le circuit comprend :

Une résistance : \(R = 30 \text{ } \Omega\)
Une bobine d'inductance : \(L = 100 \text{ mH}\)

Schéma d'un circuit R-L série alimenté par une source de tension alternative.

Questions

Convertir l'inductance \(L\) en Henry (H).
Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
Calculer l'intensité efficace \(I\) du courant dans le circuit.
Calculer l'angle de déphasage \(\phi\) (en degrés) entre la tension et le courant. Préciser si le courant est en avance ou en retard sur la tension.
Calculer la puissance active \(P\) consommée par le circuit.
Calculer la puissance réactive \(Q\) consommée par le circuit.
Calculer la puissance apparente \(S\) du circuit.
Vérifier la relation \(S^2 = P^2 + Q^2\).

Correction : Circuit RL Série en Régime Sinusoïdal

1. Conversion de l'Inductance \(L\)

Il faut convertir les millihenrys (mH) en Henrys (H).

Données :
\(L = 100 \text{ mH}\)
1 mH = \(10^{-3}\) H

\begin{aligned} L &= 100 \text{ mH} \\ &= 100 \times 10^{-3} \text{ H} \\ &= 0.100 \text{ H} \end{aligned}

L'inductance est \(L = 0.100 \text{ H}\).

2. Calcul de la Pulsation \(\omega\)

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)

\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \text{ Hz} \\ &= 100\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314 \text{ rad/s}\).

3. Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)

La réactance inductive \(X_L\) est donnée par \(X_L = L\omega\).

Données :
\(L = 0.100 \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

\begin{aligned} X_L &= L\omega \\ &= 0.100 \text{ H} \times 100\pi \text{ rad/s} \\ &= 10\pi \text{ } \Omega \\ &\approx 31.416 \text{ } \Omega \end{aligned}

La réactance inductive est \(X_L \approx 31.4 \text{ } \Omega\).

Quiz Intermédiaire

4. Calcul de l'Impédance Totale \(Z\)

L'impédance \(Z\) est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).

Données :
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
\(X_L \approx 31.416 \text{ } \Omega\)

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{(30)^2 + (10\pi)^2} \\ &\approx \sqrt{900 + (31.416)^2} \\ &\approx \sqrt{900 + 986.96} \\ &\approx \sqrt{1886.96} \\ &\approx 43.44 \text{ } \Omega \end{aligned}

L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 43.4 \text{ } \Omega\).

Quiz Intermédiaire

5. Calcul de l'Intensité Efficace \(I\)

On utilise la loi d'Ohm en alternatif : \(I = U/Z\).

Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(Z \approx 43.44 \text{ } \Omega\)

\begin{aligned} I &= \frac{U}{Z} \\ &\approx \frac{230 \text{ V}}{43.44 \text{ } \Omega} \\ &\approx 5.2946 \text{ A} \end{aligned}

L'intensité efficace du courant est \(I \approx 5.29 \text{ A}\).

6. Calcul de l'Angle de Déphasage \(\phi\)

L'angle de déphasage \(\phi\) est donné par \(\tan \phi = X_L/R\). On peut aussi utiliser \(\cos \phi = R/Z\) ou \(\sin \phi = X_L/Z\).

Données :
\(X_L \approx 31.416 \text{ } \Omega\)
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
\(Z \approx 43.44 \text{ } \Omega\)

\begin{aligned} \cos \phi &= \frac{R}{Z} \\ &\approx \frac{30 \text{ } \Omega}{43.44 \text{ } \Omega} \\ &\approx 0.6906 \end{aligned} \] \[ \phi = \arccos(0.6906) \approx 46.32^\circ

Le circuit est inductif (\(X_L > 0\)), donc le courant est en retard sur la tension. \(\phi\) est positif.

L'angle de déphasage est \(\phi \approx 46.3^\circ\). Le courant est en retard sur la tension.

Quiz Intermédiaire

7. Calcul de la Puissance Active \(P\)

On utilise \(P = UI \cos \phi\).

Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I \approx 5.2946 \text{ A}\)
\(\cos \phi \approx 0.6906\)

\begin{aligned} P &= U I \cos \phi \\ &\approx 230 \text{ V} \times 5.2946 \text{ A} \times 0.6906 \\ &\approx 840.5 \text{ W} \end{aligned}

Alternativement : \(P = RI^2 \approx 30 \times (5.2946)^2 \approx 30 \times 28.0328 \approx 840.98 \text{ W}\). (Différence due aux arrondis).

La puissance active consommée est \(P \approx 841 \text{ W}\).

Quiz Intermédiaire

8. Calcul de la Puissance Réactive \(Q\)

On utilise \(Q = UI \sin \phi\). Il faut d'abord \(\sin \phi\).

Données :
\(\phi \approx 46.32^\circ\). \(\sin(46.32^\circ) \approx 0.7232\).

\begin{aligned} Q &= U I \sin \phi \\ &\approx 230 \text{ V} \times 5.2946 \text{ A} \times 0.7232 \\ &\approx 880.5 \text{ var} \end{aligned}

Alternativement : \(Q = X_L I^2 \approx 31.416 \times (5.2946)^2 \approx 31.416 \times 28.0328 \approx 880.7 \text{ var}\).

La puissance réactive consommée est \(Q \approx 881 \text{ var}\).

9. Calcul de la Puissance Apparente \(S\)

On utilise \(S = UI\).

Données :
\(U = 230 \text{ V}\)
\(I \approx 5.2946 \text{ A}\)

\begin{aligned} S &= U I \\ &\approx 230 \text{ V} \times 5.2946 \text{ A} \\ &\approx 1217.76 \text{ VA} \end{aligned}

La puissance apparente est \(S \approx 1218 \text{ VA}\) (ou 1.22 kVA).

10. Vérification de \(S^2 = P^2 + Q^2\)

On vérifie si le carré de la puissance apparente est égal à la somme des carrés des puissances active et réactive.

Données (valeurs plus précises avant arrondi final) :
\(P \approx 840.98 \text{ W}\)
\(Q \approx 880.70 \text{ var}\)
\(S \approx 1217.76 \text{ VA}\)

P^2 + Q^2 \approx (840.98)^2 + (880.70)^2 \approx 707247.36 + 775632.49 \approx 1482879.85 \] \[ S^2 \approx (1217.76)^2 \approx 1482939.41

La petite différence est due aux arrondis successifs. Les valeurs sont cohérentes.

La relation \(S^2 = P^2 + Q^2\) est vérifiée aux arrondis près.

Glossaire des Termes Clés

Circuit R-L série :

Circuit électrique comprenant une résistance (R) et une bobine d'inductance (L) connectées en série.

Régime Sinusoïdal :

Régime où les tensions et les courants varient de manière sinusoïdale avec le temps.

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due à son inductance. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Pulsation (\(\omega\)) :

Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase (angle) entre la tension et le courant dans un circuit AC.

Puissance Active (P) :

Puissance moyenne réellement consommée. Unité : Watt (W).

Puissance Réactive (Q) :

Puissance échangée par les éléments réactifs. Unité : Voltampère réactif (var).

Puissance Apparente (S) :

Produit des valeurs efficaces de tension et de courant. Unité : Voltampère (VA).

Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)) :

Rapport \(P/S\), indiquant l'efficacité de l'utilisation de la puissance.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment le diagramme de Fresnel peut-il être utilisé pour représenter les tensions et l'impédance dans un circuit R-L série ?

2. Si la fréquence du générateur augmente, comment évoluent l'impédance \(Z\), le courant \(I\), et l'angle de déphasage \(\phi\) du circuit R-L série ?

3. Que se passerait-il si l'inductance \(L\) était nulle (circuit purement résistif) ? Comment cela affecterait-il les puissances et le déphasage ?

4. Qu'est-ce que la "compensation de puissance réactive" et pourquoi est-elle importante dans les installations industrielles ?

5. Comment la présence d'un condensateur en série (circuit RLC) modifierait-elle le comportement du circuit en régime sinusoïdal, notamment en ce qui concerne l'impédance et le déphasage ?

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