Exercices Électricité

Transformateurs à Divers Niveaux de Charge

Transformateurs à Divers Niveaux de Charge

Transformateurs à Divers Niveaux de Charge

Contexte : Le transformateur, pilier incontournable des réseaux électriques.

Le transformateur est une machine électrique statique essentielle qui permet de modifier les niveaux de tension et de courant. Son efficacité et sa capacité à maintenir une tension stable en sortie sont des critères de performance cruciaux. Les ingénieurs doivent être capables de modéliser un transformateur et de prédire son comportement (pertes, rendementLe rendement (η) est le rapport entre la puissance utile fournie à la charge et la puissance totale absorbée par le transformateur. Un rendement élevé signifie moins de pertes d'énergie., régulation de tensionLa régulation de tension mesure la variation de la tension de sortie entre le fonctionnement à vide et en charge. Une faible valeur indique une tension de sortie plus stable.) sous différentes conditions de charge pour garantir la qualité et la fiabilité de la distribution d'énergie électrique.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous fera passer de la théorie à la pratique en utilisant des données d'essais réels (essai à vide et en court-circuit) pour construire un modèle mathématique du transformateur (le schéma équivalent de Kapp). À partir de ce modèle, nous pourrons calculer ses performances dans n'importe quelle condition de fonctionnement, une compétence fondamentale pour tout électrotechnicien.

Objectifs Pédagogiques

  • Déterminer les paramètres du schéma équivalent de Kapp à partir des essais à vide et en court-circuit.
  • Calculer la chute de tension et la régulation de tension pour une charge donnée.
  • Calculer les pertes ferPertes constantes dans le circuit magnétique du transformateur, dues à l'hystérésis et aux courants de Foucault. Elles ne dépendent que de la tension d'alimentation et de la fréquence. et les pertes cuivrePertes par effet Joule dans les enroulements du transformateur. Elles sont proportionnelles au carré du courant de charge (Pj = R·I²)..
  • Calculer le rendement du transformateur à différents niveaux de charge.
  • Déterminer le point de fonctionnement où le rendement est maximal.

Données de l'étude

On étudie un transformateur monophasé dont la plaque signalétique indique : 10 kVA, 5000 V / 240 V, 50 Hz. Pour déterminer son modèle équivalent, on a réalisé les deux essais suivants :

Schéma de Principe du Modèle de Kapp
Rs Xs Charge V1 V2 I2'
Essai réalisé Tension Courant Puissance
Essai à vide (au secondaire) \(U_{\text{2v}} = 240 \, \text{V}\) \(I_{\text{2v}} = 2.2 \, \text{A}\) \(P_{\text{1v}} = 120 \, \text{W}\)
Essai en court-circuit (au primaire) \(U_{\text{1cc}} = 230 \, \text{V}\) \(I_{\text{1cc}} = 2 \, \text{A}\) \(P_{\text{1cc}} = 200 \, \text{W}\)

Questions à traiter

  1. Déterminer les pertes fer (\(P_{\text{fer}}\)) et les éléments de la branche de magnétisation (\(R_{\text{fer}}\) et \(X_{\mu}\)) ramenés au secondaire.
  2. Déterminer les éléments de la branche série (\(R_{\text{s}}\) et \(X_{\text{s}}\)) du schéma équivalent ramené au secondaire.
  3. Le transformateur alimente une charge qui absorbe un courant de 40 A avec un facteur de puissance de 0.85 (inductif). Calculer la chute de tension \(\Delta U_{\text{2}}\) et la régulation de tension.
  4. Calculer le rendement du transformateur pour la charge de la question 3.
  5. Déterminer le taux de charge pour lequel le rendement est maximal, et calculer la valeur de ce rendement maximal.

Les bases de l'analyse des transformateurs

Avant de commencer, rappelons quelques principes fondamentaux.

1. Le Schéma Équivalent de Kapp :
Pour simplifier l'analyse, on ramène tous les éléments du transformateur d'un seul côté (primaire ou secondaire). Le modèle de Kapp est une approximation courante qui regroupe les résistances et réactances de fuite en une seule impédance série (\(R_{\text{s}} + jX_{\text{s}}\)) et modélise les pertes dans le fer par une branche parallèle (\(R_{\text{fer}}\) et \(X_{\mu}\)). Cet exercice se concentre sur le modèle ramené au secondaire.

2. Les Pertes d'un Transformateur :
On distingue deux types de pertes :

  • Les pertes fer (\(P_{\text{fer}}\)) : Pertes dans le circuit magnétique, considérées comme constantes quelle que soit la charge. On les mesure lors de l'essai à vide.
  • Les pertes cuivre (\(P_{\text{cuivre}}\) ou pertes Joule) : Pertes dans les enroulements (\(P_{\text{j}} = R_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}}^2\)), qui varient avec le carré du courant de charge. On les mesure lors de l'essai en court-circuit.

