Exercices Électricité

Performance d’un Transformateur de Puissance

Performance d’un Transformateur de Puissance

Performance d’un Transformateur de Puissance

Contexte : Le cœur des réseaux électriques.

Le transformateur est un composant essentiel de tout réseau de transport et de distribution d'électricité. Sa capacité à élever ou abaisser la tension avec une très grande efficacité permet de minimiser les pertes lors du transport de l'énergie sur de longues distances. L'évaluation de ses performances, notamment son rendementRapport entre la puissance utile fournie par le transformateur et la puissance qu'il absorbe. Un rendement élevé signifie peu de pertes d'énergie. et sa régulation de tensionMesure de la capacité du transformateur à maintenir une tension de sortie stable lorsque la charge varie. Une faible régulation est souhaitable., est cruciale pour garantir la fiabilité et l'efficacité économique du réseau. Cet exercice vous guidera dans le calcul de ces indicateurs clés à partir des essais normalisés.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment, à partir de quelques mesures expérimentales simples (essais à vide et en court-circuit), on peut construire un modèle du transformateur et prédire son comportement dans n'importe quelle condition de charge. Nous allons calculer les pertes, le rendement et la chute de tension pour une charge donnée.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre l'origine des pertes ferPertes d'énergie dans le circuit magnétique du transformateur, dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont quasiment constantes quelle que soit la charge. et des pertes cuivrePertes d'énergie par effet Joule dans les enroulements (bobinages) du transformateur. Elles varient avec le carré du courant de charge..
  • Calculer le rendement d'un transformateur pour une charge quelconque.
  • Déterminer les conditions de fonctionnement pour un rendement maximal.
  • Calculer la chute de tension et la régulation au secondaire.
  • Utiliser le modèle équivalent de Kapp pour prédire les performances.

Données de l'étude

On étudie un transformateur monophasé dont les caractéristiques ont été déterminées par des essais en laboratoire. On souhaite évaluer ses performances lorsqu'il alimente une charge inductive.

Schéma du Modèle Équivalent de Kapp
Modèle équivalent ramené au secondaire m · V₁ Rₛ Xₛ Charge V₂
Visualisation 3D du Transformateur

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Paramètre Symbole Valeur Unité
Puissance apparente nominale \(S_{\text{n}}\) 50 \(\text{kVA}\)
Tension primaire nominale \(V_{1\text{n}}\) 20 \(\text{kV}\)
Tension secondaire à vide \(V_{20}\) 400 \(\text{V}\)
Pertes fer (essai à vide) \(P_{\text{fer}}\) 320 \(\text{W}\)
Pertes Joule nominales (essai CC) \(P_{\text{Jcc}}\) 850 \(\text{W}\)
Tension de court-circuit \(U_{1\text{cc}}\) 4 \(\%\)

Questions à traiter

Le transformateur alimente une charge qui appelle une puissance apparente \(S_2 = 40 \, \text{kVA}\) avec un facteur de puissance \(\cos(\phi_2) = 0.8\) (inductif).

  1. Calculer le taux de charge \(\beta\) et les pertes totales du transformateur.
  2. Calculer la puissance active fournie à la charge \(P_2\) et le rendement \(\eta\).
  3. Déterminer le taux de charge \(\beta_{\text{opt}}\) pour lequel le rendement est maximal.
  4. Calculer la chute de tension au secondaire \(\Delta V_2\) et la régulation de tension.

Les bases du transformateur monophasé

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux.

1. Les Pertes dans un Transformateur :
L'énergie est perdue de deux manières :

  • Pertes Fer (\(P_{\text{fer}}\)) : Dans le circuit magnétique. Elles dépendent de la tension d'alimentation et de la fréquence, et sont donc considérées comme constantes quelle que soit la charge.
  • Pertes Cuivre ou Pertes Joule (\(P_{\text{J}}\)) : Dans les enroulements (le "cuivre"). Elles sont dues à la résistance des fils et sont proportionnelles au carré du courant (\(R \cdot I^2\)). Elles varient donc fortement avec la charge.

