Calcul de la Force Électrostatique entre Deux Charges
Contexte : L'Interaction Fondamentale de l'Électromagnétisme.
Au cœur de l'électromagnétisme se trouve une loi fondamentale qui décrit comment les objets chargés électriquement interagissent entre eux : la loi de CoulombLoi physique décrivant la force d'interaction électrostatique entre deux particules chargées électriquement.. Cette loi, formulée par Charles-Augustin de Coulomb en 1785, quantifie la force, attractive ou répulsive, qui s'exerce entre deux charges ponctuellesUne charge électrique idéalisée, considérée comme existant en un point unique de l'espace, sans dimension.. Cet exercice a pour but de vous guider dans l'application de cette loi pour un cas pratique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi de Coulomb pour déterminer la nature (attractive ou répulsive) et l'intensité de la force électrostatique. Une attention particulière sera portée à la manipulation correcte des unités, une compétence cruciale en physique.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et énoncer la loi de Coulomb.
- Calculer l'intensité de la force électrostatique entre deux charges.
- Déterminer si la force est attractive ou répulsive en fonction du signe des charges.
- Maîtriser la conversion des unités (nanocoulombs en Coulombs, centimètres en mètres).
Données de l'étude
Constantes Physiques
| Caractéristique | Symbole et Valeur |
|---|---|
| Permittivité du vide | \(\epsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}\) |
| Constante de Coulomb | \(k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) |
Schéma de la situation
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge A | \(q_A\) | +2,0 | nC (nanocoulomb) |
| Charge B | \(q_B\) | +5,0 | nC (nanocoulomb) |
| Distance | \(d\) | 3,0 | cm (centimètre) |
Questions à traiter
- La force d'interaction entre les charges \(q_A\) et \(q_B\) est-elle attractive ou répulsive ? Justifiez votre réponse.
- Calculez la valeur (ou l'intensité) de la force électrostatique \(F\) exercée par la charge \(q_A\) sur la charge \(q_B\).
- À quelle nouvelle distance \(d'\) faudrait-il placer les charges pour que la force répulsive soit quatre fois plus grande ?
- On ajoute une troisième charge \(q_C = -1,0 \text{ nC}\) au milieu du segment \([AB]\). Quelle est la force électrostatique totale (résultante) qui s'exerce sur la charge \(q_B\) ?
Les bases sur la Loi de Coulomb
La loi de Coulomb est le pilier de l'électrostatique. Elle décrit la force qui s'exerce entre deux charges électriques immobiles.
1. Énoncé de la Loi de Coulomb
L'intensité de la force électrostatique \(F\) entre deux charges ponctuelles \(q_1\) et \(q_2\) est directement proportionnelle au produit des valeurs absolues des charges et inversement proportionnelle au carré de la distance \(d\) qui les sépare.
2. Nature de la force (Attraction ou Répulsion)
Le caractère attractif ou répulsif de la force dépend du signe des charges :
- Si les charges sont de même signe (\(q_1 \cdot q_2 > 0\)), la force est répulsive.
- Si les charges sont de signes opposés (\(q_1 \cdot q_2 < 0\)), la force est attractive.
Correction : Calcul de la Force Électrostatique entre Deux Charges
Question 1 : La force d'interaction est-elle attractive ou répulsive ?
Principe
La nature de la force (attraction ou répulsion) est déterminée uniquement par le signe des deux charges en interaction. C'est la règle fondamentale de l'électrostatique : les charges de même signe se repoussent, les charges de signes opposés s'attirent.
Mini-Cours
L'interaction électrostatique est l'une des quatre forces fondamentales de la nature. Elle est véhiculée par l'échange de particules virtuelles appelées photons. Le signe des charges détermine si l'interaction globale résultant de cet échange est une poussée (répulsion) ou une traction (attraction).
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans un calcul numérique, prenez toujours un instant pour analyser qualitativement la situation. Déterminer la nature de la force est la première étape logique et permet d'éviter des erreurs d'interprétation plus tard.
