Vérification de la loi des mailles
Contexte : L'analyse des circuits électriquesEnsemble de composants électriques ou électroniques interconnectés dans lequel un courant électrique peut circuler..
Les lois de Kirchhoff sont, avec la loi d'Ohm, les outils les plus fondamentaux pour analyser les circuits électriques. La loi des mailles (ou deuxième loi de Kirchhoff) concerne la conservation de l'énergie dans une boucle fermée d'un circuit. Elle stipule que la somme algébrique des tensions électriques dans une maille est nulle. Cet exercice vous guidera pour appliquer et vérifier cette loi sur un circuit série simple.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un circuit, à calculer les chutes de tension aux bornes de chaque composant, et à valider vos calculs en utilisant la loi fondamentale des mailles.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et savoir énoncer la loi des mailles de Kirchhoff.
- Appliquer la loi d'Ohm pour calculer un courant et des tensions.
- Calculer la résistance équivalente d'un groupement de résistances en série.
- Vérifier par le calcul la validité de la loi des mailles dans un circuit simple.
Données de l'étude
Schéma du circuit série
| Composant | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Source de tension | E | 12 V |
| Résistance 1 | R1 | 100 Ω |
| Résistance 2 | R2 | 200 Ω |
| Résistance 3 | R3 | 300 Ω |
Questions à traiter
- Calculer le courant total \(I\) circulant dans le circuit.
- Calculer la tension \(U_1\) aux bornes de la résistance \(R_1\).
- Calculer la tension \(U_2\) aux bornes de la résistance \(R_2\).
- Calculer la tension \(U_3\) aux bornes de la résistance \(R_3\).
- Vérifier la loi des mailles en utilisant les tensions calculées.
Les bases de l'analyse de circuit
Pour résoudre cet exercice, deux lois fondamentales de l'électricité sont nécessaires : la loi d'Ohm et la loi des mailles de Kirchhoff.
1. Association de résistances en série
Lorsque plusieurs résistances sont connectées en série, leur résistance équivalente \(R_{\text{eq}}\) est simplement la somme de leurs résistances individuelles.
\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n \]
2. Loi d'Ohm
La loi d'Ohm établit une relation entre la tension \(U\) (en Volts), le courant \(I\) (en Ampères) et la résistance \(R\) (en Ohms) :
\[ U = R \cdot I \]
3. Loi des mailles de Kirchhoff
Cette loi stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle.
\[ \sum_{k=1}^{n} U_k = 0 \]
Pour notre circuit, cela se traduit par : \(E - U_1 - U_2 - U_3 = 0\).
Correction : Vérification de la loi des mailles
Question 1 : Calculer le courant total I circulant dans le circuit.
Principe
Pour trouver le courant total dans un circuit série, on traite d'abord le circuit comme un tout. L'idée est de simplifier le groupement de résistances en une seule résistance "équivalente". Une fois cette simplification faite, le circuit ne contient plus qu'une source de tension et une résistance, ce qui rend l'application de la loi d'Ohm directe pour trouver le courant global.
Mini-Cours
Dans un circuit en série, le courant n'a qu'un seul chemin possible. Il est donc identique en tout point du circuit. La résistance équivalente, quant à elle, représente la résistance unique qui aurait le même effet sur le courant que l'ensemble des résistances du circuit. Pour des résistances en série, cette équivalence s'obtient par une simple somme, car chaque résistance ajoute son obstacle au passage du courant.
Remarque Pédagogique
La stratégie "diviser pour régner" est très efficace en électronique. Face à un circuit complexe, cherchez toujours à le simplifier. Le calcul de la résistance équivalente est la première et la plus importante étape de simplification pour un circuit série.
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul de base, mais on suit la convention internationale du Système International d'unités (SI) : la tension en Volts (V), la résistance en Ohms (Ω) et le courant en Ampères (A).
Formule(s)
Résistance équivalente en série
Loi d'Ohm
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes, typiques des exercices d'initiation :
- Les composants sont idéaux : la source de tension est parfaite (sa tension ne varie pas) et les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Le circuit est en régime continu (les valeurs de tension et de courant sont constantes dans le temps).
Donnée(s)
Nous reprenons les valeurs de l'énoncé nécessaires pour cette question.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de la source | E | 12 | V |
| Résistance 1 | R₁ | 100 | Ω |
| Résistance 2 | R₂ | 200 | Ω |
| Résistance 3 | R₃ | 300 | Ω |
Astuces
Avant de calculer, faites une estimation rapide. La résistance totale sera 600 Ω. Pour une tension de 12V, le courant sera petit. \(12/600\) c'est \(2/100\), soit 0.02. Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur de votre résultat final.
