Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de la variation du flux magnétique

Calcul de la Variation du Flux Magnétique

Calcul de la Variation du Flux Magnétique

Comprendre comment calculer le flux magnétique à travers une bobine et sa variation lorsque le champ magnétique ou l'orientation de la bobine change.

Le flux magnétique (\(\Phi\)) à travers une surface plane d'aire \(A\) placée dans un champ magnétique uniforme \(\vec{B}\) est donné par le produit scalaire \(\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A}\). Si \(\alpha\) est l'angle entre le vecteur champ magnétique \(\vec{B}\) et le vecteur normal \(\vec{n}\) à la surface (dont la norme est \(A\)), alors :

\[ \Phi = B \cdot A \cdot \cos(\alpha) \]

Où :

  • \(\Phi\) est le flux magnétique en Webers (Wb).
  • \(B\) est l'intensité du champ magnétique en Teslas (T).
  • \(A\) est l'aire de la surface en mètres carrés (m²).
  • \(\alpha\) est l'angle entre \(\vec{B}\) et la normale à la surface \(\vec{A}\).

Si une bobine comporte \(N\) spires identiques, le flux total à travers la bobine est \(\Phi_{total} = N \cdot \Phi_{spire}\).

Une variation de flux magnétique (\(\Delta \Phi\)) se produit si \(B\), \(A\), ou \(\alpha\) change au cours du temps. Cette variation est \(\Delta \Phi = \Phi_{final} - \Phi_{initial}\). La loi de Faraday stipule qu'une telle variation induit une force électromotrice (f.é.m.) dans un circuit.

Données du Problème

On considère une bobine carrée.

  • Côté de la bobine carrée : \(c = 10.0 \text{ cm}\)
  • Nombre de spires : \(N = 50\)

Situation 1 : Variation de l'intensité du champ magnétique

  • Initialement, le champ magnétique \(\vec{B_1}\) est perpendiculaire au plan des spires (donc \(\alpha_1 = 0^\circ\)) et son intensité est \(B_1 = 0.20 \text{ T}\).
  • L'intensité du champ magnétique diminue uniformément jusqu'à \(B_2 = 0.05 \text{ T}\), en restant perpendiculaire aux spires.

Situation 2 : Rotation de la bobine dans un champ constant

  • L'intensité du champ magnétique est constante : \(B = 0.20 \text{ T}\).
  • Initialement, le plan des spires est perpendiculaire au champ \(\vec{B}\) (angle \(\alpha_{initial,rot} = 0^\circ\) entre \(\vec{B}\) et la normale aux spires).
  • La bobine tourne ensuite de sorte que la normale à ses spires fait un angle \(\alpha_{final,rot} = 60^\circ\) avec \(\vec{B}\).

On donne \(\cos(0^\circ) = 1\) et \(\cos(60^\circ) = 0.5\).

Bobine (Aire A) Champ B n (normale) Angle alpha alpha B
Bobine carrée dans un champ magnétique.

Questions

  1. Calculer l'aire \(A\) d'une spire de la bobine en mètres carrés (\(m^2\)).
  2. Situation 1 : Variation de l'intensité du champ magnétique
    1. Calculer le flux magnétique initial \(\Phi_1\) à travers une spire.
    2. Calculer le flux magnétique final \(\Phi_2\) à travers une spire.
    3. Calculer la variation du flux magnétique \(\Delta \Phi_{total,1}\) à travers la bobine entière (les N spires).
  3. Situation 2 : Rotation de la bobine dans un champ constant
    1. Calculer le flux magnétique initial \(\Phi_{initial,rot}\) à travers une spire.
    2. Calculer le flux magnétique final \(\Phi_{final,rot}\) à travers une spire après rotation de \(60^\circ\).
    3. Calculer la variation du flux magnétique \(\Delta \Phi_{total,rot}\) à travers la bobine entière.
  4. Si la variation de flux de la Situation 1 (\(\Delta \Phi_{total,1}\)) se produit en \(\Delta t = 0.10 \text{ s}\), quelle serait la valeur absolue de la f.é.m. induite moyenne dans la bobine ?

Correction : Calcul de la Variation du Flux Magnétique

1. Calcul de l'Aire (\(A\)) d'une Spire

La bobine est carrée. L'aire d'un carré est \(A = c^2\). Le côté doit être converti en mètres.

Donnée :

  • \(c = 10.0 \text{ cm} = 0.100 \text{ m}\)
\begin{aligned} A &= (0.100 \text{ m})^2 \\ &= 0.0100 \text{ m}^2 \end{aligned}

L'aire d'une spire est \(A = 0.0100 \text{ m}^2\).

2. Situation 1 : Variation de l'intensité du champ magnétique

a. Flux Magnétique Initial (\(\Phi_1\)) par Spire

Le champ \(\vec{B_1}\) est perpendiculaire au plan des spires, donc l'angle \(\alpha_1\) entre \(\vec{B_1}\) et la normale aux spires est \(0^\circ\). \(\cos(0^\circ) = 1\). \(\Phi_1 = B_1 \cdot A \cdot \cos(\alpha_1)\).

Données :

  • \(B_1 = 0.20 \text{ T}\)
  • \(A = 0.0100 \text{ m}^2\)
\begin{aligned} \Phi_1 &= 0.20 \text{ T} \times 0.0100 \text{ m}^2 \times \cos(0^\circ) \\ &= 0.20 \times 0.0100 \times 1 \text{ Wb} \\ &= 0.0020 \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique initial par spire est \(\Phi_1 = 0.0020 \text{ Wb}\).

b. Flux Magnétique Final (\(\Phi_2\)) par Spire

Le champ \(\vec{B_2}\) reste perpendiculaire au plan des spires (\(\alpha_2 = 0^\circ\)). \(\Phi_2 = B_2 \cdot A \cdot \cos(\alpha_2)\).

Données :

  • \(B_2 = 0.05 \text{ T}\)
  • \(A = 0.0100 \text{ m}^2\)
\begin{aligned} \Phi_2 &= 0.05 \text{ T} \times 0.0100 \text{ m}^2 \times \cos(0^\circ) \\ &= 0.05 \times 0.0100 \times 1 \text{ Wb} \\ &= 0.0005 \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique final par spire est \(\Phi_2 = 0.0005 \text{ Wb}\).

c. Variation du Flux Magnétique Total (\(\Delta \Phi_{total,1}\)) pour la Bobine

La variation de flux pour une spire est \(\Delta \Phi_{spire,1} = \Phi_2 - \Phi_1\). La variation totale pour \(N\) spires est \(\Delta \Phi_{total,1} = N \cdot \Delta \Phi_{spire,1}\).

Donnée :

  • \(N = 50 \text{ spires}\)
\begin{aligned} \Delta \Phi_{spire,1} &= 0.0005 \text{ Wb} - 0.0020 \text{ Wb} \\ &= -0.0015 \text{ Wb} \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta \Phi_{total,1} &= 50 \times (-0.0015 \text{ Wb}) \\ &= -0.075 \text{ Wb} \end{aligned}

La variation du flux magnétique total à travers la bobine est \(\Delta \Phi_{total,1} = -0.075 \text{ Wb}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si le flux magnétique à travers une bobine diminue, la variation de flux \(\Delta \Phi\) est :

3. Situation 2 : Rotation de la bobine dans un champ constant

Données pour cette situation :

  • \(B = 0.20 \text{ T}\)
  • \(A = 0.0100 \text{ m}^2\)
  • \(N = 50 \text{ spires}\)
a. Flux Magnétique Initial (\(\Phi_{initial,rot}\)) par Spire

Initialement, la normale aux spires est parallèle à \(\vec{B}\), donc \(\alpha_{initial,rot} = 0^\circ\). \(\Phi_{initial,rot} = B \cdot A \cdot \cos(\alpha_{initial,rot})\).

\begin{aligned} \Phi_{initial,rot} &= 0.20 \text{ T} \times 0.0100 \text{ m}^2 \times \cos(0^\circ) \\ &= 0.20 \times 0.0100 \times 1 \text{ Wb} \\ &= 0.0020 \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique initial par spire est \(\Phi_{initial,rot} = 0.0020 \text{ Wb}\).

b. Flux Magnétique Final (\(\Phi_{final,rot}\)) par Spire après Rotation

Après rotation, l'angle entre \(\vec{B}\) et la normale est \(\alpha_{final,rot} = 60^\circ\). \(\Phi_{final,rot} = B \cdot A \cdot \cos(\alpha_{final,rot})\).

Donnée :

  • \(\cos(60^\circ) = 0.5\)
\begin{aligned} \Phi_{final,rot} &= 0.20 \text{ T} \times 0.0100 \text{ m}^2 \times \cos(60^\circ) \\ &= 0.20 \times 0.0100 \times 0.5 \text{ Wb} \\ &= 0.0010 \text{ Wb} \end{aligned}

Le flux magnétique final par spire est \(\Phi_{final,rot} = 0.0010 \text{ Wb}\).

c. Variation du Flux Magnétique Total (\(\Delta \Phi_{total,rot}\)) pour la Bobine

\(\Delta \Phi_{spire,rot} = \Phi_{final,rot} - \Phi_{initial,rot}\). \(\Delta \Phi_{total,rot} = N \cdot \Delta \Phi_{spire,rot}\).

\begin{aligned} \Delta \Phi_{spire,rot} &= 0.0010 \text{ Wb} - 0.0020 \text{ Wb} \\ &= -0.0010 \text{ Wb} \end{aligned}
\begin{aligned} \Delta \Phi_{total,rot} &= 50 \times (-0.0010 \text{ Wb}) \\ &= -0.050 \text{ Wb} \end{aligned}

La variation du flux magnétique total à travers la bobine est \(\Delta \Phi_{total,rot} = -0.050 \text{ Wb}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si une spire est orientée de sorte que son plan est parallèle aux lignes de champ magnétique (normale perpendiculaire à B), le flux magnétique à travers cette spire est :

4. Calcul de la f.é.m. Induite Moyenne (\(e\)) pour la Situation 1

On utilise la loi de Faraday \(e = -N \frac{\Delta \Phi_{spire}}{\Delta t} = - \frac{\Delta \Phi_{total}}{\Delta t}\). On demande la valeur absolue de la f.é.m.

Données :

  • \(\Delta \Phi_{total,1} = -0.075 \text{ Wb}\)
  • \(\Delta t = 0.10 \text{ s}\)
\begin{aligned} e &= - \frac{-0.075 \text{ Wb}}{0.10 \text{ s}} \\ &= - (-0.75 \text{ V}) \\ &= 0.75 \text{ V} \end{aligned}

La valeur absolue est \(|e| = 0.75 \text{ V}\).

La valeur absolue de la f.é.m. induite moyenne est \(|e| = 0.75 \text{ V}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Le flux magnétique à travers une surface dépend :

Question 2 : Une force électromotrice (f.é.m.) est induite dans un circuit si :

Question 3 : Si le flux magnétique à travers une bobine de 100 spires varie de \(0.02 \text{ Wb}\) en \(0.01 \text{ s}\), la valeur absolue de la f.é.m. induite est :

Question 4 : L'unité du Tesla (T) mesure :

Glossaire des Termes Clés

Flux Magnétique (\(\Phi\)) :

Grandeur qui quantifie le champ magnétique traversant une surface. Unité : Weber (Wb).

Champ Magnétique (\(\vec{B}\)) :

Champ de forces créé par des aimants ou des courants électriques, qui exerce une force sur d'autres aimants ou courants. Unité : Tesla (T).

Spire :

Boucle de fil conducteur.

Bobine :

Ensemble de plusieurs spires, généralement enroulées.

Loi de Faraday :

Loi de l'induction électromagnétique qui stipule qu'une variation de flux magnétique à travers un circuit induit une force électromotrice (f.é.m.) dans ce circuit.

Force Électromotrice (f.é.m., \(e\)) :

Tension induite dans un circuit par une variation de flux magnétique, capable de mettre en mouvement des charges électriques. Unité : Volt (V).

Weber (Wb) :

Unité SI de flux magnétique. \(1 \text{ Wb} = 1 \text{ T} \cdot \text{m}^2\).

Tesla (T) :

Unité SI d'intensité du champ magnétique.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la loi de Lenz complète-t-elle la loi de Faraday ? Quel est son rôle ?

2. Citez des applications concrètes de l'induction électromagnétique dans la production d'électricité (alternateurs, dynamos).

3. Si la bobine de l'exercice était connectée à une résistance, quel serait le sens du courant induit lors de la diminution du champ magnétique (Situation 1) ? (Utilisez la loi de Lenz).

4. Qu'est-ce que l'auto-induction ? Comment une bobine peut-elle induire une f.é.m. en elle-même ?

5. Les transformateurs électriques fonctionnent grâce à l'induction mutuelle entre deux bobines. Expliquez brièvement ce principe.

Calcul de la Variation du Flux Magnétique

D’autres exercices de machines électriques :

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *