Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide
Contexte : L'onde électromagnétique planeUne onde dont les fronts d'onde sont des plans infinis, et où les champs E et B sont uniformes sur ces plans. C'est une idéalisation très utile..
Les ondes électromagnétiques sont au cœur des technologies de communication modernes, de la radio à la fibre optique. Cet exercice se concentre sur le modèle le plus fondamental : l'onde plane progressive et harmonique se propageant dans un milieu simple, le vide. Nous analyserons les relations entre le champ électrique et le champ magnétique, et nous quantifierons l'énergie transportée par cette onde.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à manipuler les grandeurs fondamentales d'une onde (pulsation, vecteur d'onde, longueur d'onde) et à appliquer les relations de structure des ondes planes pour déduire le champ magnétique du champ électrique. Vous calculerez également le vecteur de Poynting, essentiel pour comprendre le transport d'énergie.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer les paramètres caractéristiques d'une onde (pulsation, longueur d'onde, vecteur d'onde).
- Maîtriser la relation de structure liant les champs électrique et magnétique d'une onde plane.
- Savoir calculer le vecteur de PoyntingLe vecteur qui représente la direction et la densité de flux d'énergie (la puissance par unité de surface) d'un champ électromagnétique. et interpréter sa signification physique.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'onde
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Milieu de propagation | Vide (\(\varepsilon_0, \mu_0\)) |
| Fréquence (\(f\)) | 100 MHz |
| Amplitude du champ électrique (\(E_0\)) | 3 V/m |
Représentation de l'Onde Électromagnétique Plane
| Constante Physique | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Permittivité du vide | \(\varepsilon_0\) | \(8.854 \times 10^{-12}\) | F/m |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
| Vitesse de la lumière dans le vide | \(c\) | \(3 \times 10^{8}\) | m/s |
Questions à traiter
- Calculer la pulsation \(\omega\) et la longueur d'onde \(\lambda\) de l'onde.
- Déterminer le module du vecteur d'onde \(k\).
- Donner l'expression vectorielle complète du champ électrique \(\vec{E}(z, t)\).
- Déterminer l'expression vectorielle complète du champ magnétique \(\vec{B}(z, t)\) associé.
- Calculer le vecteur de Poynting moyen \(\langle\vec{S}\rangle\) et interpréter le résultat.
Les bases sur les Ondes Électromagnétiques
Une onde électromagnétique plane progressive harmonique (OPPH) se propageant dans le vide est une solution des équations de Maxwell. Elle est caractérisée par un champ électrique \(\vec{E}\) et un champ magnétique \(\vec{B}\) qui oscillent en phase, perpendiculairement l'un à l'autre et à la direction de propagation.
1. Structure d'une onde plane
Pour une onde se propageant selon \(\vec{u}_z\), les champs s'écrivent :
\[ \vec{E}(z,t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t - kz + \phi) \]
\[ \vec{B}(z,t) = \vec{B}_0 \cos(\omega t - kz + \phi) \]
Le trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) est direct, où \(\vec{k}\) est le vecteur d'onde indiquant la direction de propagation.
2. Relation de structure et de dispersion
Dans le vide, les amplitudes sont liées par \(E_0 = c B_0\). La relation de dispersion lie la pulsation et le nombre d'onde : \(\omega = ck\). Le champ magnétique peut être directement déduit du champ électrique :
\[ \vec{B} = \frac{\vec{k} \wedge \vec{E}}{\omega} = \frac{1}{c} (\vec{u}_{\text{prop}} \wedge \vec{E}) \]
Correction : Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide
Question 1 : Calculer la pulsation \(\omega\) et la longueur d'onde \(\lambda\)
Principe (le concept physique)
La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) décrit la rapidité de l'oscillation de l'onde dans le temps, tandis que la longueur d'onde \(\lambda\) décrit la périodicité de l'onde dans l'espace. Ces deux grandeurs sont fondamentales pour caractériser tout phénomène ondulatoire.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Toute onde périodique possède une période temporelle \(T\) (en secondes) et une période spatiale \(\lambda\) (en mètres). La fréquence \(f=1/T\) (en Hertz) compte le nombre d'oscillations par seconde. La pulsation \(\omega=2\pi f\) (en rad/s) est une mesure plus naturelle en physique car elle simplifie les notations dans les fonctions trigonométriques. Dans le vide, la période spatiale et temporelle sont liées par la vitesse de la lumière : \(\lambda = c \cdot T\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne confondez pas la fréquence \(f\) et la pulsation \(\omega\). Elles représentent la même idée de rapidité d'oscillation, mais diffèrent par un facteur \(2\pi\). Les physiciens préfèrent \(\omega\) pour sa simplicité dans les équations, tandis que les ingénieurs utilisent souvent \(f\) car elle est plus directement mesurable (en Hz).
