Calculs et Sélection d’un Transformateur
Contexte : Le transformateur, pilier de la distribution électrique.
Le transformateurUn transformateur est une machine électrique statique qui transfère de l'énergie électrique d'un circuit à un autre par induction magnétique, en modifiant les niveaux de tension et de courant. est un composant indispensable dans les réseaux électriques. Il permet d'élever la tension pour le transport de l'électricité sur de longues distances afin de minimiser les pertes, puis de l'abaisser à des niveaux utilisables pour les industries et les habitations. Savoir calculer les grandeurs nominales (courants, puissance) d'un transformateur et le sélectionner correctement en fonction d'un besoin est une compétence fondamentale pour tout électricien ou ingénieur en électrotechnique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre le rôle du transformateur comme un "adaptateur" de puissance. Nous allons partir d'un besoin en basse tension (alimenter un atelier) et remonter vers le réseau haute tension pour dimensionner le transformateur. Cela implique de jongler avec les puissances (active, réactive, apparente) et de comprendre comment elles se conservent (idéalement) à travers le transformateur.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le rapport de transformation d'un transformateur triphasé.
- Déterminer la puissance apparente requise pour alimenter une charge.
- Calculer les courants nominaux au primaire et au secondaire.
- Sélectionner un transformateur normalisé à partir d'un catalogue.
- Comprendre la différence entre puissance active (kW) et puissance apparente (kVA).
Données de l'étude
Schéma de l'installation électrique
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension primaire | \(U_1\) | 20 | \(\text{kV}\) |
| Tension secondaire à vide | \(U_{20}\) | 410 | \(\text{V}\) |
| Puissance installée | \(P_{\text{inst}}\) | 75 | \(\text{kW}\) |
| Facteur de puissance charge | \(\cos\varphi\) | 0.8 | - |
| Coefficient de simultanéité | \(k_s\) | 0.7 | - |
Questions à traiter
- Calculer le rapport de transformation à vide \(m\) du transformateur.
- Calculer la puissance d'utilisation \(P_{\text{u}}\) et en déduire la puissance apparente \(S\) absorbée par l'installation.
- À partir de la puissance apparente calculée, choisir un transformateur dans la gamme normalisée suivante : 50, 100, 160, 250, 400 kVA.
- Pour le transformateur choisi, calculer les courants nominaux au secondaire (\(I_{2\text{n}}\)) et au primaire (\(I_{1\text{n}}\)).
Les bases des Transformateurs
Avant de plonger dans la correction, revoyons quelques concepts clés sur les transformateurs triphasés.
1. Rapport de Transformation (\(m\)) :
Le rapport de transformation est le rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire. Il indique comment le transformateur "transforme" la tension.
\[ m = \frac{U_{20}}{U_1} \]
Pour un transformateur parfait, ce rapport est aussi égal au rapport des nombres de spires (\(N_2/N_1\)) et à l'inverse du rapport des courants (\(I_1/I_2\)).
2. Le Triangle des Puissances :
Dans un circuit en alternatif, on distingue trois puissances :
- La puissance active (\(P\)), qui produit le travail réel. Unité : Watt (W).
- La puissance réactive (\(Q\)), nécessaire aux circuits magnétiques. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
- La puissance apparente (\(S\)), qui est la "somme" vectorielle des deux. C'est elle qui dimensionne les installations (câbles, transformateurs). Unité : Voltampère (VA).
3. Transformateur Idéal en Triphasé :
Pour un transformateur considéré comme idéal (sans pertes), la puissance apparente se conserve entre le primaire et le secondaire : \(S_1 = S_2\). La formule de la puissance apparente en triphasé est :
\[ S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \]
Où U est la tension entre phases et I le courant de ligne.
