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Exercice Circuit RLC Série

Comportement d’un Circuit RLC en Série

Contexte : Le Circuit RLC SérieUn circuit électrique composé d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) connectés en série..

Cet exercice explore l'analyse d'un circuit RLC série en régime sinusoïdal permanent. Nous allons calculer les grandeurs clés qui définissent son comportement : les réactances, l'impédance totale, le courant et le déphasage. Comprendre ces éléments est essentiel pour maîtriser le filtrage, l'accord et la résonance dans les circuits électriques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour comprendre comment la combinaison d'une résistance, d'une inductance et d'une capacité influence un circuit en courant alternatif. Vous apprendrez à déterminer si un circuit est globalement inductif ou capacitif et à calculer la réponse totale du circuit.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) et la réactance capacitive (\(X_C\)).
Déterminer l'impédance totale (\(Z\)) d'un circuit RLC série.
Appliquer la loi d'Ohm en alternatif pour trouver le courant total (\(I\)).
Analyser le déphasage (\(\phi\)) pour définir le caractère inductif ou capacitif du circuit.

Données du circuit

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace \(V_s = 120 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 60 \text{ Hz}\). Les composants ont les valeurs suivantes :

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Type de Circuit	RLC Série
Source d'alimentation	Tension sinusoïdale (efficace)
Objectif de l'analyse	Régime sinusoïdal permanent

Schéma du Circuit RLC Série

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Efficace	\(V_s\)	120	V
Fréquence	\(f\)	60	Hz
Résistance	\(R\)	100	\(\Omega\)
Inductance	\(L\)	300	mH
Capacité	\(C\)	20	\(\mu\)F

Questions à traiter

Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.
Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.
Déterminer l'impédance totale (\(Z\)) du circuit.
Calculer le courant total efficace (\(I\)) circulant dans le circuit.
Calculer l'angle de déphasage (\(\phi\)) et préciser si le circuit est inductif, capacitif ou résistif.

Les bases sur les Circuits RLC

Pour analyser un circuit RLC série en régime sinusoïdal, on utilise la notion d'impédance. L'impédance (\(Z\)) est un nombre complexe qui généralise la résistance aux circuits alternatifs. Elle prend en compte l'effet de la résistance (\(R\)) et des réactances (\(X\)).

1. Réactances et Impédance (\(Z\))
La résistance (\(R\)) ne dépend pas de la fréquence. Les réactances si :

Réactance Inductive : \(X_L = \omega L = 2 \pi f L\). Elle augmente avec la fréquence.
Réactance Capacitive : \(X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}\). Elle diminue quand la fréquence augmente.

L'impédance complexe totale est : \(Z = R + j(X_L - X_C)\).
Le module de l'impédance (ce qu'on utilise pour la loi d'Ohm) est : \[ |Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]

2. Loi d'Ohm et Déphasage (\(\phi\))
La loi d'Ohm s'écrit : \(I = \frac{V_s}{Z}\). Le courant et la tension ne sont généralement pas en phase. L'angle de déphasage (\(\phi\)) est donné par : \[ \phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) \]

Si \(\phi > 0\) (\(X_L > X_C\)) : Le circuit est inductif (le courant est en retard sur la tension).
Si \(\phi < 0\) (\(X_C > X_L\)) : Le circuit est capacitif (le courant est en avance sur la tension).
Si \(\phi = 0\) (\(X_L = X_C\)) : Le circuit est résistif (il est à la résonance).

Correction : Comportement d’un Circuit RLC en Série

Question 1 : Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) de la bobine.

Principe

La réactance inductive (\(X_L\)) mesure l'opposition de la bobine au passage d'un courant alternatif. Elle est proportionnelle à la fréquence (\(f\)) et à l'inductance (\(L\)).

Mini-Cours

La réactance inductive est donnée par la formule \(X_L = \omega L\), où \(\omega\) (oméga) est la pulsation (ou fréquence angulaire) du signal, donnée par \(\omega = 2 \pi f\).