Normes (la référence réglementaire)
Pour garantir l'universalité des calculs, nous utilisons le Système International d'unités (SI). Les fréquences sont en Hertz (Hz), les pulsations en radians par seconde (rad/s), les longueurs d'onde en mètres (m), et les vitesses en mètres par seconde (m/s).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la pulsation
Formule de la longueur d'onde
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous supposons que l'onde se propage dans le vide, un milieu non dispersif où la vitesse de la lumière \(c\) est constante quelle que soit la fréquence de l'onde.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les données fournies dans l'énoncé de l'exercice :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence | \(f\) | 100 | MHz |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
Astuces (Pour aller plus vite)
Pour les conversions, souvenez-vous que "Méga" (M) signifie \(10^6\). Ainsi, 100 MHz = \(100 \times 10^6\) Hz = \(10^8\) Hz. Cela simplifie grandement les calculs mentaux.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la Longueur d'Onde \(\lambda\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Conversion de la fréquence
Calcul de la pulsation \(\omega\)
Calcul de la longueur d'onde \(\lambda\)
Schéma (Après les calculs)
Onde avec Longueur d'Onde Annotée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une longueur d'onde de 3 mètres correspond aux ondes radio de la bande FM. C'est une dimension macroscopique, ce qui explique pourquoi les antennes radio ont des tailles de l'ordre du mètre. La pulsation, très élevée, indique que les champs oscillent plus de 628 millions de fois par seconde.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les Mégahertz (MHz) en Hertz (Hz) avant le calcul. Une autre erreur fréquente est de confondre \(f\) et \(\omega\). Si votre résultat final semble incohérent, vérifiez toujours vos unités et la formule utilisée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La pulsation lie la fréquence au comportement sinusoïdal : \(\omega = 2\pi f\).
- La longueur d'onde lie la fréquence à la propagation spatiale via la vitesse de l'onde : \(\lambda = c/f\).
- Ces deux relations sont fondamentales pour toute étude des ondes.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le spectre électromagnétique s'étend sur des dizaines d'ordres de grandeur, des ondes radio (kilomètres de longueur d'onde) aux rayons gamma (plus petits qu'un atome). Toutes ces ondes sont de même nature et ne diffèrent que par leur fréquence (et donc leur énergie), mais leurs interactions avec la matière sont radicalement différentes !
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Le Wi-Fi domestique utilise des ondes à 2.4 GHz. Quelle est leur longueur d'onde dans l'air (assimilé au vide) ?
Question 2 : Déterminer le module du vecteur d'onde \(k\)
Principe (le concept physique)
Le module du vecteur d'onde, ou nombre d'onde \(k\), est l'équivalent spatial de la pulsation \(\omega\). Alors que \(\omega\) décrit la variation de la phase de l'onde par unité de temps, \(k\) décrit la variation de la phase par unité de distance.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le terme de phase d'une onde s'écrit \(\phi(z,t) = \omega t - kz\). On voit que \(k\) est le coefficient de la variable d'espace \(z\). Il indique combien de radians la phase de l'onde parcourt pour chaque mètre de propagation. Il est donc logiquement inversement proportionnel à la longueur d'onde \(\lambda\) : sur une distance de \(\lambda\), la phase doit varier de \(2\pi\), d'où \(k \lambda = 2\pi\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Une grande valeur de \(k\) signifie que l'onde oscille très rapidement dans l'espace (longueur d'onde courte). Une petite valeur de \(k\) correspond à une onde qui oscille lentement (longueur d'onde grande). C'est un paramètre très puissant pour décrire la géométrie de l'onde.
