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Calculs et Sélection d’un Transformateur

Calculs et Sélection d’un Transformateur

Calculs et Sélection d’un Transformateur

Comprendre les caractéristiques d'un transformateur monophasé et évaluer son aptitude à alimenter une charge donnée, en calculant les courants, les pertes et le rendement.

Les transformateurs sont des dispositifs clés dans les réseaux électriques, permettant d'élever ou d'abaisser les tensions alternatives. Leur dimensionnement correct est essentiel pour assurer un fonctionnement efficace et sûr.

Pour un transformateur monophasé idéal, le rapport de transformation \(m\) est donné par :

\[ m = \frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{I_1}{I_2} \]

Où \(V_1, I_1, N_1\) sont la tension, le courant et le nombre de spires au primaire, et \(V_2, I_2, N_2\) ceux du secondaire.

Un transformateur réel présente des pertes :

  • Pertes fer (\(P_{fer}\)) : dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault dans le noyau magnétique. Elles sont considérées comme constantes tant que la tension et la fréquence primaires sont nominales.
  • Pertes cuivre (\(P_J\)) : dues à l'effet Joule dans la résistance des enroulements. Elles varient avec le carré du courant de charge. Si \(P_{J,n}\) sont les pertes cuivre à pleine charge nominale, alors pour un taux de charge \(x = S_{charge}/S_n\), les pertes cuivre sont \(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\).

La puissance apparente nominale \(S_n\) du transformateur (en VA ou kVA) est la puissance maximale qu'il peut fournir en continu.

La puissance active fournie à la charge est \(P_{charge} = S_{charge} \cdot \cos \phi_{charge}\).

La puissance active absorbée par le transformateur est \(P_{absorbee} = P_{charge} + P_{fer} + P_{J,charge}\).

Le rendement \(\eta\) est \(\eta = \frac{P_{charge}}{P_{absorbee}}\).

Données du Problème

Un transformateur monophasé a les caractéristiques nominales suivantes :

  • Puissance apparente nominale : \(S_n = 5.0 \text{ kVA}\)
  • Tension primaire nominale : \(V_{1n} = 400 \text{ V}\)
  • Tension secondaire à vide : \(V_{20} = 230 \text{ V}\)
  • Pertes fer (mesurées à vide sous \(V_{1n}\)) : \(P_{fer} = 50 \text{ W}\)
  • Pertes cuivre à pleine charge nominale : \(P_{J,n} = 150 \text{ W}\)

Ce transformateur est utilisé pour alimenter un atelier qui constitue une charge absorbant une puissance active \(P_{charge} = 4.0 \text{ kW}\) avec un facteur de puissance \(\cos \phi_{charge} = 0.8\).

\(V_1\) \(V_2\) Atelier Transformateur \(P_{charge}, \cos \phi_{charge}\)
Transformateur alimentant un atelier.

Questions

  1. Calculer la puissance apparente \(S_{charge}\) absorbée par l'atelier.
  2. Calculer le courant nominal secondaire \(I_{2n}\) du transformateur (en considérant \(V_{2n} \approx V_{20}\)).
  3. Calculer le courant \(I_{2,charge}\) réellement absorbé par l'atelier au secondaire du transformateur. Pour ce calcul, on supposera que la tension aux bornes de la charge est maintenue à \(V_{2,charge} = 225 \text{ V}\) (valeur légèrement inférieure à \(V_{20}\) à cause de la chute de tension en charge).
  4. Calculer le taux de charge \(x\) du transformateur lorsqu'il alimente cet atelier.
  5. Calculer les pertes cuivre \(P_{J,charge}\) dans le transformateur pour cette charge.
  6. Calculer les pertes totales \(P_{totales,charge}\) du transformateur lorsqu'il alimente l'atelier.
  7. Calculer la puissance active \(P_{absorbee}\) totale que le transformateur doit prélever au réseau primaire pour alimenter l'atelier.
  8. Calculer le rendement \(\eta\) du transformateur pour cette charge.
  9. Le transformateur est-il correctement dimensionné pour alimenter cet atelier en continu ? Justifier.