Schéma (Avant les calculs)
Schéma du circuit à analyser
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la résistance équivalente
Étape 2 : Calcul du courant I
Schéma (Après les calculs)
Schéma du circuit équivalent
Réflexions
Le courant est de 0.02 Ampères, ce qui est plus couramment exprimé en milliampères : \(0.02\,\text{A} = 20\,\text{mA}\). C'est une valeur de courant faible, typique des circuits électroniques de base. Elle représente le flux de charges qui traverse chaque composant à chaque seconde.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de mal identifier le type de montage. Si les résistances avaient été en parallèle, la formule de la résistance équivalente aurait été complètement différente. Assurez-vous toujours qu'il n'y a qu'un seul chemin pour le courant avant d'appliquer la formule d'addition simple.
Points à retenir
Pour trouver le courant dans un circuit série, la méthode est toujours la même : 1. Calculer la résistance équivalente en additionnant toutes les résistances. 2. Appliquer la loi d'Ohm (\(I = U/R\)) au circuit global.
Le saviez-vous ?
Georg Ohm, qui a donné son nom à la loi, a eu beaucoup de mal à faire accepter ses découvertes. Ses contemporains trouvaient son approche trop mathématique pour de la physique, et il a vécu dans une relative pauvreté avant que ses travaux ne soient finalement reconnus comme fondamentaux.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la source de tension était de 24 V avec les mêmes résistances, quel serait le courant I ?
Question 2 : Calculer la tension U₁ aux bornes de la résistance R₁.
Principe
Le courant total \(I\) étant connu et identique pour chaque résistance, on peut maintenant "zoomer" sur la résistance \(R_1\) individuellement. En appliquant la loi d'Ohm à ce composant, on peut déterminer la "chute de tension" à ses bornes, c'est-à-dire la part de l'énergie de la source qu'il dissipe.
Mini-Cours
La tension aux bornes d'une résistance est souvent appelée "chute de tension" car la résistance dissipe de l'énergie (généralement sous forme de chaleur), ce qui réduit le potentiel électrique. Chaque résistance du circuit provoque une chute de potentiel qui lui est propre.
Remarque Pédagogique
Cette étape montre comment passer d'une vision globale du circuit (avec \(R_{\text{eq}}\)) à une analyse locale (composant par composant). C'est une compétence clé. Retenez que le courant est le lien qui unit tous les composants en série.
Normes
On continue d'appliquer les conventions du Système International (SI). Le résultat de la tension sera exprimé en Volts (V).
Formule(s)
Loi d'Ohm pour R₁
Hypothèses
Les hypothèses restent les mêmes que pour la question 1 (composants idéaux, régime continu).
Donnée(s)
On utilise le courant calculé précédemment et la valeur de la résistance \(R_1\).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant du circuit | I | 0.02 | A |
| Résistance 1 | R₁ | 100 | Ω |
Astuces
Le calcul est simple : \(100 \times 0.02\). Pour multiplier par 0.02, on peut multiplier par 2 (ce qui donne 200) puis diviser par 100 (ce qui donne 2). C'est une méthode rapide pour éviter les erreurs avec les décimaux.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Résistance R₁
Calcul(s)
Application de la loi d'Ohm
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour R₁
Réflexions
La chute de tension aux bornes de \(R_1\) est de 2V. Comme \(R_1\) est la plus petite des trois résistances, il est logique qu'elle dissipe la plus petite part de la tension totale de la source.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est d'utiliser la mauvaise résistance pour le calcul d'une tension (par ex. calculer \(U_1\) avec \(R_2\)). Soyez méthodique : associez toujours \(U_1\), \(R_1\) et \(I\).
Points à retenir
La loi d'Ohm \(U=RI\) est l'outil universel pour passer du courant à la tension pour un composant résistif. C'est la formule clé de cette question.
Le saviez-vous ?
Le concept de "chute de tension" est à la base du pont diviseur de tension, un des montages les plus utilisés en électronique pour obtenir une tension plus faible à partir d'une tension plus élevée.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le courant de la question 1 (0.02 A), si R₁ valait 150 Ω, que vaudrait U₁ ?
Question 3 : Calculer la tension U₂ aux bornes de la résistance R₂.
Principe
Le principe est identique à la question précédente. Le courant \(I\) qui traverse tout le circuit traverse également la résistance \(R_2\). On utilise donc la loi d'Ohm, appliquée cette fois-ci spécifiquement à R₂, pour calculer la tension \(U_2\) à ses bornes.
Mini-Cours
La relation de proportionnalité \(U = R \cdot I\) montre que pour un même courant \(I\), la tension aux bornes d'une résistance est directement proportionnelle à sa valeur ohmique. Une résistance plus grande provoquera une chute de tension plus importante.
