Angle de phase dans un circuit R-L série
Calculer l'impédance, le courant et le déphasage dans un circuit R-L série alimenté en régime sinusoïdal.
Un circuit R-L série est constitué d'une résistance \(R\) et d'une bobine d'inductance \(L\) pure (résistance interne négligeable), montées en série et alimentées par une source de tension alternative sinusoïdale \(u(t) = U_{max} \cos(\omega t)\).
Dans un tel circuit, le courant \(i(t)\) est également sinusoïdal, de même pulsation \(\omega\), mais il est déphasé par rapport à la tension. On écrit \(i(t) = I_{max} \cos(\omega t - \phi)\), où \(\phi\) est l'angle de phase (déphasage) du courant par rapport à la tension.
La réactance inductive de la bobine est \(X_L = L\omega\).
L'impédance \(Z\) du circuit R-L série est donnée par :
L'amplitude du courant \(I_{max}\) est :
L'angle de phase \(\phi\) est donné par :
Puisque \(X_L > 0\), on aura \(\phi > 0\). Cela signifie que dans un circuit R-L série, le courant est en retard sur la tension.
Données du Problème
Un circuit R-L série est alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace \(U_{eff} = 24 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).
Les composants du circuit ont les valeurs suivantes :
- Résistance : \(R = 30 \text{ } \Omega\)
- Inductance : \(L = 150 \text{ mH} = 0.150 \text{ H}\)
On rappelle que \(U_{max} = U_{eff} \times \sqrt{2}\) et que la pulsation \(\omega = 2\pi f\).
Questions
- Calculer la pulsation (vitesse angulaire) \(\omega\) de la tension d'alimentation.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
- Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
- Calculer la valeur maximale (amplitude) \(I_{max}\) du courant dans le circuit.
- Calculer la valeur efficace \(I_{eff}\) du courant dans le circuit.
- Calculer l'angle de phase \(\phi\) (déphasage du courant par rapport à la tension) en degrés.
- Le courant est-il en avance, en retard ou en phase avec la tension ? Justifier.
Correction : Angle de phase dans un circuit R-L série
1. Calcul de la Pulsation \(\omega\)
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).
2. Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)
La réactance inductive \(X_L\) est donnée par \(X_L = L\omega\).
Données :
\(L = 0.150 \text{ H}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
La réactance inductive est \(X_L = 15\pi \text{ } \Omega \approx 47.12 \text{ } \Omega\).
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3. Calcul de l'Impédance Totale \(Z\)
L'impédance \(Z\) est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
Données :
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
\(X_L \approx 47.12 \text{ } \Omega\)
L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 55.86 \text{ } \Omega\).
4. Calcul de l'Amplitude du Courant \(I_{max}\)
L'amplitude du courant \(I_{max}\) est \(I_{max} = \frac{U_{max}}{Z}\). Il faut d'abord calculer \(U_{max}\).
Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(Z \approx 55.86 \text{ } \Omega\)
L'amplitude du courant est \(I_{max} \approx 0.608 \text{ A}\).
5. Calcul de la Valeur Efficace du Courant \(I_{eff}\)
La valeur efficace du courant \(I_{eff}\) est \(I_{eff} = \frac{U_{eff}}{Z}\) ou \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\).
Données :
\(U_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(Z \approx 55.86 \text{ } \Omega\)
\(I_{max} \approx 0.608 \text{ A}\)
Vérification :
La valeur efficace du courant est \(I_{eff} \approx 0.430 \text{ A}\).
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6. Calcul de l'Angle de Phase \(\phi\)
L'angle de phase \(\phi\) est donné par \(\tan(\phi) = \frac{X_L}{R}\).
Données :
\(X_L = 15\pi \text{ } \Omega \approx 47.12 \text{ } \Omega\)
\(R = 30 \text{ } \Omega\)
Note : \(\phi\) peut aussi être calculé par \(\cos(\phi) = R/Z\) ou \(\sin(\phi) = X_L/Z\).
\(\cos(\phi) = 30 / 55.86 \approx 0.537\) \(\Rightarrow\) \(\phi = \arccos(0.537) \approx 57.52^\circ\).
L'angle de phase est \(\phi \approx 57.5^\circ\).
7. Nature du Déphasage
On analyse le signe de \(\phi\).
Données :
\(\phi \approx 57.5^\circ\)
Puisque \(\phi \approx 57.5^\circ\), on a \(\phi > 0\).
Un angle de phase positif signifie que le courant \(i(t) = I_{max} \cos(\omega t - \phi)\) atteint son maximum (et ses autres phases caractéristiques) après la tension \(u(t) = U_{max} \cos(\omega t)\).
Le courant est en retard sur la tension de \(57.5^\circ\). Le circuit est de nature inductive.
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Glossaire des Termes Clés
Circuit R-L série :
Circuit électrique comprenant une résistance (R) et une bobine d'inductance (L) connectées en série.
Impédance (\(Z\)) :
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due à son inductance. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Angle de Phase (\(\phi\)) :
Déphasage entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence. Dans un circuit R-L, c'est le déphasage du courant par rapport à la tension. Un \(\phi > 0\) indique un courant en retard sur la tension.
Valeur Efficace (U\(_{eff}\), I\(_{eff}\)) :
Valeur d'un courant continu (ou d'une tension continue) qui produirait le même effet Joule (dissipation de chaleur) dans une résistance qu'un courant alternatif (ou une tension alternative) donné. Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = U_{max}/\sqrt{2}\).
Amplitude (U\(_{max}\), I\(_{max}\)) :
Valeur maximale atteinte par une grandeur sinusoïdale.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment l'angle de phase \(\phi\) évolue-t-il si la fréquence \(f\) augmente dans un circuit R-L série ? Et si l'inductance \(L\) augmente ?
2. Qu'est-ce que le facteur de puissance d'un circuit R-L série ? Comment est-il lié à l'angle de phase \(\phi\) ?
3. Tracez le diagramme de Fresnel des tensions pour un circuit R-L série. Comment peut-on y retrouver l'angle de phase \(\phi\) ?
4. Dans quelles applications industrielles ou domestiques trouve-t-on des circuits R-L (par exemple, moteurs, transformateurs, ballasts de lampes fluorescentes) ? Pourquoi le déphasage est-il important dans ces cas ?
5. Comment pourrait-on "compenser" le déphasage introduit par une charge inductive pour améliorer le facteur de puissance d'une installation ? (Indice : penser à un autre type de composant réactif).
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