Analyse d'un Circuit Triphasé Équilibré en Étoile

Comprendre les Circuits Triphasés en Étoile

Un système triphasé est le mode de transport et de distribution d'énergie électrique le plus courant pour les fortes puissances. Il est constitué de trois tensions sinusoïdales de même amplitude et fréquence, mais déphasées de 120° les unes par rapport aux autres. Dans un montage en étoile (Y), les trois phases du récepteur sont connectées à un point commun appelé le neutre. Un système est dit "équilibré" si les impédances des trois phases sont identiques. Dans ce cas, l'analyse du circuit peut être simplifiée en étudiant une seule phase (modèle monophasé équivalent).

Données de l'étude

Un récepteur triphasé équilibré est couplé en étoile et alimenté par un réseau triphasé 230 V / 400 V à 50 Hz. Chaque phase du récepteur est modélisée par une résistance \(R = 30 \, \Omega\) en série avec une inductance \(L = 150 \, \text{mH}\).

Schéma : Montage Triphasé Étoile (Y)

Questions à traiter

Calculer l'impédance complexe (\(\underline{Z}\)) de chaque phase.
Déterminer la tension simple (\(V\)).
Calculer le courant de phase (\(I_P\)) et le courant de ligne (\(I_L\)).
Calculer la puissance active totale (\(P_T\)) consommée par le récepteur.
Calculer la puissance réactive totale (\(Q_T\)) consommée par le récepteur.
Calculer la puissance apparente totale (\(S_T\)) et vérifier le résultat.

Correction de l'Exercice

Question 1 : Impédance Complexe (\(\underline{Z}\))

Principe :

L'impédance d'une phase est la somme complexe de sa partie résistive (R) et de sa partie réactive (X_L). La réactance inductive \(X_L\) dépend de l'inductance L et de la pulsation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :

X_L = L\omega = 2\pi f L \quad \text{et} \quad \underline{Z} = R + jX_L

Calcul :

D'abord, calculons la réactance inductive \(X_L\) :

\begin{aligned} X_L &= 2 \times \pi \times 50 \, \text{Hz} \times 0.150 \, \text{H} \\ &\approx 47.12 \, \Omega \end{aligned}

Ensuite, déterminons l'impédance complexe :

\underline{Z} = (30 + j47.12) \, \Omega

On peut aussi la donner en module et argument :

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{30^2 + 47.12^2} \\ &= \sqrt{900 + 2220.3} \\ &\approx 55.86 \, \Omega \end{aligned}

\begin{aligned} \theta &= \arctan\left(\frac{X_L}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{47.12}{30}\right) \\ &\approx 57.5^\circ \end{aligned}

Résultat Q1 : L'impédance par phase est \(\underline{Z} = (30 + j47.12) \, \Omega\), soit \(|Z| \approx 55.86 \, \Omega\) avec un angle de \(\theta \approx 57.5^\circ\).

Question 2 : Tension Simple (\(V\))

Principe :

Dans un système triphasé équilibré, la tension simple (V), ou tension de phase, est la tension entre une phase et le neutre. La tension composée (U), ou tension de ligne, est la tension entre deux phases. Pour un couplage en étoile, la tension simple est \(\sqrt{3}\) fois plus faible que la tension composée.

Formule(s) utilisée(s) :

V = \frac{U}{\sqrt{3}}

Données :

Tension composée \(U = 400 \, \text{V}\)

Calcul :

\begin{aligned} V &= \frac{400 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx 230.94 \, \text{V} \end{aligned}

On retrouve bien la tension simple standard du réseau 230 V / 400 V.

Résultat Q2 : La tension simple aux bornes de chaque phase est \(V \approx 231 \, \text{V}\).

Question 3 : Courants de Phase (\(I_P\)) et de Ligne (\(I_L\))

Principe :

Le courant de phase (\(I_P\)) est le courant qui traverse une phase du récepteur. Il se calcule avec la loi d'Ohm, en divisant la tension de phase (V) par l'impédance de phase (Z). Dans un montage en étoile, le courant de ligne (\(I_L\)) qui circule dans les fils d'alimentation est égal au courant de phase.

Formule(s) utilisée(s) :

I_P = \frac{V}{|Z|} \quad \text{et pour un montage étoile :} \quad I_L = I_P

Calcul :

\begin{aligned} I_P &= \frac{230.94 \, \text{V}}{55.86 \, \Omega} \\ &\approx 4.13 \, \text{A} \end{aligned}

\Rightarrow I_L = I_P \approx 4.13 \, \text{A}

Résultat Q3 : Le courant de phase et le courant de ligne valent environ \(I_L = I_P \approx 4.13 \, \text{A}\).

