Analyse d'une Installation de Climatisation
Contexte : Efficacité énergétique d'un groupe froid.
Un supermarché souhaite auditer son installation de climatisation centrale. Le compresseur principal est entraîné par un moteur électrique fonctionnant en courant alternatif monophasé. Le gestionnaire a remarqué que le Facteur de PuissanceRatio entre la puissance active (utile) et la puissance apparente. Noté cos phi. est faible, ce qui entraîne des pénalités sur la facture d'électricité et une surcharge des câbles. Ce phénomène est typique des moteurs inductifs fonctionnant à charge partielle, où la puissance réactive nécessaire à la magnétisation reste constante alors que la puissance active diminue.
Remarque Pédagogique : Cet exercice permet de manipuler les concepts fondamentaux de puissance en régime alternatif sinusoïdal (Active, Réactive, Apparente) et de comprendre l'intérêt économique et technique de la compensation par condensateur (relèvement du cosinus phi).
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le courant absorbé par une charge inductive.
- Déterminer les puissances active \(P\), réactive \(Q\) et apparente \(S\).
- Dimensionner une batterie de condensateurs pour relever le facteur de puissance (\(\cos \varphi\)).
Données de l'étude
Le moteur du compresseur est alimenté par le réseau standard. Nous considérons le système en régime permanent sinusoïdal.
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension d'alimentation (\(U\)) | 230 V |
| Fréquence (\(f\)) | 50 Hz |
| Puissance ActivePuissance réellement transformée en travail mécanique. (\(P\)) | 3000 W |
| Facteur de puissance (\(\cos \varphi_1\)) | 0.70 |
Schéma du Système (Avant Compensation)
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | 3000 | W |
| Tension Réseau | \(U\) | 230 | V |
| Facteur de Puissance | \(\cos \varphi\) | 0.70 | - |
Questions à traiter
- Calculer la valeur efficace du courant de ligne \(I\) consommé par le moteur.
- Calculer la puissance réactive \(Q\) consommée par le moteur.
- On souhaite relever le facteur de puissance à \(\cos \varphi_2 = 0.95\). Calculer la puissance réactive \(Q_C\) que doit fournir le condensateur.
- En déduire la capacité \(C\) du condensateur à installer en parallèle.
Les bases théoriques
En régime alternatif sinusoïdal, la tension et le courant varient constamment. Si ces deux ondes ne sont pas parfaitement synchronisées (déphasage), toute la puissance n'est pas utilisable. C'est ce qui définit les trois types de puissances.
Puissance Active (Utile)
C'est la puissance réellement transformée en travail (rotation du moteur) ou en chaleur (effet Joule). C'est la moyenne de la puissance instantanée. C'est elle qui est facturée au compteur "kWh".
Formule Puissance Active
Puissance Réactive (Magnétisante)
C'est une énergie fluctuante qui fait des aller-retours entre la source et la charge pour créer les champs magnétiques nécessaires au fonctionnement des machines (moteurs, transformateurs). Elle ne produit aucun travail utile mais elle est indispensable. Le problème est qu'elle charge les lignes de courant "inutile".
Formule Puissance Réactive
Puissance Apparente (Dimensionnante)
C'est la somme vectorielle de P et Q. Elle correspond au dimensionnement "physique" de l'installation (taille des câbles, puissance du transformateur) car elle prend en compte le courant total qui circule.
Triangle des Puissances
Correction : Analyse d'une Installation de Climatisation
Question 1 : Calcul du Courant de Ligne \(I\)
Principe
On connaît la puissance active absorbée par le moteur (\(P = 3000 \text{ W}\)) et son facteur de puissance (\(\cos \varphi = 0.70\)). Le courant \(I\) que nous cherchons est celui qui traverse effectivement les câbles d'alimentation. La relation fondamentale en monophasé lie ces grandeurs : \(P = U \cdot I \cdot \cos \varphi\). Pour trouver \(I\), il suffit d'inverser cette formule.