2. Rendement (\(\eta\)) :
C'est le rapport de ce qui "sort" (puissance utile \(P_2\)) sur ce qui "rentre" (puissance absorbée \(P_1\)). \[ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{pertes}}} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{fer}} + P_{\text{J}}} \]

3. Régulation de Tension :
La tension au secondaire n'est pas constante : elle est maximale à vide (\(V_{20}\)) et diminue en charge (\(V_2\)) à cause des impédances internes. La régulation mesure cet écart. \[ \text{Régulation} = \frac{V_{20} - V_2}{V_{20}} \] Une formule approchée très utilisée est : \(\Delta V_2 \approx V_{20} \cdot \beta \cdot (U_{\text{Rcc}} \cos(\phi_2) + U_{\text{Xcc}} \sin(\phi_2))\)

Correction : Performance d'un Transformateur de Puissance

Question 1 : Calculer le taux de charge et les pertes totales

Principe (le concept physique)

Pour évaluer les performances à une charge donnée, on la compare d'abord à la charge nominale via le "taux de charge" \(\beta\). Ce ratio est crucial car les pertes les plus importantes, les pertes Joule, varient avec le carré de ce taux. Les pertes totales sont simplement la somme des pertes constantes (fer) et des pertes variables (cuivre) à cette charge.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Les pertes Joule à pleine charge, \(P_{\text{Jcc}}\), sont mesurées lors de l'essai en court-circuit. En ramenant tout au secondaire, ces pertes sont équivalentes à \(R_s \cdot I_{2\text{n}}^2\), où \(R_s\) est la résistance équivalente et \(I_{2\text{n}}\) le courant nominal secondaire. Pour une charge quelconque où le courant est \(I_2 = \beta \cdot I_{2\text{n}}\), les pertes deviennent \(R_s \cdot (\beta \cdot I_{2\text{n}})^2 = \beta^2 \cdot (R_s \cdot I_{2\text{n}}^2) = \beta^2 \cdot P_{\text{Jcc}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La relation en \(\beta^2\) est fondamentale. C'est la clé pour comprendre pourquoi le rendement d'un transformateur n'est pas constant. Un transformateur est le plus souvent à faible charge, donc minimiser les pertes fer (constantes) est souvent plus important que de minimiser les pertes cuivre nominales pour l'efficacité globale sur sa durée de vie.

Normes (la référence réglementaire)

Les méthodes pour déterminer les pertes des transformateurs sont standardisées par des normes internationales comme la CEI 60076. Ces normes définissent précisément les conditions des essais à vide et en court-circuit pour garantir des mesures comparables entre fabricants.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Taux de charge :

\[ \beta = \frac{S_2}{S_{\text{n}}} \]

Pertes totales :

\[ P_{\text{pertes}} = P_{\text{fer}} + \beta^2 \cdot P_{\text{Jcc}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les pertes fer sont indépendantes de la charge et que les caractéristiques du transformateur (résistances, etc.) ne varient pas avec la température de fonctionnement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance apparente de la charge, \(S_2 = 40 \, \text{kVA}\)
  • Puissance apparente nominale, \(S_{\text{n}} = 50 \, \text{kVA}\)
  • Pertes fer, \(P_{\text{fer}} = 320 \, \text{W}\)
  • Pertes Joule nominales, \(P_{\text{Jcc}} = 850 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Assurez-vous que \(S_2\) et \(S_{\text{n}}\) sont dans la même unité (ici, kVA) avant de calculer le ratio \(\beta\). C'est un nombre sans dimension. Les pertes sont en Watts, le résultat sera donc en Watts.

Schéma (Avant les calculs)
Composition des Pertes
P_fer (fixe)P_J (variable)+=P_total = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du taux de charge :

\[ \begin{aligned} \beta &= \frac{40 \, \text{kVA}}{50 \, \text{kVA}} \\ &= 0.8 \end{aligned} \]

2. Calcul des pertes totales :

\[ \begin{aligned} P_{\text{pertes}} &= P_{\text{fer}} + \beta^2 \cdot P_{\text{Jcc}} \\ &= 320 \, \text{W} + (0.8)^2 \cdot 850 \, \text{W} \\ &= 320 \, \text{W} + 0.64 \cdot 850 \, \text{W} \\ &= 320 \, \text{W} + 544 \, \text{W} \\ &= 864 \, \text{W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des Pertes à β=0.8
320 W544 W+=864 W
Réflexions (l'interprétation du résultat)