Correction : Calculs et Sélection d’un Transformateur
Question 1 : Calculer le rapport de transformation à vide (m)
Principe (le concept physique)
Le rapport de transformation est la caractéristique la plus fondamentale d'un transformateur. Il définit sa fonction première : changer le niveau de tension. Il est déterminé par le ratio du nombre de spires des enroulements primaire et secondaire. Un rapport très inférieur à 1, comme dans notre cas, indique un transformateur "abaisseur", qui réduit une haute tension en une basse tension utilisable.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La loi de l'induction de Faraday (\(e = -N \cdot d\Phi/dt\)) stipule que la tension aux bornes d'une bobine est proportionnelle à son nombre de spires \(N\) et à la variation du flux magnétique \(\Phi\). Dans un transformateur, le même flux magnétique traverse les deux enroulements. Ainsi, le rapport des tensions est directement égal au rapport des nombres de spires : \(U_2/U_1 \approx N_2/N_1\). On utilise les tensions à vide car en charge, des chutes de tension internes modifient légèrement la tension de sortie.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La plus grande source d'erreur ici est l'unité des tensions. Elles doivent être dans la même unité (Volts ou kilovolts) avant de faire le rapport. Le plus simple est de tout convertir en Volts. Oublier de convertir les 20 kV en 20 000 V est une erreur classique.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes (comme la IEC 60076) définissent précisément les tensions nominales et les rapports de transformation pour les transformateurs de distribution. Les tensions secondaires à vide sont légèrement supérieures aux tensions nominales en charge (ex: 410 V à vide pour un réseau 400 V) pour compenser les chutes de tension qui apparaîtront en fonctionnement.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Le rapport de transformation à vide \(m\) est le rapport de la tension secondaire à vide \(U_{20}\) sur la tension primaire \(U_1\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise les tensions entre phases pour le calcul, ce qui est la convention pour les transformateurs triphasés.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Tension primaire, \(U_1 = 20 \, \text{kV} = 20000 \, \text{V}\)
- Tension secondaire à vide, \(U_{20} = 410 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Le rapport de transformation est un nombre sans dimension. Si votre calcul aboutit à une unité, c'est que vous ne les avez pas simplifiées correctement. Pensez à l'ordre de grandeur : pour un transformateur HTA/BT, le rapport doit être un petit nombre (typiquement entre 0.02 et 0.03).
Schéma (Avant les calculs)
Symbole du Transformateur
Calcul(s) (l'application numérique)
On convertit d'abord la tension primaire en Volts.
Schéma (Après les calculs)
Rapport de Transformation Calculé
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Un rapport de transformation de 0.0205 signifie que la tension secondaire est environ 2.05% de la tension primaire. C'est une valeur typique pour un transformateur de distribution qui abaisse la tension de 20 kV à 400 V.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas inverser le rapport (\(U_1/U_{20}\)). Cela donnerait une valeur très grande, ce qui n'a pas de sens pour un transformateur abaisseur. Toujours mettre la tension de "sortie" (secondaire) sur la tension d'"entrée" (primaire).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Le rapport de transformation est \(m = U_{20} / U_1\).
- Il faut utiliser des unités de tension cohérentes (tout en Volts).
- Pour un abaisseur, \(m\) est toujours inférieur à 1.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les grands transformateurs de puissance peuvent avoir des "prises" réglables sur leurs enroulements. Cela permet d'ajuster finement le rapport de transformation (par exemple, de ±5%) pour compenser les variations de tension sur le réseau et maintenir une tension stable chez le client.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le rapport pour un transformateur 20 kV / 237 V ?
Question 2 : Calculer la puissance d'utilisation (Pu) et la puissance apparente (S)
Principe (le concept physique)
Les appareils d'un atelier ne fonctionnent jamais tous en même temps à pleine puissance. La puissance d'utilisation réelle est donc inférieure à la somme des puissances de chaque machine. Le coefficient de simultanéité (\(k_s\)) permet d'estimer cette puissance réelle. Ensuite, il faut convertir cette puissance "utile" (active, en kW) en puissance "de dimensionnement" (apparente, en kVA) en utilisant le facteur de puissance (\(\cos\varphi\)). C'est cette puissance apparente qui représente la charge totale pour le transformateur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La puissance active \(P\) est la puissance qui crée un travail (mouvement, chaleur). La puissance apparente \(S\) est la puissance totale que le fournisseur doit être capable de livrer. Le facteur de puissance \(\cos\varphi = P/S\) mesure l'efficacité avec laquelle le courant est converti en travail utile. Un \(\cos\varphi\) faible signifie qu'une grande partie du courant sert uniquement à créer des champs magnétiques (puissance réactive) sans produire de travail, ce qui "encombre" le réseau et nécessite des installations plus grosses pour la même puissance utile.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Ne jamais dimensionner un transformateur directement sur la puissance en kW ! C'est l'erreur la plus grave. Un transformateur est une machine qui "transforme" des Volts et des Ampères, il se moque de savoir si ces ampères produisent du travail ou non. Il doit donc être dimensionné pour la puissance apparente (en kVA), qui est le produit des Volts et des Ampères.