Correction : Calculs et Sélection d’un Transformateur

1. Calcul de la Puissance Apparente (\(S_{charge}\)) de l'Atelier

On utilise la relation \(P = S \cdot \cos \phi\), donc \(S = P / \cos \phi\).

Données :

  • \(P_{charge} = 4.0 \text{ kW} = 4000 \text{ W}\)
  • \(\cos \phi_{charge} = 0.8\)
\[ S_{charge} = \frac{P_{charge}}{\cos \phi_{charge}} \] \[ S_{charge} = \frac{4000 \text{ W}}{0.8} \] \[ S_{charge} = 5000 \text{ VA} \] \[ S_{charge} = 5.0 \text{ kVA} \]

La puissance apparente absorbée par l'atelier est \(S_{charge} = 5000 \text{ VA}\) (ou \(5.0 \text{ kVA}\)).

2. Calcul du Courant Nominal Secondaire (\(I_{2n}\))

On utilise \(S_n = V_{2n} \cdot I_{2n}\). On approxime \(V_{2n} \approx V_{20}\).

Données :

  • \(S_n = 5.0 \text{ kVA} = 5000 \text{ VA}\)
  • \(V_{20} = 230 \text{ V}\)
\[ I_{2n} = \frac{S_n}{V_{20}} \] \[ I_{2n} = \frac{5000 \text{ VA}}{230 \text{ V}} \] \[ I_{2n} \approx 21.739 \text{ A} \]

Le courant nominal secondaire est \(I_{2n} \approx 21.74 \text{ A}\).

3. Calcul du Courant Absorbé par l'Atelier (\(I_{2,charge}\))

On utilise \(S_{charge} = V_{2,charge} \cdot I_{2,charge}\).

Données :

  • \(S_{charge} = 5000 \text{ VA}\)
  • \(V_{2,charge} = 225 \text{ V}\)
\[ I_{2,charge} = \frac{S_{charge}}{V_{2,charge}} \] \[ I_{2,charge} = \frac{5000 \text{ VA}}{225 \text{ V}} \] \[ I_{2,charge} \approx 22.222 \text{ A} \]

Le courant absorbé par l'atelier est \(I_{2,charge} \approx 22.22 \text{ A}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si le facteur de puissance d'une charge est de 0.8, cela signifie que pour une même puissance active, la puissance apparente est :

4. Calcul du Taux de Charge (\(x\))

Le taux de charge est \(x = S_{charge} / S_n\).

Données :

  • \(S_{charge} = 5000 \text{ VA}\)
  • \(S_n = 5000 \text{ VA}\)
\[ x = \frac{5000 \text{ VA}}{5000 \text{ VA}} \] \[ x = 1 \]

Le taux de charge du transformateur est \(x = 1\) (soit 100%). Le transformateur fonctionne à sa pleine charge nominale.

5. Calcul des Pertes Cuivre (\(P_{J,charge}\))

\(P_{J,charge} = x^2 \cdot P_{J,n}\).

Données :

  • \(x = 1\)
  • \(P_{J,n} = 150 \text{ W}\)
\[ P_{J,charge} = (1)^2 \times 150 \text{ W} \] \[ P_{J,charge} = 1 \times 150 \text{ W} \] \[ P_{J,charge} = 150 \text{ W} \]

Les pertes cuivre pour cette charge sont \(P_{J,charge} = 150 \text{ W}\).

6. Calcul des Pertes Totales (\(P_{totales,charge}\))

\(P_{totales,charge} = P_{fer} + P_{J,charge}\).

Données :

  • \(P_{fer} = 50 \text{ W}\)
  • \(P_{J,charge} = 150 \text{ W}\)
\[ P_{totales,charge} = 50 \text{ W} + 150 \text{ W} \] \[ P_{totales,charge} = 200 \text{ W} \]

Les pertes totales du transformateur sont \(P_{totales,charge} = 200 \text{ W}\).

Quiz Intermédiaire

Question : Si un transformateur fonctionne à 50% de sa charge nominale (x=0.5), ses pertes cuivre par rapport aux pertes cuivre nominales sont :

7. Calcul de la Puissance Active Absorbée (\(P_{absorbee}\))

\(P_{absorbee} = P_{charge} + P_{totales,charge}\).