À 80% de sa charge nominale, le transformateur dissipe 864 W sous forme de chaleur. On remarque que les pertes cuivre (544 W) sont devenues supérieures aux pertes fer (320 W), ce qui est normal pour des charges élevées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier d'élever le taux de charge au carré pour le calcul des pertes cuivre. Une charge de 80% (\(\beta=0.8\)) ne signifie pas 80% des pertes cuivre, mais bien \(0.8^2 = 0.64\), soit 64% des pertes cuivre nominales.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le taux de charge \(\beta\) est le rapport de la puissance apparente demandée sur la puissance nominale.
  • Pertes totales = Pertes Fer (constantes) + Pertes Cuivre (variables).
  • Pertes Cuivre = \(\beta^2 \times\) Pertes Cuivre nominales.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les très gros transformateurs de puissance (plusieurs centaines de MVA), les pertes peuvent atteindre des centaines de kilowatts. Ils nécessitent des systèmes de refroidissement complexes avec circulation d'huile et des radiateurs à ventilation forcée pour évacuer cette chaleur.

FAQ (pour lever les doutes)
Le taux de charge peut-il être supérieur à 1 ?

Oui, un transformateur peut fonctionner en surcharge (\(\beta > 1\)) pendant une courte durée. Cependant, cela augmente considérablement les pertes Joule (\(\beta^2\)), ce qui provoque un échauffement rapide qui peut endommager les isolants et réduire la durée de vie de l'appareil.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Pour cette charge, le taux de charge est \(\beta = 0.8\) et les pertes totales sont de 864 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge n'était que de 25 kVA (\(\beta=0.5\)), quelles seraient les pertes totales en W ?

Question 2 : Calculer la puissance active fournie et le rendement

Principe (le concept physique)

Le rendement mesure l'efficacité de la conversion d'énergie. Il nous faut comparer la puissance "utile" qui arrive à la charge (la puissance active \(P_2\)) à la puissance totale que le transformateur doit prélever sur le réseau (\(P_1\)). La différence entre les deux est précisément les pertes que nous venons de calculer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Il est important de distinguer puissance apparente \(S\) (en VA), puissance active \(P\) (en W) et puissance réactive \(Q\) (en VAR). La charge consomme de la puissance active (le travail utile) et de la puissance réactive (pour ses champs magnétiques). Le rendement se calcule toujours sur les puissances actives. La relation est \(P = S \cdot \cos(\phi)\), où \(\cos(\phi)\) est le facteur de puissance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Un bon rendement est crucial. Même une différence de 1% sur un transformateur de 50 kVA fonctionnant en continu représente une perte de 500W, soit plus de 4000 kWh par an, l'équivalent de la consommation annuelle d'un ménage ! Multipliez cela par des millions de transformateurs et vous comprenez l'enjeu économique et écologique.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes d'éco-conception, comme le règlement (UE) 548/2014, imposent désormais des niveaux de rendement minimaux pour les transformateurs mis sur le marché européen, afin de réduire la consommation d'énergie globale du réseau.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Puissance active fournie :

\[ P_2 = S_2 \cdot \cos(\phi_2) \]

Rendement :

\[ \eta = \frac{P_2}{P_1} = \frac{P_2}{P_2 + P_{\text{pertes}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le facteur de puissance de la charge est constant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance apparente de la charge, \(S_2 = 40 \, \text{kVA}\)
  • Facteur de puissance, \(\cos(\phi_2) = 0.8\)
  • Pertes totales, \(P_{\text{pertes}} = 864 \, \text{W}\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

Attention aux unités ! \(S_2\) est en kVA, donc pour obtenir \(P_2\) en kW, il suffit de multiplier. Pour le calcul du rendement, assurez-vous que \(P_2\) et \(P_{\text{pertes}}\) sont dans la même unité, typiquement en Watts, pour obtenir un ratio correct. \(40 \, \text{kVA} \times 0.8 = 32 \, \text{kW} = 32000 \, \text{W}\).

