Exercices Électricité

Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé

Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé

Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé

Contexte : Le cœur de l'industrie.

Le moteur asynchrone triphasé est de loin le moteur électrique le plus utilisé dans le monde industriel, de par sa robustesse, sa simplicité et son faible coût. Il transforme l'énergie électrique en énergie mécanique pour entraîner pompes, ventilateurs, convoyeurs, et une multitude d'autres machines. Comprendre son fonctionnement et savoir quantifier ses performances est une compétence fondamentale pour tout technicien ou ingénieur en électrotechnique. Cet exercice a pour but de vous guider à travers un bilan de puissances complet, afin de déterminer les caractéristiques clés d'un moteur, notamment son rendement, un indicateur crucial de son efficacité énergétique.

Remarque Pédagogique : L'analyse de la performance d'un moteur asynchrone revient à suivre le "chemin" de l'énergie à travers la machine et à identifier où et comment une partie de cette énergie est "perdue". Nous allons décomposer les pertes en plusieurs catégories (pertes Joule, pertes fer, pertes mécaniques) pour pouvoir calculer les grandeurs essentielles que sont le couple utile et le rendement final.

Objectifs Pédagogiques

  • Calculer la vitesse de synchronisme et le glissementDifférence de vitesse relative entre le champ magnétique tournant du stator et la vitesse de rotation réelle du rotor. C'est cette différence qui induit les courants dans le rotor et crée le couple moteur..
  • Établir un bilan de puissances en séparant les différentes pertes.
  • Calculer les puissances absorbée, transmise au rotor et utile.
  • Déterminer le couple utile du moteur et son rendement.
  • Comprendre l'influence du glissement sur les performances du moteur.

Données de l'étude

On s'intéresse à un moteur asynchrone triphasé à cage d'écureuil dont la plaque signalétique et des essais en laboratoire ont fourni les informations suivantes pour son point de fonctionnement nominal.

Bilan des puissances d'un moteur asynchrone
STATOR P_a Puissance Absorbée ROTOR P_tr Puissance Transmise ARBRE P_u Puissance Utile Pertes Stator P_js + P_fer Pertes Rotor P_jr = g·P_tr Pertes Méc. P_méc
Modèle 3D interactif du moteur
Paramètre Symbole Valeur Unité
Puissance utile nominale \(P_u\) 15 \(\text{kW}\)
Tension d'alimentation (entre phases) \(U\) 400 \(\text{V}\)
Fréquence du réseau \(f\) 50 \(\text{Hz}\)
Vitesse de rotation nominale \(N\) 1460 \(\text{tr/min}\)
Nombre de paires de pôles \(p\) 2 -
Pertes fer statoriques \(P_{\text{fer}}\) 350 \(\text{W}\)
Pertes mécaniques \(P_{\text{méc}}\) 200 \(\text{W}\)
Résistance d'un enroulement statorique \(R_s\) 0.2 \(\Omega\)
Courant de ligne nominal \(I_n\) 29.5 \(\text{A}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse de synchronisme \(N_s\) et le glissement nominal \(g\).
  2. Déterminer les pertes par effet Joule dans le stator (\(P_{js}\)) et dans le rotor (\(P_{jr}\)) au régime nominal.
  3. Établir le bilan de puissance complet en calculant la puissance transmise au rotor (\(P_{tr}\)) et la puissance absorbée par le moteur (\(P_a\)).
  4. Calculer le couple utile (\(T_u\)) et le rendement (\(\eta\)) du moteur à son point de fonctionnement nominal.

Les bases du moteur asynchrone

Avant de commencer, rappelons quelques formules et concepts clés.