Données :

  • \(P_{charge} = 4000 \text{ W}\)
  • \(P_{totales,charge} = 200 \text{ W}\)
\[ P_{absorbee} = 4000 \text{ W} + 200 \text{ W} \] \[ P_{absorbee} = 4200 \text{ W} \]

La puissance active absorbée par le transformateur est \(P_{absorbee} = 4200 \text{ W}\).

8. Calcul du Rendement (\(\eta\))

\(\eta = \frac{P_{charge}}{P_{absorbee}}\).

Données :

  • \(P_{charge} = 4000 \text{ W}\)
  • \(P_{absorbee} = 4200 \text{ W}\)
\[ \eta = \frac{4000 \text{ W}}{4200 \text{ W}} \] \[ \eta \approx 0.95238 \] \[ \eta \approx 95.24 \% \]

Le rendement du transformateur pour cette charge est \(\eta \approx 95.24 \%\).

9. Dimensionnement du Transformateur

On compare la puissance apparente demandée par la charge (\(S_{charge}\)) à la puissance apparente nominale du transformateur (\(S_n\)).

Puissance apparente de la charge : \(S_{charge} = 5.0 \text{ kVA}\).

Puissance apparente nominale du transformateur : \(S_n = 5.0 \text{ kVA}\).

Comme \(S_{charge} = S_n\), le transformateur fonctionne à sa pleine capacité nominale. Il est donc correctement dimensionné pour cette charge si elle représente la demande maximale continue. Si la charge pouvait dépasser cette valeur, un transformateur de puissance nominale supérieure serait nécessaire pour éviter la surcharge.

Le transformateur est correctement dimensionné car la puissance apparente de la charge (\(5.0 \text{ kVA}\)) est égale à la puissance apparente nominale du transformateur (\(5.0 \text{ kVA}\)). Il fonctionne à 100% de sa capacité nominale.

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Un transformateur sert principalement à :

Question 2 : Les pertes fer dans un transformateur :

Question 3 : Si un transformateur de 10 kVA alimente une charge de 5 kVA, son taux de charge est de :

Question 4 : Un rendement élevé pour un transformateur signifie :

Glossaire des Termes Clés

Transformateur Monophasé :

Dispositif utilisant une seule phase de courant alternatif pour transférer l'énergie entre deux circuits ou plus par induction électromagnétique.

Puissance Apparente (\(S\)) :

Produit de la valeur efficace de la tension par la valeur efficace du courant dans un circuit AC. Unité : Voltampère (VA).

Puissance Active (\(P\)) :

Partie de la puissance apparente qui est effectivement convertie en travail utile ou dissipée sous forme de chaleur. Unité : Watt (W).

Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)) :

Rapport de la puissance active à la puissance apparente. Il indique l'efficacité avec laquelle la charge utilise le courant fourni.

Pertes Fer (\(P_{fer}\)) :

Pertes d'énergie dans le noyau magnétique d'un transformateur, dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles sont aussi appelées pertes à vide.

Pertes Cuivre (\(P_J\)) :

Pertes par effet Joule dans la résistance des enroulements primaires et secondaires du transformateur. Elles sont aussi appelées pertes en charge.

Rendement (\(\eta\)) :

Rapport entre la puissance utile fournie par le transformateur (à la charge) et la puissance active absorbée par le transformateur (au primaire).

Taux de Charge (\(x\)) :

Rapport entre la puissance apparente demandée par la charge et la puissance apparente nominale du transformateur.

Rapport de Transformation (\(m\)) :

Rapport entre la tension secondaire à vide et la tension primaire nominale.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi est-il important de ne pas surcharger un transformateur au-delà de sa puissance apparente nominale ?

2. Comment le rendement d'un transformateur varie-t-il généralement en fonction de son taux de charge ? Existe-t-il un taux de charge pour lequel le rendement est maximal ?

3. Quels sont les différents types de refroidissement utilisés pour les transformateurs de puissance et pourquoi sont-ils nécessaires ?

4. Qu'est-ce qu'un transformateur triphasé et où est-il principalement utilisé ?

5. Comment la fréquence du réseau électrique affecte-t-elle la conception et le fonctionnement d'un transformateur ?

Calculs et Sélection d’un Transformateur

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