Mini-Cours
Distinction P vs S : La puissance active \(P\) (en Watts) est la part d'énergie qui est irrémédiablement convertie (en mouvement ou chaleur). C'est ce que vous payez. La puissance apparente \(S = U \cdot I\) (en Volt-Ampères) représente la "capacité" totale sollicitée sur le réseau. C'est elle qui dimensionne les câbles et le transformateur.
Remarque Pédagogique
Imaginez un cheval tirant une péniche le long d'un canal. S'il tire droit (dans l'axe), toute sa force est utile (\(\cos \varphi = 1\)). S'il tire de travers (avec un angle), il doit forcer beaucoup plus pour faire avancer le bateau à la même vitesse. Le "courant" supplémentaire correspond à cet effort gâché.
Normes
Le calcul de ce courant \(I\) est l'étape n°1 pour appliquer la norme NF C 15-100. C'est cette valeur qui permettra de définir la section minimale des conducteurs (ex: 2.5 mm² ou 4 mm²) et le calibre du disjoncteur de protection (ex: 20A ou 32A) pour éviter la surchauffe et l'incendie.
Formule(s)
Formules utilisées
Puissance Active Monophasée
Isolement de l'Intensité
Hypothèses
Pour appliquer cette loi, nous posons les hypothèses suivantes :
- Le régime est sinusoïdal établi (la tension et le courant sont des ondes régulières à 50Hz).
- La tension du réseau est parfaitement stable à 230V.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | 3000 | W |
| Tension Réseau | \(U\) | 230 | V |
| Facteur de Puissance | \(\cos \varphi\) | 0.70 | - |
Astuces
Vérification rapide : Le courant \(I\) doit toujours être supérieur ou égal à \(P/U\). Calculons \(P/U = 3000/230 \approx 13 \text{ A}\). Si votre résultat final est inférieur à 13 A, vous avez fait une erreur (probablement multiplié par 0.7 au lieu de diviser).
Flux de Puissance (Avant)
Calcul(s)
1. Analyse des unités
La puissance est donnée en Watts (W) et la tension en Volts (V). C'est parfait, nous n'avons pas besoin de convertir.
2. Calcul de l'intensité I (Détaillé)
Pose de la formule
Nous isolons l'intensité \(I\) en divisant la puissance active par la tension et le facteur de puissance :
Nous remplaçons maintenant les variables par les valeurs de l'énoncé (\(P=3000\), \(U=230\), \(\cos \varphi=0.70\)) :
Effectuons d'abord le calcul du dénominateur (la "puissance apparente unitaire") : \(230 \times 0.70 = 161\).
Il ne reste plus qu'à effectuer la division finale pour obtenir l'intensité :
On arrondit généralement à deux décimales, ce qui nous donne 18.63 Ampères.
Application numérique finale
On part de la formule et on remplace par les valeurs :
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
Le courant est de 18.63 A. Si le moteur était "parfait" (purement résistif, \(\cos \varphi=1\)), le courant ne serait que de \(3000/230 \approx 13.04 \text{ A}\). Le "mauvais" cosinus phi provoque une surcharge de +5.6 A (soit +43% !). C'est ce courant supplémentaire qui chauffe inutilement les câbles par effet Joule.
Points de vigilance
Erreur classique : Ne jamais utiliser la formule \(P=UI\) pour un moteur en alternatif ! Cette formule n'est vraie qu'en courant continu ou pour une résistance pure. Ici, \(P \neq 230 \times 18.63 = 4285\). C'est la puissance apparente \(S\) qui vaut 4285 VA.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser pour cette étape :
- La formule de puissance active en monophasé : \(P = UI \cos \varphi\).
- L'intensité réelle est toujours plus grande que l'intensité "idéale" (\(P/U\)).
Le saviez-vous ?