Normes (la référence réglementaire)
Les normes d'installation électrique (comme la NF C 15-100) fournissent des valeurs typiques de coefficients de simultanéité en fonction du type de bâtiment (logement, bureaux, industrie) pour éviter de surdimensionner inutilement les installations, ce qui représente un coût économique et écologique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
1. Calcul de la puissance d'utilisation \(P_{\text{u}}\) :
2. Calcul de la puissance apparente \(S\) :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le coefficient de simultanéité et le facteur de puissance donnés sont des estimations réalistes et constantes pour l'ensemble de l'atelier.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Puissance installée, \(P_{\text{inst}} = 75 \, \text{kW}\)
- Coefficient de simultanéité, \(k_s = 0.7\)
- Facteur de puissance, \(\cos\varphi = 0.8\)
Astuces(Pour aller plus vite)
On peut combiner les deux calculs en une seule étape : \(S = (P_{\text{inst}} \times k_s) / \cos\varphi\). Cela permet d'obtenir directement le résultat final et de limiter les erreurs d'arrondi intermédiaires.
Schéma (Avant les calculs)
Du kW au kVA
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul de la puissance d'utilisation \(P_{\text{u}}\) :
2. Calcul de la puissance apparente \(S\) :
Schéma (Après les calculs)
Triangle des Puissances de l'Atelier
Réflexions (l'interprétation du résultat)
L'atelier a besoin d'une puissance active de 52.5 kW, mais en raison du facteur de puissance, il "tire" sur le réseau une puissance apparente de 65.6 kVA. C'est cette dernière valeur qui doit être utilisée pour choisir la taille du transformateur. Ignorer le facteur de puissance aurait conduit à sous-dimensionner gravement l'installation.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre le coefficient de simultanéité (\(k_s\)) et le facteur de puissance (\(\cos\varphi\)). Le premier est un facteur de foisonnement sur la puissance active, tandis que le second est un rapport entre puissance active et apparente. Ils s'appliquent successivement et n'ont pas la même signification physique.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La puissance d'utilisation tient compte du fait que tout ne fonctionne pas en même temps (\(P_{\text{u}} = P_{\text{inst}} \times k_s\)).
- La puissance apparente est la puissance de dimensionnement (\(S = P_{\text{u}} / \cos\varphi\)).
- Un transformateur est toujours dimensionné en kVA, jamais en kW.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Dans les grandes installations, on mesure en temps réel la consommation et on peut mettre en place des systèmes de "délestage". Si la puissance appelée dépasse un certain seuil (pour éviter des pénalités sur la facture ou le déclenchement de la protection générale), le système coupe automatiquement des charges non prioritaires (comme le chauffage ou la climatisation) pendant quelques minutes.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le \(\cos\varphi\) était de 0.95 (très bon), quelle serait la puissance apparente S requise en kVA ?
Question 3 : Choisir un transformateur normalisé
Principe (le concept physique)
Les fabricants ne produisent pas des transformateurs de n'importe quelle puissance. Ils suivent une série de valeurs normalisées. Le travail de l'ingénieur est de choisir dans cette gamme la valeur immédiatement supérieure ou égale au besoin calculé. Choisir une valeur inférieure mènerait à une surcharge systématique et à la destruction du transformateur. Choisir une valeur beaucoup trop grande serait un gaspillage économique (coût d'achat) et énergétique (pertes à vide plus importantes).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Les séries de valeurs normalisées (comme la série Renard) sont basées sur des progressions géométriques. Cela permet d'avoir un choix plus resserré dans les petites valeurs (où un écart de quelques kVA est significatif) et plus espacé dans les grandes valeurs (où un écart de 50 kVA est moins impactant). Cette standardisation simplifie la production, la gestion des stocks et la conception des installations.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La règle est simple : toujours arrondir au supérieur. Même si votre besoin est de 101 kVA, vous devez choisir le transformateur de 160 kVA, pas celui de 100 kVA. Cette marge de sécurité permet également d'absorber de futures extensions de l'atelier sans avoir à changer immédiatement le transformateur.
Normes (la référence réglementaire)
La norme IEC 60076-1 et les normes nationales qui en découlent (comme la NF C 52-100) définissent les puissances nominales préférentielles pour les transformateurs de distribution. La série 50, 100, 160, 250, 400, 630, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500 kVA est la plus courante en Europe.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Il s'agit d'une comparaison, pas d'un calcul. On cherche la plus petite valeur \(S_{\text{normalisée}}\) telle que :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le besoin calculé ne va pas augmenter significativement dans un futur proche, justifiant le choix de la valeur immédiatement supérieure.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Puissance apparente calculée, \(S_{\text{calculée}} = 65.625 \, \text{kVA}\)
- Gamme normalisée : {50, 100, 160, 250, 400} kVA
Astuces(Pour aller plus vite)
Visualisez simplement votre besoin sur une ligne graduée avec les valeurs standards. Le choix devient alors immédiat.