Formule(s)
La nature de la force est déterminée par le signe du produit des charges.
Hypothèses
On suppose que les charges sont statiques (immobiles) et qu'elles se trouvent dans le vide, sans autre champ électrique extérieur qui pourrait perturber l'interaction.
Donnée(s)
Les seules données nécessaires pour cette question sont les signes des charges.
| Paramètre | Signe |
|---|---|
| Charge A (\(q_A\)) | Positif (+) |
| Charge B (\(q_B\)) | Positif (+) |
Astuces
Utilisez le simple mnémonique : "Les opposés s'attirent, les semblables se repoussent". C'est un moyen infaillible de se souvenir de la règle.
Schéma (Avant les calculs)
Analyse des signes
Calcul(s)
Analyse du signe du produit
Un produit positif signifie que les charges sont de même nature.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Répulsion
Réflexions
Puisque le produit des charges est positif, les forces que les charges exercent l'une sur l'autre les poussent à s'éloigner. La force \(F_{A/B}\) (force de A sur B) pousse B vers la droite, et la force \(F_{B/A}\) (force de B sur A) pousse A vers la gauche. Ces deux forces sont opposées et de même intensité, conformément à la troisième loi de Newton (principe des actions réciproques).
Points de vigilance
Ne confondez pas la force électrostatique avec la force de gravité, qui est toujours attractive. Deux masses s'attirent toujours, tandis que deux charges peuvent s'attirer ou se repousser.
Points à retenir
- Charges de même signe \(\rightarrow\) Répulsion.
- Charges de signes opposés \(\rightarrow\) Attraction.
Le saviez-vous ?
C'est Benjamin Franklin, au milieu du 18ème siècle, qui a été le premier à proposer la convention des charges "positives" et "négatives" pour décrire les deux types d'électricité observés. Ce choix, bien qu'arbitraire, est devenu la norme universelle.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la nature de la force si \(q_A\) était positive et \(q_B\) négative ?
Question 2 : Calculez la valeur de la force électrostatique \(F\)
Principe
Pour calculer l'intensité de la force, nous appliquerons directement la formule de la loi de Coulomb. L'étape la plus critique est de s'assurer que toutes les grandeurs sont exprimées dans les unités du Système International (SI) avant de commencer le calcul.
Mini-Cours
La loi en \(1/d^2\) (loi en carré inverse) est très courante en physique. Elle signifie que l'intensité d'un effet (force, éclairement...) diminue rapidement avec la distance à la source. La constante \(k\) est une constante de proportionnalité qui dépend du milieu dans lequel se trouvent les charges. Sa valeur élevée dans le vide (\(9 \times 10^9\)) indique que la force électrique est intrinsèquement très intense.
Remarque Pédagogique
Adoptez une approche méthodique : 1. Écrivez la formule littérale. 2. Listez et convertissez vos données. 3. Faites l'application numérique. 4. Vérifiez l'unité et la cohérence du résultat. Cette rigueur vous évitera de nombreuses erreurs.
Normes
La loi de Coulomb est une loi fondamentale de la physique. Les unités utilisées (Newton, Mètre, Coulomb) sont celles du Système International (SI), qui est la norme pour tous les calculs scientifiques et techniques.
Formule(s)
L'intensité de la force est donnée par :
Hypothèses
On suppose que les charges sont des points parfaits (charges ponctuelles) et que la loi de Coulomb s'applique parfaitement, ce qui est une excellente approximation à cette échelle.
