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Exercices Électricité

Optimisation de la Transmission Électrique

Optimisation de la Transmission Électrique

Optimisation de la Transmission Électrique

Comprendre l'importance de la haute tension pour minimiser les pertes par effet Joule lors du transport de l'énergie électrique et calculer ces pertes ainsi que le rendement de la transmission.

Le transport de l'énergie électrique sur de longues distances, depuis les centrales de production jusqu'aux consommateurs, s'accompagne inévitablement de pertes d'énergie. Une part importante de ces pertes est due à l'effet Joule dans les câbles conducteurs de la ligne de transmission.

La puissance perdue par effet Joule (\(P_J\)) dans un conducteur de résistance \(R\) traversé par un courant d'intensité \(I\) est donnée par :

\[ P_J = R \cdot I^2 \]

La résistance \(R\) d'un câble conducteur de longueur \(L\), de section \(A_{cable}\) et de résistivité \(\rho\) est :

\[ R = \rho \frac{L_{totale}}{A_{cable}} \]

Pour une ligne bifilaire (deux conducteurs : aller et retour), la longueur totale de câble est \(L_{totale} = 2 \times L_{distance}\).

La puissance électrique \(P\) transportée sous une tension \(U\) par un courant \(I\) avec un facteur de puissance \(\cos \phi\) est \(P = U \cdot I \cdot \cos \phi\). Pour une charge purement résistive ou pour simplifier, si on considère la puissance apparente \(S = U \cdot I\), alors \(I = S/U\).

Le rendement \(\eta\) d'une ligne de transmission est le rapport entre la puissance utile reçue par le consommateur (\(P_{recue}\)) et la puissance fournie au départ de la ligne (\(P_{fournie}\)) :

\[ \eta = \frac{P_{recue}}{P_{fournie}} \times 100\% \quad \text{avec} \quad P_{fournie} = P_{recue} + P_J \]

Données du Problème

Une centrale électrique doit fournir une puissance utile \(P_{recue} = 100 \text{ kW}\) à un village distant de \(L_{distance} = 25 \text{ km}\). La ligne de transmission est bifilaire et utilise des câbles en cuivre.

  • Puissance utile à délivrer : \(P_{recue} = 100 \text{ kW} = 100 \times 10^3 \text{ W}\)
  • Distance de la ligne : \(L_{distance} = 25 \text{ km}\)
  • Résistivité du cuivre : \(\rho = 1.7 \times 10^{-8} \text{ } \Omega \cdot \text{m}\)
  • Section d'un câble conducteur : \(A_{cable} = 1.5 \text{ cm}^2\)
  • On considère que la charge au village est purement résistive (\(\cos \phi = 1\)), donc la puissance active \(P_{recue}\) est égale à la puissance apparente \(S_{recue}\) au niveau du village.

On étudiera deux scénarios de tension de transport \(U_{transport}\) (tension à l'arrivée au village) :

  • Scénario 1 : \(U_{transport,1} = 20 \text{ kV}\)
  • Scénario 2 : \(U_{transport,2} = 200 \text{ kV}\)
Centrale \(P_{fournie}\) \(R_{ligne}\) \(L_{distance}\) Village \(P_{recue}, U_{transport}\)
Schéma de la transmission d'énergie électrique.

Questions

  1. Convertir la section \(A_{cable}\) des conducteurs en mètres carrés (\(m^2\)).
  2. Calculer la longueur totale \(L_{totale}\) des conducteurs de la ligne bifilaire en mètres.
  3. Calculer la résistance totale \(R_{ligne}\) de la ligne de transmission.
  4. Pour le Scénario 1 (\(U_{transport,1} = 20 \text{ kV}\)) :
    1. Calculer le courant \(I_1\) circulant dans la ligne.
    2. Calculer les pertes par effet Joule \(P_{J1}\) dans la ligne.
    3. Calculer la puissance \(P_{fournie1}\) que la centrale doit fournir.
    4. Calculer le rendement \(\eta_1\) de la transmission.
  5. Pour le Scénario 2 (\(U_{transport,2} = 200 \text{ kV}\)) :
    1. Calculer le courant \(I_2\) circulant dans la ligne.
    2. Calculer les pertes par effet Joule \(P_{J2}\) dans la ligne.
    3. Calculer la puissance \(P_{fournie2}\) que la centrale doit fournir.
    4. Calculer le rendement \(\eta_2\) de la transmission.
  6. Comparer les pertes et les rendements des deux scénarios. Conclure sur l'intérêt de transporter l'électricité sous haute tension.

Correction : Optimisation de la Transmission Électrique

1. Conversion de la Section \(A_{cable}\) en \(m^2\)

On sait que \(1 \text{ cm} = 10^{-2} \text{ m}\), donc \(1 \text{ cm}^2 = (10^{-2} \text{ m})^2 = 10^{-4} \text{ m}^2\).

Donnée :

  • \(A_{cable} = 1.5 \text{ cm}^2\)
\[ A_{cable} = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \]

La section d'un câble est \(A_{cable} = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2\).

2. Calcul de la Longueur Totale des Conducteurs (\(L_{totale}\))

La ligne est bifilaire (deux fils : aller et retour) sur une distance \(L_{distance}\). La longueur doit être en mètres.

Donnée :

  • \(L_{distance} = 25 \text{ km} = 25 \times 10^3 \text{ m}\)
\[ L_{totale} = 2 \times L_{distance} \] \[ L_{totale} = 2 \times 25 \times 10^3 \text{ m} \] \[ L_{totale} = 50 \times 10^3 \text{ m} \] \[ L_{totale} = 50000 \text{ m} \]

La longueur totale des conducteurs est \(L_{totale} = 50000 \text{ m}\).

3. Calcul de la Résistance Totale de la Ligne (\(R_{ligne}\))

On utilise la formule \(R = \rho \frac{L_{totale}}{A_{cable}}\).

Données :

  • \(\rho = 1.7 \times 10^{-8} \text{ } \Omega \cdot \text{m}\)
  • \(L_{totale} = 50000 \text{ m}\)
  • \(A_{cable} = 1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2\)
\[ R_{ligne} = (1.7 \times 10^{-8} \text{ } \Omega \cdot \text{m}) \times \frac{50000 \text{ m}}{1.5 \times 10^{-4} \text{ m}^2} \] \[ R_{ligne} = \frac{1.7 \times 5 \times 10^{-8} \times 10^4}{1.5 \times 10^{-4}} \text{ } \Omega \] \[ R_{ligne} = \frac{8.5 \times 10^{-4}}{1.5 \times 10^{-4}} \text{ } \Omega \] \[ R_{ligne} = \frac{8.5}{1.5} \text{ } \Omega \] \[ R_{ligne} \approx 5.666... \text{ } \Omega \]

La résistance totale de la ligne est \(R_{ligne} \approx 5.67 \text{ } \Omega\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si la longueur d'un câble double et sa section est divisée par deux (matériau identique), comment évolue sa résistance ?

4. Scénario 1 (\(U_{transport,1} = 20 \text{ kV}\))

Donnée : \(U_{transport,1} = 20 \text{ kV} = 20 \times 10^3 \text{ V}\).

a. Calcul du Courant \(I_1\)

La charge est résistive, \(P_{recue} = U_{transport,1} \cdot I_1\).

\[ I_1 = \frac{P_{recue}}{U_{transport,1}} \] \[ I_1 = \frac{100 \times 10^3 \text{ W}}{20 \times 10^3 \text{ V}} \] \[ I_1 = 5.0 \text{ A} \]

Le courant dans la ligne est \(I_1 = 5.0 \text{ A}\).

b. Calcul des Pertes Joule \(P_{J1}\)

\(P_J = R_{ligne} \cdot I^2\).

\[ P_{J1} = R_{ligne} \cdot I_1^2 \] \[ P_{J1} \approx 5.67 \text{ } \Omega \times (5.0 \text{ A})^2 \] \[ P_{J1} \approx 5.67 \times 25 \] \[ P_{J1} = 141.75 \text{ W} \]

Les pertes Joule sont \(P_{J1} \approx 141.8 \text{ W}\).

c. Calcul de la Puissance Fournie \(P_{fournie1}\)

\(P_{fournie} = P_{recue} + P_J\).

\[ P_{fournie1} = (100 \times 10^3 \text{ W}) + 141.8 \text{ W} \] \[ P_{fournie1} = 100141.8 \text{ W} \]

La puissance fournie par la centrale est \(P_{fournie1} \approx 100.14 \text{ kW}\).

d. Calcul du Rendement \(\eta_1\)

\(\eta = P_{recue} / P_{fournie}\).

\[ \eta_1 = \frac{100 \times 10^3 \text{ W}}{100141.8 \text{ W}} \] \[ \eta_1 \approx 0.99858 \] \[ \eta_1 \approx 99.86 \% \]

Le rendement de la transmission est \(\eta_1 \approx 99.86 \%\).

5. Scénario 2 (\(U_{transport,2} = 200 \text{ kV}\))

Donnée : \(U_{transport,2} = 200 \text{ kV} = 200 \times 10^3 \text{ V}\).

a. Calcul du Courant \(I_2\)

\(P_{recue} = U_{transport,2} \cdot I_2\).

\[ I_2 = \frac{P_{recue}}{U_{transport,2}} \] \[ I_2 = \frac{100 \times 10^3 \text{ W}}{200 \times 10^3 \text{ V}} \] \[ I_2 = 0.5 \text{ A} \]

Le courant dans la ligne est \(I_2 = 0.5 \text{ A}\).

b. Calcul des Pertes Joule \(P_{J2}\)

\(P_J = R_{ligne} \cdot I^2\).

\[ P_{J2} = R_{ligne} \cdot I_2^2 \] \[ P_{J2} \approx 5.67 \text{ } \Omega \times (0.5 \text{ A})^2 \] \[ P_{J2} \approx 5.67 \times 0.25 \] \[ P_{J2} = 1.4175 \text{ W} \]

Les pertes Joule sont \(P_{J2} \approx 1.42 \text{ W}\).

c. Calcul de la Puissance Fournie \(P_{fournie2}\)

\(P_{fournie} = P_{recue} + P_J\).

\[ P_{fournie2} = (100 \times 10^3 \text{ W}) + 1.42 \text{ W} \] \[ P_{fournie2} = 100001.42 \text{ W} \]

La puissance fournie par la centrale est \(P_{fournie2} \approx 100.001 \text{ kW}\).

d. Calcul du Rendement \(\eta_2\)

\(\eta = P_{recue} / P_{fournie}\).

\[ \eta_2 = \frac{100 \times 10^3 \text{ W}}{100001.42 \text{ W}} \] \[ \eta_2 \approx 0.9999858 \] \[ \eta_2 \approx 99.9986 \% \]

Le rendement de la transmission est \(\eta_2 \approx 99.9986 \%\).

Quiz Intermédiaire

Question : Pour une même puissance \(P\) à transporter, si on augmente la tension de transport \(U\), le courant \(I\) dans la ligne :

6. Comparaison des Scénarios et Conclusion

On compare les pertes Joule et les rendements pour \(U_1 = 20 \text{ kV}\) et \(U_2 = 200 \text{ kV}\).

Scénario 1 (20 kV) :

  • Pertes Joule \(P_{J1} \approx 141.8 \text{ W}\)
  • Rendement \(\eta_1 \approx 99.86 \%\)

Scénario 2 (200 kV) :

  • Pertes Joule \(P_{J2} \approx 1.42 \text{ W}\)
  • Rendement \(\eta_2 \approx 99.9986 \%\)

Conclusion :

En augmentant la tension de transport de 20 kV à 200 kV (un facteur 10), le courant est divisé par 10 (de 5 A à 0.5 A). Comme les pertes Joule sont proportionnelles au carré du courant (\(I^2\)), ces pertes sont divisées par \(10^2 = 100\). On passe de \(141.8 \text{ W}\) à \(1.42 \text{ W}\).

Le rendement de la transmission est considérablement amélioré, passant de \(99.86\%\) à près de \(100\%\). Cela démontre clairement l'intérêt de transporter l'énergie électrique sous très haute tension pour minimiser les pertes en ligne et améliorer l'efficacité globale du système de distribution d'énergie.

Le transport sous haute tension (\(200 \text{ kV}\)) réduit drastiquement les pertes par effet Joule (d'un facteur 100 dans ce cas) et augmente significativement le rendement de la transmission par rapport au transport sous plus basse tension (\(20 \text{ kV}\)).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Les pertes par effet Joule dans une ligne électrique sont proportionnelles :

Question 2 : Pour une même puissance à transporter, si on double la tension de transport, le courant dans la ligne (en supposant \(\cos \phi = 1\)) est :

Question 3 : La résistance d'un câble conducteur augmente si :

Question 4 : Le rendement d'une transmission électrique est le rapport :

Glossaire des Termes Clés

Puissance Électrique (\(P\)) :

Quantité d'énergie électrique transférée ou convertie par unité de temps. Unité : Watt (W).

Effet Joule :

Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur ohmique parcouru par un courant électrique.

Pertes par Effet Joule (\(P_J\)) :

Puissance perdue sous forme de chaleur dans les conducteurs d'une ligne de transmission.

Résistance Électrique (\(R\)) :

Propriété d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Résistivité (\(\rho\)) :

Propriété intrinsèque d'un matériau caractérisant sa capacité à conduire le courant électrique. Unité : Ohm-mètre (\(\Omega \cdot \text{m}\)).

Tension Électrique (\(U\)) :

Différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Unité : Volt (V).

Courant Électrique (\(I\)) :

Débit de charges électriques. Unité : Ampère (A).

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport entre la puissance utile (ou de sortie) et la puissance absorbée (ou d'entrée) d'un système. Exprimé souvent en pourcentage.

Haute Tension (HT) :

Niveau de tension électrique élevé utilisé pour le transport de l'énergie sur de longues distances afin de minimiser les pertes.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi utilise-t-on des transformateurs élévateurs à la sortie des centrales électriques et des transformateurs abaisseurs près des lieux de consommation ?

2. Quelles sont les autres types de pertes qui peuvent exister dans une ligne de transmission électrique (en dehors des pertes Joule) ?

3. Comment le choix du matériau conducteur (cuivre, aluminium) et de la section des câbles influence-t-il les coûts et les performances d'une ligne de transmission ?

4. Qu'est-ce que l'effet couronne et dans quelles conditions peut-il apparaître sur les lignes à très haute tension ?

5. Le transport d'électricité en courant continu haute tension (HVDC) présente-t-il des avantages par rapport au transport en courant alternatif haute tension (HVAC) pour certaines applications ? Lesquels ?

Optimisation de la Transmission Électrique

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