Remarque Pédagogique

Cette étape est la première pour caractériser un composant inductif en alternatif. Comprendre que son opposition au courant (sa réactance) n'est pas fixe comme une résistance, mais dépend de la fréquence, est le concept fondamental de l'électronique en AC.

Normes

Ce calcul est une application directe des lois fondamentales de l'électromagnétisme (Loi de Lenz-Faraday). Les normes (ex: IEC) interviennent plus tard pour définir les tolérances des composants ou les tests de sécurité, mais pas la formule de base.

Formule(s)

Pulsation

\omega = 2 \pi f

Réactance Inductive

X_L = \omega L

Hypothèses

Pour ce calcul, on fait les hypothèses simplificatrices suivantes :

La bobine est "idéale" : elle ne possède que de l'inductance (L) et aucune résistance interne (R=0). En réalité, tout fil de bobinage a une résistance.
Le régime sinusoïdal permanent est établi, signifiant que les effets transitoires de la mise sous tension sont terminés et que le courant est une sinusoïde parfaite.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	60	Hz
Inductance	\(L\)	300	mH

Astuces

Pour une fréquence de 60 Hz, une approximation rapide de \(\omega = 2 \pi f\) est \(2 \times 3.14 \times 60 \approx 377\). C'est une valeur très courante à mémoriser.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'une bobine idéale soumise à une tension alternative.

Bobine en Régime AC

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la pulsation (\(\omega\))

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \times 60 \\ &\approx 376.99 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Conversion de l'inductance

L = 300 \text{ mH} = 300 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.3 \text{ H}

Étape 3 : Calcul de la réactance inductive (\(X_L\))

\begin{aligned} X_L &= \omega L \\ &= 376.99 \text{ rad/s} \times 0.3 \text{ H} \\ &\approx 113.1 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

L'impédance d'une bobine idéale est un vecteur purement imaginaire positif (\(Z_L = jX_L\)), pointant vers le haut sur l'axe des imaginaires.

Vecteur Impédance Bobine Z_L

Réflexions

À 60 Hz, cette bobine de 300 mH s'oppose au courant avec une réactance de 113.1 \(\Omega\), ce qui est comparable à la résistance de 100 \(\Omega\).

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les unités. L'inductance doit être en Henrys (H) et non en millihenrys (mH) pour obtenir des Ohms (\(\Omega\)).

Points à retenir

Voici les points essentiels à mémoriser pour cette étape :

La réactance inductive \(X_L\) est proportionnelle à la fréquence \(f\) et à l'inductance \(L\). Si la fréquence double, \(X_L\) double.
Elle se mesure en Ohms (\(\Omega\)), tout comme une résistance, car elle représente une opposition au courant.

Le saviez-vous ?

En courant continu (où \(f=0 \text{ Hz}\)), la réactance inductive \(X_L\) est nulle (\(2 \pi \times 0 \times L = 0\)). Une bobine idéale se comporte donc comme un simple fil (un court-circuit) en DC.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La réactance inductive est \(X_L \approx 113.1 \text{ } \Omega\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(X_L\) si la fréquence était de 50 Hz ? (Gardez \(L = 0.3 \text{ H}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Formule Clé : \(X_L = 2 \pi f L\).
Unité : Ohms (\(\Omega\)).
Vigilance : Convertir mH \(\rightarrow\) H.

Question 2 : Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.

Principe

La réactance capacitive (\(X_C\)) mesure l'opposition du condensateur au passage d'un courant alternatif. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence (\(f\)) et à la capacité (\(C\)).

Mini-Cours

La réactance capacitive est donnée par la formule \(X_C = \frac{1}{\omega C}\), où \(\omega = 2 \pi f\) est la pulsation (calculée à la Q1).