Donnée(s)
Nous reprenons les données de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Constante de Coulomb | \(k\) | \(9 \times 10^9\) | \(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) |
| Charge A | \(q_A\) | +2,0 | \(\text{nC}\) |
| Charge B | \(q_B\) | +5,0 | \(\text{nC}\) |
| Distance | \(d\) | 3,0 | \(\text{cm}\) |
Astuces
Pour manipuler les puissances de 10, regroupez-les. Ici, le calcul devient \((9 \times 2 \times 5 / 3^2) \times (10^9 \times 10^{-9} \times 10^{-9} / (10^{-2})^2)\). Cela simplifie la vérification de l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration pour le calcul
Calcul(s)
Étape 1 : Conversion des unités
Étape 2 : Application de la formule de Coulomb
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Force Calculée
Réflexions
La force calculée est de \(1,0 \times 10^{-4}\) Newtons. On peut aussi l'écrire \(100 \times 10^{-6}\) Newtons, soit 100 micronewtons (µN). C'est une force très faible à notre échelle, mais considérable à l'échelle atomique. Elle est suffisante pour accélérer un électron de manière spectaculaire.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre la distance au carré ! Assurez-vous que votre calculatrice effectue bien \((3,0 \times 10^{-2})^2\) et non \(3,0 \times (10^{-2})^2\). Utilisez des parenthèses pour être sûr.
Points à retenir
- La formule de Coulomb est \(F = k |q_1 q_2| / d^2\).
- La conversion des unités en SI (Coulomb, Mètre) est obligatoire avant le calcul.
Le saviez-vous ?
Pour mesurer cette force infime, Charles de Coulomb a inventé un instrument d'une sensibilité remarquable pour son époque : la balance de torsion. Elle mesurait la force en observant l'angle de torsion d'un fil très fin, une méthode qui a permis de vérifier expérimentalement la loi en \(1/d^2\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait la force (en µN) si la charge \(q_B\) était négative (\(-5,0 \text{ nC}\)) et la distance doublée (\(d=6,0 \text{ cm}\))?
Indice : la force deviendrait attractive, et comme la distance est doublée, la force devrait être divisée par \(2^2 = 4\).
Question 3 : À quelle nouvelle distance \(d'\) faudrait-il placer les charges pour que la force soit quatre fois plus grande ?
Principe
Cette question explore la relation de proportionnalité inverse au carré entre la force et la distance. Si la force augmente, la distance doit diminuer. Nous n'avons pas besoin de recalculer toute la force, mais plutôt d'établir un rapport entre la situation initiale et la nouvelle situation.
Mini-Cours
Utiliser des rapports est une technique de résolution très puissante en physique. En écrivant l'équation pour deux situations différentes et en divisant l'une par l'autre, on peut éliminer toutes les constantes (comme \(k\), \(q_A\) et \(q_B\) ici) et isoler la relation entre les variables qui changent (ici \(F\) et \(d\)).
Remarque Pédagogique
Plutôt que de chercher à calculer directement \(d'\), écrivez la relation entre \(F'\) et \(F\). Cela vous permettra de voir comment \(d'\) doit se comporter par rapport à \(d\) pour satisfaire cette relation. C'est une approche plus élégante et moins sujette aux erreurs de calcul.
Normes
Aucune norme spécifique n'est applicable. La résolution repose sur la manipulation algébrique de la loi de Coulomb.
Formule(s)
Nous partons de la loi de Coulomb \(F = k \frac{|q_A q_B|}{d^2}\). Nous cherchons une nouvelle distance \(d'\) telle que la nouvelle force \(F'\) soit égale à \(4F\).
Hypothèses
On suppose que les valeurs des charges \(q_A\) et \(q_B\) ne changent pas entre les deux expériences.
Donnée(s)
Les données pour cette question sont la relation de force souhaitée et la distance initiale.
| Paramètre | Symbole/Relation | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Relation de Force | \(F' = 4F\) | - | - |
| Distance Initiale | \(d\) | 3,0 | cm |
Astuces
Pour une loi en \(1/d^2\) : si la force est multipliée par un facteur \(X\), la distance doit être divisée par le facteur \(\sqrt{X}\). Inversement, si la distance est multipliée par \(Y\), la force est divisée par \(Y^2\).
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des deux situations
Calcul(s)
Étape 1 : Simplification de l'équation de rapport
On part de la relation établie précédemment. Les termes constants \(k, |q_A q_B|\) s'annulent de chaque côté.
On inverse l'équation pour isoler les termes de distance au numérateur.
On applique la racine carrée des deux côtés pour trouver \(d'\).
On simplifie la racine carrée.
Étape 2 : Calcul de la nouvelle distance
On remplace \(d\) par sa valeur numérique (\(3,0 \text{ cm}\)).
On effectue le calcul final.
Schéma (Après les calculs)
Nouvelle configuration pour F' = 4F
Points de vigilance
Attention à ne pas appliquer une relation linéaire. Une erreur commune serait de penser que pour une force 4 fois plus grande, il faut une distance 4 fois plus petite. N'oubliez pas le carré dans la formule !
Points à retenir
- La force électrostatique est inversement proportionnelle au carré de la distance.
- La méthode des rapports est très efficace pour ce type de problème.
Le saviez-vous ?
La loi en carré inverse n'est pas unique à l'électrostatique. Elle régit aussi la force de gravitation universelle de Newton et l'intensité de la lumière ou du son s'éloignant d'une source ponctuelle. C'est une signature des lois de la physique dans un espace à 3 dimensions.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Par quel facteur la force diminuerait-elle si on triplait la distance ?
Question 4 : Quelle est la force résultante sur \(q_B\) après ajout de \(q_C = -1,0 \text{ nC}\) au milieu ?
Principe
Cette question applique le principe de superposition. La force totale (ou résultante) exercée sur une charge est la somme vectorielle des forces exercées sur elle par toutes les autres charges. Les forces s'additionnent sans s'influencer mutuellement.
Mini-Cours
Le principe de superposition est fondamental en électromagnétisme. Il stipule que pour un système linéaire (ce qui est le cas ici), l'effet total de plusieurs sources est la somme des effets de chaque source prise individuellement. Cela s'applique aux forces, aux champs électriques et aux potentiels électriques.
Remarque Pédagogique
La clé est de traiter le problème en plusieurs étapes simples : 1. Oubliez \(q_C\) et calculez la force \(F_{A/B}\). 2. Oubliez \(q_A\) et calculez la force \(F_{C/B}\). 3. Additionnez vectoriellement les deux forces. Décomposer un problème complexe en parties simples est une stratégie d'ingénieur essentielle.
Normes
Le principe de superposition est une loi fondamentale de la physique pour les systèmes linéaires. Il n'y a pas de norme réglementaire associée.
Formule(s)
La force résultante sur la charge \(q_B\) est la somme vectorielle des forces exercées par \(q_A\) et \(q_C\).
Hypothèses
On suppose que l'ajout de la charge \(q_C\) ne modifie pas les positions des charges \(q_A\) et \(q_B\). Toutes les charges sont alignées sur un même axe.
Donnée(s)
Pour cette question, nous utilisons les données initiales ainsi que la nouvelle charge \(q_C\) et la force déjà calculée à la question 2.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force de A sur B (calculée) | \(F_{A/B}\) | \(+1,0 \times 10^{-4}\) | N |
| Charge C | \(q_C\) | -1,0 | nC |
| Charge B | \(q_B\) | +5,0 | nC |
| Distance CB | \(d_{\text{CB}}\) | 1,5 | cm |
| Constante de Coulomb | \(k\) | \(9 \times 10^9\) | \(\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\) |
Astuces
Dessinez toujours un diagramme de corps libre pour la charge qui vous intéresse (\(q_B\) ici). Représentez tous les vecteurs force qui agissent sur elle, en respectant leur direction (attraction/répulsion). Cela vous aidera à définir correctement les signes dans la somme vectorielle.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma avec trois charges et forces sur \(q_B\)
Calcul(s)
Étape 1 : Force exercée par \(q_A\) sur \(q_B\) (\(F_{A/B}\))
Cette force a été calculée à la question 2. Elle est répulsive. Posons un axe horizontal \(\vec{x}\) dirigé de A vers B. Cette force est donc dans le sens positif.
