Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Force Électrostatique entre Deux Charges

Force Électrostatique entre Deux Charges

Force Électrostatique entre Deux Charges

Comprendre la Force Électrostatique

La force électrostatique, décrite par la loi de Coulomb, est l'une des interactions fondamentales de la nature. Elle régit l'attraction ou la répulsion entre des objets portant une charge électrique. Si les charges sont de même signe (toutes deux positives ou toutes deux négatives), elles se repoussent. Si elles sont de signes opposés (une positive et une négative), elles s'attirent. L'intensité de cette force dépend directement du produit des valeurs des charges et diminue avec le carré de la distance qui les sépare.

La formule de la loi de Coulomb est \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}\), où \(F\) est la magnitude de la force, \(q_1\) et \(q_2\) sont les charges, \(r\) est la distance entre elles, et \(k\) est la constante de Coulomb (environ \(8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) dans le vide). Cette force agit le long de la ligne droite joignant les deux charges.

Cet exercice se concentre sur le calcul de la force électrostatique entre deux charges ponctuelles et sur l'analyse de l'influence des paramètres (valeur des charges, distance) sur cette force.

Données de l'étude

Deux charges ponctuelles, \(q_A\) et \(q_B\), sont placées dans le vide.

Caractéristiques des charges et de leur position :

  • Charge \(q_A\) : \(+4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(+4.0 \, \mu\text{C}\))
  • Charge \(q_B\) : \(-8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) (soit \(-8.0 \, \mu\text{C}\))
  • Distance entre les charges (\(r\)) : \(0.050 \, \text{m}\) (soit \(5.0 \, \text{cm}\))
  • Constante de Coulomb (\(k\)) : \(8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) (valeur approchée pour simplifier les calculs)
Schéma des Deux Charges Ponctuelles
qA +4µC qB -8µC r = 0.05 m FAB FBA

Deux charges ponctuelles \(q_A\) et \(q_B\) séparées par une distance \(r\), exerçant une force électrostatique l'une sur l'autre.

Questions à traiter

  1. La force entre les charges \(q_A\) et \(q_B\) est-elle attractive ou répulsive ? Justifier.
  2. Calculer la magnitude de la force électrostatique \(F\) exercée par \(q_A\) sur \(q_B\).
  3. Quelle est la magnitude de la force électrostatique exercée par \(q_B\) sur \(q_A\) ?
  4. Si la charge \(q_A\) est doublée (\(q'_A = 2q_A\)) et que les autres paramètres restent inchangés, quelle est la nouvelle magnitude de la force \(F'\) ?
  5. Si la distance \(r\) entre les charges initiales \(q_A\) et \(q_B\) est triplée (\(r'' = 3r\)), quelle est la nouvelle magnitude de la force \(F''\) ?
  6. Calculer l'intensité du champ électrique \(\vec{E}_A\) créé par la charge \(q_A\) au point où se trouve la charge \(q_B\).
  7. En utilisant le champ \(\vec{E}_A\) calculé, déterminer la force \(\vec{F}_{A \rightarrow B}\) exercée sur \(q_B\). Vérifier que sa magnitude correspond au résultat de la question 2.

Correction : Force Électrostatique entre Deux Charges

Question 1 : Nature de la force (attractive ou répulsive)

Principe :

La nature de la force électrostatique dépend des signes des charges. Des charges de signes opposés s'attirent, tandis que des charges de même signe se repoussent.

Analyse :

La charge \(q_A = +4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) est positive.

La charge \(q_B = -8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\) est négative.

Puisque les charges sont de signes opposés, la force entre elles est attractive.

Résultat Question 1 : La force entre les charges \(q_A\) et \(q_B\) est attractive.

Quiz Intermédiaire 1 : Deux électrons :

Question 2 : Magnitude de la force électrostatique \(F\)

Principe :

La magnitude de la force est donnée par la loi de Coulomb : \(F = k \frac{|q_A q_B|}{r^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F = k \frac{|q_A q_B|}{r^2}\]
Données spécifiques :
  • \(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(|q_A| = 4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(|q_B| = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(r = 0.050 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F &= (8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{(4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \cdot (8.0 \times 10^{-6} \, \text{C})}{(0.050 \, \text{m})^2} \\ &= (8.99 \times 10^9) \frac{32.0 \times 10^{-12}}{0.0025} \, \text{N} \\ &= (8.99 \times 10^9) \cdot (12800 \times 10^{-12}) \, \text{N} \\ &= (8.99 \times 10^9) \cdot (1.28 \times 10^{-8}) \, \text{N} \\ &= 8.99 \cdot 1.28 \times 10^{1} \, \text{N} \\ &= 11.5072 \times 10 \, \text{N} \\ &\approx 115.07 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La magnitude de la force électrostatique est \(F \approx 115.07 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'unité de la charge électrique, le Coulomb (C), est une unité :

Question 3 : Magnitude de la force exercée par \(q_B\) sur \(q_A\)

Principe :

Selon la troisième loi de Newton (principe de l'action et de la réaction), la force exercée par la charge \(q_B\) sur la charge \(q_A\) est égale en magnitude et opposée en direction à la force exercée par \(q_A\) sur \(q_B\).

Conclusion :

La magnitude de la force exercée par \(q_B\) sur \(q_A\) est donc la même que celle calculée en Q2.

Résultat Question 3 : La magnitude de la force exercée par \(q_B\) sur \(q_A\) est également \(\approx 115.07 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Le principe de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton) s'applique :

Question 4 : Nouvelle force \(F'\) si \(q_A\) est doublée

Principe :

La force de Coulomb est directement proportionnelle au produit des charges. Si une des charges double, la force double également, les autres paramètres restant constants.