Schéma (Avant les calculs)
Bilan de Puissance
P1 (Entrée)TransfoP2 (Utile)Pertes
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance active fournie :

\[ \begin{aligned} P_2 &= 40 \, \text{kVA} \cdot 0.8 \\ &= 32 \, \text{kW} \\ &= 32000 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Calcul du rendement :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{32000 \, \text{W}}{32000 \, \text{W} + 864 \, \text{W}} \\ &= \frac{32000}{32864} \\ &= 0.9737 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan de Puissance Chiffré
32864 WTransfo32000 W864 W
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rendement de 97.37% est une valeur typique pour un transformateur de cette taille. Cela signifie que pour 100 W prélevés sur le réseau, plus de 97 W sont effectivement livrés à la charge. C'est ce qui fait du transformateur l'une des machines électriques les plus efficaces qui existent.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre puissance active (W) et puissance apparente (VA). Le rendement se calcule toujours avec la puissance active. Utiliser la puissance apparente dans la formule du rendement est une erreur conceptuelle grave qui mènerait à un résultat incorrect.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La puissance utile est la puissance active : \(P_2 = S_2 \cdot \cos(\phi_2)\).
  • La puissance absorbée est la somme de la puissance utile et des pertes : \(P_1 = P_2 + P_{\text{pertes}}\).
  • Le rendement \(\eta = P_2 / P_1\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les transformateurs à haut rendement utilisent des matériaux magnétiques spéciaux (tôles à grains orientés, amorphes) pour réduire les pertes fer, et des conducteurs de section plus importante ou des techniques de bobinage spécifiques (fil de Litz) pour réduire les pertes cuivre.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement dépend-il du facteur de puissance ?

Oui, indirectement. Pour une même puissance apparente \(S_2\), une charge avec un faible facteur de puissance \(\cos(\phi_2)\) consomme moins de puissance active \(P_2\). Comme les pertes restent les mêmes (elles dépendent de \(S_2\)), le rendement \(\eta = P_2 / (P_2 + P_{\text{pertes}})\) sera plus faible.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance active fournie est de 32 kW et le rendement est de 97.37 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la charge était purement résistive (\(\cos(\phi_2) = 1\)) mais toujours à 40 kVA, quel serait le nouveau rendement en % ?

Question 3 : Déterminer le taux de charge pour un rendement maximal

Principe (le concept physique)

Le rendement n'est pas constant, il varie avec la charge. Il est faible à très faible charge (car les pertes fer constantes dominent) et diminue à très forte charge (car les pertes cuivre, qui augmentent au carré, deviennent prépondérantes). Entre les deux, il existe un point de fonctionnement optimal où le rendement est maximal. Ce point est atteint lorsque les pertes variables (cuivre) deviennent exactement égales aux pertes constantes (fer).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, on cherche à maximiser la fonction \(\eta(\beta) = \frac{\beta S_{\text{n}} \cos(\phi_2)}{\beta S_{\text{n}} \cos(\phi_2) + P_{\text{fer}} + \beta^2 P_{\text{Jcc}}}\). En dérivant cette expression par rapport à \(\beta\) et en cherchant le point où la dérivée s'annule (\(d\eta/d\beta = 0\)), on trouve que le maximum est atteint pour la condition \(P_{\text{fer}} = \beta^2 P_{\text{Jcc}}\). C'est un résultat fondamental de la théorie des transformateurs.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Connaître ce point de rendement maximal est très important pour le concepteur. Si un transformateur est destiné à fonctionner la plupart du temps à 50% de sa charge, on le concevra pour que son rendement soit maximal autour de ce point, en ajustant le ratio entre les pertes fer et les pertes cuivre.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de norme qui impose le point de rendement maximal, car il dépend de l'application. Cependant, les spécifications d'achat pour de grands projets (centrales, industries) incluent souvent une clause sur le rendement à une charge spécifiée (par exemple 75%), obligeant les fabricants à optimiser leurs designs pour ce point de fonctionnement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Condition de rendement maximal :

\[ P_{\text{fer}} = \beta_{\text{opt}}^2 \cdot P_{\text{Jcc}} \]

Taux de charge optimal :

\[ \beta_{\text{opt}} = \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{P_{\text{Jcc}}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Le modèle simple des pertes (constantes + variables en \(\beta^2\)) est supposé valide sur toute la plage de fonctionnement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Pertes fer, \(P_{\text{fer}} = 320 \, \text{W}\)
  • Pertes Joule nominales, \(P_{\text{Jcc}} = 850 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le calcul est direct. Assurez-vous simplement que \(P_{\text{fer}}\) et \(P_{\text{Jcc}}\) sont dans la même unité (ici, W). Le résultat \(\beta_{\text{opt}}\) est un nombre sans dimension, qui est généralement inférieur à 1 pour les transformateurs de distribution standards.