Remarque Pédagogique

C'est le comportement miroir de la bobine. Le condensateur s'oppose aux variations de tension. Plus la fréquence est élevée (variations rapides), plus il "laisse passer" le courant facilement (car il n'a pas le temps de se charger complètement). Sa réactance diminue donc quand la fréquence augmente.

Normes

Comme pour la bobine, c'est une définition physique découlant des lois de l'électrostatique. Les normes (ex: IEC 60384) définissent les classes de condensateurs (X7R, Y5V, C0G...) et leurs tensions de claquage, mais pas cette formule de base.

Formule(s)

Réactance Capacitive

X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C}

Hypothèses

Nous supposons ici un condensateur idéal :

Il n'a aucune résistance de fuite (aucun courant continu ne peut le traverser une fois chargé).
Il n'a pas de résistance série équivalente (ESR) ni d'inductance parasite (ESL).
Le régime sinusoïdal permanent est établi.

Donnée(s)

Nous utilisons la pulsation \(\omega\) de la Question 1 et la capacité \(C\) de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pulsation	\(\omega\)	376.99	rad/s
Capacité	\(C\)	20	\(\mu\)F

Astuces

Lors du calcul de \(1 / (\omega C)\) sur une calculatrice, faites attention à bien mettre tout le terme \(\omega C\) entre parenthèses : `1 / (377 * 20e-6)`. Une erreur courante est de taper `1 / 377 * 20e-6`, ce que la machine comprend comme `(1 / 377) * 20e-6`, donnant un résultat complètement faux.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation d'un condensateur idéal soumis à une tension alternative.

Condensateur en Régime AC

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la capacité

C = 20 \text{ } \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}

Étape 2 : Calcul de la réactance capacitive (\(X_C\))

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{\omega C} \\ &= \frac{1}{376.99 \text{ rad/s} \times 20 \times 10^{-6} \text{ F}} \\ &= \frac{1}{0.0075398} \\ &\approx 132.63 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

L'impédance d'un condensateur idéal est un vecteur purement imaginaire négatif (\(Z_C = -jX_C\)), pointant vers le bas sur l'axe des imaginaires.

Vecteur Impédance Condensateur Z_C

Réflexions

La réactance capacitive (132.6 \(\Omega\)) est légèrement supérieure à la réactance inductive (113.1 \(\Omega\)). Cela suggère que le circuit sera globalement capacitif.

Points de vigilance

Attention à la conversion des microfarads (\(\mu\)F) en Farads (F). \(\mu = 10^{-6}\). N'oubliez pas que la capacité est au dénominateur.

Points à retenir

Les points essentiels pour le condensateur :

La réactance capacitive \(X_C\) est *inversement* proportionnelle à la fréquence \(f\) et à la capacité \(C\). Si la fréquence double, \(X_C\) est divisée par deux.
Elle se mesure aussi en Ohms (\(\Omega\)).

Le saviez-vous ?

En courant continu (\(f=0 \text{ Hz}\)), la réactance capacitive \(X_C\) est infinie (\(1/0 \rightarrow \infty\)). Un condensateur idéal se comporte donc comme un interrupteur ouvert, bloquant totalement le courant DC (une fois chargé).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La réactance capacitive est \(X_C \approx 132.6 \text{ } \Omega\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(X_C\) si la capacité était de 30 \(\mu\)F ? (Gardez \(f = 60 \text{ Hz}\))

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Formule Clé : \(X_C = 1 / (2 \pi f C)\).
Unité : Ohms (\(\Omega\)).
Vigilance : Convertir \(\mu\)F \(\rightarrow\) F.

Question 3 : Déterminer l'impédance totale (\(Z\)) du circuit.

Principe

L'impédance totale (\(Z\)) est l'opposition combinée de tous les composants (R, L et C) au passage du courant. C'est une "somme vectorielle" de la résistance (axe réel) et de la réactance totale (axe imaginaire).