Schéma (Avant les calculs)
Sélection dans la Gamme Normalisée
Calcul(s) (l'application numérique)
On compare notre besoin aux valeurs de la gamme :
La première valeur normalisée supérieure ou égale à notre besoin est 100 kVA.
Schéma (Après les calculs)
Transformateur Sélectionné
Réflexions (l'interprétation du résultat)
On choisit un transformateur de 100 kVA. Il fonctionnera à \(65.6 / 100 \approx 66\%\) de sa charge nominale, ce qui est un excellent point de fonctionnement (souvent proche du rendement maximal) et laisse une marge de puissance confortable pour de futurs ajouts d'équipements dans l'atelier.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne jamais arrondir à l'inférieur, même si la valeur est très proche. Un besoin de 101 kVA ne peut pas être satisfait par un transformateur de 100 kVA. Il faut également prendre en compte les conditions d'installation (température ambiante, altitude) qui peuvent nécessiter un déclassement de la puissance nominale du transformateur.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- On choisit toujours la puissance normalisée immédiatement supérieure ou égale au besoin.
- Ce choix offre une marge de sécurité et de future évolution.
- La standardisation simplifie le marché et la conception.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Les transformateurs modernes peuvent être de type "sec" (enrobé dans de la résine) ou "immergé dans l'huile". Les transformateurs à huile ont de meilleures capacités de refroidissement et sont plus compacts pour les très fortes puissances, mais ils présentent un risque d'incendie et de pollution qui impose des contraintes d'installation plus strictes (local dédié, bac de rétention d'huile).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Si le besoin calculé était de 270 kVA, quel transformateur choisiriez-vous dans la gamme ?
Question 4 : Calculer les courants nominaux (I2n et I1n)
Principe (le concept physique)
Le courant nominal est le courant maximal que le transformateur peut fournir (au secondaire) ou absorber (au primaire) en continu sans surchauffe. Ces courants sont calculés à partir de la puissance nominale du transformateur choisi (et non la puissance de l'installation) et de ses tensions nominales. Ils sont essentiels pour dimensionner les protections (disjoncteurs, fusibles) de part et d'autre du transformateur.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
En considérant le transformateur comme idéal, la puissance apparente est conservée : \(S_{1\text{n}} = S_{2\text{n}} = S_{\text{n}}\). En utilisant la formule de la puissance triphasée \(S = \sqrt{3} \cdot U \cdot I\), on peut isoler le courant de chaque côté : \(I_{1\text{n}} = S_{\text{n}} / (\sqrt{3} \cdot U_1)\) et \(I_{2\text{n}} = S_{\text{n}} / (\sqrt{3} \cdot U_2)\). On voit que le courant est inversement proportionnel à la tension : côté haute tension (HTA), le courant est faible ; côté basse tension (BT), le courant est élevé.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Utilisez bien la puissance du transformateur choisi (100 kVA) pour ce calcul, et non le besoin de l'installation (65.6 kVA). Les protections doivent être réglées pour protéger le transformateur, pas la charge. Elles doivent permettre au transformateur de fournir sa pleine puissance nominale si nécessaire.
Normes (la référence réglementaire)
Les courants nominaux sont des données fondamentales indiquées sur la plaque signalétique du transformateur. Le calcul des protections est ensuite régi par les normes d'installation. Par exemple, la protection primaire doit pouvoir supporter le courant nominal primaire mais aussi les pics de courant à la mise sous tension du transformateur (courant d'enclenchement).
