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Performance d’un Transformateur de Puissance

Performance d’un Transformateur de Puissance

Performance d’un Transformateur de Puissance

Comprendre la Performance d'un Transformateur

L'étude de la performance d'un transformateur est cruciale pour évaluer son efficacité énergétique et sa capacité à maintenir une tension de sortie stable sous différentes conditions de charge. Les principaux indicateurs de performance sont le rendement et la régulation de tension. Ces caractéristiques sont déterminées à partir des paramètres du circuit équivalent du transformateur, qui peuvent être obtenus grâce à des essais normalisés : l'essai à vide (ou en circuit ouvert) et l'essai en court-circuit.

Données de l'étude

On étudie un transformateur monophasé dont les caractéristiques nominales et les résultats d'essais sont les suivants :

Caractéristiques nominales :

  • Puissance apparente nominale (\(S_n\)) : \(50 \, \text{kVA}\)
  • Tension primaire nominale (\(V_{1n}\)) : \(2400 \, \text{V}\)
  • Tension secondaire nominale (\(V_{2n}\)) : \(240 \, \text{V}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(50 \, \text{Hz}\)

Résultats des essais :

  • Essai à vide (effectué côté Basse Tension - BT) :
    • Tension à vide (\(V_{oc}\)) : \(240 \, \text{V}\)
    • Courant à vide (\(I_{oc}\)) : \(5.41 \, \text{A}\)
    • Puissance absorbée à vide (\(P_{oc}\)) : \(186 \, \text{W}\)
  • Essai en court-circuit (effectué côté Haute Tension - HT, avec le secondaire en court-circuit) :
    • Tension de court-circuit (\(V_{sc}\)) : \(48 \, \text{V}\)
    • Courant de court-circuit (\(I_{sc}\)) : \(20.8 \, \text{A}\) (correspondant au courant primaire nominal \(I_{1n}\))
    • Puissance absorbée en court-circuit (\(P_{sc}\)) : \(617 \, \text{W}\)
Schéma Simplifié d'un Transformateur Monophasé
V₁ Primaire V₂ Secondaire Transformateur Monophasé

Représentation schématique d'un transformateur avec ses enroulements primaire et secondaire autour d'un noyau.

Questions à traiter

  1. Déterminer les paramètres du circuit équivalent simplifié ramené au primaire (Haute Tension) : résistance des pertes fer (\(R_{fe1}\)), réactance magnétisante (\(X_{\mu1}\)), résistance équivalente des enroulements (\(R_{eq1}\)) et réactance de fuite équivalente (\(X_{eq1}\)).
  2. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transformateur lorsqu'il fonctionne à 80% de sa charge nominale avec un facteur de puissance de 0.85 inductif.
  3. Calculer la régulation de tension (ou chute de tension en pourcentage, \(\Delta V_2\%\)) pour les conditions de charge de la question 2.
  4. Déterminer le pourcentage de charge (\(x\)) pour lequel le rendement du transformateur est maximal.
  5. Calculer ce rendement maximal (\(\eta_{max}\)) pour un facteur de puissance de 0.9 capacitif.

Correction : Performance d’un Transformateur de Puissance

Question 1 : Paramètres du circuit équivalent ramené au primaire

Principe :

Les paramètres du circuit équivalent d'un transformateur (modèle de Kapp simplifié) peuvent être déterminés à partir des essais à vide et en court-circuit. L'essai à vide permet de déterminer les paramètres de la branche de magnétisation (\(R_{fe}\) et \(X_{\mu}\)) qui représentent les pertes fer et la réactance magnétisante. L'essai en court-circuit permet de déterminer les paramètres série (\(R_{eq}\) et \(X_{eq}\)) qui représentent les pertes cuivre et les réactances de fuite totales des enroulements. Il est important de ramener tous les paramètres au même côté (primaire ou secondaire) pour l'analyse.

Formule(s) utilisée(s) :

Rapport de transformation : \(a = \frac{V_{1n}}{V_{2n}}\)

Depuis l'essai à vide (côté BT, donc paramètres secondaires \(R_{fe2}\), \(X_{\mu2}\)) :

\[P_{oc} = \frac{V_{oc}^2}{R_{fe2}} \Rightarrow R_{fe2} = \frac{V_{oc}^2}{P_{oc}}\] \[S_{oc} = V_{oc} I_{oc}\] \[Q_{oc} = \sqrt{S_{oc}^2 - P_{oc}^2}\] \[Q_{oc} = \frac{V_{oc}^2}{X_{\mu2}} \Rightarrow X_{\mu2} = \frac{V_{oc}^2}{Q_{oc}}\]