Normes (la référence réglementaire)
Dans le Système International (SI), le nombre d'onde \(k\) s'exprime en radians par mètre (rad/m).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation avec la longueur d'onde
Relation de dispersion dans le vide
Hypothèses (le cadre du calcul)
Le calcul repose sur la relation de dispersion \(\omega = ck\) qui n'est valable que dans le vide (ou un milieu non dispersif). Dans un milieu matériel comme le verre, cette relation serait différente.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les résultats de la question précédente et les constantes de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pulsation | \(\omega\) | \(2\pi \times 10^8\) | rad/s |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
Astuces (Pour aller plus vite)
Puisque \(\omega = 2\pi f\) et \(k = 2\pi/\lambda\), la relation \(\lambda = c/f\) est strictement équivalente à \(\omega = ck\). Utiliser la formule \(k = \omega/c\) est souvent plus direct si \(\omega\) est déjà connu, car on manipule moins de \(\pi\).
Schéma (Avant les calculs)
Relation entre \(k\) et \(\lambda\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul du nombre d'onde k
Schéma (Après les calculs)
Comparaison de Nombres d'Onde
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un nombre d'onde de \(2\pi/3\) rad/m signifie que sur une distance de 3 mètres (qui est la longueur d'onde \(\lambda\)), la phase de l'onde augmente de \((2\pi/3) \times 3 = 2\pi\) radians, soit un tour complet. Cela confirme la cohérence de nos calculs.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Faites attention à ne pas inverser la formule : \(k=2\pi/\lambda\) et non \(\lambda/2\pi\). L'unité (rad/m) est un bon moyen de vérifier que vous ne vous êtes pas trompé de sens.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le nombre d'onde \(k\) est à l'espace ce que la pulsation \(\omega\) est au temps.
- Formule clé : \(k=2\pi/\lambda\).
- Relation de dispersion dans le vide : \(\omega = ck\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les milieux matériels dits "dispersifs" (comme un prisme en verre ou une fibre optique), la vitesse de l'onde dépend de sa fréquence. La relation \(\omega=ck\) n'est plus valable. On écrit alors \(\omega(k)\), et la vitesse de propagation de l'information (vitesse de groupe) est \(v_g = d\omega/dk\), qui peut être différente de la vitesse de phase \(v_\phi = \omega/k\).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'onde Wi-Fi à 2.4 GHz, vous avez trouvé \(\lambda = 12.5\) cm. Calculez son nombre d'onde \(k\).
Question 3 : Donner l'expression vectorielle du champ électrique \(\vec{E}(z, t)\)
Principe (le concept physique)
L'expression mathématique du champ électrique doit encapsuler toutes ses propriétés : son caractère ondulatoire (le cosinus), sa propagation dans l'espace et le temps (le terme de phase), son amplitude (la force du champ) et sa direction (la polarisation).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
L'argument du cosinus, \(\phi(z,t) = \omega t - kz\), est appelé la phase de l'onde. Le signe "moins" devant \(kz\) indique une propagation dans la direction des \(z\) positifs. Si l'onde se propageait vers les \(z\) négatifs, le terme serait \(\omega t + kz\). Le vecteur \(\vec{u}_x\) est le vecteur de polarisation, il indique la direction d'oscillation du champ électrique.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Considérez cette expression comme la "carte d'identité" de l'onde. Chaque terme a une signification physique précise. Prenez l'habitude de décortiquer l'équation pour en extraire toutes les informations : en la regardant, vous devez pouvoir dire instantanément sa fréquence, sa longueur d'onde, sa direction de propagation et sa polarisation.