Schéma (Avant les calculs)
Courbes de Pertes et Rendement
Évolution avec la charge ββPertesP_ferP_Jη(β)β_opt ?
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule du taux de charge optimal :

\[ \begin{aligned} \beta_{\text{opt}} &= \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{P_{\text{Jcc}}}} \\ &= \sqrt{\frac{320 \, \text{W}}{850 \, \text{W}}} \\ &= \sqrt{0.376} \\ &\approx 0.613 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Rendement Maximal
Intersection des PertesβPertesP_fer=320WP_J(β)β_opt=0.61
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Ce transformateur atteint son efficacité maximale lorsqu'il fonctionne à environ 61.3% de sa puissance nominale. C'est à ce point que les pertes cuivre (qui seraient de \(0.613^2 \times 850 = 320\) W) égalent les pertes fer. Pour des charges inférieures, le rendement baisse car les 320W de pertes fer "pèsent" plus lourd. Pour des charges supérieures, il baisse car les pertes cuivre augmentent rapidement.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre le taux de charge pour le rendement maximal avec le rendement maximal lui-même. La question demande le taux de charge \(\beta_{\text{opt}}\). Pour calculer le rendement maximal \(\eta_{\text{max}}\), il faudrait ensuite utiliser ce \(\beta_{\text{opt}}\) dans la formule du rendement de la question 2.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rendement d'un transformateur n'est pas constant, il a un maximum.
  • Ce maximum est atteint lorsque : Pertes Cuivre = Pertes Fer.
  • Le taux de charge optimal est donc \(\beta_{\text{opt}} = \sqrt{P_{\text{fer}} / P_{\text{Jcc}}}\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La notion de "coût total de possession" (Total Cost of Ownership) pour un transformateur inclut non seulement son prix d'achat, mais aussi le coût de ses pertes sur toute sa durée de vie (environ 30 ans). Un transformateur plus cher à l'achat mais avec de plus faibles pertes peut être beaucoup plus rentable à long terme.

FAQ (pour lever les doutes)
Ce calcul est-il valable pour les transformateurs triphasés ?

Oui, le principe est exactement le même. Les valeurs de \(S_{\text{n}}\), \(P_{\text{fer}}\) et \(P_{\text{Jcc}}\) seraient simplement celles de l'ensemble du transformateur triphasé, mais la logique de calcul du rendement et du point optimal reste identique.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement est maximal pour un taux de charge \(\beta_{\text{opt}} \approx 0.613\), soit 61.3% de la charge nominale.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si on utilisait un meilleur circuit magnétique réduisant les pertes fer à 250 W, quel serait le nouveau \(\beta_{\text{opt}}\) ?

Question 4 : Calculer la chute de tension et la régulation

Principe (le concept physique)

Lorsqu'un courant traverse le transformateur pour alimenter une charge, il passe par les résistances et les réactances de fuite des enroulements. Cela crée une chute de tension interne, ce qui signifie que la tension réellement disponible aux bornes de la charge (\(V_2\)) est inférieure à la tension que le transformateur fournirait à vide (\(V_{20}\)). La régulation de tension quantifie cette baisse en pourcentage, c'est un indicateur de la "stabilité" de la tension de sortie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La tension de court-circuit \(U_{1\text{cc}}\) (en %) est une donnée clé de la plaque signalétique. Elle représente la chute de tension interne totale à courant nominal. On peut la décomposer en une partie résistive (\(U_{\text{Rcc}}\)) due aux pertes Joule, et une partie réactive (\(U_{\text{Xcc}}\)) due aux flux de fuite. La formule approchée de la chute de tension combine ces composantes avec le déphasage de la charge (\(\cos(\phi_2), \sin(\phi_2)\)).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une bonne régulation (une faible valeur en %) est très importante. Si la tension chute trop en charge, les appareils connectés pourraient mal fonctionner. C'est pourquoi les normes imposent des limites à la chute de tension dans les réseaux de distribution publics.