Question 4 : Puissance Active Totale (\(P_T\))

Principe :

La puissance active totale est la somme des puissances actives consommées par chaque phase. Comme le système est équilibré, elle est égale à 3 fois la puissance d'une phase, qui se calcule avec la formule \(P_p = R \times I_P^2\). On peut aussi utiliser la formule générale pour le triphasé, qui utilise les grandeurs de ligne.

Formule(s) utilisée(s) :

P_T = \sqrt{3} \times U \times I_L \times \cos(\theta)

Le facteur de puissance du récepteur est \(\cos(\theta) = \cos(57.5^\circ) \approx 0.537\).

Calcul :

\begin{aligned} P_T &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 4.13 \, \text{A} \times 0.537 \\ &\approx 1533.6 \, \text{W} \end{aligned}

Vérification par l'autre méthode : \(P_T = 3 \times R \times I_P^2 = 3 \times 30 \times (4.13)^2 \approx 1533.8 \, \text{W}\). Les résultats sont cohérents.

Résultat Q4 : La puissance active totale est \(P_T \approx 1.53 \, \text{kW}\).

Question 5 : Puissance Réactive Totale (\(Q_T\))

Principe :

De la même manière que pour la puissance active, la puissance réactive totale est 3 fois la puissance réactive d'une phase, ou peut se calculer avec la formule générale utilisant les grandeurs de ligne.

Formule(s) utilisée(s) :

Q_T = \sqrt{3} \times U \times I_L \times \sin(\theta)

Avec \(\sin(\theta) = \sin(57.5^\circ) \approx 0.843\).

Calcul :

\begin{aligned} Q_T &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 4.13 \, \text{A} \times 0.843 \\ &\approx 2412.3 \, \text{VAR} \end{aligned}

Résultat Q5 : La puissance réactive totale est \(Q_T \approx 2.41 \, \text{kVAR}\).

Question 6 : Puissance Apparente Totale (\(S_T\))

Principe :

La puissance apparente totale peut se calculer directement avec les grandeurs de ligne ou en utilisant le théorème de Pythagore avec les puissances active et réactive totales.

Formule(s) utilisée(s) :

S_T = \sqrt{3} \times U \times I_L \quad \text{et} \quad S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}

Calcul :

Méthode 1 :

\begin{aligned} S_T &= \sqrt{3} \times 400 \, \text{V} \times 4.13 \, \text{A} \\ &\approx 2862.5 \, \text{VA} \end{aligned}

Méthode 2 (Vérification) :

\begin{aligned} S_T &= \sqrt{(1533.6)^2 + (2412.3)^2} \\ &= \sqrt{2351929 + 5819213} \\ &= \sqrt{8171142} \\ &\approx 2858.5 \, \text{VA} \end{aligned}

Les résultats sont cohérents (la légère différence provient des arrondis).

Résultat Q6 : La puissance apparente totale est \(S_T \approx 2.86 \, \text{kVA}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Dans un montage étoile équilibré, comment le courant de ligne (\(I_L\)) se compare-t-il au courant de phase (\(I_P\)) ?

\(I_L = I_P\)
\(I_L = \sqrt{3} \times I_P\)
\(I_P = \sqrt{3} \times I_L\)
Cela dépend de l'impédance.

2. Quelle tension utilise-t-on pour calculer le courant dans une seule phase d'un récepteur en étoile ?

La tension composée U.
La tension du neutre.
La tension simple V.
La tension totale du système.

Glossaire

Système Triphasé Équilibré: Ensemble de trois tensions (ou courants) de même amplitude et fréquence, déphasées de 120° les unes par rapport aux autres, alimentant une charge dont les trois impédances sont identiques.
Couplage Étoile (Y): Montage où les trois phases d'un récepteur (ou d'une source) sont reliées en un point commun, le neutre.
Tension Simple (V): Tension mesurée entre une phase et le point neutre. Aussi appelée tension de phase.
Tension Composée (U): Tension mesurée entre deux phases. Aussi appelée tension de ligne.
Courant de Phase (\(I_P\)): Courant qui traverse une phase du récepteur.
Courant de Ligne (\(I_L\)): Courant qui circule dans un des trois conducteurs de la ligne d'alimentation.