Normes (la référence réglementaire)
L'expression est vectorielle, elle doit donc comporter une composante et un vecteur unitaire. Les unités du champ électrique dans le SI sont le Volt par mètre (V/m).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Forme générale de l'onde
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que la phase à l'origine (\(z=0, t=0\)) est nulle. S'il y avait un déphasage initial \(\phi_0\), le terme de phase serait \(\omega t - kz + \phi_0\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On rassemble les données de l'énoncé et les résultats des questions précédentes :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude | \(E_0\) | 3 | V/m |
| Pulsation | \(\omega\) | \(2\pi \times 10^8\) | rad/s |
| Nombre d'onde | \(k\) | \(2\pi/3\) | rad/m |
| Polarisation | - | selon \(\vec{u}_x\) | - |
Astuces (Pour aller plus vite)
Vérifiez toujours la cohérence des arguments du cosinus : \(\omega t\) et \(kz\) doivent être des angles sans dimension (en radians). C'est un bon moyen de vérifier que vos expressions pour \(\omega\) (en rad/s) et \(k\) (en rad/m) sont correctes.
Schéma (Avant les calculs)
Orientation des Vecteurs
Calcul(s) (l'application numérique)
On assemble les différents éléments calculés (amplitude, pulsation, nombre d'onde) et donnés (polarisation) en suivant la forme générale d'une onde plane.
Construction de l'expression du champ électrique
Schéma (Après les calculs)
"Photographie" de l'onde E à t=0
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette simple équation vectorielle décrit complètement le champ électrique en tout point de l'espace \(z\) et à tout instant \(t\). Par exemple, en \(z=0\), le champ oscille simplement dans le temps : \(\vec{E}(0,t) = 3 \cos((2\pi \times 10^8) t) \vec{u}_x\). À un instant \(t=0\), le champ est une "photographie" de l'onde dans l'espace : \(\vec{E}(z,0) = 3 \cos(-\frac{2\pi}{3} z) \vec{u}_x\).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
N'oubliez pas le caractère vectoriel de l'expression ! Une réponse sans le vecteur unitaire \(\vec{u}_x\) est incomplète. Le champ électrique est un vecteur, pas un scalaire.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
L'expression d'une onde plane est toujours de la forme : Amplitude \(\times\) Fonction sinusoïdale(Phase) \(\times\) Vecteur de direction.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La lumière visible est aussi une onde électromagnétique, mais à des fréquences beaucoup plus élevées (environ 400-800 THz, soit \(10^{14}\) Hz). La polarisation est une propriété cruciale utilisée dans de nombreuses technologies, comme les écrans LCD, les lunettes de soleil polarisantes ou la photographie pour réduire les reflets.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Écrivez l'expression d'une onde de même fréquence et amplitude, mais qui se propage selon les \(y\) négatifs et est polarisée selon \(\vec{u}_z\).
Question 4 : Déterminer l'expression du champ magnétique \(\vec{B}(z, t)\)
Principe (le concept physique)
Les champs électrique et magnétique d'une onde EM ne sont pas indépendants. Ce sont les deux facettes d'un même phénomène, couplées par les équations de Maxwell. Connaître l'un permet de déduire entièrement l'autre. Pour une onde plane dans le vide, les champs sont en phase, orthogonaux, et leurs amplitudes sont liées par la vitesse de la lumière.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les équations de Maxwell dans le vide impliquent que le trièdre (champ électrique \(\vec{E}\), champ magnétique \(\vec{B}\), direction de propagation \(\vec{u}_{\text{prop}}\)) est direct et orthogonal. Cela signifie que \(\vec{E} \perp \vec{B}\), \(\vec{E} \perp \vec{u}_{\text{prop}}\) et \(\vec{B} \perp \vec{u}_{\text{prop}}\). Cette structure "transverse" est une propriété fondamentale des ondes électromagnétiques dans le vide.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Utilisez la "règle de la main droite" pour trouver la direction de \(\vec{B}\). Pointez les doigts de votre main droite dans la direction de \(\vec{E}\) (\(\vec{u}_x\)). Pliez-les dans la direction de \(\vec{B}\). Votre pouce indiquera alors la direction de propagation \(\vec{k}\) (\(\vec{u}_z\)). Ici, on connaît \(\vec{E}\) et \(\vec{k}\), on cherche \(\vec{B}\) : si votre pouce pointe vers \(\vec{k}\) (\(+z\)) et vos doigts vers \(\vec{E}\) (\(+x\)), alors \(\vec{B}\) sort de votre paume, dans la direction \(\vec{u}_y\).
