Calcul de l'énergie potentielle d'une sphère

Comprendre l'Énergie Potentielle Électrostatique d'une Sphère Chargée

L'énergie potentielle électrostatique \(U_e\) d'un système de charges représente le travail nécessaire pour assembler ce système de charges en les amenant depuis une séparation infinie (où l'énergie potentielle est conventionnellement nulle). Pour une sphère conductrice chargée, cette énergie est emmagasinée dans le champ électrique créé par les charges réparties sur sa surface. Il existe plusieurs méthodes pour calculer cette énergie, notamment en utilisant le potentiel de la sphère ou en intégrant la densité d'énergie du champ électrique dans tout l'espace.

Données de l'étude

On considère une sphère conductrice de rayon \(R = 5,0 \, \text{cm}\) portant une charge totale \(Q = +20,0 \, \text{nC}\) uniformément répartie sur sa surface. La sphère est placée dans le vide.

Constantes :

Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8,854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.

Schéma : Sphère Conductrice Chargée

Sphère conductrice de rayon R portant une charge Q.

Questions à traiter

Déterminer le champ électrique \(\vec{E}(r)\) créé par la sphère pour \(r < R\) (à l'intérieur) et pour \(r \ge R\) (à l'extérieur).
Déterminer le potentiel électrique \(V(r)\) pour \(r < R\) et pour \(r \ge R\), en prenant le potentiel nul à l'infini.
Quelle est la valeur du potentiel \(V_S\) à la surface de la sphère (en \(r=R\)) ?
Calculer l'énergie électrostatique \(U_e\) emmagasinée par cette sphère chargée en utilisant la formule \(U_e = \frac{1}{2} Q V_S\).
Expliquer qualitativement comment on pourrait calculer cette énergie en intégrant la densité d'énergie du champ électrique. Quelle est l'expression de cette densité d'énergie ? Dans quelle(s) région(s) de l'espace cette densité est-elle non nulle ?

Correction : Calcul de l’Énergie Potentielle d’une Sphère Chargée

Question 1 : Champ électrique \(\vec{E}(r)\)

Principe :

Pour une sphère conductrice en équilibre électrostatique, la charge \(Q\) se répartit uniformément sur sa surface. On utilise le théorème de Gauss pour déterminer le champ électrique.

Cas 1 : \(r < R\) (à l'intérieur de la sphère conductrice). La surface de Gauss tracée à l'intérieur de la sphère n'enferme aucune charge (\(Q_{\text{int}} = 0\)).

Cas 2 : \(r \ge R\) (à l'extérieur de la sphère). La surface de Gauss (sphère de rayon \(r\)) enferme la totalité de la charge \(Q\). Par symétrie sphérique, le champ est radial.

Formule(s) utilisée(s) (Théorème de Gauss) :

\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}

Calcul :

Pour \(r < R\) :

E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{0}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E(r) = 0

Pour \(r \ge R\) :

\begin{aligned} E(r) \cdot 4\pi r^2 &= \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ E(r) &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \\ &= k_e \frac{Q}{r^2} \end{aligned}

Le champ est radial et dirigé vers l'extérieur si \(Q>0\), vers l'intérieur si \(Q<0\). Donc \(\vec{E}(r) = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r\).

Résultat Question 1 :

Pour \(r < R\) : \(\vec{E}(r) = \vec{0}\)
Pour \(r \ge R\) : \(\vec{E}(r) = k_e \frac{Q}{r^2} \hat{u}_r\)

Question 2 : Potentiel électrique \(V(r)\)

Principe :

Le potentiel électrique est obtenu par \(V(B) - V(A) = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{l}\). En prenant la référence \(V(\infty) = 0\).

Cas 1 : \(r \ge R\) (à l'extérieur).

Cas 2 : \(r < R\) (à l'intérieur). Le champ électrique étant nul à l'intérieur d'un conducteur en équilibre, le potentiel est constant et égal au potentiel à la surface.

Calcul :

Pour \(r \ge R\) :

\begin{aligned} V(r) - V(\infty) &= -\int_\infty^r k_e \frac{Q}{r'^2} dr' \\ V(r) - 0 &= -k_e Q \left[ -\frac{1}{r'} \right]_\infty^r \\ V(r) &= k_e Q \left( \frac{1}{r} - \lim_{r' \to \infty} \frac{1}{r'} \right) \\ V(r) &= k_e \frac{Q}{r} \end{aligned}

Pour \(r < R\) : Le potentiel est constant à l'intérieur et égal au potentiel à la surface \(V(R)\).

V(R) = k_e \frac{Q}{R}

Donc, pour \(r < R\), \(V(r) = k_e \frac{Q}{R}\).

Résultat Question 2 :

Pour \(r < R\) : \(V(r) = k_e \frac{Q}{R}\)
Pour \(r \ge R\) : \(V(r) = k_e \frac{Q}{r}\)

Question 3 : Potentiel \(V_S\) à la surface de la sphère

Principe :

Le potentiel à la surface de la sphère est obtenu en évaluant \(V(r)\) pour \(r=R\).

Données spécifiques :

\(Q = +20,0 \, \text{nC} = +20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
\(R = 5,0 \, \text{cm} = 0,05 \, \text{m}\)
\(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)

Calcul :

\begin{aligned} V_S = V(R) &= k_e \frac{Q}{R} \\ &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,05 \, \text{m}} \\ &= \frac{180 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{0,05} \\ &= 3600 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat Question 3 : Le potentiel à la surface de la sphère est \(V_S = 3600 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire : Pour une sphère conductrice chargée en équilibre :

Le champ électrique est maximal au centre.
Le potentiel électrique est constant à l'intérieur de la sphère.
Les charges se répartissent dans tout le volume de la sphère.
Le potentiel est nul à la surface si la charge totale est nulle.