Dans une habitation standard, les circuits de prises sont protégés par des disjoncteurs 16A ou 20A. Ici, avec 18.63A, un disjoncteur 16A déclencherait au bout de quelques minutes à cause de la surcharge thermique. Il faudrait impérativement un circuit dédié 20A (câblé en 2.5mm²) ou 32A (câblé en 6mm²).
FAQ
Est-ce que je paie pour ce courant supplémentaire ?
En tant que particulier, non (le compteur Linky facture les kWh actifs). Mais Enedis, le gestionnaire du réseau, "subit" ce courant qui sature ses transformateurs. C'est pour cela que pour les industriels, l'énergie réactive est facturée si elle est excessive.
A vous de jouer
Si le cos φ était de 1 (cas idéal), quel serait le courant pour la même puissance (3000W) ?
📝 Mémo
Formule magique : \(I = \frac{P}{U \cdot \cos \varphi}\).
Question 2 : Calcul de la Puissance Réactive \(Q\)
Principe
La puissance réactive \(Q\) est une grandeur physique un peu abstraite mais essentielle. Elle correspond à l'énergie qui fait des aller-retours incessants entre la source (le réseau) et les bobinages du moteur pour créer et maintenir les champs magnétiques. Contrairement à la puissance active, elle ne produit aucun travail mécanique direct, mais sans elle, le moteur ne pourrait pas magnétiser et donc ne tournerait pas.
Mini-Cours
Le Triangle des Puissances : On représente souvent les puissances sous forme géométrique :
- L'axe horizontal est la Puissance Active \(P\) (W).
- L'axe vertical est la Puissance Réactive \(Q\) (VAR).
- L'hypoténuse est la Puissance Apparente \(S\) (VA).
Remarque Pédagogique
L'analogie la plus célèbre est celle de la bière. Le verre entier représente la puissance apparente \(S\) (ce que le barman vous sert). La bière liquide est la puissance active \(P\) (ce que vous buvez réellement). La mousse est la puissance réactive \(Q\) (elle prend du volume dans le verre, est nécessaire pour la fraîcheur, mais ne se boit pas vraiment).
Normes
L'unité normative internationale pour la puissance réactive est le VAR (Volt-Ampère Réactif). Il est crucial de respecter cette notation (et non des Watts) pour que les ingénieurs sachent immédiatement de quel type d'énergie on parle.
Formule(s)
Formules utilisées
Relation Trigonométrique
Hypothèses
On suppose que le moteur est une charge inductive linéaire standard, donnant une puissance réactive positive \(Q > 0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Puissance Active | \(P\) | 3000 W |
| Facteur de Puissance | \(\cos \varphi\) | 0.70 |
Astuces
Calculatrice : Assurez-vous d'être en mode DEGRÉS (DEG) pour calculer l'arccosinus (\(\cos^{-1}\)).
Triangle des Puissances (Initial)
Calcul(s)
1. Calcul de l'angle de déphasage \(\varphi\) (Détaillé)
On sait que \(\cos \varphi = 0.70\). Pour trouver l'angle \(\varphi\) en degrés, on utilise la fonction inverse du cosinus (Arccos) sur la calculatrice :
Cet angle de 45.57° représente le décalage temporel entre l'onde de tension et l'onde de courant.
2. Calcul de la tangente (Détaillé)
On calcule ensuite la tangente de cet angle, car c'est le rapport direct entre le côté opposé (Q) et le côté adjacent (P) du triangle des puissances :
Une tangente supérieure à 1 signifie que la puissance réactive \(Q\) sera supérieure à la puissance active \(P\). C'est le signe d'un mauvais rendement énergétique.
3. Calcul final de Q (Détaillé)
Application numérique
On multiplie la puissance active \(P\) par la tangente trouvée pour obtenir la hauteur du triangle :
Nous avons donc une consommation de 3060 VAR d'énergie magnétique.