Normes (la référence réglementaire)
L'unité du champ magnétique dans le SI est le Tesla (T). C'est une unité très grande ; les champs usuels sont souvent exprimés en microtesla (\(\mu\)T) ou nanotesla (nT).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Relation de structure
Relation sur les amplitudes
Hypothèses (le cadre du calcul)
Nous restons dans le cadre d'une onde plane dans le vide. La relation \(E_0 = cB_0\) est spécifique au vide.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise l'expression du champ électrique trouvée précédemment et les constantes de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude du champ E | \(E_0\) | 3 | V/m |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
| Direction de propagation | \(\vec{u}_{\text{prop}}\) | \(\vec{u}_z\) | - |
| Vecteur champ E | \(\vec{E}\) | \(E_0 \cos(\dots)\vec{u}_x\) | V/m |
Schéma (Avant les calculs)
Trièdre direct \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\)
Calcul(s) (l'application numérique)
On calcule d'abord l'amplitude du champ magnétique à partir de celle du champ électrique.
Calcul de l'amplitude \(B_0\)
Ensuite, on détermine la direction du vecteur \(\vec{B}\) grâce au produit vectoriel, sachant que le trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) doit être direct.
Détermination de la direction de \(\vec{B}\)
Enfin, on assemble l'amplitude, la direction et la phase (qui est la même que pour \(\vec{E}\)) pour obtenir l'expression complète.
Construction de l'expression du champ magnétique
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'amplitude du champ magnétique, \(10^{-8}\) T (soit 10 nT), est une valeur très faible. À titre de comparaison, le champ magnétique terrestre est de l'ordre de 50 000 nT. Cela illustre le fait que dans une onde EM, la contribution du champ électrique à l'énergie est prépondérante par rapport à celle du champ magnétique, bien qu'elles soient en réalité égales.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans le produit vectoriel et de trouver \(-\vec{u}_y\). Utilisez systématiquement la règle de la main droite ou le cercle trigonométrique (\(x \to y \to z \to x\)) pour vérifier la direction.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Amplitude : \(B_0 = E_0/c\).
- Direction : \(\vec{B}\) est perpendiculaire à \(\vec{E}\) et à \(\vec{k}\).
- Structure : Le trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) est direct.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
C'est en 1865 que James Clerk Maxwell postula, à partir de ses quatre célèbres équations, l'existence d'ondes électromagnétiques se propageant à la vitesse \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\). En calculant cette valeur, il trouva environ \(3 \times 10^8\) m/s, la vitesse de la lumière déjà mesurée à l'époque. Il fut le premier à comprendre que la lumière est une onde électromagnétique, unifiant ainsi l'optique et l'électromagnétisme.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour l'onde de la question 3 se propageant selon \(-y\) et polarisée selon \(\vec{u}_z\), quelle est la direction de son champ \(\vec{B}\) ?
Question 5 : Calculer le vecteur de Poynting moyen \(\langle\vec{S}\rangle\)
Principe (le concept physique)
Une onde électromagnétique transporte de l'énergie. Le vecteur de Poynting décrit ce transport : sa direction indique le sens du flux d'énergie et sa norme représente la puissance qui traverse une unité de surface perpendiculaire à ce flux. C'est ce qu'on appelle l'intensité ou l'éclairement de l'onde.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Le vecteur de Poynting instantané est \(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \wedge \vec{B})\). Comme \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) oscillent en \(\cos(\omega t - kz)\), leur produit oscille en \(\cos^2(\omega t - kz)\), et \(\vec{S}\) également. En pratique, les détecteurs (comme notre œil ou une antenne) sont sensibles à la valeur moyenne de cette puissance. La moyenne temporelle de \(\cos^2\) sur une période est \(1/2\), ce qui explique l'apparition de ce facteur dans la formule de la puissance moyenne.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne soyez pas intimidé par le nom "vecteur de Poynting". Pensez-y simplement comme à l'intensité lumineuse. Si vous allumez une lampe, l'intensité que vous percevez est la norme du vecteur de Poynting moyen. L'aspect vectoriel nous rappelle simplement que cette énergie se déplace dans une direction précise.