3. Rendement et Rendement Maximal :
Le rendement \(\eta\) est le rapport de la puissance de sortie sur la puissance d'entrée. \[ \eta = \frac{P_{\text{sortie}}}{P_{\text{entrée}}} = \frac{P_{\text{sortie}}}{P_{\text{sortie}} + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}} \] Le rendement est maximal lorsque les pertes variables (cuivre) sont égales aux pertes constantes (fer) : \(P_{\text{cuivre}} = P_{\text{fer}}\).

Correction : Transformateurs à Divers Niveaux de Charge

Question 1 : Détermination des pertes fer et de la branche de magnétisation

Principe (le concept physique)

L'essai à vide consiste à alimenter le transformateur à sa tension nominale, l'autre enroulement étant ouvert. Le courant absorbé est très faible et ne sert qu'à magnétiser le circuit magnétique et à compenser les pertes fer. La puissance mesurée correspond donc quasi exclusivement à ces pertes fer, qui sont considérées comme constantes par la suite.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le courant à vide \(I_{\text{2v}}\) se décompose en deux composantes : le courant actif \(I_{\text{a}}\), en phase avec la tension, qui représente les pertes fer, et le courant magnétisant \(I_{\mu}\), en quadrature, qui crée le flux magnétique. Le modèle \(R_{\text{fer}} || X_{\mu}\) représente ce phénomène : \(R_{\text{fer}}\) dissipe la puissance active (pertes fer), et \(X_{\mu}\) absorbe la puissance réactive de magnétisation.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Imaginez un moteur de voiture au ralenti. Il consomme un peu de carburant juste pour continuer à tourner, même s'il ne fournit aucun travail utile. C'est exactement ce que sont les pertes fer pour un transformateur : une consommation "à vide" nécessaire pour maintenir le champ magnétique actif.

Normes (la référence réglementaire)

Les procédures pour les essais à vide et en court-circuit des transformateurs sont standardisées par la norme internationale IEC 60076. Cette norme garantit que les mesures de pertes et d'impédance sont reproductibles et comparables entre différents fabricants.

Formule(s) (l'outil mathématique)

À partir de l'essai à vide au secondaire :

\[ P_{\text{fer}} = P_{\text{1v}} \]
\[ R_{\text{fer}} = \frac{U_{\text{2v}}^2}{P_{\text{1v}}} \]
\[ S_{\text{v}} = U_{\text{2v}} \cdot I_{\text{2v}} \]
\[ Q_{\text{v}} = \sqrt{S_{\text{v}}^2 - P_{\text{1v}}^2} \]
\[ X_{\mu} = \frac{U_{\text{2v}}^2}{Q_{\text{v}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la tension d'essai est parfaitement nominale et sinusoïdale. On néglige les pertes cuivre à vide car le courant \(I_{\text{2v}}\) est très faible par rapport au courant nominal.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Tension à vide, \(U_{\text{2v}} = 240 \, \text{V}\)
  • Courant à vide, \(I_{\text{2v}} = 2.2 \, \text{A}\)
  • Puissance à vide, \(P_{\text{1v}} = 120 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

La puissance mesurée lors de l'essai à vide, \(P_{\text{1v}}\), est directement considérée comme les pertes fer, \(P_{\text{fer}}\). Il n'y a pas de calcul à faire pour cette valeur, c'est une lecture directe de l'essai.

Schéma (Avant les calculs)
Essai à Vide et Modèle à Déterminer
Rfer = ?Xµ = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Les pertes fer sont directement données par la puissance mesurée à vide :

\[ P_{\text{fer}} = P_{\text{1v}} = 120 \, \text{W} \]

2. Calcul des éléments de la branche de magnétisation :

\[ \begin{aligned} S_{\text{v}} &= 240 \, \text{V} \times 2.2 \, \text{A} \\ &= 528 \, \text{VA} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_{\text{v}} &= \sqrt{S_{\text{v}}^2 - P_{\text{1v}}^2} \\ &= \sqrt{528^2 - 120^2} \\ &\approx 514.5 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R_{\text{fer}} &= \frac{U_{\text{2v}}^2}{P_{\text{1v}}} \\ &= \frac{240^2}{120} \\ &= 480 \, \Omega \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_{\mu} &= \frac{U_{\text{2v}}^2}{Q_{\text{v}}} \\ &= \frac{240^2}{514.5} \\ &\approx 111.9 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Branche de Magnétisation Déterminée
Rfer = 480 ΩXµ = 111.9 Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Nous avons quantifié les pertes "fixes" du transformateur (120 W). C'est l'énergie qu'il consomme en permanence dès qu'il est sous tension, même sans charge. La résistance \(R_{\text{fer}}\) modélise ces pertes, tandis que la réactance \(X_{\mu}\) modélise la puissance réactive nécessaire pour créer le champ magnétique dans le noyau.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la puissance apparente à vide \(S_{\text{v}}\) avec la puissance active \(P_{\text{1v}}\). La puissance active est celle qui correspond aux pertes, tandis que la puissance apparente inclut la puissance réactive de magnétisation, qui ne contribue pas aux pertes mais est essentielle au fonctionnement.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'essai à vide se fait à tension nominale.
  • La puissance mesurée à vide donne directement les pertes fer (\(P_{\text{fer}}\)).
  • Cet essai permet de calculer les éléments de la branche parallèle (magnétisation) du schéma équivalent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les transformateurs à noyau en métaux amorphes ont des pertes fer jusqu'à 70% plus faibles que les transformateurs traditionnels à acier au silicium. Bien que plus chers à l'achat, ils permettent des économies d'énergie significatives sur leur durée de vie, ce qui en fait un choix de plus en plus populaire dans le contexte de la transition énergétique.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'essai à vide est-il réalisé à tension nominale ?