Schéma (Après les calculs)
Triangle Résolu
Réflexions
On remarque que \(Q \approx P\). C'est une situation énergétiquement très mauvaise ! Cela signifie que pour chaque Watt de puissance utile, le réseau doit fournir (et reprendre) environ 1 VAR de puissance "magnétisante".
Points de vigilance
Unité : Ne jamais écrire \(Q = 3060 \text{ W}\) ou \(Q = 3060 \text{ VA}\). L'unité est le VAR (Volt-Ampère Réactif). Cette distinction permet de savoir immédiatement qu'on parle d'une puissance qui ne chauffe pas et ne fournit pas de travail.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser : Si \(\cos \varphi\) est bas, \(\tan \varphi\) est élevé, donc \(Q\) est grand.
Le saviez-vous ?
Sur les compteurs industriels (Tarif Jaune/Vert), l'énergie réactive est mesurée séparément et facturée si elle dépasse un certain seuil.
FAQ
Est-ce que cette puissance Q chauffe le moteur ?
Non, Q ne produit pas de chaleur directe (c'est P qui le fait). Mais le courant total \(I\) nécessaire pour transporter Q provoque des pertes par effet Joule (\(RI^2\)) dans les enroulements du moteur et les câbles, ce qui les fait chauffer.
A vous de jouer
Si le cos φ était de 0.8, combien vaudrait Q ? (Rappel : \(\tan(\arccos 0.8) = 0.75\))
📝 Mémo
Moyen mnémotechnique : "Q" comme "Quantité de magnétisme".
Question 3 : Puissance Réactive du Condensateur \(Q_C\)
Principe
Pour améliorer le cosinus phi (le faire tendre vers 1), il faut diminuer la puissance réactive totale consommée par l'installation vue du réseau. Le moteur a besoin de \(Q_{\text{moteur}} = 3060 \text{ VAR}\) pour fonctionner, on ne peut pas changer cela. L'astuce consiste à installer un condensateur juste à côté du moteur. Le condensateur a la propriété magique de produire de la puissance réactive (négative par convention, ou fournie) alors que le moteur la consomme. Le condensateur va donc fournir l'énergie réactive au moteur "sur place", soulageant ainsi le réseau EDF.
Mini-Cours
Théorème de Boucherot (pour le Réactif) : La puissance réactive totale est la somme algébrique des puissances réactives : \(Q_{\text{total}} = Q_{\text{moteur}} + Q_{\text{condensateur}}\). Comme \(Q_{\text{moteur}} > 0\) et \(Q_{\text{condensateur}} < 0\) (fournie), la somme diminue en valeur absolue.
Remarque Pédagogique
Imaginez que le moteur est un bébé qui a besoin de lait (Q) et de purée (P). Avant, la maman (Réseau) devait tout apporter. Maintenant, on installe une vache (Condensateur) juste à côté du bébé. La vache fournit le lait directement. La maman n'a plus qu'à apporter la purée. Elle est moins chargée !
Normes
Pourquoi viser \(\cos \varphi_2 = 0.95\) ? C'est une valeur technico-économique standard. En dessous de 0.93 (\(\tan \varphi > 0.4\)), on paie des pénalités. Viser 1.00 est risqué (risque de surtension si la charge baisse). 0.95 est le juste milieu.
Formule(s)
Formules utilisées
Dimensionnement Batterie
C'est la formule reine de la compensation. Elle dérive directement de la différence des triangles de puissance.
Hypothèses
On considère que la compensation est "fixe" (condensateur branché en permanence avec le moteur). On suppose aussi que la puissance active \(P\) reste strictement identique avant et après.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Cible Cos Phi | \(\cos \varphi_2\) | 0.95 |
| Puissance Active | \(P\) | 3000 W |
| Tan Phi Initial | \(\tan \varphi_1\) | 1.020 (calculé avant) |
Astuces
Gagnez du temps : ne recalculez pas tout ! Vous avez déjà \(\tan \varphi_1\). Il suffit de calculer la nouvelle tangente cible.