1. Vitesse et Glissement :
Le stator crée un champ magnétique qui tourne à la vitesse de synchronisme, imposée par le réseau. \[ N_s = \frac{60 \cdot f}{p} \quad (\text{en tr/min}) \] Le rotor tourne forcément moins vite, à une vitesse \(N\). La différence relative est le glissement \(g\), une grandeur sans unité cruciale pour le fonctionnement. \[ g = \frac{N_s - N}{N_s} \]

2. Bilan des puissances :
L'énergie suit un chemin précis à travers le moteur :

  • Puissance absorbée (\(P_a\)) : Puissance électrique tirée du réseau. \(P_a = \sqrt{3} \cdot U \cdot I \cdot \cos(\varphi)\).
  • Puissance transmise (\(P_{tr}\)) : Puissance qui traverse l'entrefer pour aller du stator au rotor. \(P_{tr} = P_a - P_{js} - P_{\text{fer}}\).
  • Puissance mécanique totale (\(P_m\)) : Puissance convertie en mouvement par le rotor. \(P_m = P_{tr} - P_{jr}\).
  • Puissance utile (\(P_u\)) : Puissance réellement disponible sur l'arbre. \(P_u = P_m - P_{\text{méc}}\).

3. Relations clés liées au glissement :
Le glissement relie directement les puissances et les pertes rotoriques : \[ P_{jr} = g \cdot P_{tr} \quad \text{et} \quad P_m = (1-g) \cdot P_{tr} \] Ces deux relations sont fondamentales pour résoudre le bilan de puissance sans connaître les détails du rotor.

Correction : Performance d'un Moteur Asynchrone Triphasé

Question 1 : Calculer la vitesse de synchronisme et le glissement

Principe (le concept physique)

Le champ magnétique créé par les enroulements du stator tourne à une vitesse fixe, appelée vitesse de synchronisme (\(N_s\)). Cette vitesse dépend uniquement de la fréquence du réseau électrique et du nombre de pôles du moteur. Le rotor, entraîné par ce champ, "glisse" toujours légèrement en arrière. Ce glissement (\(g\)), qui est la différence de vitesse relative, est ce qui permet au moteur de fonctionner en induisant des courants dans le rotor.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le glissement est la grandeur fondamentale qui régit le fonctionnement du moteur asynchrone. Si le rotor tournait à la vitesse de synchronisme (\(g=0\)), il n'y aurait plus de variation de flux magnétique vu par le rotor, donc plus de courants induits, et par conséquent plus de couple. Le glissement est donc nécessaire pour produire un couple. Il est très faible à vide (proche de 0) et augmente avec la charge sur l'arbre du moteur.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

La première chose à faire face à un problème de moteur asynchrone est presque toujours de calculer la vitesse de synchronisme. C'est la vitesse de référence de la machine. Une fois que vous l'avez, le calcul du glissement devient une simple application de formule qui vous donnera la clé pour calculer la plupart des autres grandeurs.

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 60034-1 définit les caractéristiques et les performances des machines électriques tournantes. Elle standardise la manière dont les données (comme la vitesse nominale) sont indiquées sur la plaque signalétique, assurant une base de calcul commune pour tous les constructeurs.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Vitesse de synchronisme :

\[ N_s = \frac{60 \cdot f}{p} \]

2. Glissement :

\[ g = \frac{N_s - N}{N_s} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la fréquence du réseau est parfaitement stable à 50 Hz, ce qui est une hypothèse très réaliste pour les réseaux de distribution européens.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Fréquence, \(f = 50 \, \text{Hz}\)
  • Nombre de paires de pôles, \(p = 2\)
  • Vitesse de rotation nominale, \(N = 1460 \, \text{tr/min}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Les vitesses de synchronisme pour un réseau 50 Hz sont des valeurs standards qu'il est bon de connaître : 3000 tr/min (p=1), 1500 tr/min (p=2), 1000 tr/min (p=3), etc. La vitesse nominale d'un moteur est toujours légèrement inférieure à l'une de ces valeurs. Repérer la vitesse synchrone la plus proche vous permet de vérifier rapidement votre calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Vitesse du champ tournant et du rotor
Champ StatoriqueVitesse Ns = ?RotorVitesse N = 1460Glissement g = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la vitesse de synchronisme :

\[ \begin{aligned} N_s &= \frac{60 \cdot 50 \, \text{Hz}}{2} \\ &= \frac{3000}{2} \\ &= 1500 \, \text{tr/min} \end{aligned} \]

