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Exercices Électricité

Comportement d’un Circuit RLC en Série

Comportement d’un Circuit RLC en Série

Comportement d’un Circuit RLC en Série

Comprednre le Comportement d’un Circuit RLC en Série

Un circuit RLC série est un circuit électrique fondamental qui comprend une résistance (R), une bobine (inductance L) et un condensateur (capacité C) connectés en série à une source de tension alternative. L'étude de son comportement est cruciale en électronique et en génie électrique car il modélise de nombreux systèmes résonants et filtres. En régime sinusoïdal forcé, l'interaction entre ces trois composants conduit à des phénomènes intéressants tels que la résonance, le déphasage entre la tension et le courant, et une variation de l'impédance en fonction de la fréquence.

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v_s(t) = V_0 \cos(\omega t)\).

Caractéristiques du circuit et de la source :

  • Résistance : \(R = 20 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L = 100 \, \text{mH}\)
  • Capacité : \(C = 50 \, \mu\text{F}\)
  • Amplitude de la tension source : \(V_0 = 20 \, \text{V}\)
  • Fréquence de la tension source : \(f = 50 \, \text{Hz}\)
Schéma : Circuit RLC Série
\(v_s(t)\) R L C \(\rightarrow i(t)\)

Circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation.
  2. Calculer la réactance inductive \(X_L\).
  3. Calculer la réactance capacitive \(X_C\).
  4. Calculer le module de l'impédance totale \(|Z|\) du circuit.
  5. Calculer l'argument (déphasage) \(\phi\) de l'impédance totale. Le circuit est-il globalement inductif, capacitif, ou résistif ?
  6. Calculer l'amplitude du courant \(I_0\) circulant dans le circuit.
  7. Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) de ce circuit.

Simulateur de Circuit RLC Série

Résultats de la Simulation :

Pulsation \(\omega\): N/A rad/s

Réactance Inductive \(X_L\): N/A \(\Omega\)

Réactance Capacitive \(X_C\): N/A \(\Omega\)

Module de l'Impédance \(|Z|\): N/A \(\Omega\)

Déphasage \(\phi\): N/A rad (N/A°)

Amplitude du Courant \(I_0\): N/A A

Fréquence de Résonance \(f_0\): N/A Hz

Type de Circuit: N/A

Correction : Comportement d’un Circuit RLC en Série

Question 1 : Pulsation \(\omega\) de la tension d'alimentation

Principe :

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation \(\omega = 2\pi f\). Elle représente la vitesse angulaire à laquelle la tension sinusoïdale oscille.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times 50 \, \text{Hz} \\ &= 100\pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314.159 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation de la tension d'alimentation est \(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Réactance Inductive (\(X_L\))

Principe :

La réactance inductive \(X_L\) (en Ohms) représente l'opposition de la bobine au passage d'un courant alternatif. Elle augmente avec la fréquence et l'inductance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_L = L\omega\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(100 \, \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.1 \, \text{H}\)
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(100\pi \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= 0.1 \, \text{H} \times 100\pi \, \text{rad/s} \\ &= 10\pi \, \Omega \\ &\approx 31.4159 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La réactance inductive est \(X_L \approx 31.42 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence double, la réactance inductive :

Question 3 : Réactance Capacitive (\(X_C\))

Principe :

La réactance capacitive \(X_C\) (en Ohms) représente l'opposition du condensateur au passage d'un courant alternatif. Elle diminue lorsque la fréquence ou la capacité augmente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_C = \frac{1}{C\omega}\]
Données spécifiques :
  • Capacité (\(C\)) : \(50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(100\pi \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_C &= \frac{1}{(50 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (100\pi \, \text{rad/s})} \\ &= \frac{1}{0.005\pi \, \text{F} \cdot \text{rad/s}} \\ &= \frac{1}{0.01570796...} \, \Omega \\ &\approx 63.6619 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La réactance capacitive est \(X_C \approx 63.66 \, \Omega\).

Question 4 : Module de l'Impédance Totale (\(|Z|\))

Principe :

L'impédance totale \(Z\) d'un circuit RLC série est la généralisation de la résistance pour les circuits en courant alternatif. Elle combine la résistance \(R\), la réactance inductive \(X_L\) et la réactance capacitive \(X_C\). Son module \(|Z|\) (en Ohms) détermine l'amplitude du courant pour une tension donnée.

Formule(s) utilisée(s) :
\[|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(20 \, \Omega\)
  • Réactance inductive (\(X_L\)) : \(\approx 31.42 \, \Omega\)
  • Réactance capacitive (\(X_C\)) : \(\approx 63.66 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L - X_C &\approx 31.4159 \, \Omega - 63.6619 \, \Omega \\ &\approx -32.246 \, \Omega \\ |Z| &= \sqrt{(20 \, \Omega)^2 + (-32.246 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{400 \, \Omega^2 + 1039.7997 \, \Omega^2} \\ &= \sqrt{1439.7997 \, \Omega^2} \\ &\approx 37.9447 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le module de l'impédance totale est \(|Z| \approx 37.94 \, \Omega\).