Mini-Cours

En notation complexe, les impédances s'ajoutent en série : \(Z_{\text{total}} = Z_R + Z_L + Z_C\). Avec \(Z_R = R\), \(Z_L = jX_L\) et \(Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -jX_C\), on obtient l'impédance complexe \(Z = R + j(X_L - X_C)\). Le module \(|Z|\), ou simplement \(Z\), est la "longueur" de ce vecteur, trouvée par le théorème de Pythagore.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape la plus importante. Notez que \(X_L\) et \(X_C\) se soustraient car leurs effets sont opposés (l'un stocke l'énergie magnétiquement, l'autre électriquement). C'est le cœur de la résonance : à une certaine fréquence, elles s'annulent parfaitement.

Normes

Ce calcul suit les règles de l'algèbre complexe appliquée aux circuits AC (parfois appelée notation de Fresnel ou de Steinmetz). C'est la méthode standard internationale pour analyser tout circuit linéaire en régime sinusoïdal.

Formule(s)

Réactance Totale

\[ X = X_L - X_C \]

Module de l'Impédance

Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

Hypothèses

L'hypothèse fondamentale ici est la *linéarité* des composants :

Les composants sont en série, donc le courant \(I\) est le même qui traverse R, L, et C. C'est notre vecteur de référence.
Les valeurs R, L, et C ne changent pas avec le courant ou la tension.
Les fils de connexion ont une impédance nulle.

Donnée(s)

Nous utilisons la résistance \(R\) de l'énoncé et les réactances \(X_L\) et \(X_C\) calculées aux Questions 1 et 2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	\(R\)	100	\(\Omega\)
Réactance Inductive	\(X_L\)	113.1	\(\Omega\)
Réactance Capacitive	\(X_C\)	132.6	\(\Omega\)

Astuces

Calculez toujours \(X = X_L - X_C\) en premier. Le signe de \(X\) vous dira si le circuit est inductif (+) ou capacitif (-). Le carré \((X^2)\) annulera de toute façon le signe pour le calcul de \(Z\).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser cela avec le triangle d'impédance. La résistance \(R\) est sur l'axe horizontal (réel). Les réactances \(X_L\) (vers le haut) et \(X_C\) (vers le bas) sont sur l'axe vertical (imaginaire). L'impédance \(Z\) est l'hypoténuse.

Triangle d'Impédance (Concept)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la réactance totale (\(X\))

\begin{aligned} X &= X_L - X_C \\ &= 113.1 \text{ } \Omega - 132.6 \text{ } \Omega \\ &= -19.5 \text{ } \Omega \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du module de l'impédance (\(Z\))

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X^2} \\ &= \sqrt{(100 \text{ } \Omega)^2 + (-19.5 \text{ } \Omega)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 380.25} \\ &= \sqrt{10380.25} \\ &\approx 101.88 \text{ } \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Voici le triangle d'impédance avec les valeurs numériques calculées. On voit que la composante résistive (100 \(\Omega\)) est bien plus grande que la composante réactive nette (-19.5 \(\Omega\)).

Triangle d'Impédance (Calculé)

Réflexions

L'impédance totale (101.88 \(\Omega\)) est très proche de la résistance (100 \(\Omega\)). Cela signifie que les réactances inductive et capacitive s'annulent presque mutuellement. Le circuit est proche de la résonance.

Points de vigilance

Ne confondez pas l'addition arithmétique (\(R + X_L + X_C\)) avec l'addition vectorielle (\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)). L'impédance est (presque) toujours inférieure à la somme des modules \(R + |X_L| + |X_C|\).

Points à retenir

Ce qu'il faut retenir de l'impédance :

Les impédances s'ajoutent comme des vecteurs (ou nombres complexes).
Les réactances \(X_L\) et \(X_C\) ont des effets opposés et se soustraient. L'impédance est minimale (égale à R) lorsque \(X_L = X_C\).

Le saviez-vous ?