Normes (la référence réglementaire)
L'unité du vecteur de Poynting est le Watt par mètre carré (W/m²). C'est bien une puissance (W) par unité de surface (m²).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Vecteur de Poynting instantané
Vecteur de Poynting moyen (onde plane dans le vide)
Hypothèses (le cadre du calcul)
On calcule la moyenne sur une durée très supérieure à la période de l'onde, ce qui est le cas de la quasi-totalité des mesures physiques.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
On utilise les données de l'énoncé :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude du champ E | \(E_0\) | 3 | V/m |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
| Vitesse de la lumière | \(c\) | \(3 \times 10^8\) | m/s |
Schéma (Avant les calculs)
Flux d'Énergie à travers une Surface
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la norme du vecteur de Poynting moyen
Le vecteur est donc dirigé selon \(\vec{u}_z\).
Schéma (Après les calculs)
Flux d'Énergie avec Valeur Calculée
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat est un vecteur pointant dans la direction de propagation de l'onde (\(\vec{u}_z\)), ce qui confirme que l'énergie s'écoule avec l'onde. Sa norme, environ 12 milliwatts par mètre carré, est l'intensité de l'onde. C'est une intensité assez faible, typique d'un signal radio à une certaine distance de l'émetteur.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
La principale erreur est d'oublier le facteur \(1/2\) qui provient de la moyenne temporelle du carré du cosinus. Une autre erreur est de mal manipuler les puissances de 10 avec les constantes \(\mu_0\) et \(c\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le vecteur de Poynting décrit le flux d'énergie.
- Sa direction est celle de la propagation.
- Son module moyen (l'intensité) est proportionnel au carré de l'amplitude du champ électrique, \(E_0^2\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Une onde électromagnétique ne transporte pas seulement de l'énergie, mais aussi de la quantité de mouvement. Lorsqu'elle est absorbée ou réfléchie par une surface, elle exerce une force appelée "pression de radiation". Bien que très faible, cette force est utilisée pour la propulsion des "voiles solaires", des engins spatiaux qui se déplacent en utilisant la lumière du Soleil comme "vent".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si une autre onde avait une amplitude de champ électrique de 6 V/m, quelle serait son intensité (puissance surfacique moyenne) ?
Outil Interactif : Simulateur d'Onde
Utilisez les curseurs pour faire varier la fréquence et l'amplitude du champ électrique. Observez comment la longueur d'onde, l'amplitude du champ magnétique et la puissance transportée sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans une onde électromagnétique plane se propageant dans le vide, comment sont orientés les vecteurs \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) et la direction de propagation \(\vec{k}\) ?
- \(\vec{E}\) est parallèle à la direction de propagation.
- Ils sont tous les trois mutuellement perpendiculaires.
2. Si on double la fréquence d'une onde électromagnétique dans le vide, que devient sa longueur d'onde ?
3. Que représente physiquement le vecteur de Poynting \(\vec{S}\) ?
- L'énergie stockée dans le champ électrique.
- La force exercée par l'onde sur une particule chargée.
4. Si l'amplitude du champ électrique \(E_0\) est doublée, par quel facteur la puissance moyenne transportée par l'onde est-elle multipliée ?
5. La vitesse de propagation d'une onde électromagnétique dans le vide dépend-elle de sa fréquence ?
- Non, toutes les fréquences se propagent à la vitesse \(c\).
- Onde plane
- Une onde électromagnétique dont les surfaces d'onde (surfaces où le champ a la même phase) sont des plans infinis. Les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont uniformes sur ces plans.
- Vecteur de Poynting (\(\vec{S}\))
- Vecteur représentant la densité de flux d'énergie (puissance par unité de surface) d'un champ électromagnétique. Sa direction indique le sens de propagation de l'énergie. \(\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \wedge \vec{B}\).
- Pulsation (\(\omega\))
- Aussi appelée fréquence angulaire, elle mesure la vitesse de l'oscillation temporelle de l'onde. Elle est liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\) et s'exprime en radians par seconde (rad/s).
- Vecteur d'onde (\(\vec{k}\))
- Un vecteur dont la direction est celle de la propagation de l'onde et dont le module \(k\) (nombre d'onde) est lié à la longueur d'onde par \(k=2\pi/\lambda\).
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