Parce que les pertes fer dépendent principalement du niveau de flux magnétique dans le noyau, qui est lui-même directement proportionnel à la tension d'alimentation. Pour mesurer les pertes dans les conditions normales de fonctionnement, il est donc impératif d'appliquer la tension nominale.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les pertes fer sont de 120 W. Les éléments de la branche de magnétisation ramenés au secondaire sont \(R_{\text{fer}} = 480 \, \Omega\) et \(X_{\mu} \approx 111.9 \, \Omega\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la puissance mesurée à vide était de 150 W (transformateur moins efficace), quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{\text{fer}}\) en \(\Omega\) ?

Question 2 : Détermination des éléments série Rs et Xs

Principe (le concept physique)

L'essai en court-circuit consiste à alimenter le transformateur sous une tension réduite, l'autre enroulement étant court-circuité, de manière à faire circuler le courant nominal. La tension étant très faible, le flux magnétique est négligeable, et donc les pertes fer aussi. La puissance mesurée correspond alors uniquement aux pertes par effet Joule (pertes cuivre) dans les enroulements pour le courant nominal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'impédance de court-circuit \(Z_{\text{cc}}\) est une caractéristique fondamentale. Elle est souvent exprimée en pourcentage de la tension nominale (\(U_{\text{cc}}\% = (Z_{\text{cc}} \cdot I_{\text{n}} / U_{\text{n}}) \times 100\)). Cette valeur détermine la capacité du transformateur à limiter les courants de défaut. Une impédance de court-circuit faible signifie des courants de défaut très élevés en cas de problème sur le réseau.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'essai en court-circuit est comme tester la "résistance interne" d'une source d'énergie. En créant un court-circuit contrôlé, on force le transformateur à révéler ses imperfections (résistance des fils, flux de fuite) qui causent les pertes en charge et les chutes de tension.

Normes (la référence réglementaire)

La norme IEC 60076 spécifie que l'essai en court-circuit doit être réalisé à la fréquence nominale et en ajustant la tension pour obtenir un courant proche du courant nominal, afin de caractériser les pertes en charge dans des conditions de référence.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Calcul du rapport de transformation et du courant nominal secondaire :

\[ m = \frac{U_{\text{2v}}}{U_{\text{1n}}} \]
\[ I_{\text{2n}} = \frac{S_{\text{n}}}{U_{\text{2n}}} \]

2. Calcul des impédances vues du primaire :

\[ Z_{\text{cc}} = \frac{U_{\text{1cc}}}{I_{\text{1cc}}} \]
\[ R_{\text{cc}} = \frac{P_{\text{1cc}}}{I_{\text{1cc}}^2} \]
\[ X_{\text{cc}} = \sqrt{Z_{\text{cc}}^2 - R_{\text{cc}}^2} \]

3. On ramène les impédances au secondaire :

\[ R_{\text{s}} = m^2 \cdot R_{\text{cc}} \]
\[ X_{\text{s}} = m^2 \cdot X_{\text{cc}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la branche de magnétisation ne draine aucun courant car la tension d'essai \(U_{\text{1cc}}\) est très faible devant la tension nominale. Toute la puissance mesurée est donc attribuée aux pertes Joule.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Données nominales : \(S_{\text{n}}=10000 \, \text{VA}\), \(U_{\text{1n}}=5000 \, \text{V}\), \(U_{\text{2n}}=240 \, \text{V}\)
  • Essai CC : \(U_{\text{1cc}} = 230 \, \text{V}\), \(I_{\text{1cc}} = 2 \, \text{A}\), \(P_{\text{1cc}} = 200 \, \text{W}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