C'est ce principe de soustraction des réactances qui permet à un poste de radio de "syntoniser" une fréquence. En ajustant la capacité \(C\), on fait en sorte que \(X_L = X_C\) (et donc \(Z = R\)) uniquement à la fréquence de la station désirée. Cela minimise \(Z\) et maximise le courant pour cette seule fréquence, la "captant" parmi toutes les autres.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 101.88 \text{ } \Omega\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(Z\) si \(R = 50 \text{ } \Omega\) (en gardant \(X = -19.5 \text{ } \Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Formule Clé : \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).
Concept : Somme vectorielle (Pythagore).

Question 4 : Calculer le courant total efficace (\(I\)) circulant dans le circuit.

Principe

Le courant total (\(I\)) est déterminé par la loi d'Ohm généralisée au courant alternatif. Il est égal à la tension totale (\(V_s\)) divisée par l'opposition totale (l'impédance \(Z\)).

Mini-Cours

En régime sinusoïdal, on utilise les valeurs efficaces. La loi d'Ohm est "généralisée" car elle s'applique aux grandeurs complexes (vecteurs de Fresnel) et non plus seulement aux scalaires (comme en DC).
Formellement : \(\vec{V_s} = \vec{Z} \times \vec{I}\).
Pour nos calculs de modules (les "longueurs" des vecteurs), la loi s'applique simplement avec les valeurs efficaces : \(V_s = Z \times I\), où \(Z\) est le module de l'impédance totale. C'est l'équivalent direct de \(U = RI\) en courant continu.

Remarque Pédagogique

Ce calcul donne l'amplitude (efficace) du courant. Il ne donne pas d'information sur son déphasage (avance ou retard par rapport à la tension), qui sera calculé à la question 5.

Normes

C'est l'application directe de la Loi d'Ohm en régime sinusoïdal, une loi fondamentale de l'électricité définie par les standards internationaux.

Formule(s)

Loi d'Ohm en AC

I = \frac{V_s}{Z}

Hypothèses

L'hypothèse principale est que la tension d'entrée est la seule source du circuit.

On suppose que \(V_s = 120 \text{ V}\) est une valeur efficace (RMS - Root Mean Square), ce qui est le standard pour les tensions secteur (ex: 120V US, 230V EU).
L'impédance \(Z\) calculée à l'étape 3 est correcte.

Donnée(s)

Nous utilisons la tension \(V_s\) de l'énoncé et l'impédance \(Z\) calculée à la Question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Efficace	\(V_s\)	120	V
Impédance Totale	\(Z\)	101.88	\(\Omega\)

Astuces

Pour estimer rapidement : \(Z \approx 100 \text{ } \Omega\), donc \(I \approx 120 / 100 = 1.2 \text{ A}\). Le résultat doit être très proche de 1.2 A. C'est une excellente vérification de l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation simple de la loi d'Ohm.

Relation V, Z, I

Calcul(s)

Application de la loi d'Ohm

\begin{aligned} I &= \frac{V_s}{Z} \\ &= \frac{120 \text{ V}}{101.88 \text{ } \Omega} \\ &\approx 1.178 \text{ A} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est le module du vecteur courant. En analyse de circuit série, on le place souvent sur l'axe de référence (0°) pour ensuite placer les vecteurs de tension par rapport à lui.

Vecteur Courant I (Référence)

Réflexions

Si le circuit n'avait que la résistance de 100 \(\Omega\), le courant serait de \(120/100 = 1.2 \text{ A}\). Le courant réel (1.18 A) est très proche, confirmant que l'impédance est dominée par la résistance.

Points de vigilance

Assurez-vous d'utiliser la tension efficace (\(V_{\text{eff}}\) ou \(V_{\text{rms}}\)) et non la tension maximale (\(V_{\text{max}}\)). Si on vous donne \(V_{\text{max}}\) (ex: \(v(t) = 170 \sin(\omega t)\)), vous devez d'abord calculer \(V_{\text{eff}} = V_{\text{max}} / \sqrt{2}\).