Étape 2 : Force exercée par \(q_C\) sur \(q_B\) (\(F_{C/B}\))
\(q_C\) ($-$) et \(q_B\) (+) sont de signes opposés, la force est attractive. Elle est dirigée de B vers C (vers la gauche), donc sa composante sur l'axe \(\vec{x}\) sera négative. La distance est \(d_{\text{CB}} = d/2 = 1,5 \text{ cm} = 1,5 \times 10^{-2} \text{ m}\).
Comme la force est attractive (dirigée vers la gauche), sa valeur algébrique est \(F_{C/B} = -2,0 \times 10^{-4} \text{ N}\).
Étape 3 : Somme vectorielle des forces
La force totale est la somme algébrique des composantes, car les forces sont colinéaires.
Schéma (Après les calculs)
Vecteurs forces et résultante sur q_B
Réflexions
Le résultat final est une force de \(-1,0 \times 10^{-4} \text{ N}\). Le signe négatif indique que la force résultante est dirigée vers la gauche (dans le sens opposé à notre axe \(\vec{x}\)). Bien que la charge \(q_C\) soit plus faible que \(q_A\), son influence est plus grande (elle génère une force 2 fois plus intense) car elle est beaucoup plus proche de \(q_B\). L'attraction due à \(q_C\) l'emporte sur la répulsion due à \(q_A\).
Points de vigilance
L'erreur la plus critique ici serait d'oublier la nature vectorielle des forces. Il ne faut pas additionner les intensités (\(100 \text{ µN} + 200 \text{ µN}\)), mais bien les composantes algébriques en tenant compte de leur direction (+100 µN et -200 µN).
Points à retenir
- Principe de superposition : La force totale sur une charge est la somme vectorielle des forces individuelles.
- Pour les problèmes 1D, la somme vectorielle devient une simple somme algébrique après avoir défini un sens positif.
Le saviez-vous ?
Le principe de superposition est une conséquence directe de la linéarité des équations de Maxwell qui gouvernent l'électromagnétisme. Si ces équations n'étaient pas linéaires, les champs et les forces ne s'additionneraient pas simplement, rendant la physique immensément plus complexe !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les résultats précédents, quelle serait la force totale (en µN) qui s'exerce sur la charge \(q_A\) ?
Outil Interactif : Simulateur de la Loi de Coulomb
Utilisez les curseurs pour faire varier la valeur de la charge \(q_A\) et la distance \(d\) entre les charges. Observez en temps réel comment la force d'interaction est affectée. La charge \(q_B\) est maintenue constante à \(+5,0 \text{ nC}\).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Si la distance entre deux charges ponctuelles est doublée, par quel facteur l'intensité de la force électrostatique est-elle modifiée ?
2. Quelle est la nature de la force entre un proton (charge positive) et un électron (charge négative) ?
3. Dans la formule de Coulomb \(F = k \frac{|q_1 q_2|}{d^2}\), que représente \(k\) ?
Glossaire
- Loi de Coulomb
- Loi fondamentale de l'électrostatique qui quantifie la force d'attraction ou de répulsion entre deux charges électriques statiques.
- Charge ponctuelle
- Idéalisation d'un objet chargé dont les dimensions sont considérées comme nulles par rapport aux distances qui le séparent d'autres objets.
- Principe de superposition
- Principe selon lequel la force totale exercée sur une charge par un ensemble d'autres charges est la somme vectorielle des forces individuelles exercées par chaque charge.
- Permittivité du vide (\(\epsilon_0\))
- Constante physique qui décrit la capacité du vide à "permettre" la propagation des champs électriques. Elle est directement liée à la constante de Coulomb.
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