Ramener au primaire : \(R_{fe1} = a^2 R_{fe2}\) et \(X_{\mu1} = a^2 X_{\mu2}\)

Depuis l'essai en court-circuit (côté HT, donc paramètres primaires \(R_{eq1}\), \(X_{eq1}\)) :

\[P_{sc} = R_{eq1} I_{sc}^2 \Rightarrow R_{eq1} = \frac{P_{sc}}{I_{sc}^2}\] \[Z_{eq1} = \frac{V_{sc}}{I_{sc}}\] \[X_{eq1} = \sqrt{Z_{eq1}^2 - R_{eq1}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{1n} = 2400 \, \text{V}\), \(V_{2n} = 240 \, \text{V}\)
  • Essai à vide (BT) : \(V_{oc} = 240 \, \text{V}\), \(I_{oc} = 5.41 \, \text{A}\), \(P_{oc} = 186 \, \text{W}\)
  • Essai en court-circuit (HT) : \(V_{sc} = 48 \, \text{V}\), \(I_{sc} = 20.8 \, \text{A}\), \(P_{sc} = 617 \, \text{W}\)
Calcul :

Rapport de transformation :

\[a = \frac{2400 \, \text{V}}{240 \, \text{V}} = 10\]

Paramètres de la branche de magnétisation (essai à vide côté BT, puis ramenés au HT) :

\[ \begin{aligned} R_{fe2} &= \frac{(240 \, \text{V})^2}{186 \, \text{W}} \\ &= \frac{57600}{186} \\ &\approx 309.68 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} S_{oc} &= (240 \, \text{V}) \times (5.41 \, \text{A}) \\ &= 1298.4 \, \text{VA} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Q_{oc} &= \sqrt{(1298.4)^2 - (186)^2} \\ &= \sqrt{1685842.56 - 34596} \\ &= \sqrt{1651246.56} \\ &\approx 1285.01 \, \text{VAR} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{\mu2} &= \frac{(240 \, \text{V})^2}{1285.01 \, \text{VAR}} \\ &= \frac{57600}{1285.01} \\ &\approx 44.82 \, \Omega \end{aligned} \]

Ramenés au primaire (HT) :

\[ \begin{aligned} R_{fe1} &= a^2 R_{fe2} \\ &= (10)^2 \times 309.68 \, \Omega \\ &= 100 \times 309.68 \, \Omega \\ &= 30968 \, \Omega \\ &\approx 31.0 \, \text{k}\Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{\mu1} &= a^2 X_{\mu2} \\ &= (10)^2 \times 44.82 \, \Omega \\ &= 100 \times 44.82 \, \Omega \\ &= 4482 \, \Omega \\ &\approx 4.48 \, \text{k}\Omega \end{aligned} \]

Paramètres série (essai en court-circuit côté HT) :

\[ \begin{aligned} R_{eq1} &= \frac{617 \, \text{W}}{(20.8 \, \text{A})^2} \\ &= \frac{617}{432.64} \\ &\approx 1.426 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Z_{eq1} &= \frac{48 \, \text{V}}{20.8 \, \text{A}} \\ &\approx 2.308 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} X_{eq1} &= \sqrt{(2.308)^2 - (1.426)^2} \\ &= \sqrt{5.326864 - 2.033476} \\ &= \sqrt{3.293388} \\ &\approx 1.815 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Les paramètres du circuit équivalent ramené au primaire sont :
  • \(R_{fe1} \approx 31.0 \, \text{k}\Omega\)
  • \(X_{\mu1} \approx 4.48 \, \text{k}\Omega\)
  • \(R_{eq1} \approx 1.426 \, \Omega\)
  • \(X_{eq1} \approx 1.815 \, \Omega\)

Quiz Intermédiaire 1 : L'essai à vide d'un transformateur permet principalement de déterminer :

Question 2 : Rendement (\(\eta\)) à 80% de charge, fp = 0.85 inductif

Principe :

Le rendement d'un transformateur est le rapport entre la puissance de sortie (active) et la puissance d'entrée (active). Il peut aussi s'exprimer en fonction de la puissance de sortie et des pertes totales (pertes fer \(P_{fe}\) et pertes cuivre \(P_{cu}\)). Les pertes fer sont considérées constantes (égales à \(P_{oc}\)), tandis que les pertes cuivre varient avec le carré du courant de charge.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{sortie} + P_{fe} + P_{cu,charge}}\] \[P_{sortie} = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\] \[P_{fe} = P_{oc}\] \[P_{cu,nom} = P_{sc}\] \[P_{cu,charge} = x^2 \cdot P_{cu,nom}\]

Où \(x\) est le taux de charge (ici 0.80), \(S_n\) est la puissance apparente nominale, et \(\cos(\phi_2)\) est le facteur de puissance de la charge.

Données spécifiques :
  • Taux de charge \(x = 0.80\) (80%)
  • \(S_n = 50 \, \text{kVA} = 50000 \, \text{VA}\)
  • Facteur de puissance \(\cos(\phi_2) = 0.85\) inductif
  • \(P_{fe} = P_{oc} = 186 \, \text{W}\)
  • \(P_{cu,nom} = P_{sc} = 617 \, \text{W}\) (car \(I_{sc}\) est le courant nominal)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{sortie} &= 0.80 \times 50000 \, \text{VA} \times 0.85 \\ &= 40000 \, \text{VA} \times 0.85 \\ &= 34000 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{cu,charge} &= (0.80)^2 \times 617 \, \text{W} \\ &= 0.64 \times 617 \, \text{W} \\ &= 394.88 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \eta &= \frac{34000 \, \text{W}}{34000 \, \text{W} + 186 \, \text{W} + 394.88 \, \text{W}} \\ &= \frac{34000}{34580.88} \\ &\approx 0.9832 \end{aligned} \]

En pourcentage : \(\eta \approx 98.32\%\)

Résultat Question 2 : Le rendement du transformateur à 80% de charge avec un fp de 0.85 inductif est \(\eta \approx 98.32\%\).

Quiz Intermédiaire 2 : Les pertes cuivre dans un transformateur sont proportionnelles :

Question 3 : Régulation de tension (\(\Delta V_2\%\))

Principe :

La régulation de tension mesure la variation de la tension secondaire entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement en charge, exprimée en pourcentage de la tension nominale en charge. Pour un transformateur ramené au primaire, une formule approchée est souvent utilisée :

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta V_2\% \approx \frac{I_{1,charge} \cdot (R_{eq1} \cos(\phi_2) + X_{eq1} \sin(\phi_2))}{V_{1n}} \times 100\% \quad (\text{pour fp inductif})\] \[\Delta V_2\% \approx \frac{I_{1,charge} \cdot (R_{eq1} \cos(\phi_2) - X_{eq1} \sin(\phi_2))}{V_{1n}} \times 100\% \quad (\text{pour fp capacitif})\]

Où \(I_{1,charge} = x \cdot I_{1n}\). \(I_{1n} = S_n / V_{1n}\). Pour \(\cos(\phi_2) = 0.85\) inductif, \(\sin(\phi_2) = \sqrt{1 - 0.85^2}\).

Données spécifiques :
  • \(x = 0.80\)
  • \(S_n = 50000 \, \text{VA}\), \(V_{1n} = 2400 \, \text{V}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.85\) (inductif)
  • \(R_{eq1} \approx 1.426 \, \Omega\), \(X_{eq1} \approx 1.815 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{1n} &= \frac{50000 \, \text{VA}}{2400 \, \text{V}} \\ &\approx 20.83 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{1,charge} &= 0.80 \times 20.83 \, \text{A} \\ &\approx 16.664 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \sin(\phi_2) &= \sqrt{1 - (0.85)^2} \\ &= \sqrt{1 - 0.7225} \\ &= \sqrt{0.2775} \\ &\approx 0.5268 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \Delta V_2\% &\approx \frac{16.664 \times (1.426 \times 0.85 + 1.815 \times 0.5268)}{2400} \times 100\% \\ &\approx \frac{16.664 \times (1.2121 + 0.9562)}{2400} \times 100\% \\ &\approx \frac{16.664 \times 2.1683}{2400} \times 100\% \\ &= \frac{36.132}{2400} \times 100\% \\ &\approx 0.015055 \times 100\% \\ &\approx 1.51\% \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La régulation de tension est \(\Delta V_2\% \approx 1.51\%\).

Quiz Intermédiaire 3 : Une faible régulation de tension est généralement :

Question 4 : Pourcentage de charge (\(x\)) pour rendement maximal

Principe :

Le rendement d'un transformateur est maximal lorsque les pertes cuivre (\(P_{cu,charge}\)) sont égales aux pertes fer (\(P_{fe}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{cu,charge} = P_{fe} \Rightarrow x^2 P_{cu,nom} = P_{fe}\] \[x = \sqrt{\frac{P_{fe}}{P_{cu,nom}}}\]
Données spécifiques :
  • \(P_{fe} = P_{oc} = 186 \, \text{W}\)
  • \(P_{cu,nom} = P_{sc} = 617 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} x &= \sqrt{\frac{186 \, \text{W}}{617 \, \text{W}}} \\ &= \sqrt{0.3014586} \\ &\approx 0.549 \end{aligned} \]

Le rendement est maximal à environ 54.9% de la charge nominale.

Résultat Question 4 : Le rendement est maximal pour un taux de charge \(x \approx 0.549\) (soit 54.9%).

Quiz Intermédiaire 4 : Pour obtenir un rendement maximal, il faut que :

Question 5 : Calcul du rendement maximal (\(\eta_{max}\)) pour fp = 0.9 capacitif

Principe :

Le rendement maximal est calculé à la charge \(x\) trouvée précédemment, où \(P_{cu,charge} = P_{fe}\). Le facteur de puissance de la charge influence la puissance de sortie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta_{max} = \frac{P_{sortie, max\_rend}}{P_{sortie, max\_rend} + 2 \cdot P_{fe}}\] \[P_{sortie, max\_rend} = x \cdot S_n \cdot \cos(\phi_2)\]

Où \(x \approx 0.549\) et \(\cos(\phi_2) = 0.9\) capacitif.

Données spécifiques :
  • \(x \approx 0.549\)
  • \(S_n = 50000 \, \text{VA}\)
  • \(\cos(\phi_2) = 0.9\)
  • \(P_{fe} = 186 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{sortie, max\_rend} &= 0.549 \times 50000 \, \text{VA} \times 0.9 \\ &= 27450 \, \text{VA} \times 0.9 \\ &= 24705 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{cu, charge\_max\_rend} &= x^2 P_{cu,nom} \\ &= (0.549)^2 \times 617 \\ &\approx 0.3014 \times 617 \\ &\approx 185.96 \, \text{W} \\ &\approx P_{fe} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \eta_{max} &= \frac{24705 \, \text{W}}{24705 \, \text{W} + P_{fe} + P_{cu, charge\_max\_rend}} \\ &\approx \frac{24705}{24705 + 186 + 185.96} \\ &\approx \frac{24705}{24705 + 371.96} \\ &\approx \frac{24705}{25076.96} \\ &\approx 0.98517 \end{aligned} \]

En pourcentage : \(\eta_{max} \approx 98.52\%\)

Résultat Question 5 : Le rendement maximal pour un fp de 0.9 capacitif est \(\eta_{max} \approx 98.52\%\).

Quiz Intermédiaire 5 : Le rendement maximal d'un transformateur dépend-il du facteur de puissance de la charge ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'essai en court-circuit d'un transformateur est effectué en appliquant une tension réduite au primaire tout en :

2. La régulation de tension d'un transformateur est idéalement :

3. Les pertes fer dans un transformateur sont principalement dues :

Glossaire

Transformateur
Appareil électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction électromagnétique, généralement avec un changement de tension et de courant.
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance active de sortie à la puissance active d'entrée. Il mesure l'efficacité énergétique du transformateur.
Régulation de Tension (\(\Delta V_2\%\))
Mesure de la variation de la tension secondaire d'un transformateur entre le fonctionnement à vide et le fonctionnement en charge, exprimée en pourcentage de la tension nominale en charge.
Pertes Fer (\(P_{fe}\) ou \(P_{oc}\))
Pertes de puissance dans le noyau magnétique du transformateur, dues aux courants de Foucault et au cycle d'hystérésis. Elles sont pratiquement constantes quelle que soit la charge.
Pertes Cuivre (\(P_{cu}\) ou \(P_{sc}\) à charge nominale)
Pertes par effet Joule dans les résistances des enroulements primaire et secondaire. Elles varient avec le carré du courant de charge.
Circuit Équivalent
Modèle électrique simplifié représentant le comportement d'un transformateur réel, utilisé pour analyser sa performance.
Essai à Vide (Open Circuit Test)
Essai effectué en alimentant un enroulement (généralement le primaire) à sa tension nominale, l'autre enroulement étant laissé ouvert. Il permet de déterminer les pertes fer et les paramètres de la branche de magnétisation.
Essai en Court-Circuit (Short Circuit Test)
Essai effectué en alimentant un enroulement (généralement le primaire) avec une tension réduite de manière à faire circuler le courant nominal, l'autre enroulement étant court-circuité. Il permet de déterminer les pertes cuivre nominales et les paramètres de l'impédance de fuite.
Facteur de Puissance (fp ou \(\cos(\phi)\))
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente dans un circuit AC. Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance est utilisée par la charge.
Performance d’un Transformateur de Puissance

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