Question 5 : Argument (Déphasage) \(\phi\) de l'Impédance Totale

Principe :

L'argument \(\phi\) de l'impédance totale représente le déphasage entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant qui le traverse. Il est donné par \(\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\). Si \(\phi > 0\), le circuit est globalement inductif (le courant est en retard sur la tension). Si \(\phi < 0\), il est capacitif (le courant est en avance). Si \(\phi = 0\), il est résistif (courant et tension en phase).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\]
Données spécifiques :
  • \(R = 20 \, \Omega\)
  • \(X_L - X_C \approx -32.246 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{-32.246 \, \Omega}{20 \, \Omega}\right) \\ &= \arctan(-1.6123) \\ &\approx -1.0156 \, \text{rad} \end{aligned} \]

Conversion en degrés : \(\phi \approx -1.0156 \times \frac{180}{\pi} \approx -58.19^\circ\).

Puisque \(\phi < 0\) (ou \(X_C > X_L\)), le circuit est globalement capacitif.

Résultat Question 5 : Le déphasage est \(\phi \approx -1.016 \, \text{rad}\) (environ \(-58.19^\circ\)). Le circuit est globalement capacitif.

Quiz Intermédiaire 2 : Si \(X_L > X_C\), le déphasage \(\phi\) est :

Question 6 : Amplitude du Courant (\(I_0\))

Principe :

L'amplitude du courant \(I_0\) dans un circuit RLC série est donnée par la loi d'Ohm généralisée : \(I_0 = \frac{V_0}{|Z|}\), où \(V_0\) est l'amplitude de la tension d'alimentation et \(|Z|\) est le module de l'impédance totale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_0 = \frac{V_0}{|Z|}\]
Données spécifiques :
  • Amplitude de la tension (\(V_0\)) : \(20 \, \text{V}\)
  • Module de l'impédance (\(|Z|\)) : \(\approx 37.9447 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{20 \, \text{V}}{37.9447 \, \Omega} \\ &\approx 0.52708 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : L'amplitude du courant est \(I_0 \approx 0.527 \, \text{A}\).

Question 7 : Fréquence de Résonance (\(f_0\))

Principe :

La fréquence de résonance \(f_0\) est la fréquence à laquelle l'impédance du circuit RLC série est minimale (égale à \(R\)), et donc le courant est maximal. À cette fréquence, la réactance inductive \(X_L\) est égale à la réactance capacitive \(X_C\). La pulsation de résonance \(\omega_0\) est donnée par \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), et \(f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]
Données spécifiques :
  • Inductance (\(L\)) : \(0.1 \, \text{H}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1 \, \text{H} \times 50 \times 10^{-6} \, \text{F}}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{0.000005 \, \text{H} \cdot \text{F}}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{5 \times 10^{-6} \, \text{s}^2}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 0.0022360679... \, \text{s}} \\ &\approx \frac{1}{0.0140496 \, \text{s}} \\ &\approx 71.176 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La fréquence de résonance du circuit est \(f_0 \approx 71.18 \, \text{Hz}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit RLC série, si la fréquence de la source est égale à la fréquence de résonance :

2. Qu'est-ce que l'impédance dans un circuit AC ?

3. Un déphasage \(\phi\) négatif entre la tension et le courant signifie que :

Glossaire

Circuit RLC Série
Circuit électrique comprenant une résistance (R), une inductance (L) et une capacité (C) montées en série.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire de l'oscillation d'une grandeur sinusoïdale, mesurée en radians par seconde (\(\text{rad/s}\)). \(\omega = 2\pi f\).
Réactance Inductive (\(X_L\))
Opposition d'une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = L\omega\), mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Réactance Capacitive (\(X_C\))
Opposition d'une capacité au passage d'un courant alternatif. \(X_C = \frac{1}{C\omega}\), mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Impédance (\(Z\))
Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe dont le module est \(|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) et l'argument \(\phi\) est le déphasage.
Déphasage (\(\phi\))
Différence de phase entre la tension totale et le courant dans le circuit. \(\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\).
Amplitude du Courant (\(I_0\))
Valeur maximale du courant sinusoïdal dans le circuit. \(I_0 = V_0 / |Z|\).
Fréquence de Résonance (\(f_0\))
Fréquence à laquelle les réactances inductive et capacitive se compensent (\(X_L = X_C\)), l'impédance est minimale (\(|Z| = R\)), et le courant est maximal. \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\).
Facteur de Qualité (\(Q\))
Paramètre sans dimension qui caractérise la "qualité" de la résonance d'un circuit RLC. Un facteur Q élevé indique une résonance plus aiguë. \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{X_{L0}}{R} = \frac{X_{C0}}{R}\) à la résonance.
Comportement d’un Circuit RLC en Série

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