Formule(s) utilisée(s) :
\[F' = k \frac{|(2q_A) q_B|}{r^2} = 2 \left( k \frac{|q_A q_B|}{r^2} \right) = 2F\]
Données spécifiques :
  • Force initiale (\(F\)) : \(\approx 115.07 \, \text{N}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F' &= 2 \cdot (115.07 \, \text{N}) \\ &= 230.14 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La nouvelle magnitude de la force est \(F' \approx 230.14 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si les deux charges \(q_A\) et \(q_B\) doublent simultanément, la force électrostatique entre elles :

Question 5 : Nouvelle force \(F''\) si la distance \(r\) est triplée

Principe :

La force de Coulomb est inversement proportionnelle au carré de la distance. Si la distance est triplée (\(r'' = 3r\)), la force sera divisée par \(3^2 = 9\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F'' = k \frac{|q_A q_B|}{(3r)^2} = k \frac{|q_A q_B|}{9r^2} = \frac{1}{9} F\]
Données spécifiques :
  • Force initiale (\(F\)) : \(\approx 115.07 \, \text{N}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F'' &= \frac{1}{9} \cdot (115.07 \, \text{N}) \\ &\approx 12.786 \, \text{N} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La nouvelle magnitude de la force est \(F'' \approx 12.79 \, \text{N}\).

Quiz Intermédiaire 5 : Pour réduire la force électrostatique entre deux charges d'un facteur 100 (en ne modifiant que la distance), il faut multiplier la distance par :

Question 6 : Intensité du champ électrique \(\vec{E}_A\) créé par \(q_A\)

Principe :

Le champ électrique \(\vec{E}_A\) créé par une charge ponctuelle \(q_A\) en un point situé à une distance \(r\) est donné par \(E_A = k \frac{|q_A|}{r^2}\). La direction du champ est radiale, s'éloignant de \(q_A\) si \(q_A > 0\) et pointant vers \(q_A\) si \(q_A < 0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[E_A = k \frac{|q_A|}{r^2}\]
Données spécifiques :
  • \(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(|q_A| = 4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(r = 0.050 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} E_A &= (8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{4.0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{(0.050 \, \text{m})^2} \\ &= (8.99 \times 10^9) \frac{4.0 \times 10^{-6}}{0.0025} \, \text{N/C} \\ &= (8.99 \times 10^9) \cdot (1.6 \times 10^{-3}) \, \text{N/C} \\ &= 1.4384 \times 10^7 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Le champ \(\vec{E}_A\) au point où se trouve \(q_B\) est dirigé de \(q_A\) vers \(q_B\) (s'éloignant de \(q_A\) car \(q_A > 0\)).

Résultat Question 6 : L'intensité du champ électrique créé par \(q_A\) à la position de \(q_B\) est \(E_A \approx 1.438 \times 10^7 \, \text{N/C}\).

Quiz Intermédiaire 6 : L'unité du champ électrique peut être exprimée en :

Question 7 : Force \(\vec{F}_{A \rightarrow B}\) utilisant \(\vec{E}_A\)

Principe :

La force exercée par un champ électrique \(\vec{E}\) sur une charge ponctuelle \(q\) est donnée par \(\vec{F} = q \vec{E}\). Ici, \(\vec{F}_{A \rightarrow B} = q_B \vec{E}_A\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[F_{A \rightarrow B} = |q_B| E_A\]
Données spécifiques :
  • \(|q_B| = 8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}\)
  • \(E_A \approx 1.4384 \times 10^7 \, \text{N/C}\) (de Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} F_{A \rightarrow B} &= (8.0 \times 10^{-6} \, \text{C}) \cdot (1.4384 \times 10^7 \, \text{N/C}) \\ &= 8.0 \cdot 1.4384 \times 10^1 \, \text{N} \\ &= 11.5072 \times 10 \, \text{N} \\ &\approx 115.07 \, \text{N} \end{aligned} \]

Cette magnitude est la même que celle calculée directement avec la loi de Coulomb en Q2. Puisque \(q_B\) est négative et \(\vec{E}_A\) est dirigé de \(q_A\) vers \(q_B\), la force \(\vec{F}_{A \rightarrow B}\) sera dirigée dans le sens opposé à \(\vec{E}_A\), c'est-à-dire de \(q_B\) vers \(q_A\), ce qui correspond bien à une force attractive.

Résultat Question 7 : La magnitude de la force exercée sur \(q_B\) est \(F_{A \rightarrow B} \approx 115.07 \, \text{N}\), ce qui correspond au résultat de la loi de Coulomb.

Quiz Intermédiaire 7 : Si une charge positive est placée dans un champ électrique, la force qu'elle subit est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Coulomb décrit la force entre :

2. Si la valeur d'une des charges double, la force de Coulomb (les autres paramètres restant constants) :

3. La constante de Coulomb \(k\) :

Glossaire

Loi de Coulomb
Loi physique décrivant la force d'interaction électrostatique entre deux particules chargées électriquement.
Charge Ponctuelle
Idéalisation d'un corps chargé dont les dimensions sont négligeables par rapport aux distances considérées.
Force Électrostatique
Force d'attraction ou de répulsion exercée entre des objets chargés électriquement.
Constante de Coulomb (\(k\))
Constante de proportionnalité dans la loi de Coulomb, dépendant du milieu. Dans le vide, \(k \approx 8.9875 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Permittivité du Vide (\(\epsilon_0\))
Constante physique représentant la capacité du vide à permettre la formation d'un champ électrique. \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, qui exerce une force sur d'autres charges. Unité : Volt par mètre (V/m) ou Newton par Coulomb (N/C).
Coulomb (C)
Unité de charge électrique dans le Système International.
Newton (N)
Unité de force dans le Système International.
Force Électrostatique entre Deux Charges

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