2. Calcul du glissement :

\[ \begin{aligned} g &= \frac{1500 \, \text{tr/min} - 1460 \, \text{tr/min}}{1500 \, \text{tr/min}} \\ &= \frac{40}{1500} \\ &\approx 0.0267 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesses et glissement calculés
Champ StatoriqueNs = 1500 tr/minRotorN = 1460 tr/ming ≈ 2.67 %
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le glissement de 2.67% est une valeur typique pour un moteur de cette puissance fonctionnant à sa charge nominale. Il est faible, ce qui indique que le moteur est efficace et que sa vitesse varie peu entre le fonctionnement à vide et la pleine charge. Un glissement élevé serait le signe de pertes rotoriques importantes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas confondre \(N_s\) (vitesse de synchronisme en tr/min) et \(\Omega_s\) (pulsation de synchronisme en rad/s). La conversion est \(\Omega_s = N_s \cdot 2\pi / 60\). De même, ne pas confondre le nombre de pôles et le nombre de paires de pôles (\(p\)). La formule utilise bien le nombre de paires de pôles.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La vitesse du champ statorique est la vitesse de synchronisme \(N_s\).
  • Le rotor tourne toujours à une vitesse \(N\) inférieure à \(N_s\).
  • Le glissement \(g\) quantifie cette différence de vitesse et est essentiel pour la suite des calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En faisant varier la fréquence \(f\) à l'aide d'un variateur de vitesse, on peut contrôler directement la vitesse de synchronisme \(N_s\) et donc ajuster précisément la vitesse du moteur sur une large plage, tout en maintenant un glissement faible et donc un bon rendement. C'est le principe de la variation de vitesse moderne.

FAQ (pour lever les doutes)
Le glissement peut-il être négatif ?

Oui. Si on entraîne l'arbre du moteur avec une autre machine à une vitesse \(N > N_s\), le glissement devient négatif. Le moteur se comporte alors comme une génératrice (génératrice asynchrone) et renvoie de la puissance active au réseau. C'est le principe de fonctionnement de nombreuses éoliennes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse de synchronisme est de 1500 tr/min et le glissement nominal est d'environ 0.0267 (soit 2.67%).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Pour un moteur à 3 paires de pôles (\(p=3\)) sur le même réseau 50 Hz, quelle serait la vitesse de synchronisme en tr/min ?

Question 2 : Déterminer les pertes Joule statoriques et rotoriques

Principe (le concept physique)

L'énergie électrique se dissipe sous forme de chaleur lorsqu'un courant traverse une résistance (effet Joule). Dans un moteur, cela se produit à deux endroits : dans les enroulements fixes du stator (pertes Joule statoriques, \(P_{js}\)) et dans les barres conductrices du rotor en rotation (pertes Joule rotoriques, \(P_{jr}\)). Les pertes statoriques peuvent être calculées directement si l'on connaît le courant et la résistance. Les pertes rotoriques, plus difficiles à mesurer, se déduisent astucieusement grâce au glissement.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La puissance transmise du stator au rotor (\(P_{tr}\)) se divise en deux parties. Une partie est convertie en puissance mécanique (\(P_m\)), l'autre est dissipée en chaleur dans le rotor (\(P_{jr}\)). Le glissement \(g\) est précisément le ratio de la puissance dissipée dans le rotor sur la puissance transmise : \(g = P_{jr} / P_{tr}\). Cette relation est fondamentale car elle permet de calculer \(P_{jr}\) sans jamais avoir besoin de connaître la résistance ou le courant du rotor, qui sont des grandeurs inaccessibles sur un moteur à cage.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul des pertes est une étape de "comptabilité" énergétique. Il faut être méthodique. Commencez toujours par les pertes les plus faciles à calculer : les pertes Joule statoriques, car le courant et la résistance du stator sont généralement connus. Ensuite, utilisez la magie du glissement pour trouver les pertes rotoriques.