Principe de la Compensation
Calcul(s)
1. Calcul de la nouvelle tangente cible (Détaillé)
On cherche l'angle correspondant à un cosinus de 0.95 :
Puis la tangente de cet angle :
On constate que la nouvelle tangente (0.329) est beaucoup plus petite que l'ancienne (1.020). C'est le but recherché.
2. Calcul de la différence des tangentes
On soustrait la nouvelle tangente de l'ancienne pour savoir ce qu'il faut "enlever" :
3. Calcul de la puissance du condensateur
Application numérique
On multiplie cette différence par la puissance active :
(Note : la valeur exacte dépend des arrondis intermédiaires, 2073 VAR est accepté).
Schéma (Après les calculs)
Réduction du Triangle
Réflexions
Le condensateur doit fournir environ 2073 VAR, soit les deux tiers du besoin du moteur. Le réseau ne fournira plus que le tiers restant (987 VAR). Cela va considérablement réduire l'intensité en ligne.
Points de vigilance
Surcompensation : Si on met un condensateur trop gros (ex: 4000 VAR), \(Q_{\text{total}}\) deviendrait négatif. L'installation deviendrait capacitive. Cela peut provoquer des résonances avec le transformateur et des surtensions dangereuses pour l'électronique.
Points à Retenir
On soustrait les tangentes (\(\tan \varphi_1 - \tan \varphi_2\)), jamais les cosinus ! La puissance active P reste invariante.
Le saviez-vous ?
Dans les très grandes installations (réseau de transport haute tension), on utilisait autrefois des "compensateurs synchrones", qui sont littéralement des moteurs tournant à vide juste pour générer du réactif !
FAQ
Peut-on compenser à 100% (cos phi = 1) ?
Oui, théoriquement. Mais c'est économiquement peu rentable et techniquement risqué. On s'arrête généralement à 0.95 ou 0.96.
A vous de jouer
Si on voulait un cos phi parfait de 1 (\(\tan \varphi_2 = 0\)), quel serait le \(Q_C\) requis ?
📝 Mémo
Le condensateur "bouche le trou" du réactif.
Question 4 : Calcul de la Capacité \(C\)
Principe
Une fois la puissance réactive \(Q_C\) connue, il faut trouver la valeur physique du composant (condensateur) capable de la générer sous la tension du réseau. Mais un condensateur s'achète en Farads (ou microfarads), pas en VAR. Nous allons utiliser la formule de l'impédance pour faire ce lien.
Mini-Cours
Lien Impédance - Puissance :
1. L'impédance d'un condensateur est \(Z_C = \frac{1}{C\omega}\).
2. La puissance réactive qu'il absorbe (ou fournit) est \(Q_C = \frac{U^2}{Z_C}\).
3. En remplaçant \(Z_C\), on obtient : \(Q_C = U^2 \cdot C \cdot \omega\).
Remarque Pédagogique
Observez la formule \(Q = U^2 C \omega\). La puissance fournie dépend du carré de la tension ! Si la tension réseau chute de 10% (207V au lieu de 230V), la puissance de compensation chute de 19% !
Normes
Les condensateurs de puissance doivent être conformes à la norme CEI 60831.
Formule(s)
Formules utilisées
Isolement de la Capacité
Hypothèses
On suppose que la tension est une sinusoïde parfaite de 50Hz.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Puissance Condensateur (\(Q_C\)) | 2073 VAR |
| Tension (\(U\)) | 230 V |
| Fréquence (\(f\)) | 50 Hz |
Astuces
Ordres de grandeur : En 230V, 1 kVAR de compensation nécessite environ 60 µF. Ici on a 2 kVAR, donc on s'attend à environ 120 µF.
Composant Physique
Calcul(s)
1. Calcul de la pulsation \(\omega\) (Détaillé)
La pulsation \(\omega\) est la vitesse de rotation électrique en radians par seconde. Pour le réseau 50Hz :
C'est une constante très utile à retenir en électricité (environ 314 rad/s).
2. Calcul du dénominateur (Détaillé)
Dans la formule \(C = Q_C / (U^2 \cdot \omega)\), le dénominateur est grand. Calculons-le séparément pour éviter les erreurs. D'abord le carré de la tension :
Puis on multiplie par la pulsation :
Ce très grand nombre explique pourquoi la capacité finale sera très petite.
3. Division finale (Détaillé)
Application numérique
On divise maintenant la puissance réactive \(Q_C\) par ce dénominateur :
Le résultat brut est en Farads, l'unité standard du Système International.
4. Conversion en microFarads (Détaillé)
Le Farad est une unité trop grande pour les composants courants. On convertit en microfarads (\(\mu \text{F}\)) en multipliant par \(1 000 000\) (soit \(10^6\)) :
Nous chercherons donc un condensateur de valeur normalisée proche de 125 µF.
Schéma (Résultat)
Composant Identifié
Réflexions
On choisira dans un catalogue standard la valeur normalisée la plus proche, par exemple 125 µF ou deux condensateurs de 60 µF en parallèle.
Points de vigilance
Tension de service : Attention ! Sur le réseau 230V, la tension efficace est de 230V, mais la tension de crête est de \(230 \times \sqrt{2} \approx 325 \text{ V}\). Il faut impérativement choisir un condensateur marqué 400V AC ou 450V AC. Un modèle 250V claquerait très rapidement.
Points à Retenir
La relation \(C = Q / (U^2 \omega)\) et l'importance de la conversion d'unités (Farad vers µF).
Le saviez-vous ?
Les condensateurs contiennent une résistance de décharge interne pour la sécurité.
FAQ
Que se passe-t-il si la capacité baisse avec l'âge ?
La puissance réactive fournie \(Q_C\) diminue (elle est proportionnelle à C). Donc le cos phi global de l'installation va se dégrader lentement avec le temps.
A vous de jouer
Si la fréquence était de 60Hz (USA), faudrait-il une capacité plus grande ou plus petite pour fournir le même \(Q_C\) ?
Réponse : Plus petite (car \(f\) est au dénominateur).
📝 Mémo
\(C = Q / (U^2 \cdot \omega)\).
Schéma Bilan de l'Exercice
Ce schéma résume l'installation finale compensée.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
-
📉
Point Clé 1 : Impact du cos φ
Un cos φ faible augmente le courant \(I\) pour une même puissance utile, ce qui chauffe les câbles inutilement et surcharge le réseau. -
🔋
Point Clé 2 : Rôle du Condensateur
Il agit comme un réservoir d'énergie réactive locale. Il fournit l'énergie magnétique au moteur à la place du réseau EDF. -
📐
Point Clé 3 : Méthode de calcul
On calcule les tangentes des angles \(\varphi\) avant et après, puis on applique \(Q_C = P (\tan \varphi_{\text{avant}} - \tan \varphi_{\text{apres}})\). -
⚠️
Point Clé 4 : Sécurité
Toujours choisir un condensateur dont la tension nominale est supérieure à la tension crête du réseau (400V pour du 230V).
🎛️ Simulateur interactif
Voyez comment le courant évolue en fonction du facteur de puissance pour une puissance active de 3kW.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la puissance réactive (Q) ?
2. Ajouter un condensateur en parallèle sur un moteur inductif...
📚 Glossaire
- Charge Inductive
- Récepteur consommant de l'énergie réactive (ex: moteurs, bobines).
- Compensation
- Action d'ajouter des condensateurs pour améliorer le cos φ.
- Impédance (Z)
- Opposition totale au passage du courant en alternatif (\(Z = U/I\)).
- Pulsation (\(\omega\))
- Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\).
- Sinusoïdal
- Forme d'onde standard du réseau électrique.
Le Saviez-vous ?
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