Analyse d'un circuit RLC série

Étude de l'impédance et de la résonance d'un circuit RLC en régime sinusoïdal forcé.

Énoncé : Analyse d’un Circuit RLC Série

Un circuit RLC série est constitué d'une résistance (R), d'une bobine d'inductance (L) et d'un condensateur de capacité (C), montés en série et alimentés par un générateur de tension alternative sinusoïdale. Ces circuits sont fondamentaux en électronique pour leurs propriétés de filtrage et de résonance.

Contexte

Les circuits RLC série sont au cœur de nombreuses applications électroniques. Ils sont utilisés dans les filtres pour sélectionner ou rejeter certaines fréquences (par exemple, dans les tuners radio ou les systèmes audio), dans les oscillateurs pour générer des signaux à des fréquences spécifiques, et dans les systèmes de communication. Comprendre leur comportement en fonction de la fréquence, notamment leur impédance, le phénomène de résonance et le déphasage entre tension et courant, est crucial pour la conception et le dépannage de ces systèmes.

Schéma d'un circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative.

Données du Problème

Résistance : \(R = 50 \, \Omega\)
Inductance : \(L = 100 \, \text{mH} = 0,100 \, \text{H}\)
Capacité : \(C = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Tension efficace d'alimentation : \(V_{eff} = 10 \, \text{V}\)
Fréquence du générateur : \(f = 50 \, \text{Hz}\)

Questions

Calculer la pulsation (ou vitesse angulaire) \(\omega\) du générateur.
Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
Calculer la réactance capacitive \(X_C\) du condensateur.
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit RLC série.
Calculer le courant efficace \(I_{eff}\) circulant dans le circuit.
Calculer le déphasage \(\phi\) entre la tension totale aux bornes du circuit et le courant. Préciser si le circuit est globalement inductif, capacitif ou résistif à cette fréquence.
Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) de ce circuit.

Correction : Analyse d’un Circuit RLC Série

1. Pulsation \(\omega\) du Générateur

La pulsation \(\omega\) (en radians par seconde) est liée à la fréquence \(f\) (en Hertz) par la relation : \(\omega = 2 \pi f\).

Données pour cette étape

Fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\)
\(\pi \approx 3,14159\)

Calcul

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \times \pi \times 50 \, \text{Hz} \\ &= 100 \pi \, \text{rad/s} \\ &\approx 314,16 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Résultat

La pulsation du générateur est \(\omega \approx 314,16 \, \text{rad/s}\).

2. Réactance Inductive \(X_L\)

La réactance inductive \(X_L\) (en Ohms) d'une bobine d'inductance \(L\) est donnée par : \(X_L = L\omega\).

Données pour cette étape

Inductance \(L = 0,100 \, \text{H}\)
Pulsation \(\omega \approx 314,16 \, \text{rad/s}\) (calculée à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} X_L &= L\omega \\ &= 0,100 \, \text{H} \times 314,16 \, \text{rad/s} \\ &\approx 31,416 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La réactance inductive est \(X_L \approx 31,4 \, \Omega\).

3. Réactance Capacitive \(X_C\)

La réactance capacitive \(X_C\) (en Ohms) d'un condensateur de capacité \(C\) est donnée par : \(X_C = \frac{1}{C\omega}\).

Données pour cette étape

Capacité \(C = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Pulsation \(\omega \approx 314,16 \, \text{rad/s}\)

Calcul

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{C\omega} \\ &= \frac{1}{(10 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (314,16 \, \text{rad/s})} \\ &= \frac{1}{0,0031416 \, \text{F} \cdot \text{rad/s}} \\ &\approx 318,31 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La réactance capacitive est \(X_C \approx 318,3 \, \Omega\).

4. Impédance Totale \(Z\) du Circuit

L'impédance totale \(Z\) (en Ohms) d'un circuit RLC série est donnée par la formule : \[ Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \]

Données pour cette étape

Résistance \(R = 50 \, \Omega\)
Réactance inductive \(X_L \approx 31,416 \, \Omega\)
Réactance capacitive \(X_C \approx 318,31 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{(50 \, \Omega)^2 + (31,416 \, \Omega - 318,31 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{2500 \, \Omega^2 + (-286,894 \, \Omega)^2} \\ &= \sqrt{2500 \, \Omega^2 + 82309,3 \, \Omega^2} \\ &= \sqrt{84809,3 \, \Omega^2} \\ &\approx 291,22 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 291,2 \, \Omega\).

5. Courant Efficace \(I_{eff}\)

Le courant efficace \(I_{eff}\) (en Ampères) est donné par la loi d'Ohm en régime alternatif : \(I_{eff} = \frac{V_{eff}}{Z}\), où \(V_{eff}\) est la tension efficace d'alimentation.

Données pour cette étape

Tension efficace \(V_{eff} = 10 \, \text{V}\)
Impédance totale \(Z \approx 291,22 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} I_{eff} &= \frac{V_{eff}}{Z} \\ &= \frac{10 \, \text{V}}{291,22 \, \Omega} \\ &\approx 0,034338 \, \text{A} \\ &\approx 34,34 \, \text{mA} \end{aligned}

Résultat

Le courant efficace circulant dans le circuit est \(I_{eff} \approx 34,3 \, \text{mA}\).

6. Déphasage \(\phi\)

Le déphasage \(\phi\) (en radians ou degrés) entre la tension totale et le courant est donné par : \[ \tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R} \] Si \(\phi > 0\), le circuit est inductif (le courant est en retard sur la tension). Si \(\phi < 0\), le circuit est capacitif (le courant est en avance sur la tension). Si \(\phi = 0\), le circuit est résistif (courant et tension en phase).

Données pour cette étape

\(R = 50 \, \Omega\)
\(X_L \approx 31,416 \, \Omega\)
\(X_C \approx 318,31 \, \Omega\)

Calcul

\[ \begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{X_L - X_C}{R} \\ &= \frac{31,416 \, \Omega - 318,31 \, \Omega}{50 \, \Omega} \\ &= \frac{-286,894 \, \Omega}{50 \, \Omega} \\ &\approx -5,73788 \\ \phi &= \arctan(-5,73788) \\ &\approx -1,398 \, \text{rad} \\ &\approx -80,1^\circ \end{aligned} \] (Note: \(\arctan\) est la fonction arc tangente)

Résultat

Le déphasage est \(\phi \approx -80,1^\circ\). Puisque \(\phi < 0\) (ou \(X_C > X_L\)), le circuit est globalement capacitif à cette fréquence. Le courant est en avance sur la tension.

7. Fréquence de Résonance \(f_0\)

La fréquence de résonance \(f_0\) (en Hertz) d'un circuit RLC série est la fréquence pour laquelle les réactances inductive et capacitive se compensent (\(X_L = X_C\)). Elle est donnée par la formule de Thomson : \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Données pour cette étape

Inductance \(L = 0,100 \, \text{H}\)
Capacité \(C = 10 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Calcul

\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{(0,100 \, \text{H}) \times (10 \times 10^{-6} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \times 10^{-6} \, \text{H} \cdot \text{F}}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times (1 \times 10^{-3} \, \text{s})} \\ &= \frac{1}{0,00628318 \, \text{s}} \\ &\approx 159,15 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat

La fréquence de résonance du circuit est \(f_0 \approx 159,2 \, \text{Hz}\).

Analyse d’un circuit RLC série