Normes (la référence réglementaire)

La norme CEI 60034-2-1 spécifie les méthodes d'essai pour déterminer les pertes et le rendement des machines électriques tournantes. Elle décrit précisément comment réaliser les essais à vide et en court-circuit pour séparer les différentes catégories de pertes (fer, mécaniques, Joule).

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Pertes Joule Statoriques (triphasé) :

\[ P_{js} = 3 \cdot R_s \cdot I_n^2 \quad (\text{si couplage étoile}) \quad \text{ou} \quad P_{js} = 3 \cdot R_s \cdot J^2 = R_s \cdot I_n^2 \quad (\text{si couplage triangle}) \]

Pour un moteur standard, la formule générale est \(P_{js} = \frac{3}{2} R_{mesurée} I_n^2\), où \(R_{mesurée}\) est la résistance mesurée entre deux phases. Avec \(R_s\) la résistance d'un seul enroulement, la formule devient :

\[ P_{js} = 3 \cdot R_s \cdot I_{\text{phase}}^2 \]

2. Pertes Joule Rotoriques :

\[ P_{jr} = g \cdot P_{tr} \quad \text{avec} \quad P_{tr} = P_u + P_{jr} + P_{\text{méc}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le moteur est couplé en étoile, ce qui est courant. Dans ce cas, le courant de ligne \(I_n\) est égal au courant \(I_{\text{phase}}\) qui traverse chaque enroulement. Si le moteur était en triangle, le courant par enroulement serait \(I_n / \sqrt{3}\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Résistance statorique, \(R_s = 0.2 \, \Omega\)
  • Courant de ligne nominal, \(I_n = 29.5 \, \text{A}\)
  • Puissance utile, \(P_u = 15000 \, \text{W}\)
  • Pertes mécaniques, \(P_{\text{méc}} = 200 \, \text{W}\)
  • Glissement, \(g \approx 0.0267\) (de Q1)
Astuces(Pour aller plus vite)

La formule \(P_{jr} = \frac{g}{1-g} P_m\) peut être très utile. Comme \(P_m = P_u + P_{\text{méc}}\), on peut trouver \(P_{jr}\) directement à partir de la puissance utile et des pertes mécaniques, sans avoir à calculer \(P_{tr}\) au préalable.

Schéma (Avant les calculs)
Localisation des pertes Joule
Flux de PuissanceStatorRotorP_js = ?P_jr = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul des pertes Joule statoriques (en supposant un couplage étoile, \(I_{\text{phase}} = I_n\)) :

\[ \begin{aligned} P_{js} &= 3 \cdot R_s \cdot I_n^2 \\ &= 3 \cdot 0.2 \, \Omega \cdot (29.5 \, \text{A})^2 \\ &= 0.6 \cdot 870.25 \\ &= 522.15 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Calcul des pertes Joule rotoriques en utilisant la relation \(P_m = P_u + P_{\text{méc}}\) et \(P_{jr} = \frac{g}{1-g} P_m\) :

\[ \begin{aligned} P_m &= P_u + P_{\text{méc}} \\ &= 15000 \, \text{W} + 200 \, \text{W} \\ &= 15200 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_{jr} &= \frac{g}{1-g} \cdot P_m \\ &= \frac{0.0267}{1 - 0.0267} \cdot 15200 \, \text{W} \\ &= \frac{0.0267}{0.9733} \cdot 15200 \, \text{W} \\ &\approx 416.4 \, \text{W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeurs des pertes Joule
Flux de PuissanceStatorRotorP_js ≈ 522 WP_jr ≈ 416 W
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les pertes Joule totales au régime nominal sont de \(522.15 + 416.4 \approx 938.5\) W. On remarque que les pertes statoriques sont supérieures aux pertes rotoriques, ce qui est souvent le cas pour les moteurs de taille moyenne. Ces pertes représentent la principale source de chaleur que le système de ventilation du moteur doit évacuer.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La formule des pertes Joule statoriques en triphasé est une source d'erreur fréquente. Il faut bien utiliser la résistance d'UNE SEULE phase et le courant qui la traverse. Si la résistance est mesurée entre deux bornes (\(R_{entre-phases}\)), la formule devient \(P_{js} = 1.5 \cdot R_{entre-phases} \cdot I_n^2\), car \(R_{entre-phases} = 2 \cdot R_s\) pour un couplage étoile.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Les pertes Joule statoriques se calculent avec la résistance du stator et le carré du courant statorique.
  • Les pertes Joule rotoriques se déduisent de la puissance mécanique et du glissement : \(P_{jr} = \frac{g}{1-g} (P_u + P_{\text{méc}})\).
  • Le glissement est la clé pour "ouvrir la porte" du rotor et voir les pertes qui s'y cachent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les moteurs asynchrones à rotor bobiné (plus rares et plus chers), on peut accéder électriquement au rotor. Cela permet d'insérer des résistances externes pour contrôler le couple de démarrage ou récupérer l'énergie des pertes rotoriques pour la réinjecter dans le réseau (système d'hypersynchronie), améliorant ainsi le rendement global.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi ne mesure-t-on pas directement les pertes rotoriques ?

Dans un moteur à cage d'écureuil, le "bobinage" du rotor est constitué de barres conductrices court-circuitées à leurs extrémités par deux anneaux. Il n'y a aucune connexion électrique accessible de l'extérieur. Il est donc physiquement impossible de mesurer directement le courant ou la résistance du rotor. C'est pourquoi la relation entre les pertes, le glissement et la puissance transmise est si précieuse.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes Joule statoriques sont d'environ 522 W et les pertes Joule rotoriques d'environ 416 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le courant nominal était de 32 A au lieu de 29.5 A, quelles seraient les nouvelles pertes Joule statoriques en W ?

Question 3 : Calculer la puissance transmise et la puissance absorbée

Principe (le concept physique)

Le bilan de puissance consiste à "remonter" le flux d'énergie depuis la sortie (puissance utile sur l'arbre) jusqu'à l'entrée (puissance électrique absorbée), en ajoutant à chaque étape les pertes correspondantes. La puissance transmise (\(P_{tr}\)) est une puissance "intermédiaire" cruciale : c'est la puissance électromagnétique qui traverse l'entrefer du stator vers le rotor.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le bilan de puissance est la traduction du premier principe de la thermodynamique (conservation de l'énergie) appliqué à la machine. Chaque terme représente un flux d'énergie. La puissance absorbée est le flux entrant. La puissance utile est le flux sortant souhaité. Toutes les autres flèches sortantes (pertes) représentent l'énergie dégradée en chaleur, un effet inévitable mais que l'on cherche à minimiser.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez le diagramme du bilan de puissance. Pour trouver une puissance en amont, il suffit d'additionner la puissance en aval et les pertes qui se trouvent entre les deux. C'est une simple addition, mais il faut être rigoureux et ne pas oublier de pertes en chemin.

Normes (la référence réglementaire)

Les classes de rendement pour les moteurs (IE1, IE2, IE3, IE4, IE5) définies par la norme CEI 60034-30-1 sont basées sur le rendement calculé à partir d'un bilan de puissance précis. Une analyse correcte des puissances et des pertes est donc essentielle pour classer un moteur et garantir sa conformité aux réglementations sur l'efficacité énergétique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Puissance transmise au rotor :

\[ P_{tr} = P_m + P_{jr} = (P_u + P_{\text{méc}}) + P_{jr} \]

2. Puissance absorbée :

\[ P_a = P_{tr} + P_{js} + P_{\text{fer}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On considère que les pertes fer se produisent entièrement dans le stator, ce qui est une approximation standard et très proche de la réalité. Les pertes fer rotoriques sont généralement négligeables car la fréquence des courants dans le rotor (\(f_r = g \cdot f\)) est très faible.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance utile, \(P_u = 15000 \, \text{W}\)
  • Pertes mécaniques, \(P_{\text{méc}} = 200 \, \text{W}\)
  • Pertes Joule rotoriques, \(P_{jr} \approx 416.4 \, \text{W}\) (de Q2)
  • Pertes Joule statoriques, \(P_{js} \approx 522.15 \, \text{W}\) (de Q2)
  • Pertes fer, \(P_{\text{fer}} = 350 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez \(P_{tr}\) et le glissement \(g\), vous pouvez vérifier votre calcul de \(P_{jr}\) avec la formule \(P_{jr} = g \cdot P_{tr}\). Si les résultats sont cohérents, vous êtes sur la bonne voie !

Schéma (Avant les calculs)
Remonter le bilan des puissances
P_utile = 15000 W+ P_mécP_transmise = ?+ P_js + P_ferP_absorbée = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance transmise :

\[ \begin{aligned} P_{tr} &= P_u + P_{\text{méc}} + P_{jr} \\ &= 15000 \, \text{W} + 200 \, \text{W} + 416.4 \, \text{W} \\ &= 15616.4 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Calcul de la puissance absorbée :

\[ \begin{aligned} P_a &= P_{tr} + P_{js} + P_{\text{fer}} \\ &= 15616.4 \, \text{W} + 522.15 \, \text{W} + 350 \, \text{W} \\ &= 16488.55 \, \text{W} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan des puissances complet
P_utile = 15kWP_tr ≈ 15.6kWP_abs ≈ 16.5kW
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur absorbe environ 16.5 kW du réseau électrique pour fournir 15 kW de puissance mécanique sur son arbre. La différence, soit environ 1.5 kW, est l'ensemble des pertes converties en chaleur. La puissance transmise, 15.6 kW, est une grandeur interne au moteur qui représente l'énergie qui a réussi à "traverser" le stator pour atteindre le rotor.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est de se tromper dans l'ordre des additions ou d'oublier une catégorie de pertes. Suivez toujours le diagramme de flux de puissance : partez de la puissance utile, ajoutez les pertes mécaniques, puis les pertes Joule rotoriques pour obtenir la puissance transmise. Enfin, ajoutez les pertes Joule statoriques et les pertes fer pour obtenir la puissance absorbée.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le bilan de puissance est une addition successive des pertes en remontant depuis la sortie.
  • \(P_{tr} = P_m + P_{jr}\) : la puissance transmise alimente à la fois le mouvement et les pertes du rotor.
  • \(P_a = P_{tr} + P_{\text{statoriques}}\) : la puissance absorbée alimente le rotor et couvre les pertes du stator.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les "pertes constantes" (fer + mécaniques) sont ainsi nommées car elles dépendent très peu de la charge. On les détermine lors d'un essai à vide du moteur, où la puissance absorbée sert quasi exclusivement à compenser ces deux types de pertes.

FAQ (pour lever les doutes)
Peut-on calculer la puissance absorbée directement avec la formule \(P_a = \sqrt{3} U I \cos(\varphi)\) ?

Oui, si on connaît le facteur de puissance \(\cos(\varphi)\). Dans cet exercice, il n'est pas donné. L'objectif est justement de le trouver en calculant d'abord \(P_a\) par le bilan des puissances. Une fois \(P_a\) connue, on peut en déduire le \(\cos(\varphi)\) du moteur à son point nominal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La puissance transmise au rotor est d'environ 15616 W et la puissance absorbée par le moteur est d'environ 16489 W.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les pertes mécaniques étaient de 300 W au lieu de 200 W, quelle serait la nouvelle puissance absorbée en W ?

Question 4 : Calculer le couple utile et le rendement

Principe (le concept physique)

Le couple utile (\(T_u\)) est la "force de rotation" que le moteur peut fournir sur son arbre pour entraîner une charge. Il est directement lié à la puissance utile et à la vitesse de rotation. Le rendement (\(\eta\)) est l'indicateur final de l'efficacité du moteur : il compare la puissance mécanique utile qui sort de la machine à la puissance électrique totale qui y entre.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation fondamentale entre la puissance mécanique \(P\) (en W), le couple \(T\) (en N·m) et la vitesse de rotation angulaire \(\Omega\) (en rad/s) est \(P = T \cdot \Omega\). C'est pourquoi il est indispensable de convertir la vitesse de rotation de tours par minute (tr/min) en radians par seconde avant de calculer le couple. Le rendement, quant à lui, est un nombre sans dimension, souvent exprimé en pourcentage, qui est universellement utilisé pour comparer l'efficacité des systèmes énergétiques.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Le calcul du couple et du rendement sont les aboutissements du bilan de puissance. Ce sont les deux grandeurs qui intéressent le plus l'utilisateur final. Le couple indique si le moteur est assez "fort" pour l'application, et le rendement indique combien il coûtera en électricité pour fonctionner.

Normes (la référence réglementaire)

La plaque signalétique d'un moteur, régie par la norme CEI 60034-1, doit obligatoirement indiquer la puissance utile nominale. Souvent, le rendement ou la classe de rendement (IE) y figurent également, car ce sont des critères de sélection essentiels pour les applications industrielles soucieuses de leur consommation d'énergie.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Vitesse angulaire (en rad/s) :

\[ \Omega = N \cdot \frac{2\pi}{60} \]

2. Couple utile :

\[ T_u = \frac{P_u}{\Omega} \]

3. Rendement :

\[ \eta = \frac{P_u}{P_a} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On effectue le calcul au point de fonctionnement nominal, c'est-à-dire que toutes les grandeurs (puissance, vitesse, pertes) correspondent à celles spécifiées pour le fonctionnement normal et optimal du moteur.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Puissance utile, \(P_u = 15000 \, \text{W}\)
  • Vitesse de rotation, \(N = 1460 \, \text{tr/min}\)
  • Puissance absorbée, \(P_a \approx 16488.55 \, \text{W}\) (de Q3)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une estimation rapide, on peut parfois utiliser la formule approchée \(T_u \approx 9.55 \cdot P_u / N\), où \(P_u\) est en Watts et \(N\) en tr/min. Le facteur 9.55 vient de la simplification de \(60 / (2\pi)\).

Schéma (Avant les calculs)
Grandeurs finales de performance
P_absorbéeMOTEURP_utilePertesη = P_u / P_a = ?T_u = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la vitesse angulaire :

\[ \begin{aligned} \Omega &= 1460 \, \text{tr/min} \cdot \frac{2\pi}{60} \\ &\approx 152.89 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]

2. Calcul du couple utile :

\[ \begin{aligned} T_u &= \frac{15000 \, \text{W}}{152.89 \, \text{rad/s}} \\ &\approx 98.1 \, \text{N} \cdot \text{m} \end{aligned} \]

3. Calcul du rendement :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{15000 \, \text{W}}{16488.55 \, \text{W}} \\ &\approx 0.9097 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Performances nominales calculées
P_a ≈ 16.5 kWMOTEURP_u = 15 kWη ≈ 91.0 %T_u ≈ 98.1 N·m
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le moteur fournit un couple de 98.1 N·m avec un rendement de 91%. C'est une très bonne performance pour un moteur de cette taille. Cela signifie que 91% de l'énergie électrique consommée est effectivement convertie en puissance mécanique utile, les 9% restants étant dissipés en chaleur par les différentes pertes.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus classique est d'oublier de convertir la vitesse de rotation en radians par seconde pour le calcul du couple. Utiliser la vitesse en tr/min dans la formule \(P/\Omega\) donnera un résultat complètement faux. Vérifiez toujours vos unités !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le couple utile est la "force" du moteur : \(T_u = P_u / \Omega\).
  • Le rendement est son "efficacité" : \(\eta = P_u / P_a\).
  • Ces deux grandeurs sont le résultat final du bilan de puissance et caractérisent la performance globale de la machine.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le couple de démarrage d'un moteur asynchrone est une caractéristique cruciale. Il peut être 1.5 à 2.5 fois plus élevé que le couple nominal, mais au prix d'un courant de démarrage très intense (5 à 8 fois le courant nominal), ce qui peut perturber le réseau électrique. Des dispositifs de démarrage spécifiques (étoile-triangle, démarreurs progressifs) sont utilisés pour limiter cet appel de courant.

FAQ (pour lever les doutes)
Est-ce que le rendement est le même à toutes les charges ?

Non, absolument pas. Tout comme pour le transformateur, le rendement varie avec la charge. Il est nul à vide (car \(P_u=0\)) et augmente pour atteindre un maximum (souvent vers 75-90% de la charge nominale) avant de redescendre légèrement à pleine charge à cause de la forte augmentation des pertes Joule.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Au régime nominal, le couple utile est d'environ 98.1 N·m et le rendement est d'environ 91.0%.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si un autre moteur avait une puissance utile de 22 kW à 2950 tr/min, quel serait son couple utile en N·m ?

Outil Interactif : Courbes de performance

Faites varier le glissement du moteur pour observer l'évolution de son couple et de son rendement. Le point de fonctionnement nominal de l'exercice est indiqué par la ligne verticale.

Paramètres d'Entrée
0.027
Résultats au point de fonctionnement
Vitesse (tr/min) -
Couple Utile (N·m) -
Rendement (%) -

Le Saviez-Vous ?

Le moteur asynchrone a été inventé indépendamment par Nikola Tesla et Galileo Ferraris à la fin du 19ème siècle. La simplicité de sa conception, sans balais ni collecteur, contrastait fortement avec les moteurs à courant continu de l'époque, complexes et nécessitant beaucoup d'entretien. Cette invention a été un pilier de la "guerre des courants" et a grandement contribué à l'adoption du courant alternatif pour la distribution d'électricité.

Foire Aux Questions (FAQ)

Que signifie "à cage d'écureuil" ?

Cela décrit la structure du rotor. Il est constitué de barres conductrices (généralement en aluminium ou en cuivre) logées dans des encoches d'un cylindre de tôles ferromagnétiques. Ces barres sont court-circuitées à leurs deux extrémités par des anneaux conducteurs. L'ensemble ressemble à une cage rotative, d'où le nom "cage d'écureuil". C'est la conception la plus simple, la plus robuste et la plus courante pour les moteurs asynchrones.

Pourquoi le couple s'effondre-t-il si le glissement devient trop grand ?

Lorsque le glissement augmente, le courant rotorique augmente, ce qui tend à augmenter le couple. Cependant, une augmentation du glissement signifie aussi une augmentation de la fréquence des courants rotoriques (\(f_r = g \cdot f\)). Cela augmente l'inductance de fuite du rotor, ce qui déphase le courant rotorique par rapport à la tension induite. Au-delà d'un certain point (le "glissement critique"), l'effet de ce déphasage devient prédominant et fait chuter le couple, même si le courant continue d'augmenter. C'est ce qui crée le pic de la courbe couple-vitesse.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si la charge sur l'arbre d'un moteur asynchrone augmente, son glissement...

2. Quelle perte est directement proportionnelle au glissement ?

Glissement (g)
Différence de vitesse relative entre le champ tournant statorique (\(N_s\)) et la vitesse mécanique du rotor (\(N\)). C'est une grandeur sans unité qui caractérise le point de fonctionnement du moteur.
Puissance Transmise (Ptr)
Puissance électromagnétique qui traverse l'entrefer, transférée du stator au rotor. Elle sert à la fois à créer la puissance mécanique et à couvrir les pertes dans le rotor.
Couple Utile (Tu)
Couple mécanique réellement disponible sur l'arbre de sortie du moteur pour entraîner une charge. Il est mesuré en Newton-mètres (N·m).
Performance d’un Moteur Asynchrone Triphasé

D’autres exercices de machines et transformateurs:

Calcul de Convertisseurs AC/DC
Calcul de Convertisseurs AC/DC

Analyse d’un Convertisseur AC/DC en Électronique de Puissance Calcul de Convertisseurs AC/DC Contexte : Alimenter les circuits électroniques. La quasi-totalité des appareils électroniques, des chargeurs de téléphone aux ordinateurs en passant par les télévisions,...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *