Étude des Temps d'État dans les Signaux

Énoncé : Étude des Temps d’État dans les Signaux

En électronique numérique, les signaux varient entre deux états principaux : un état HAUT (souvent associé à la valeur logique '1') et un état BAS (souvent associé à la valeur logique '0'). L'analyse des durées passées dans chaque état est essentielle pour comprendre le fonctionnement des circuits logiques et des systèmes de communication.

Contexte

La synchronisation des opérations dans les systèmes numériques repose sur des signaux d'horloge, qui sont des signaux périodiques (souvent carrés). Les durées des états HAUT et BAS, ainsi que leur rapport (le rapport cyclique), déterminent le timing des opérations. Dans les transmissions de données série (comme USB, Ethernet), les séquences d'états HAUT et BAS et leurs durées encodent l'information. L'analyse précise de ces temps est donc cruciale pour assurer la fiabilité et la performance de ces systèmes.

Signal numérique périodique montrant la période (T), le temps à l'état HAUT (\(t_H\)) et le temps à l'état BAS (\(t_L\)).

Données du Problème

On analyse le signal numérique périodique représenté ci-dessus.

Période du signal : \(T = 50 \, \mu\text{s}\) (microsecondes)
Durée pendant laquelle le signal est à l'état HAUT : \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)
Niveau de tension HAUT : \(V_H = 3,3 \, \text{V}\)
Niveau de tension BAS : \(V_L = 0 \, \text{V}\)

Questions

Convertir la période \(T\) et le temps haut \(t_H\) en secondes (s).
Calculer la durée \(t_L\) pendant laquelle le signal est à l'état BAS au cours d'une période.
Calculer la fréquence \(f\) du signal en Hertz (Hz), puis en kilohertz (kHz).
Calculer le rapport cyclique \(\alpha\) du signal (pourcentage du temps passé à l'état HAUT).
Si la période \(T\) est doublée, mais que le temps haut \(t_H\) reste le même, quelle est la nouvelle valeur du rapport cyclique \(\alpha'\) ?

Correction : Étude des Temps d’État dans les Signaux

1. Conversion des Temps en Secondes

Les temps sont donnés en microsecondes (\(\mu\)s). Pour les calculs de fréquence, il est nécessaire de les convertir en secondes (s). Rappel : \(1 \, \mu\text{s} = 10^{-6} \, \text{s}\).

Données pour cette étape

Période \(T = 50 \, \mu\text{s}\)
Temps haut \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)

Calculs

Conversion de la période \(T\) :

\begin{aligned} T &= 50 \, \mu\text{s} \\ &= 50 \times 10^{-6} \, \text{s} \\ &= 0,000050 \, \text{s} \end{aligned}

Conversion du temps haut \(t_H\) :

\begin{aligned} t_H &= 15 \, \mu\text{s} \\ &= 15 \times 10^{-6} \, \text{s} \\ &= 0,000015 \, \text{s} \end{aligned}

Résultats

La période en secondes est \(T = 5,0 \times 10^{-5} \, \text{s}\).
Le temps haut en secondes est \(t_H = 1,5 \times 10^{-5} \, \text{s}\).

2. Calcul du Temps Bas \(t_L\)

La période \(T\) est la somme du temps passé à l'état HAUT (\(t_H\)) et du temps passé à l'état BAS (\(t_L\)). Donc, \(T = t_H + t_L\), ce qui implique \(t_L = T - t_H\).

Données pour cette étape

Période \(T = 50 \, \mu\text{s}\)
Temps haut \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} t_L &= T - t_H \\ &= 50 \, \mu\text{s} - 15 \, \mu\text{s} \\ &= 35 \, \mu\text{s} \end{aligned}

Résultat

La durée pendant laquelle le signal est à l'état BAS est \(t_L = 35 \, \mu\text{s}\).

3. Calcul de la Fréquence \(f\)

La fréquence \(f\) est l'inverse de la période \(T\). On utilise la période exprimée en secondes. \(f = \frac{1}{T}\). Rappel : \(1 \, \text{kHz} = 10^3 \, \text{Hz}\).

Données pour cette étape

Période \(T = 50 \times 10^{-6} \, \text{s}\) (calculée à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} f &= \frac{1}{T} \\ &= \frac{1}{50 \times 10^{-6} \, \text{s}} \\ &= \frac{1}{0,000050 \, \text{s}} \\ &= 20000 \, \text{Hz} \\ &= 20 \times 10^3 \, \text{Hz} \\ &= 20 \, \text{kHz} \end{aligned}

Résultat

La fréquence du signal est \(f = 20000 \, \text{Hz}\), soit \(f = 20 \, \text{kHz}\).

4. Calcul du Rapport Cyclique \(\alpha\)

Le rapport cyclique \(\alpha\) est le rapport entre le temps haut \(t_H\) et la période \(T\), exprimé en pourcentage. \[ \alpha = \frac{t_H}{T} \times 100\% \]

Données pour cette étape

Temps haut \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)
Période \(T = 50 \, \mu\text{s}\)

Calcul

\begin{aligned} \alpha &= \frac{t_H}{T} \times 100\% \\ &= \frac{15 \, \mu\text{s}}{50 \, \mu\text{s}} \times 100\% \\ &= 0,3 \times 100\% \\ &= 30\% \end{aligned}

Résultat

Le rapport cyclique du signal est \(\alpha = 30\%\).

5. Nouveau Rapport Cyclique \(\alpha'\)

La période initiale est \(T = 50 \, \mu\text{s}\). La nouvelle période est \(T' = 2 \times T\). Le temps haut \(t_H\) reste inchangé : \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\). Le nouveau rapport cyclique \(\alpha'\) est calculé avec la nouvelle période \(T'\). \[ \alpha' = \frac{t_H}{T'} \times 100\% \]

Données pour cette étape

Temps haut \(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)
Période initiale \(T = 50 \, \mu\text{s}\)

Calculs

a) Nouvelle période \(T'\) :

\begin{aligned} T' &= 2 \times T \\ &= 2 \times 50 \, \mu\text{s} \\ &= 100 \, \mu\text{s} \end{aligned}

b) Nouveau rapport cyclique \(\alpha'\) :

\begin{aligned} \alpha' &= \frac{t_H}{T'} \times 100\% \\ &= \frac{15 \, \mu\text{s}}{100 \, \mu\text{s}} \times 100\% \\ &= 0,15 \times 100\% \\ &= 15\% \end{aligned}

Résultat

Si la période est doublée (\(T' = 100 \, \mu\text{s}\)) et que le temps haut reste le même (\(t_H = 15 \, \mu\text{s}\)), le nouveau rapport cyclique est \(\alpha' = 15\%\).