L'essai a été fait au primaire, mais les calculs sont demandés au secondaire. Il faut donc "ramener" les impédances d'un côté à l'autre en utilisant le carré du rapport de transformation \(m = U_{\text{2v}}/U_{\text{1n}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Essai en Court-Circuit et Modèle à Déterminer
Rs = ?Xs = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Rapport de transformation et courant nominal secondaire :

\[ \begin{aligned} m &= \frac{240}{5000} \\ &= 0.048 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} I_{\text{2n}} &= \frac{10000 \, \text{VA}}{240 \, \text{V}} \\ &\approx 41.67 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calcul des impédances vues du primaire :

\[ \begin{aligned} Z_{\text{cc}} &= \frac{230 \, \text{V}}{2 \, \text{A}} \\ &= 115 \, \Omega \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} R_{\text{cc}} &= \frac{200 \, \text{W}}{2^2 \, \text{A}^2} \\ &= 50 \, \Omega \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{cc}} &= \sqrt{Z_{\text{cc}}^2 - R_{\text{cc}}^2} \\ &= \sqrt{115^2 - 50^2} \\ &\approx 103.56 \, \Omega \end{aligned} \]

3. On ramène ces valeurs au secondaire :

\[ \begin{aligned} R_{\text{s}} &= m^2 \cdot R_{\text{cc}} \\ &= (0.048)^2 \times 50 \, \Omega \\ &\approx 0.1152 \, \Omega \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} X_{\text{s}} &= m^2 \cdot X_{\text{cc}} \\ &= (0.048)^2 \times 103.56 \, \Omega \\ &\approx 0.2386 \, \Omega \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Branche Série Déterminée
Rs = 0.115 ΩXs = 0.239 Ω
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Les valeurs de \(R_{\text{s}}\) et \(X_{\text{s}}\) sont faibles, ce qui est attendu pour un transformateur bien conçu. \(R_{\text{s}}\) représente la résistance combinée des enroulements et est directement responsable des pertes cuivre. \(X_{\text{s}}\) représente la réactance due aux lignes de flux qui ne passent pas par le noyau (flux de fuite) et est la cause principale de la chute de tension en charge.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier de mettre le rapport de transformation au carré (\(m^2\)) lors du transfert des impédances d'un côté à l'autre. Une impédance ramenée du primaire au secondaire est multipliée par \(m^2\), tandis qu'une impédance ramenée du secondaire au primaire est divisée par \(m^2\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • L'essai en court-circuit se fait à courant nominal et tension réduite.
  • La puissance mesurée donne les pertes cuivre nominales (\(P_{\text{1cc}}\)).
  • Cet essai permet de calculer les éléments de la branche série (\(R_{\text{s}}\) et \(X_{\text{s}}\)) du schéma équivalent.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'impédance de court-circuit est cruciale pour la mise en parallèle de transformateurs. Pour qu'ils se répartissent la charge correctement, leurs tensions de court-circuit en pourcentage (\(U_{\text{cc}}\%\)) doivent être quasi identiques (à moins de 10% de différence).

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi l'essai en court-circuit est-il réalisé à courant nominal ?

Car les pertes cuivre (\(R \cdot I^2\)) dépendent du courant. Pour caractériser ces pertes dans les conditions les plus contraignantes (la pleine charge), on se place au courant nominal. Cela donne une valeur de référence pour les pertes cuivre maximales en fonctionnement normal.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Les éléments série du schéma équivalent ramenés au secondaire sont \(R_{\text{s}} \approx 0.115 \, \Omega\) et \(X_{\text{s}} \approx 0.239 \, \Omega\).
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la puissance mesurée en court-circuit (\(P_{\text{1cc}}\)) avait été de 250 W, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{\text{s}}\) ramenée au secondaire (en \(\Omega\)) ?

Question 3 : Calcul de la chute de tension et de la régulation

Principe (le concept physique)

Lorsqu'une charge tire du courant, ce courant traverse l'impédance interne du transformateur (\(R_{\text{s}}\) et \(X_{\text{s}}\)), créant une chute de tension. La tension aux bornes de la charge (\(U_{\text{2}}\)) est donc inférieure à la tension à vide (\(U_{\text{2v}}\)). La régulation de tension quantifie ce phénomène en pourcentage, indiquant la stabilité de la tension de sortie.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La chute de tension peut être visualisée sur un diagramme de Fresnel (ou diagramme des phaseurs). La tension à vide \(U_{\text{2v}}\) est la somme vectorielle de la tension en charge \(U_{\text{2}}\) et des chutes de tension aux bornes de \(R_{\text{s}}\) (en phase avec \(I_{\text{2}}\)) et \(X_{\text{s}}\) (en quadrature avant sur \(I_{\text{2}}\)). La formule approchée est une projection de ces vecteurs sur l'axe de \(U_{\text{2}}\), valide pour de faibles angles.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à la pression de l'eau. La tension à vide, c'est la pression au robinet quand il est fermé. Dès que vous l'ouvrez (vous branchez une charge), le débit (courant) augmente, et les frottements dans le tuyau (l'impédance interne) font chuter la pression à la sortie. La régulation mesure l'importance de cette "chute de pression" électrique.