Normes (la référence réglementaire)

La norme EN 50160 spécifie les caractéristiques de la tension fournie par les réseaux publics de distribution. Elle impose que la tension ne doit pas s'écarter de plus de \(\pm 10\%\) de la valeur nominale, et la régulation des transformateurs de distribution est un facteur clé pour respecter cette exigence.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Chute de tension relative (\(\epsilon\)) et régulation :

\[ \epsilon = \frac{\Delta V_2}{V_{20}} \approx \beta \cdot (U_{\text{Rcc}} \cos(\phi_2) + U_{\text{Xcc}} \sin(\phi_2)) \]

Avec :

\[ U_{\text{Rcc}} = \frac{P_{\text{Jcc}}}{S_{\text{n}}} \quad \text{et} \quad U_{\text{Xcc}} = \sqrt{U_{\text{cc}}^2 - U_{\text{Rcc}}^2} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la formule de régulation approchée, qui est très précise pour les transformateurs de distribution où l'angle de l'impédance interne est grand.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Taux de charge, \(\beta = 0.8\)
  • Facteur de puissance, \(\cos(\phi_2) = 0.8\) (inductif)
  • \(P_{\text{Jcc}} = 850 \, \text{W}\), \(S_{\text{n}} = 50000 \, \text{VA}\)
  • \(U_{\text{cc}} = 4\% = 0.04\)
  • \(V_{20} = 400 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Toutes les tensions relatives (\(U_{\text{Rcc}}, U_{\text{Xcc}}, U_{\text{cc}}\)) sont des valeurs "per unit" (p.u.), c'est-à-dire sans dimension. Il faut d'abord calculer \(U_{\text{Rcc}}\). Ensuite, si \(\cos(\phi_2) = 0.8\), alors \(\sin(\phi_2) = \sqrt{1 - 0.8^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6\). Attention au signe pour les charges capacitives !

Schéma (Avant les calculs)
Triangle des Tensions de Court-Circuit
U_Rcc = ?U_Xcc = ?U_cc = 4%
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des composantes de la tension de court-circuit :

\[ \begin{aligned} U_{\text{Rcc}} &= \frac{P_{\text{Jcc}}}{S_{\text{n}}} \\ &= \frac{850 \, \text{W}}{50000 \, \text{VA}} \\ &= 0.017 \quad (1.7\%) \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} U_{\text{Xcc}} &= \sqrt{U_{\text{cc}}^2 - U_{\text{Rcc}}^2} \\ &= \sqrt{0.04^2 - 0.017^2} \\ &= \sqrt{0.0016 - 0.000289} \\ &= \sqrt{0.001311} \\ &\approx 0.0362 \quad (3.62\%) \end{aligned} \]

2. Calcul de la chute de tension relative et de la régulation :

\[ \begin{aligned} \sin(\phi_2) &= \sqrt{1 - \cos^2(\phi_2)} \\ &= \sqrt{1 - 0.8^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.64} \\ &= \sqrt{0.36} \\ &= 0.6 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \epsilon &= \beta \cdot (U_{\text{Rcc}} \cos(\phi_2) + U_{\text{Xcc}} \sin(\phi_2)) \\ &= 0.8 \cdot (0.017 \cdot 0.8 + 0.0362 \cdot 0.6) \\ &= 0.8 \cdot (0.0136 + 0.02172) \\ &= 0.8 \cdot 0.03532 \\ &\approx 0.02826 \end{aligned} \]

3. Calcul de la chute de tension absolue et de la tension en charge :

\[ \begin{aligned} \Delta V_2 &= \epsilon \cdot V_{20} \\ &= 0.02826 \cdot 400 \, \text{V} \\ &\approx 11.3 \, \text{V} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} V_2 &= V_{20} - \Delta V_2 \\ &= 400 \, \text{V} - 11.3 \, \text{V} \\ &= 388.7 \, \text{V} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Tensions de Court-Circuit (Valeurs calculées)
U_Rcc = 1.7%U_Xcc = 3.62%U_cc = 4%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La tension au secondaire chute de 11.3 V lorsque cette charge est connectée. La régulation est de 2.83%. Cela signifie que la tension de sortie est assez stable, ce qui est une caractéristique souhaitable pour un transformateur de distribution.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Le calcul de \(U_{\text{Xcc}}\) utilise le théorème de Pythagore, attention à ne pas simplement soustraire les valeurs. De plus, pour une charge capacitive, le terme en \(\sin(\phi_2)\) devient négatif, ce qui peut mener à une chute de tension nulle voire à une surtension (\(V_2 > V_{20}\)), un phénomène connu sous le nom d'effet Ferranti.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La régulation de tension mesure la stabilité de la tension de sortie.
  • Elle dépend des impédances internes (\(U_{\text{Rcc}}, U_{\text{Xcc}}\)) et de la charge (\(\beta, \cos\phi_2\)).
  • Une faible régulation est un critère de qualité.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour compenser les chutes de tension dans les longs réseaux, les gros transformateurs de puissance sont souvent équipés d'un "changeur de prises en charge". C'est un dispositif mécanique qui peut modifier le rapport de transformation (en ajoutant ou retirant quelques spires) pendant que le transformateur est en service, afin de maintenir la tension de sortie constante.

FAQ (pour lever les doutes)
La tension de 400V, n'est-ce pas pour le triphasé ?

Si, 400V est la tension standard entre phases en triphasé. En monophasé, la tension entre phase et neutre est de 230V (\(400/\sqrt{3}\)). Cet exercice utilise 400V par simplicité de calcul, mais dans un contexte réel monophasé, la tension secondaire serait plutôt de 230V ou 240V.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La chute de tension est de 11.3 V, soit une régulation de 2.83 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la régulation en % si la charge était purement résistive (\(\cos(\phi_2)=1, \sin(\phi_2)=0\)) ?

Outil Interactif : Performance du Transformateur

Modifiez le taux de charge et le facteur de puissance pour voir leur influence sur le rendement et la régulation.

Paramètres d'Entrée
0.80
0.80 ind.
Résultats Clés
Rendement (η) -
Régulation de Tension -
Tension Secondaire (V₂) -

Le Saviez-Vous ?

La "guerre des courants" à la fin du 19ème siècle entre Thomas Edison (partisan du courant continu) et Nikola Tesla (partisan du courant alternatif) a été remportée par Tesla en grande partie grâce au transformateur. Sa capacité à changer facilement les niveaux de tension du courant alternatif le rendait bien plus adapté au transport d'électricité sur de longues distances que le courant continu.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le modèle de Kapp est-il "simplifié" ?

Le modèle de Kapp néglige le courant magnétisant (le courant nécessaire pour créer le flux magnétique), qui est généralement très faible (1-2% du courant nominal). Un modèle plus précis, le modèle de Behn-Eschenburg, inclut une branche en parallèle pour représenter ce courant et les pertes fer. Pour la plupart des calculs de charge, le modèle de Kapp est cependant largement suffisant.

D'où vient la tension de court-circuit \(U_{\text{cc}}\) ?

Elle est mesurée lors de l'essai en court-circuit. On alimente le primaire avec une tension variable, le secondaire étant en court-circuit, jusqu'à ce que le courant nominal circule dans les enroulements. La tension primaire nécessaire pour atteindre ce courant, exprimée en pourcentage de la tension primaire nominale, est \(U_{\text{cc}}\). Elle représente l'impédance interne totale du transformateur.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le courant de charge est divisé par deux, les pertes Joule sont...

2. Un transformateur a son rendement maximal lorsque...

Rendement (\(\eta\))
Rapport entre la puissance active utile fournie au secondaire (\(P_2\)) et la puissance active absorbée au primaire (\(P_1\)). C'est une mesure de l'efficacité énergétique de la machine.
Régulation de Tension
Variation relative de la tension secondaire entre le fonctionnement à vide et un fonctionnement en charge donné. Une faible régulation indique que la tension de sortie est stable.
Pertes Fer (\(P_{\text{fer}}\))
Pertes dans le circuit magnétique, indépendantes de la charge. Elles sont dues aux phénomènes d'hystérésis et aux courants de Foucault.
Pertes Cuivre (\(P_{\text{J}}\))
Pertes par effet Joule dans les enroulements, proportionnelles au carré du courant de charge. Elles sont aussi appelées pertes variables.
Performance d’un Transformateur de Puissance

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