Points à retenir

L'essentiel sur le courant AC :

La loi d'Ohm \(I = V/Z\) est universelle en AC, à condition d'utiliser le module de l'impédance totale \(Z\).
Le courant sera maximal lorsque l'impédance \(Z\) sera minimale (c'est-à-dire à la résonance).

Le saviez-vous ?

Le courant efficace (\(I_{\text{eff}}\) ou \(I_{\text{rms}}\)) est une valeur "moyenne" qui produit la même quantité de chaleur (puissance dissipée par effet Joule, \(P = R I^2\)) dans une résistance qu'un courant continu de même valeur.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Le courant total efficace est \(I \approx 1.18 \text{ A}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(I\) si la tension \(V_s\) était de 240 V (en gardant \(Z = 101.88 \text{ } \Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Formule Clé : \(I = V_s / Z\).
Unités : Ampères (A) = Volts (V) / Ohms (\(\Omega\)).

Question 5 : Calculer l'angle de déphasage (\(\phi\)) et préciser si le circuit est inductif, capacitif ou résistif.

Principe

Le déphasage (\(\phi\)) est l'angle qui représente l'avance ou le retard du courant par rapport à la tension. Il est déterminé par le rapport entre la réactance totale (\(X\)) et la résistance (\(R\)).

Mini-Cours

L'angle \(\phi\) est l'argument de l'impédance complexe \(Z = R + jX\). En utilisant la trigonométrie sur le triangle d'impédance, on trouve \(\tan(\phi) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{X}{R}\). Donc, \(\phi = \arctan(X/R)\).

Remarque Pédagogique

Le signe de \(\phi\) est crucial. Il indique qui, de la tension ou du courant, est en "avance" sur l'autre. Une convention mnémonique est "CIVIL" (pour un C_apacitif, I (courant) est en a_V_ance sur V (tension)) et "ELI" (pour une bobine (L), E (tension) est en avance sur I). Un \(\phi\) négatif, comme ici, signifie que I est en avance sur V (CIVIL), le circuit est donc capacitif.

Normes

La convention standard internationale (IEC) définit \(\phi\) comme l'angle de la tension par rapport au courant (\(\phi = \phi_v - \phi_i\)). Notre calcul \(\phi = \arctan(X/R)\) respecte cette convention. Un \(\phi < 0\) signifie \(\phi_v < \phi_i\), donc la tension est en retard sur le courant (ou le courant en avance).

Formule(s)

Angle de Déphasage

\phi = \arctan\left(\frac{X}{R}\right) = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)

Hypothèses

Le calcul repose sur la géométrie du triangle d'impédance.

Les valeurs de \(R\) et \(X\) calculées précédemment sont correctes.
La fonction arctangente (\(\arctan\)) est utilisée, ce qui donne un résultat entre -90° et +90°, couvrant tous les cas possibles pour un circuit RLC série simple.

Donnée(s)

Nous utilisons la résistance \(R\) de l'énoncé et la réactance totale \(X\) de la Question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	\(R\)	100	\(\Omega\)
Réactance Totale	\(X = X_L - X_C\)	-19.5	\(\Omega\)

Astuces

Le signe de \(X = X_L - X_C\) donne directement la nature du circuit.

Si \(X > 0\), \(\phi > 0 \rightarrow\) Inductif.
Si \(X < 0\), \(\phi < 0 \rightarrow\) Capacitif.

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" si vous voulez la réponse en degrés.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation graphique de l'angle \(\phi\) dans le plan complexe (diagramme de Fresnel des impédances).

Angle φ (Diagramme d'Impédance)

Calcul(s)

Calcul de l'angle (\(\phi\))

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{X}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{-19.5 \text{ } \Omega}{100 \text{ } \Omega}\right) \\ &= \arctan(-0.195) \\ &\approx -11.04^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme de Fresnel montre les vecteurs de tension et de courant. Puisque le courant \(I\) est la référence (sur l'axe horizontal), la tension \(V_s\) est "en retard" sur le courant d'un angle \(\phi\) (ou, de manière équivalente, le courant \(I\) est "en avance" sur \(V_s\)).

