Calcul de la vitesse de groupe d’une onde

Dans le vide, deux crêtes de l’onde sont espacées de 600 nm.

Résultat

\[\lambda_{\text{verre}} = 400 \; \mathrm{nm}\]

2. Calcul de la vitesse de phase

La vitesse de phase \(v_{\phi}\) correspond à la vitesse de déplacement de chaque crête de l’onde, comme si tu regardais le front d’une vague se déplacer à la surface de l’eau. Dans le vide, ces fronts voyagent à la vitesse \(c\). Dans un matériau, ils sont ralentis par l’indice \(n\). Plus \(n\) est élevé, plus le front d’onde met de temps à franchir chaque « strate » du matériau.

Formule

\[v_{\phi} = \frac{c}{n}\]

Données

• \(c = 3{,}0 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}\)
• \(n = 1{,}50\)

Calcul

\[v_{\phi} = \frac{3{,}0 \times 10^8}{1{,}50} \] \[v_{\phi} = 2{,}0 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}.\]

Interprétation :

\[v_{\phi} = 2{,}0 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}\]

3. Dépendance de l’indice de réfraction avec la fréquence

Pensez à un ressort que tu plies et relâches : si tu changes la vitesse de va-et-vient, la raideur effective du ressort peut changer légèrement. De même, certains matériaux voient leur indice de réfraction varier en fonction de la fréquence \(f\) de la lumière. On modélise cette variation par une petite oscillation sinusoidale :

• Valeur moyenne : 1,5 (c’est la valeur sans variation).
• Amplitude de l’oscillation : 0,1 (variation très faible).
• Période liée à \(2\pi \times 10^{-3} f\).

Nous évaluons cette formule en \(f = 500{,}001 \; \mathrm{THz}\), soit quasiment la même fréquence que précédemment, pour observer la petite différence.

Formule

\[n(f) = 1{,}5 + 0{,}1 \, \sin\bigl(2\pi \times 10^{-3} \; f\bigr).\]

Données

• \(f = 500{,}001 \; \mathrm{THz}\)
• Amplitude : \(0{,}1\)
• Facteur angulaire : \(2\pi \times 10^{-3}\)

Calcul

1. Angle (en radians)
\[\theta = 2\pi \times 10^{-3} \times 500{,}001 \] \[\theta \approx 3{,}1416 \; \mathrm{rad}.\]
Cela correspond presque exactement à \(\pi\).

2. Valeur du sinus
\[\sin(\theta) \approx -6{,}2832 \times 10^{-6}.\]
Comme l’angle est très proche de \(\pi\), le sinus est presque nul et légèrement négatif.

3. Indice corrigé
\[n = 1{,}5 + 0{,}1 \times (-6{,}2832 \times 10^{-6}) \] \[n \approx 1{,}49999937.\]

Résultat

\[n(f=500{,}001 \; \mathrm{THz}) \approx 1{,}49999937\]

4. Calcul de la vitesse de groupe

Imaginez un groupe de surfeurs (chaque surfeur représente une fréquence différente) surfant ensemble sur une vague. La vitesse de groupe \(v_g\) est la vitesse à laquelle l’ensemble du groupe (l’enveloppe de la vague) avance. Cette vitesse dépend :

• De la vitesse de phase \(c/n\).
• De la façon dont l’indice \(n\) change avec la fréquence \(f\).

Plus l’indice varie fortement avec la fréquence, plus la vitesse du paquet global sera différente de la vitesse des crêtes individuelles.

Formules

\[\frac{dn}{df} = 0{,}1 \, \cos\bigl(2\pi \times 10^{-3} f\bigr) \times (2\pi \times 10^{-3}),\]
\[v_{g} = \frac{c}{n + f \frac{dn}{df}}.\]

Données

• \(c = 3{,}0 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}\)
• \(f = 500 \; \mathrm{THz}\)
• \(n = 1{,}50\)

Calculs

1. Cosinus
\[2\pi \times 10^{-3} \times 500 = \pi, \quad \cos(\pi) = -1.\]

2. Dérivée \(dn/df\)
\[\frac{dn}{df} = 0{,}1 \times (2\pi \times 10^{-3}) \times (-1) \] \[\frac{dn}{df} \approx -6{,}2832 \times 10^{-4}.\]

3. Terme \(f \frac{dn}{df}\)
\[f \frac{dn}{df} = 500 \times (-6{,}2832 \times 10^{-4}) \] \[f = -0{,}31416.\]

4. Dénominateur
\[n + f \frac{dn}{df} = 1{,}50 - 0{,}31416 = 1{,}18584.\]

5. Vitesse de groupe
\[v_{g} = \frac{3{,}0 \times 10^8}{1{,}18584} \] \[v_{g} \approx 2{,}53 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}.\]

Résultat

\[v_{g} \approx 2{,}53 \times 10^8 \; \mathrm{m/s}\]