Normes (la référence réglementaire)

Les normes de qualité de la fourniture d'électricité, comme la norme européenne EN 50160, imposent des limites sur les variations de tension chez le consommateur (généralement \(\pm 10\%\) de la tension nominale). La régulation des transformateurs de distribution est un facteur clé pour respecter ces contraintes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule approchée de la chute de tension est :

\[ \Delta U_{\text{2}} \approx R_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}} \cdot \cos(\varphi_{\text{2}}) + X_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}} \cdot \sin(\varphi_{\text{2}}) \]

La régulation de tension est :

\[ \text{Reg}(\%) = \frac{\Delta U_{\text{2}}}{U_{\text{2v}}} \times 100 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On utilise la formule approchée, qui est suffisamment précise pour la plupart des applications pratiques où la chute de tension reste faible (inférieure à 10-15%). On suppose que le rapport de transformation reste constant.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Courant de charge, \(I_{\text{2}} = 40 \, \text{A}\)
  • Facteur de puissance, \(\cos(\varphi_{\text{2}}) = 0.85\) (inductif)
  • Éléments série : \(R_{\text{s}} = 0.115 \, \Omega\), \(X_{\text{s}} = 0.239 \, \Omega\)
  • Tension à vide, \(U_{\text{2v}} = 240 \, \text{V}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Pour une charge capacitive, le terme \(X_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}} \cdot \sin(\varphi_{\text{2}})\) devient négatif. Si la charge est suffisamment capacitive, la chute de tension peut devenir négative, ce qui signifie que la tension en charge est PLUS ÉLEVÉE qu'à vide ! C'est l'effet Ferranti.

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Fresnel (Phaseurs)
U2Rs·I2Xs·I2U2v
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calculer \(\sin(\varphi_{\text{2}})\) :

\[ \begin{aligned} \varphi_{\text{2}} &= \arccos(0.85) \\ &\approx 31.79^\circ \end{aligned} \]

On en déduit :

\[ \sin(\varphi_{\text{2}}) \approx 0.527 \]

2. Calculer la chute de tension :

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{2}} &\approx (0.115 \times 40 \times 0.85) + (0.239 \times 40 \times 0.527) \\ &\approx 3.91 + 5.04 \\ &\approx 8.95 \, \text{V} \end{aligned} \]

3. Calculer la régulation :

\[ \begin{aligned} \text{Reg}(\%) &= \frac{8.95 \, \text{V}}{240 \, \text{V}} \times 100 \\ &\approx 3.73 \% \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Chute de Tension et Régulation
U2v = 240 VΔU2 ≈ 8.95 VReg ≈ 3.73 %
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Une régulation de 3.73% signifie que la tension au secondaire chutera de près de 4% entre le fonctionnement à vide et cette charge spécifique. C'est une valeur typique et acceptable pour un transformateur de distribution. Une régulation trop élevée pourrait endommager les équipements sensibles connectés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode degrés pour calculer l'arccos, et utilisez la bonne valeur de \(\sin(\varphi_{\text{2}})\). Une erreur de signe (charge inductive vs capacitive) ou une confusion entre cosinus et sinus est une source d'erreur fréquente.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • La tension en charge est toujours inférieure à la tension à vide pour une charge résistive ou inductive.
  • La chute de tension dépend de la résistance série, de la réactance série, du courant et du facteur de puissance de la charge.
  • La régulation exprime cette chute en pourcentage de la tension à vide.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour compenser la chute de tension, les grands transformateurs de puissance sont équipés de "changeurs de prises en charge" (On-Load Tap Changers - OLTC). Ce sont des commutateurs mécaniques complexes qui peuvent changer le nombre de spires du primaire pendant que le transformateur est en service, ajustant ainsi le rapport de transformation pour maintenir la tension de sortie constante.

FAQ (pour lever les doutes)
Une charge purement résistive (\(\cos(\varphi)=1\)) provoque-t-elle une chute de tension ?

Oui. Même si \(\sin(\varphi)=0\), le terme \(R_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}} \cdot \cos(\varphi_{\text{2}})\) reste. La chute de tension est alors uniquement due à la résistance des enroulements. Elle est cependant plus faible que pour une charge inductive de même courant.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La chute de tension est d'environ 8.95 V, et la régulation de tension est de 3.73 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la régulation de tension (en %) pour la même charge de 40 A mais avec un facteur de puissance unitaire (\(\cos(\varphi)=1\)) ?

