Puissance Instantanée dans un Circuit RL

Contexte : Alimentation d'une charge inductive (moteur, bobine).

Dans les réseaux de distribution électrique industriels et domestiques, la grande majorité des récepteurs ne sont pas de simples résistances (comme un radiateur) mais des charges inductives. C'est le cas des moteurs électriques (machines à laver, pompes, ventilateurs), des transformateurs, ou encore des ballasts d'éclairage. Ces dispositifs sont constitués de bobinages de cuivre qui créent un champ magnétique nécessaire à leur fonctionnement.

Ce caractère inductif a une conséquence majeure : il introduit un décalage temporel entre la tension fournie par le réseau et le courant consommé. On modélise ce comportement par un circuit série comportant une résistance pure \(R\) et une InductanceComposant (bobine) qui stocke de l'énergie sous forme magnétique et s'oppose aux variations de courant. \(L\). L'enjeu de cet exercice est de comprendre comment ce décalage influence la puissance réellement facturée et consommée (puissance active) par rapport à la puissance totale qui transite dans les câbles.

Remarque Pédagogique : La notion de puissance instantanée \(p(t)\) est la base de tout. Comprendre qu'elle oscille et qu'elle peut même être négative (l'appareil renvoie de l'énergie au réseau !) est fondamental pour saisir pourquoi on dimensionne les installations électriques en Volt-Ampères (\text{VA}) et non en Watts (\text{W}).

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser le passage des grandeurs temporelles (fréquence) aux grandeurs angulaires (pulsation).
Calculer l'impédance complexe d'un dipôle RL et comprendre son module.
Déterminer le déphasage (retard) du courant par rapport à la tension.
Écrire l'équation temporelle du courant en régime sinusoïdal forcé.
Distinguer et calculer la puissance active consommée par le système.

Données de l'étude

On considère un circuit série composé d'une résistance \(R\) et d'une inductance \(L\), alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale \(u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t)\). Ce modèle est très couramment utilisé pour représenter une bobine réelle ou un petit moteur asynchrone.

Fiche Technique / Données

Grandeur Physique	Symbole	Valeur	Unité
Tension efficace du réseau	\(U_{\text{eff}}\)	230	\(\text{V}\)
Fréquence du réseau	\(f\)	50	\(\text{Hz}\)
Résistance de la charge	\(R\)	10	\(\Omega\)
Inductance de la charge	\(L\)	0.05	\(\text{H}\)

Schéma Électrique Équivalent

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pulsation	\(\omega\)	?	\(\text{rad/s}\)
Impédance	\(Z\)	?	\(\Omega\)

Questions à traiter

Calculer la pulsation \(\omega\) de la source.
Déterminer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
Calculer le déphasage \(\phi\) entre tension et courant.
Donner l'expression du courant \(i(t)\).
Calculer la puissance active \(P\) consommée par le circuit.

Les bases théoriques

En régime sinusoïdal forcé, l'étude des circuits ne se fait plus avec de simples résistances, mais avec la notion d'ImpédanceOpposition globale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, incluant la résistance et l'inertie magnétique/électrique (réactance).. L'impédance généralise la loi d'Ohm en intégrant le déphasage.

Loi d'Ohm généralisée (AC)
En courant alternatif, la relation entre la tension efficace \(U\) et le courant efficace \(I\) fait intervenir l'impédance \(Z\) (module). Contrairement à la résistance, \(Z\) dépend de la fréquence du signal.

Tension et Impédance

U = Z \cdot I

Où \(Z\) s'exprime en Ohms (\(\Omega\)). Plus Z est grande, plus le courant est faible pour une même tension.

Impédance d'un circuit RL série
Dans un circuit RL, l'opposition au courant vient de deux sources : le freinage résistif (\(R\)) et l'inertie magnétique (\(L\)). Ces deux effets sont perpendiculaires mathématiquement (quadrature).

Module de l'Impédance

Z = \sqrt{R^2 + (L\omega)^2}

Le terme \(L\omega\) s'appelle la réactance inductive (\(X_{\text{L}}\)).