Diagramme de Fresnel (Vecteurs)

Réflexions

Le déphasage est négatif (\(\phi \approx -11^\circ\)). Cela signifie que le courant est en avance de 11.04 degrés sur la tension.
Ceci est cohérent avec le fait que \(X_C > X_L\) (132.6 \(\Omega\) > 113.1 \(\Omega\)). L'effet capacitif domine.
Le circuit est donc globalement capacitif.

Points de vigilance

Assurez-vous de calculer \(X_L - X_C\) et non \(X_C - X_L\). L'inversion changerait le signe de \(\phi\) (il deviendrait +11.04°) et mènerait à une conclusion erronée (inductif au lieu de capacitif).

Points à retenir

L'essentiel sur le déphasage :

Le signe de \(\phi\) est donné par le signe de la réactance totale \(X = X_L - X_C\).
\(\phi < 0 \Rightarrow X < 0 \Rightarrow X_C > X_L \Rightarrow\) Circuit Capacitif (le courant est en avance sur la tension).
\(\phi > 0 \Rightarrow X > 0 \Rightarrow X_L > X_C \Rightarrow\) Circuit Inductif (le courant est en retard sur la tension).
\(\phi = 0 \Rightarrow X = 0 \Rightarrow X_L = X_C \Rightarrow\) Circuit Résistif (résonance, courant en phase).

Le saviez-vous ?

Les fournisseurs d'électricité n'aiment pas les circuits fortement déphasés (inductifs ou capacitifs) car cela crée de la "puissance réactive" (\(Q\)) qui ne produit pas de travail utile mais surcharge les lignes (elle fait des allers-retours). Ils facturent souvent des pénalités aux industries qui ont un mauvais "facteur de puissance" (\(\cos(\phi)\)), qui est la mesure de l'efficacité énergétique.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

Le déphasage est \(\phi \approx -11.04^\circ\). Le circuit est capacitif.

A vous de jouer

Que deviendrait \(\phi\) si \(X_L\) était de 150 \(\Omega\) (avec \(X_C=132.6 \text{ } \Omega\) et \(R=100 \text{ } \Omega\)) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Formule Clé : \(\phi = \arctan( (X_L-X_C) / R )\).
Analyse : \(\phi < 0 \rightarrow\) Capacitif (courant en avance).

Outil Interactif : Simulateur de Résonance

Explorez comment l'impédance (\(Z\)) et le déphasage (\(\phi\)) du circuit varient lorsque vous modifiez la fréquence (\(f\)) de la source et la capacité (\(C\)). Les valeurs de R (100 \(\Omega\)) et L (0.3 H) sont fixes.

Paramètres d'Entrée

Fréquence (\(f\)) (Hz) 60 Hz

Capacité (\(C\)) (\(\mu\)F) 20 \(\mu\)F

Résultats Clés (à la fréquence choisie)

Impédance (\(Z\)) (\(\Omega\)) -

Déphasage (\(\phi\)) (°) -

Glossaire

Impédance (\(Z\)): Opposition totale (résistance + réactances) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. S'exprime en Ohms (\(\Omega\)).
Réactance (\(X\)): Opposition d'un composant purement inductif (\(X_L\)) ou capacitif (\(X_C\)) au courant alternatif. S'exprime en Ohms (\(\Omega\)).
Résonance: Condition dans un circuit RLC où la réactance inductive est égale à la réactance capacitive (\(X_L = X_C\)). L'impédance est alors minimale (égale à \(R\)) et le courant maximal.
Déphasage (\(\phi\)): Angle (en degrés ou radians) qui représente l'écart temporel (avance ou retard) entre l'onde de courant et l'onde de tension.

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