Question 4 : Calcul du rendement à charge spécifiée

Principe (le concept physique)

Le rendement est le rapport entre ce qui est "utile" (la puissance fournie à la charge) et ce qui est "consommé" (la puissance utile plus toutes les pertes). Pour calculer le rendement, nous devons évaluer les pertes fer (constantes) et les pertes cuivre (qui dépendent du courant de charge).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le flux de puissance dans un transformateur part de la puissance d'entrée \(P_{\text{1}}\). Une partie est immédiatement perdue sous forme de pertes fer (\(P_{\text{fer}}\)). Le reste est transféré au secondaire. Dans les enroulements, une autre partie est perdue sous forme de pertes cuivre (\(P_{\text{cuivre}}\)). Ce qui reste est la puissance de sortie utile \(P_{\text{2}}\). D'où la formule : \(P_{\text{1}} = P_{\text{2}} + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez au rendement comme à un péage énergétique. Pour transférer de la puissance du primaire au secondaire, le transformateur prélève une taxe fixe (les pertes fer) et une taxe proportionnelle au trafic (les pertes cuivre). Le rendement mesure l'efficacité de ce transfert.

Normes (la référence réglementaire)

Les réglementations sur l'efficacité énergétique, comme le programme "Ecodesign" de l'Union Européenne, imposent des niveaux de rendement minimaux pour les transformateurs mis sur le marché, afin de réduire le gaspillage d'énergie à l'échelle des réseaux électriques.

Formule(s) (l'outil mathématique)
\[ \eta = \frac{P_{\text{2}}}{P_{\text{2}} + P_{\text{fer}} + P_{\text{cuivre}}} \]

Avec :

\[ P_{\text{2}} = U_{\text{2}} \cdot I_{\text{2}} \cdot \cos(\varphi_{\text{2}}) \]
\[ P_{\text{cuivre}} = R_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}}^2 \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les valeurs de \(P_{\text{fer}}\) et \(R_{\text{s}}\) déterminées lors des essais sont constantes et valables pour ce point de fonctionnement. On utilise la tension en charge \(U_{\text{2}}\) calculée à la question précédente pour une meilleure précision.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Charge : \(I_{\text{2}} = 40 \, \text{A}\), \(\cos(\varphi_{\text{2}}) = 0.85\)
  • Tension en charge : \(U_{\text{2}} = U_{\text{2v}} - \Delta U_{\text{2}} = 240 - 8.95 = 231.05 \, \text{V}\)
  • Pertes fer, \(P_{\text{fer}} = 120 \, \text{W}\)
  • Résistance série, \(R_{\text{s}} = 0.115 \, \Omega\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le courant de charge (40 A) est très proche du courant nominal (41.67 A). On peut donc s'attendre à ce que les pertes cuivre (184 W) soient proches des pertes cuivre nominales mesurées en court-circuit (200 W), ce qui est un bon moyen de vérifier son calcul de \(R_{\text{s}}\).

Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Puissance (Sankey)
P entréeP sortie = ?Pfer = 120WPcuivre = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la puissance de sortie \(P_{\text{2}}\) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{2}} &= 231.05 \, \text{V} \times 40 \, \text{A} \times 0.85 \\ &\approx 7855.7 \, \text{W} \end{aligned} \]

2. Calcul des pertes cuivre \(P_{\text{cuivre}}\) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{cuivre}} &= 0.115 \, \Omega \times (40 \, \text{A})^2 \\ &= 184 \, \text{W} \end{aligned} \]

3. Calcul du rendement :

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{7855.7}{7855.7 + 120 + 184} \\ &= \frac{7855.7}{8159.7} \\ &\approx 0.9627 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Bilan de Puissance et Rendement
P1 ≈ 8160WP2 ≈ 7856WPfer = 120WPcuivre = 184Wη ≈ 96.3%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un rendement de 96.3% est une bonne performance pour un transformateur de cette taille. Cela signifie que pour 1000 W absorbés au primaire, 963 W sont délivrés à la charge, et seulement 37 W sont perdus en chaleur. Les transformateurs sont des machines électriques parmi les plus efficaces.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier d'inclure les DEUX types de pertes (\(P_{\text{fer}}\) et \(P_{\text{cuivre}}\)) dans le calcul. Une erreur courante est d'oublier les pertes fer, qui sont toujours présentes tant que le transformateur est sous tension.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rendement compare la puissance utile à la puissance totale absorbée.
  • La puissance absorbée est la somme de la puissance utile et de toutes les pertes.
  • Les pertes cuivre dépendent de la charge, les pertes fer n'en dépendent pas.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le coût total de possession (Total Cost of Ownership - TCO) d'un transformateur sur 20 ou 30 ans est largement dominé par le coût de l'énergie perdue. Un transformateur à haut rendement, même s'il est plus cher à l'achat, est souvent beaucoup plus économique sur le long terme.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi le rendement n'est-il pas de 100% ?

