Propagation d’une onde électromagnétique plane

1. Calcul de la longueur d’onde \(\lambda\)

Une onde électromagnétique se déplace en transportant de l’énergie. La longueur d’onde (\(\lambda\)) correspond à la distance entre deux crêtes consécutives de l’onde, c’est-à-dire entre deux points où le champ électrique atteint sa valeur maximale.

Pour la mesurer, on utilise la relation fondamentale :

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

Données :

• \(c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}\)
• \(f = 1{,}50 \times 10^{9} \ \mathrm{Hz}\)

Calcul :

• On remplace \(c\) et \(f\) par leurs valeurs :
\[ \lambda = \frac{3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}}{1{,}50 \times 10^{9} \ \mathrm{Hz}} \]
• On effectue la division : \[ \frac{3{,}00}{1{,}50} = 2{,}00 \]Les puissances de dix : \[ \frac{10^{8}}{10^{9}} = 10^{-1} \].
• On obtient :
\[ \lambda = 2{,}00 \times 10^{-1} \ \mathrm{m} = 0{,}20 \ \mathrm{m} \]

Résultat :

\[ \lambda = 0{,}20 \ \mathrm{m} \]

2. Détermination du champ magnétique \(\mathbf{B}(z,t)\)

Une onde électromagnétique dans le vide comporte deux champs perpendiculaires : le champ électrique \(\mathbf{E}\) et le champ magnétique \(\mathbf{B}\). Ces champs oscillent en phase et transportent ensemble l’énergie de l’onde.

Leur relation d’amplitude découle de la vitesse de propagation :

\[ E_{0} = c\,B_{0} \quad\Longrightarrow\quad B_{0} = \frac{E_{0}}{c} \]

Le vecteur \(\mathbf{B}(z,t)\) est orienté perpendiculairement à \(\mathbf{E}(z,t)\) et à la direction de propagation (axe z) selon la règle de la main droite.

Données :

• \(E_{0} = 3{,}00 \ \mathrm{V/m}\)
• \(c = 3{,}00 \times 10^{8} \ \mathrm{m/s}\)

Calcul :

• Calcul de \(B_{0}\) :
\[ B_{0} = \frac{3{,}00}{3{,}00 \times 10^{8}} \ \mathrm{T} \] \[ B_{0} = 1{,}00 \times 10^{-8} \ \mathrm{T} \]
• Expression complète : \[ \mathbf{B}(z,t) = B_{0}\cos(kz - \omega t)\,\hat{y} \]

Résultat :

\[ \mathbf{B}(z,t) = 1{,}00 \times 10^{-8} \cos(kz - \omega t)\,\hat{y} \ \mathrm{T} \]

3. Calcul de l’énergie moyenne stockée par unité de volume

Chaque onde électromagnétique transporte de l’énergie sous deux formes :

• énergie électrique : \[ u_{e}(t) = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E^{2}(z,t) \]
• énergie magnétique : \[ u_{m}(t) = \frac{1}{2}\,\frac{B^{2}(z,t)}{\mu_{0}} \]

Grâce à \( B_{0} = \frac{E_{0}}{c} \) et \( \mu_{0}c^{2}=\frac{1}{\varepsilon_{0}} \), on montre que ces deux contributions sont identiques. L’énergie volumique instantanée :

\[ u(t) = \varepsilon_{0}\,E_{0}^{2}\cos^{2}(kz - \omega t) \]

La valeur moyenne temporelle de \(\cos^{2}\) est \(\frac{1}{2}\), d’où :

\[ \langle u \rangle = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{0}\,E_{0}^{2} \]

Données :

• \(\varepsilon_{0} = 8{,}854 \times 10^{-12} \ \mathrm{F/m}\)
• \(E_{0} = 3{,}00 \ \mathrm{V/m}\)

Calcul :

• En substituant les valeurs : \[ \langle u \rangle = \frac{1}{2} \times 8{,}854 \times 10^{-12} \times (3{,}00)^{2} \]
• Calcul intermédiaire : \((3{,}00)^{2} = 9{,}00\) et \(8,854 \times 10^{-12} \times 9{,}00 = 7,9686 \times 10^{-11}\).
• Multiplication par \(\frac{1}{2}\) : \[ \frac{7,9686 \times 10^{-11}}{2} = 3,9843 \times 10^{-11} \]

Résultat :

\[ \langle u \rangle = 3,98 \times 10^{-11} \ \mathrm{J/m^{3}} \]