Formule(s) (l'outil mathématique)
La formule de base est \(S_{\text{n}} = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_{\text{n}}\). On l'isole pour le primaire et le secondaire :
Hypothèses (le cadre du calcul)
On considère le transformateur comme parfait pour ce calcul (pas de pertes). On utilise la tension à vide \(U_{20}\) pour le calcul du courant secondaire, ce qui est une convention donnant une valeur légèrement plus faible (plus sécuritaire pour le réglage des protections).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- Puissance nominale choisie, \(S_{\text{n}} = 100 \, \text{kVA} = 100000 \, \text{VA}\)
- Tension primaire, \(U_1 = 20000 \, \text{V}\)
- Tension secondaire à vide, \(U_{20} = 410 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour le courant secondaire, une approximation rapide est \(I_{2\text{n}} \approx S_{\text{kVA}} \times 1.44\). Ici, \(100 \times 1.44 = 144\) A. Pour le primaire, on peut utiliser le rapport de transformation : \(I_{1\text{n}} \approx I_{2\text{n}} \times m \approx 144 \times 0.0205 \approx 2.95\) A. C'est un bon moyen de vérifier les ordres de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Courants Primaire et Secondaire
Calcul(s) (l'application numérique)
1. Calcul du courant nominal secondaire \(I_{2\text{n}}\) :
2. Calcul du courant nominal primaire \(I_{1\text{n}}\) :
Schéma (Après les calculs)
Courants Nominaux Calculés
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Les résultats confirment bien le principe du transformateur : pour une puissance de 100 kVA, le courant est faible (2.9 A) côté haute tension, ce qui permet de le transporter sur de longues distances avec des câbles de faible section. Côté basse tension, le courant est très élevé (140.8 A), ce qui nécessitera des câbles de forte section et des protections adaptées pour alimenter l'atelier.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Veillez à utiliser les bonnes unités : la puissance \(S_{\text{n}}\) doit être en Voltampères (VA), pas en kVA, et les tensions en Volts (V), pas en kV, pour obtenir un courant directement en Ampères (A). Une erreur d'un facteur 1000 est vite arrivée.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Les courants nominaux se calculent avec la puissance nominale du transformateur (\(S_{\text{n}}\)).
- La formule est \(I_{\text{n}} = S_{\text{n}} / (\sqrt{3} \cdot U)\).
- Le courant est faible en HTA et élevé en BT.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
La plaque signalétique d'un transformateur indique aussi une "tension de court-circuit" (\(U_{\text{cc}}\) en %). Cette valeur (souvent 4% ou 6%) permet de calculer le courant de court-circuit que le transformateur peut débiter. C'est une donnée cruciale pour dimensionner la résistance des équipements en aval (tableaux, disjoncteurs) à ces courants de défaut très intenses.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quel serait le courant secondaire nominal \(I_{2\text{n}}\) pour un transformateur de 160 kVA (en Ampères) ?
Outil Interactif : Sélection d'un Transformateur
Modifiez les paramètres de la charge pour voir comment ils influencent le choix du transformateur.
Paramètres de la Charge
Résultats & Sélection
Le Saviez-Vous ?
Le principe de l'induction électromagnétique, sur lequel repose le transformateur, a été découvert par Michael Faraday en 1831. Cependant, les premiers transformateurs réellement fonctionnels et commercialement viables n'ont été développés que dans les années 1880, notamment par le trio hongrois Zipernowsky, Bláthy et Déri, ouvrant la voie à la "guerre des courants" remportée par le courant alternatif de Tesla et Westinghouse sur le courant continu d'Edison.
Foire Aux Questions (FAQ)
Pourquoi un transformateur "grésille"-t-il ?
Le bruit de "ronronnement" ou de "grésillement" d'un transformateur est causé par un phénomène appelé magnétostriction. Le champ magnétique variable dans le noyau de fer le fait se dilater et se contracter très légèrement à deux fois la fréquence du réseau (100 Hz en Europe). Ces vibrations mécaniques sont transmises à l'air et perçues comme un son.
Un transformateur consomme-t-il de l'énergie s'il n'y a rien de branché dessus ?
Oui. Même sans charge au secondaire, un transformateur branché au primaire consomme une petite quantité de puissance, appelées "pertes à vide" ou "pertes fer". Elles sont dues à la magnétisation de son noyau (hystérésis et courants de Foucault). C'est pourquoi il est recommandé de débrancher les chargeurs et appareils en veille, qui sont de petits transformateurs.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Un transformateur élévateur de tension (par exemple 400 V / 20 kV)...
2. Pour une même puissance active (kW), une charge avec un mauvais facteur de puissance (ex: 0.7) nécessite...
- Puissance Apparente (S)
- Puissance totale fournie à une charge en courant alternatif. C'est la grandeur de dimensionnement des transformateurs et des câbles. Unité : Voltampère (VA).
- Rapport de Transformation (m)
- Rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire. Il caractérise la capacité du transformateur à modifier la tension.
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Rapport entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Il mesure l'efficacité d'une installation électrique à convertir la puissance apparente en travail utile.
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