Question 4 : Énergie électrostatique \(U_e\) emmagasinée

Principe :

L'énergie électrostatique d'un conducteur de charge \(Q\) à un potentiel \(V\) est donnée par \(U_e = \frac{1}{2} Q V\). Pour une sphère conductrice, \(V\) est le potentiel à sa surface.

Formule(s) utilisée(s) :

U_e = \frac{1}{2} Q V_S

Données spécifiques :

\(Q = 20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
\(V_S = 3600 \, \text{V}\)

Calcul :

\begin{aligned} U_e &= \frac{1}{2} (20,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (3600 \, \text{V}) \\ &= (10,0 \times 10^{-9}) \times 3600 \, \text{J} \\ &= 36000 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 3,6 \times 10^{-5} \, \text{J} \\ &= 36 \, \mu\text{J} \end{aligned}

Alternativement, en utilisant \(V_S = k_e Q/R\), on a \(U_e = \frac{1}{2} Q \left(k_e \frac{Q}{R}\right) = \frac{1}{2} k_e \frac{Q^2}{R}\).

\begin{aligned} U_e &= \frac{1}{2} (9,0 \times 10^9) \frac{(20,0 \times 10^{-9})^2}{0,05} \, \text{J} \\ &= \frac{1}{2} (9,0 \times 10^9) \frac{400 \times 10^{-18}}{0,05} \, \text{J} \\ &= (4,5 \times 10^9) \times \frac{400 \times 10^{-18}}{0,05} \, \text{J} \\ &= (4,5 \times 10^9) \times 8000 \times 10^{-18} \, \text{J} \\ &= 36000 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= 36 \, \mu\text{J} \end{aligned}

Résultat Question 4 : L'énergie électrostatique emmagasinée est \(U_e = 36 \, \mu\text{J}\).

Question 5 : Calcul de l'énergie par intégration de la densité d'énergie

Principe :

L'énergie électrostatique peut aussi être vue comme étant stockée dans le champ électrique lui-même. La densité d'énergie électrostatique (énergie par unité de volume) en un point où le champ est \(\vec{E}\) est \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). Pour trouver l'énergie totale, on intègre cette densité sur tout le volume où le champ est non nul.

Formule(s) utilisée(s) :

u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 \] \[ U_e = \int_{\text{espace}} u_e d\tau

Explication qualitative :

Pour la sphère conductrice, le champ électrique est nul à l'intérieur (\(r < R\)) et vaut \(E(r) = k_e Q/r^2\) à l'extérieur (\(r \ge R\)). La densité d'énergie \(u_e\) est donc nulle pour \(r < R\).

L'intégration se ferait sur le volume extérieur à la sphère, de \(r=R\) à \(r=\infty\). En coordonnées sphériques, l'élément de volume est \(d\tau = r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\).

\begin{aligned} U_e &= \int_R^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(k_e \frac{Q}{r^2}\right)^2 r^2 \sin\theta d\phi d\theta dr \\ &= \int_R^\infty \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \frac{k_e^2 Q^2}{r^4} r^2 \sin\theta d\phi d\theta dr \\ &= \frac{1}{2}\varepsilon_0 k_e^2 Q^2 \left( \int_0^{2\pi} d\phi \right) \left( \int_0^\pi \sin\theta d\theta \right) \left( \int_R^\infty \frac{1}{r^2} dr \right) \end{aligned}

On a \(\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi\), \(\int_0^\pi \sin\theta d\theta = [-\cos\theta]_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2\), et \(\int_R^\infty \frac{1}{r^2} dr = [-\frac{1}{r}]_R^\infty = 0 - (-\frac{1}{R}) = \frac{1}{R}\).

En substituant \(k_e = 1/(4\pi\varepsilon_0)\) :

\begin{aligned} U_e &= \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\right)^2 Q^2 (2\pi)(2) \left(\frac{1}{R}\right) \\ &= \frac{1}{2}\varepsilon_0 \frac{1}{16\pi^2\varepsilon_0^2} Q^2 \frac{4\pi}{R} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{R} \\ &= \frac{1}{2} k_e \frac{Q^2}{R} \end{aligned}

Ceci confirme le résultat obtenu par la méthode \(U_e = \frac{1}{2}QV_S\).

Résultat Question 5 : La densité d'énergie est \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). Elle est non nulle uniquement à l'extérieur de la sphère (\(r \ge R\)). L'intégration de cette densité sur tout l'espace où \(E \neq 0\) donne \(U_e = \frac{1}{2} k_e \frac{Q^2}{R}\).

Glossaire

Énergie Potentielle Électrostatique (\(U_e\)): Travail nécessaire pour assembler une configuration de charges à partir d'une séparation infinie. Pour un conducteur de charge \(Q\) à un potentiel \(V\), \(U_e = \frac{1}{2}QV\). Unité : Joule (J).
Sphère Conductrice: Sphère faite d'un matériau conducteur. En équilibre électrostatique, les charges excédentaires résident sur sa surface et le champ électrique à l'intérieur est nul.
Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Champ vectoriel décrivant la force électrique par unité de charge. Unité : N/C ou V/m.
Potentiel Électrique (\(V\)): Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Unité : Volt (V).
Théorème de Gauss: Relation entre le flux du champ électrique à travers une surface fermée et la charge électrique totale enfermée par cette surface.
Densité d'Énergie Électrostatique (\(u_e\)): Énergie électrostatique par unité de volume stockée dans un champ électrique. \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). Unité : J/m³.

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