Aucune machine réelle n'est parfaite. Dans un transformateur, la résistance inévitable des fils de cuivre cause les pertes Joule (cuivre), et le cycle constant de magnétisation et démagnétisation du noyau métallique cause les pertes par hystérésis et courants de Foucault (pertes fer). Ces pertes se dissipent sous forme de chaleur.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement du transformateur pour cette charge est d'environ 96.3 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le rendement (en %) si le courant de charge était de 20 A (demi-charge), toujours avec \(\cos(\varphi_{\text{2}})=0.85\)?

Question 5 : Détermination du rendement maximal

Principe (le concept physique)

Les pertes fer sont constantes, tandis que les pertes cuivre augmentent avec le carré de la charge. À faible charge, les pertes fer dominent. À forte charge, les pertes cuivre dominent. Il existe un point intermédiaire où la somme des deux est minimale, ce qui correspond au rendement maximal. Ce point est atteint précisément lorsque les pertes cuivre deviennent égales aux pertes fer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Mathématiquement, on peut exprimer le rendement \(\eta\) en fonction du taux de charge \(\beta\). En dérivant cette fonction par rapport à \(\beta\) et en cherchant le point où la dérivée s'annule (\(d\eta/d\beta = 0\)), on trouve que cette condition est remplie lorsque \(\beta^2 P_{\text{cuivre, nominal}} = P_{\text{fer}}\), ce qui est équivalent à \(P_{\text{cuivre}} = P_{\text{fer}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est un classique problème d'optimisation. Vous avez une perte fixe et une perte qui augmente avec l'usage. Le point le plus efficace n'est ni à l'arrêt (où la perte fixe domine proportionnellement), ni à plein régime (où la perte d'usage explose), mais à un point d'équilibre entre les deux.

Normes (la référence réglementaire)

Les fiches techniques des transformateurs indiquent souvent le rendement à plusieurs points de charge (ex: 25%, 50%, 75%, 100%) pour permettre aux ingénieurs de choisir le transformateur le plus adapté au profil de charge typique de leur application, et ainsi maximiser l'efficacité énergétique globale.

Formule(s) (l'outil mathématique)

1. Condition pour \(\eta_{\text{max}}\) : \(P_{\text{cuivre}} = P_{\text{fer}}\), ce qui donne :

\[ R_{\text{s}} \cdot I_{\text{2}, \eta_{\text{max}}}^2 = P_{\text{fer}} \]

On en déduit le courant au rendement maximal :

\[ I_{\text{2}, \eta_{\text{max}}} = \sqrt{\frac{P_{\text{fer}}}{R_{\text{s}}}} \]

2. Le taux de charge \(\beta\) est le rapport du courant au courant nominal :

\[ \beta_{\eta_{\text{max}}} = \frac{I_{\text{2}, \eta_{\text{max}}}}{I_{\text{2n}}} \]

3. Le rendement maximal (pour un \(\cos(\varphi_{\text{2}})\) donné) est :

\[ \eta_{\text{max}} = \frac{\beta_{\eta_{\text{max}}} S_{\text{n}} \cos(\varphi_{\text{2}})}{\beta_{\eta_{\text{max}}} S_{\text{n}} \cos(\varphi_{\text{2}}) + 2 \cdot P_{\text{fer}}} \]
Hypothèses (le cadre du calcul)

Pour calculer la valeur du rendement maximal, on se place souvent dans le cas d'une charge résistive (\(\cos(\varphi_{\text{2}})=1\)), qui représente le cas le plus favorable. Le taux de charge où le rendement est maximal, lui, ne dépend pas du facteur de puissance.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(P_{\text{fer}} = 120 \, \text{W}\)
  • \(R_{\text{s}} = 0.115 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{2n}} = 41.67 \, \text{A}\)
  • \(S_{\text{n}} = 10000 \, \text{VA}\)
Astuces(Pour aller plus vite)

Le taux de charge pour le rendement maximal peut être calculé très rapidement avec la formule \(\beta_{\eta_{\text{max}}} = \sqrt{P_{\text{fer}} / P_{\text{1cc}}}\), où \(P_{\text{1cc}}\) sont les pertes cuivre nominales (200 W dans notre cas). \(\sqrt{120/200} \approx 0.775\).

Schéma (Avant les calculs)
Courbes des Pertes et du Rendement
Charge (%)Pertes / RendementPferPcuivreη max = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul du courant pour le rendement maximal :

\[ \begin{aligned} I_{\text{2}, \eta_{\text{max}}} &= \sqrt{\frac{120}{0.115}} \\ &\approx 32.3 \, \text{A} \end{aligned} \]

2. Calcul du taux de charge correspondant :

\[ \begin{aligned} \beta_{\eta_{\text{max}}} &= \frac{32.3}{41.67} \\ &\approx 0.775 \quad (\text{soit } 77.5\%) \end{aligned} \]

3. Calcul du rendement maximal (en supposant un facteur de puissance unitaire pour la charge) :

\[ \begin{aligned} P_{\text{2}, \eta_{\text{max}}} &= \beta_{\eta_{\text{max}}} S_{\text{n}} \cos(\varphi_{\text{2}}) \\ &= 0.775 \times 10000 \times 1 \\ &= 7750 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \eta_{\text{max}} &= \frac{7750}{7750 + 120 + 120} \\ &= \frac{7750}{7990} \\ &\approx 0.970 \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Point de Rendement Maximal
Charge (%)Pertes / Rendement77.5%η max ≈ 97.0%
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le rendement est maximal à environ 77.5% de la charge nominale. C'est une caractéristique de conception importante. Les transformateurs de distribution sont souvent conçus pour avoir leur rendement maximal autour de 70-80% de leur charge nominale, car c'est dans cette plage qu'ils fonctionnent le plus souvent en moyenne sur une journée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas supposer que le rendement maximal a lieu à 100% de la charge. C'est rarement le cas. De plus, la valeur du rendement maximal dépend du facteur de puissance, même si le point de charge où il se produit n'en dépend pas.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
  • Le rendement maximal est atteint lorsque les pertes variables (cuivre) égalent les pertes fixes (fer).
  • Le taux de charge pour le rendement maximal est souvent inférieur à 100%.
  • Ce point d'opération est un critère de conception clé pour optimiser l'efficacité énergétique.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour les applications où la charge est très variable (comme un transformateur de quartier), les ingénieurs privilégient des transformateurs avec de faibles pertes fer, car ces pertes sont présentes 24h/24. Pour une usine fonctionnant à pleine charge en continu, on cherchera plutôt à minimiser les pertes cuivre nominales.

FAQ (pour lever les doutes)
Le rendement maximal dépend-il du facteur de puissance ?

Oui, la valeur du rendement maximal change avec le facteur de puissance. Un facteur de puissance plus faible réduit la puissance active de sortie pour un même courant, ce qui diminue le rendement global. Cependant, le point de charge (le courant) où ce maximum se produit reste le même, car il ne dépend que de l'égalité entre les pertes fer et cuivre.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le rendement est maximal pour un taux de charge d'environ 77.5 %. La valeur de ce rendement maximal est d'environ 97.0 %.
A vous de jouer(pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si les pertes fer étaient de 200 W (égales aux pertes cuivre nominales), à quel taux de charge (en %) le rendement serait-il maximal ?

Outil Interactif : Rendement et Régulation

Modifiez le taux de charge et le facteur de puissance pour observer leur influence sur les performances du transformateur.

Paramètres d'Entrée
96 %
0.85
Résultats Clés
Rendement (%) -
Régulation de Tension (%) -
Pertes Cuivre (W) -

Le Saviez-Vous ?

Les très gros transformateurs de puissance utilisés dans les centrales électriques peuvent atteindre des rendements exceptionnels de plus de 99.75%. Malgré ce chiffre impressionnant, les quelques fractions de pourcent de pertes représentent des centaines de kilowatts de chaleur qu'il faut évacuer en permanence, ce qui explique la présence d'imposants systèmes de refroidissement à huile et à air.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le facteur de puissance de la charge influence-t-il la chute de tension ?

La chute de tension est causée par l'impédance série du transformateur, qui a une partie résistive (Rs) et une partie inductive (Xs). Une charge inductive (comme un moteur) a un courant déphasé par rapport à la tension. Ce déphasage fait que la chute de tension due à la réactance Xs a un impact beaucoup plus important sur la tension finale, augmentant la chute de tension globale par rapport à une charge purement résistive (facteur de puissance de 1).

Peut-on faire les mêmes calculs en ramenant tout au primaire ?

Oui, absolument. Le choix de ramener les éléments au primaire ou au secondaire est arbitraire et doit donner les mêmes résultats finaux en termes de rendement ou de régulation en pourcentage. Il faut simplement être cohérent : si on ramène au primaire, il faut diviser les impédances du secondaire par m² et travailler avec les courants et tensions du primaire.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si le courant de charge d'un transformateur double, les pertes cuivre...

2. Le rendement d'un transformateur est généralement maximal lorsque...

Rendement (η)
Rapport entre la puissance utile fournie à la charge et la puissance totale absorbée par le transformateur. Un rendement élevé signifie moins de pertes d'énergie.
Régulation de Tension
Mesure de la capacité d'un transformateur à maintenir une tension de sortie constante entre le fonctionnement à vide et en charge. Une faible valeur (en %) est souhaitable.
Pertes Fer (Pfer)
Pertes constantes dans le circuit magnétique, indépendantes de la charge. Elles sont dues aux phénomènes d'hystérésis et aux courants de Foucault.
Pertes Cuivre (Pcu)
Pertes variables par effet Joule dans les enroulements. Elles sont proportionnelles au carré du courant de charge.
Transformateurs à Divers Niveaux de Charge

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