Puissance Active
C'est la puissance "utile", celle qui est transformée en chaleur, en lumière ou en force mécanique. La puissance qui "oscille" sans être consommée est dite réactive.

Formule de la Puissance Active

P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \cdot \cos(\phi)

Le terme \(\cos(\phi)\) est le facteur de puissance : il représente l'efficacité de l'utilisation du courant.

Correction : Étude de la Puissance Instantanée dans un Circuit RL Série

Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

Principe

La fréquence \(f\) indique combien de fois le courant change de sens par seconde. La pulsation \(\omega\) (oméga) est l'équivalent angulaire : elle représente la vitesse à laquelle le vecteur tournant (vecteur de Fresnel) parcourt le cercle trigonométrique. C'est cette grandeur qui est utilisée dans toutes les formules mathématiques temporelles.

Mini-Cours

Analogie mécanique : Imaginez une roue de voiture. La fréquence \(f\) serait le nombre de tours par seconde. La pulsation \(\omega\) serait la vitesse angulaire en radians par seconde. Les deux décrivent le même mouvement, mais avec des unités différentes.

Remarque Pédagogique

Il est crucial de travailler en radians par seconde pour homogénéiser les calculs d'impédance (\(L\omega\) donne des Ohms). Utiliser directement des Hz dans les formules d'impédance donnerait un résultat faux.

Normes

La norme CEI 60038 harmonise la fréquence des réseaux de distribution électrique en Europe à 50 \(\text{Hz}\). En Amérique du Nord, le standard est de 60 \(\text{Hz}\).

Formule(s)

Formules utilisées

Relation pulsation-fréquence

\omega = 2\pi f

Hypothèses

Pour ce calcul, nous supposons :

Que le signal est parfaitement sinusoïdal (pas de déformation).
Que la fréquence du réseau est parfaitement stable à 50 \(\text{Hz}\) (en réalité, elle varie très légèrement autour de cette valeur).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Fréquence	\(f\)	50	\(\text{Hz}\)

Astuces

Pour le réseau 50 \(\text{Hz}\), la valeur \(\omega \approx 314\) \(\text{rad/s}\) revient tout le temps. Mémorisez-la ! Pour 60 \(\text{Hz}\), c'est environ 377 \(\text{rad/s}\).

[Périodicité Temporelle]

Calcul(s)

Calcul Principal

Application numérique

On applique directement la formule en remplaçant \(f\) par 50. Cette opération permet de convertir la fréquence temporelle en vitesse angulaire :

Calcul de omega

\begin{aligned} \omega &= 2 \times \pi \times f \\ &= 2 \times 3.14159 \times 50 \\ &= 100 \times 3.14159... \\ &\approx 314.159... \, \text{rad/s} \end{aligned}

On arrondira souvent à 314.16 \(\text{rad/s}\) pour les calculs suivants afin de garder une bonne précision.

Schéma (Visualisation Vectorielle)

Réflexions

Cette valeur est fondamentale car elle conditionne toutes les impédances réactives du circuit. Si la pulsation est nulle (\(\omega = 0\), soit du courant continu), alors l'effet inductif \(L\omega\) disparaitrait.

Points de vigilance

Ne confondez pas fréquence (\(\text{Hz}\)) et pulsation (\(\text{rad/s}\)). Le facteur \(2\pi\) (environ 6.28) change considérablement l'ordre de grandeur !

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La formule \(\omega = 2\pi f\).
La valeur standard en Europe : \(\omega \approx 314\) \(\text{rad/s}\).

Le saviez-vous ?

Dans l'aéronautique et le militaire, on utilise du 400 \(\text{Hz}\) pour réduire la taille (et donc le poids) des composants magnétiques (transformateurs). À 400 \(\text{Hz}\), la pulsation est de 2513 \(\text{rad/s}\) !

FAQ

Pourquoi utiliser des radians et pas des degrés ?

Les radians sont l'unité naturelle pour les mathématiques. Les dérivées des fonctions trigonométriques (nécessaires pour établir \(u = L \frac{di}{dt}\)) ne sont valides que si l'angle est en radians.

\(\omega \approx 314.16 \, \text{rad/s}\)

A vous de jouer
Quelle serait la pulsation pour un réseau américain à f = 60 \(\text{Hz}\) ?

📝 Mémo
314 est le nombre magique de l'électricien européen (100 fois Pi).

Question 2 : Calcul de l'impédance totale \(Z\)

Principe

Le circuit contient deux oppositions au courant de nature différente. La résistance \(R\) dissipe l'énergie, tandis que l'inductance \(L\) s'oppose aux variations de courant par inertie magnétique. On ne peut pas les additionner simplement (\(R + L\)). Il faut calculer leur somme vectorielle, appelée impédance \(Z\).

Mini-Cours

En représentation complexe, l'impédance d'une résistance est un réel \(R\), et celle d'une bobine est un imaginaire pur \(jL\omega\). L'impédance totale est \(\underline{Z} = R + jL\omega\). Son module (la valeur en Ohms qui limite le courant) se calcule avec Pythagore : \(Z = |\underline{Z}| = \sqrt{PartieReelle^2 + PartieImaginaire^2}\).

Remarque Pédagogique

Visualisez toujours l'impédance comme un triangle rectangle dont \(Z\) est l'hypoténuse, \(R\) la base, et \(X_{\text{L}}\) la hauteur.

Normes

La notation \(Z\) pour l'impédance et \(X\) pour la réactance provient des standards électrotechniques internationaux (IEC). L'unité est toujours l'Ohm (\(\Omega\)).

Formule(s)

Formules utilisées

Réactance Inductive

X_{\text{L}} = L\omega

Module de Z

Z = \sqrt{R^2 + X_{\text{L}}^2}

Hypothèses

On suppose :

Que les composants sont linéaires (ne saturent pas).
Que la résistance interne du fil de la bobine est négligeable devant \(R\) ou déjà incluse dans \(R\).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	\(R\)	10	\(\Omega\)
Inductance	\(L\)	0.05	\(\text{H}\)
Pulsation	\(\omega\)	314.16	\(\text{rad/s}\)

Astuces

Si \(R=X_{\text{L}}\), le triangle est isocèle et \(Z = R\sqrt{2}\). C'est un bon point de repère pour estimer le résultat.

[Composants séparés]

Calcul(s)

Calcul intermédiaire : Réactance Inductive

On doit d'abord convertir l'inductance (en Henrys) en une opposition homogène à une résistance (en Ohms). C'est la réactance \(X_{\text{L}}\). Cette valeur dépend de la fréquence :

Calcul de X_L

\begin{aligned} X_{\text{L}} &= L \times \omega \\ &= 0.05 \times 314.16 \\ &\approx 15.708 \, \Omega \end{aligned}

Cela signifie qu'à 50 \(\text{Hz}\), notre bobine de 0.05 \(\text{H}\) se comporte comme une résistance "fictive" de 15.71 \(\Omega\), mais sans dissiper de chaleur.

Calcul Principal : Impédance Totale

On combine maintenant la résistance réelle \(R\) et la réactance \(X_{\text{L}}\) quadratiquement selon le théorème de Pythagore :

Calcul de Z

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_{\text{L}}^2} \\ &= \sqrt{10^2 + 15.708^2} \\ &= \sqrt{100 + 246.74} \\ &= \sqrt{346.74} \\ &\approx 18.62 \, \Omega \end{aligned}

Le résultat final est l'opposition totale que le circuit présentera au générateur de tension.

Schéma (Triangle de Fresnel des impédances)

Réflexions

On constate que \(Z\) (18.62 \(\Omega\)) est inférieure à la somme arithmétique \(10 + 15.71 = 25.71\). C'est la preuve que les effets ne s'ajoutent pas directement mais vectoriellement.

Points de vigilance

Ne jamais faire \(Z = R + L\) ! On ne peut pas additionner des pommes (Ohms) et des oranges (Henrys). Convertissez toujours \(L\) en \(X_{\text{L}}\) d'abord.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La bobine s'oppose plus au courant si la fréquence augmente (\(X_{\text{L}}\) proportionnel à \(f\)).
Pythagore est l'outil indispensable en courant alternatif.

Le saviez-vous ?

En haute fréquence (plusieurs \(\text{MHz}\)), l'effet de peau augmenterait aussi la valeur de la résistance \(R\), rendant le calcul plus complexe.

FAQ

Peut-on mesurer Z avec un ohmmètre classique ?

Non, absolument pas. Un ohmmètre utilise du courant continu (DC), il ne mesurerait que la résistance du fil de la bobine (ici négligée ou incluse dans R). Pour mesurer Z, il faut injecter un signal alternatif.

\(Z \approx 18.62 \, \Omega\)

A vous de jouer
Si la fréquence double (100 \(\text{Hz}\)), la réactance \(X_{\text{L}}\) double-t-elle aussi ?

📝 Mémo
Z est l'opposition "globale" au passage du courant : c'est le "frein" total du circuit.

Question 3 : Calcul du déphasage \(\phi\)

Principe

À cause de l'inertie magnétique de la bobine (loi de Lenz), le courant ne peut pas s'installer instantanément. Il est "en retard" par rapport à la tension qui le pousse. Ce retard temporel, rapporté à la période du signal, correspond à un angle de phase \(\phi\) (phi).

Mini-Cours

Dans le triangle des impédances vu précédemment, l'angle \(\phi\) est l'angle entre le vecteur Résistance (horizontal) et le vecteur Impédance (hypoténuse). Par trigonométrie : \(\tan(\phi) = \frac{\text{Côté Opposé}}{\text{Côté Adjacent}} = \frac{X_{\text{L}}}{R}\).

Remarque Pédagogique

Un angle positif indique une charge inductive (le courant est en retard). Un angle négatif indiquerait une charge capacitive (le courant serait en avance).

Normes

Le déphasage impacte directement le "facteur de puissance" (\(\cos \phi\)), qui est strictement surveillé et réglementé par les distributeurs d'énergie pour les installations industrielles.

Formule(s)

Formules utilisées

Tangente de l'angle phi

\tan(\phi) = \frac{L\omega}{R}

Angle phi

\phi = \arctan\left(\frac{L\omega}{R}\right)

Hypothèses

On néglige les capacités parasites entre les spires de la bobine qui pourraient modifier l'angle à très haute fréquence.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
Réactance \(X_{\text{L}}\)	15.71 \(\Omega\)
Résistance \(R\)	10 \(\Omega\)

Astuces

Si \(X_{\text{L}} > R\), l'angle sera forcément supérieur à 45°. C'est un bon moyen de vérifier la cohérence de votre résultat.

[Recherche de l'angle]

Calcul(s)

Calcul de l'angle

On calcule d'abord le rapport des côtés du triangle rectangle, puis on applique la fonction arc-tangente pour retrouver l'angle :

Calcul de phi

\begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{15.71}{10} \\ &= 1.571 \\ \phi &= \arctan(1.571) \\ &\approx 1.003 \, \text{rad} \end{aligned}

Il est souvent plus parlant de convertir ce résultat en degrés pour l'intuition physique :

\begin{aligned} \phi_{\text{deg}} &= \phi_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi} \\ &= 1.003 \times 57.296 \\ &\approx 57.5^\circ \end{aligned}

Le courant est donc en retard de presque 60 degrés par rapport à la tension.

Schéma (Résultat)

Réflexions

Un déphasage de 57.5° est important. Cela signifie que la partie inductive est prédominante par rapport à la partie résistive.

Points de vigilance

Attention au mode de votre calculatrice ! Les équations \(i(t)\) utilisent des radians, mais on "parle" souvent en degrés. Vérifiez toujours votre mode.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Inductance = Courant en retard.
Capacité = Courant en avance.
Résistance = En phase (0°).

Le saviez-vous ?

Un déphasage de 90° correspondrait à une bobine idéale sans aucune résistance. C'est théorique, car tout fil a une résistance (sauf supraconducteurs).

FAQ

L'angle peut-il être négatif ?

Oui, si le circuit était capacitif (RC), l'angle serait négatif (courant en avance).

\(\phi \approx 57.5^\circ\) (ou 1.00 \(\text{rad}\))

A vous de jouer
Si la résistance \(R\) était très grande par rapport à \(L\omega\), vers quelle valeur tendrait l'angle ?

📝 Mémo
"ELIE" : Tension (E) avant courant (I) dans L. Courant (I) avant Tension (E) dans C.

Question 4 : Expression du courant \(i(t)\)

Principe

Maintenant que nous connaissons l'opposition totale du circuit (\(Z\)) et le retard temporel (\(\phi\)), nous pouvons écrire l'équation complète du courant instantané. C'est une sinusoïde de même fréquence que la tension, mais avec une amplitude différente et décalée dans le temps.

Mini-Cours

Pour définir un courant sinusoïdal, il faut son amplitude \(I_{\text{max}}\) et sa phase à l'origine. \(I_{\text{max}}\) se trouve via \(I_{\text{max}} = I_{\text{eff}}\sqrt{2}\). \(I_{\text{eff}}\) se trouve via la loi d'Ohm : \(I_{\text{eff}} = U_{\text{eff}}/Z\).

Remarque Pédagogique

Par convention, on prend souvent la tension comme référence de phase (\(\phi_u = 0\)). Comme le courant est en retard, son déphasage dans l'équation sera soustrait (\(-\phi\)).

Normes

Notation standardisée : les lettres minuscules (\(i(t), u(t)\)) désignent les valeurs instantanées qui changent tout le temps. Les majuscules (\(I, U\)) désignent les valeurs efficaces constantes.

Formule(s)

Formules utilisées

Loi d'Ohm (efficace)

I_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{eff}}}{Z}

Amplitude Max

I_{\text{max}} = I_{\text{eff}}\sqrt{2}

Forme temporelle

i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t - \phi)

Hypothèses

La source de tension est idéale (ne s'écroule pas quand on tire du courant).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(U_{\text{eff}}\)	230 \(\text{V}\)
\(Z\)	18.62 \(\Omega\)
\(\phi\)	1.00 \(\text{rad}\)

Astuces

N'oubliez pas le \(\sqrt{2}\) ! Les appareils de mesure affichent l'efficace, mais l'équation mathématique demande le maximum.

[Amplitude inconnue]

Calcul(s)

1. Calcul de I efficace

C'est la valeur que vous liriez sur un ampèremètre. On applique la loi d'Ohm avec l'impédance totale :

Calcul de Ieff

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{U_{\text{eff}}}{Z} \\ &= \frac{230}{18.62} \\ &\approx 12.35 \, \text{A} \end{aligned}

2. Calcul de I max

L'équation temporelle utilise l'amplitude maximale (la crête de la sinusoïde). On multiplie l'efficace par racine de 2 :

Calcul de Imax

\begin{aligned} I_{\text{max}} &= I_{\text{eff}} \times \sqrt{2} \\ &= 12.35 \times 1.414 \\ &\approx 17.47 \, \text{A} \end{aligned}

3. Expression Finale

On assemble l'amplitude trouvée, la pulsation calculée en Q1 et le déphasage calculé en Q3 (en radians !) :

\begin{aligned} i(t) &= I_{\text{max}} \sin(\omega t - \phi) \\ &= 17.47 \sin(314 t - 1.00) \end{aligned}

Cette équation décrit complètement l'évolution du courant à chaque instant t.

Schéma (Allure i(t))

Décalage Sinusoïdal

Réflexions

Le courant est assez fort (12.35 \(\text{A}\) efficaces). C'est typique d'un gros appareil électroménager. Il faut des câbles d'au moins 1.5 \(\text{mm}^2\) ou 2.5 \(\text{mm}^2\).

Points de vigilance

Dans l'équation temporelle, le déphasage DOIT être en radians (1.00). Mettre des degrés (57.5) dans une fonction sinus qui contient déjà du temps est une erreur dimensionnelle.

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

La loi d'Ohm s'applique avec les valeurs efficaces et Z.
Le sinus demande la valeur Max.

Le saviez-vous ?

La valeur efficace est définie thermodynamiquement : 12.35 \(\text{A}\) efficaces chauffent autant qu'un courant continu de 12.35 \(\text{A}\).

FAQ

Pourquoi le signe moins devant le 1.00 ?

Le signe moins signifie "retard". Imaginez que le courant est "en retard" pour le rendez-vous du passage à zéro. Si la tension passe à zéro à t=0, le courant passera à zéro plus tard, à t > 0.

\(i(t) \approx 17.47 \sin(314 t - 1.00)\)

A vous de jouer
Si la tension du réseau s'effondre à 0 \(\text{V}\), quelle sera l'amplitude du courant ?

📝 Mémo
Toujours Imax dans le sinus, toujours Ieff pour la puissance.

Question 5 : Puissance Active \(P\)

Principe

Dans un circuit AC, il faut distinguer la puissance apparente (\(S = UI\), dimensionnement des câbles) de la puissance active (\(P\), énergie facturée). La puissance active est la moyenne de la puissance instantanée \(p(t) = u(t)i(t)\). Seule la résistance consomme de la puissance active.

Mini-Cours

La formule fondamentale est \(P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos \phi\). Le terme \(\cos \phi\) est le "facteur de puissance". Il varie de 0 (purement inductif/capacitif) à 1 (purement résistif).

Remarque Pédagogique

L'inductance stocke de l'énergie magnétique puis la rend au réseau. Son bilan énergétique moyen est nul. Elle ne "consomme" pas de Watts.

Normes

Les fournisseurs d'électricité (comme EDF) imposent aux industriels un \(\cos \phi\) minimum (généralement > 0.93) pour ne pas transporter inutilement du courant réactif.

Formule(s)

Formules utilisées

Puissance Active (Boucherot)

P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos \phi

Variante résistive

P = R I_{\text{eff}}^2

Hypothèses

On calcule la puissance en régime permanent (une fois le régime transitoire d'allumage passé).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(U_{\text{eff}}\)	230 \(\text{V}\)
\(I_{\text{eff}}\)	12.35 \(\text{A}\)
\(\phi\)	57.5°

Astuces

Utilisez la formule \(P = R I^2\) pour vérifier votre résultat. C'est souvent plus rapide si \(R\) est donné et évite les erreurs de cosinus !

[Relation P vs S]

Calcul(s)

Calcul via le facteur de puissance

C'est la méthode la plus générale. On commence par calculer le cosinus de l'angle de déphasage :

Facteur de puissance

\begin{aligned} \cos(\phi) &= \cos(57.5^\circ) \\ &\approx 0.537 \end{aligned}

Ensuite, on applique la formule en multipliant tension, courant et ce facteur :

Calcul P

\begin{aligned} P &= 230 \times 12.35 \times 0.537 \\ &= 2840.5 \times 0.537 \\ &\approx 1525 \, \text{W} \end{aligned}

Vérification via la résistance

Puisque seule la résistance consomme de l'énergie active, on peut vérifier le résultat avec la formule de l'effet Joule :

Calcul Vérif

\begin{aligned} P &= R \times I_{\text{eff}}^2 \\ &= 10 \times (12.35)^2 \\ &= 10 \times 152.52 \\ &\approx 1525 \, \text{W} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent bien le même résultat (aux arrondis près), ce qui valide notre démarche.

Schéma (Triangle des Puissances)

Réflexions

On remarque que la puissance active (1.53 \(\text{kW}\)) est nettement inférieure à la puissance apparente (2.84 \(\text{kVA}\)). Le rendement de transport est médiocre (\(\cos \phi \approx 0.54\)).

Points de vigilance

L'unité est le Watt (W). Ne pas confondre avec les Volt-Ampères (\(\text{VA}\)) qui sont pour la puissance apparente \(S\), ou les Volt-Ampères Réactifs (\(\text{VAR}\)) pour \(Q\).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

\(P = UI \cos \phi\) : La formule reine.
Seul \(R\) chauffe et consomme P.

Le saviez-vous ?

Pour corriger ce mauvais \(\cos \phi\), on installerait une batterie de condensateurs en parallèle. C'est la "compensation de l'énergie réactive".

FAQ

La puissance est-elle constante dans le temps ?

Non ! \(P\) est une moyenne. La puissance instantanée \(p(t)\) oscille à 100 \(\text{Hz}\) (deux fois la fréquence du réseau) et passe même par des valeurs négatives (renvoi d'énergie).

\(P \approx 1.53 \, \text{kW}\)

A vous de jouer
Si la charge est purement résistive (\(\cos \phi = 1\)), quelle est la relation entre P et S ?

📝 Mémo
Le cosinus phi est le "rendement" de transmission de la puissance : il doit être le plus proche possible de 1.

Schéma Bilan Vectoriel (Fresnel)

Ce schéma de Fresnel résume graphiquement toutes les grandeurs calculées. L'angle entre U et I est bien visible.

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument

Voici la synthèse des points clés pour la puissance en régime alternatif :

⚡
Puissance Instantanée \(p(t)\) :
Elle n'est pas constante ! Elle oscille à deux fois la fréquence du réseau (\(2\omega\)).
🔋
Puissance Active \(P\) :
C'est la valeur moyenne de \(p(t)\). C'est la seule puissance "réelle" facturée en kWh résidentiel. Seule la résistance consomme de la puissance active.
📐
Facteur de Puissance :
\(\cos(\phi)\) représente l'efficacité du transfert d'énergie. Plus le déphasage est grand, plus le rendement est mauvais (beaucoup de courant pour peu de puissance active).
🔄
Rôle de l'inductance :
Elle "emprunte" de l'énergie au réseau pour créer son champ magnétique, puis la rend. Elle consomme de la puissance réactive (Q) mais pas de puissance active (P).

"En alternatif, P = UI ne suffit plus ! N'oubliez jamais le cosinus phi."

🎛️ Simulateur interactif : Puissance Instantanée

Modifiez la résistance et l'inductance ci-dessous. Observez comment la courbe de puissance instantanée (en bleu) se déforme et peut même passer en négatif lorsque l'inductance est grande (renvoi d'énergie).

Paramètres du Circuit

Résistance \(R\) (\(\Omega\)) : 10

Inductance \(L\) (mH) : 50

Déphasage \(\phi\) : - °

Puissance Active \(P\) : - W

📝 Quiz final : Testez vos connaissances

1. Quelle est l'unité de la Puissance Active (P) ?

Volt-Ampère (\(\text{VA}\))
Watt (\(\text{W}\))
Joule (\(\text{J}\))

2. Si j'augmente l'inductance L du circuit, que fait le déphasage ?

Il augmente (le courant est de plus en plus en retard)
Il diminue (le courant se rapproche de la tension)

📚 Glossaire

Puissance Instantanée: Valeur de la puissance à un instant \(t\) précis. Produit de la tension instantanée par le courant instantané : \(p(t) = u(t)i(t)\).
Déphasage: Décalage angulaire (ou temporel) entre la sinusoïde de tension et celle de courant. Causé par les composants réactifs (L ou C).
Régime sinusoïdal: État permanent d'un circuit alimenté par une tension périodique de forme trigonométrique (sinus ou cosinus).
Effet Joule: Phénomène thermique de dissipation d'énergie lors du passage du courant dans un matériau conducteur (résistance).
Pulsation (\(\omega\)): Vitesse de rotation du vecteur de Fresnel associé. Elle vaut \(2\pi\) fois la fréquence. Unité : \(\text{rad/s}\).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Schéma Électrique Équivalent

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Étude de la Puissance Instantanée dans un Circuit RL Série

Question 1 : Calcul de la pulsation \(\omega\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Périodicité Temporelle]

Calcul(s)

Calcul Principal

Schéma (Visualisation Vectorielle)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Calcul de l'impédance totale \(Z\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Composants séparés]

Calcul(s)

Calcul intermédiaire : Réactance Inductive

Calcul Principal : Impédance Totale

Schéma (Triangle de Fresnel des impédances)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul du déphasage \(\phi\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Recherche de l'angle]

Calcul(s)

Calcul de l'angle

Schéma (Résultat)

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Expression du courant \(i(t)\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

[Amplitude inconnue]

Calcul(s)

1. Calcul de I efficace

2. Calcul de I max

3. Expression Finale