Remarque Pédagogique
La répétition de cette démarche pour chaque composant renforce la méthode. C'est en appliquant systématiquement la même logique que l'on acquiert de l'aisance dans l'analyse de circuits plus complexes.
Normes
Nous utilisons toujours les unités du Système International : Ohms (Ω), Ampères (A) et Volts (V).
Formule(s)
Loi d'Ohm pour R₂
Hypothèses
Les hypothèses restent inchangées (composants idéaux, régime continu).
Donnée(s)
Nous avons besoin du courant I et de la valeur de la résistance R₂.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant du circuit | I | 0.02 | A |
| Résistance 2 | R₂ | 200 | Ω |
Astuces
Comme R₂ est le double de R₁, la tension U₂ doit être le double de U₁. Puisque U₁ = 2V, on peut prédire que U₂ = 4V avant même de faire le calcul. C'est une excellente façon de vérifier la cohérence.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Résistance R₂
Calcul(s)
Application de la loi d'Ohm
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour R₂
Réflexions
La tension de 4V est bien le double de la tension U₁ (2V), ce qui est cohérent avec le fait que R₂ (200Ω) est le double de R₁ (100Ω). La répartition des tensions suit bien la proportion des résistances.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien utiliser la valeur de R₂ et non une autre. L'erreur d'inattention est vite arrivée quand les calculs se ressemblent.
Points à retenir
Le courant est constant en série, mais la tension se divise. La tension aux bornes d'un composant dépend de sa propre résistance. C'est un concept fondamental des circuits série.
Le saviez-vous ?
Les anciennes guirlandes de Noël étaient souvent montées en série. Si une seule ampoule grillait, le circuit était ouvert, le courant ne passait plus et toute la guirlande s'éteignait, rendant la recherche de l'ampoule défectueuse très fastidieuse !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le courant de 0.02 A, si R₂ valait 250 Ω, que vaudrait U₂ ?
Question 4 : Calculer la tension U₃ aux bornes de la résistance R₃.
Principe
Pour la dernière fois dans cet exercice, nous appliquons le même principe : le courant total I traverse la résistance R₃. La loi d'Ohm nous permet de calculer la tension U₃ à ses bornes en multipliant sa résistance par le courant.
Mini-Cours
La tension est une mesure d'énergie par unité de charge (Joules par Coulomb). La chute de tension aux bornes d'une résistance signifie que chaque Coulomb de charge qui la traverse perd une quantité d'énergie égale à la valeur de cette tension. Cette énergie est convertie en chaleur (effet Joule).
Remarque Pédagogique
Arrivé à cette question, le processus doit devenir un automatisme. C'est l'objectif : transformer une réflexion en une compétence appliquée et rapide. Identifiez le courant, identifiez la résistance, appliquez la loi d'Ohm.
Normes
Nous respectons les unités du Système International (SI).
Formule(s)
Loi d'Ohm pour R₃
Hypothèses
Les hypothèses restent inchangées (composants idéaux, régime continu).
Donnée(s)
Nous avons besoin du courant I et de la valeur de la résistance R₃.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant du circuit | I | 0.02 | A |
| Résistance 3 | R₃ | 300 | Ω |
Astuces
On peut aussi utiliser la loi des mailles pour trouver la dernière tension : \(U_3 = E - U_1 - U_2 = 12\text{V} - 2\text{V} - 4\text{V} = 6\text{V}\). C'est une méthode alternative rapide si l'on a confiance dans les calculs précédents.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Résistance R₃
Calcul(s)
Application de la loi d'Ohm
Schéma (Après les calculs)
Résultat pour R₃
Réflexions
La chute de tension de 6V aux bornes de R₃ est la plus importante, ce qui est logique car R₃ est la résistance de plus grande valeur. Elle dissipe à elle seule la moitié de la tension (et donc de l'énergie) fournie par la source.
Points de vigilance
Vérifiez que vous utilisez bien R₃ (300Ω) et non la résistance équivalente (600Ω). La résistance équivalente ne sert qu'à trouver le courant total, pas les tensions individuelles.
Points à retenir
La tension se répartit proportionnellement aux résistances dans un circuit série. C'est le principe du pont diviseur de tension.
Le saviez-vous ?
L'effet Joule (dissipation de chaleur par une résistance) n'est pas toujours une perte. Il est utilisé volontairement dans de nombreux appareils : grille-pains, radiateurs électriques, sèche-cheveux, ampoules à incandescence...
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Avec le courant de 0.02 A, si R₃ valait 50 Ω, que vaudrait U₃ ?
Question 5 : Vérifier la loi des mailles.
Principe
Cette dernière étape est une vérification. Elle permet de s'assurer de la cohérence de tous les calculs précédents. Le principe physique est celui de la conservation de l'énergie : l'énergie (par unité de charge) fournie par la source de tension doit être intégralement dissipée par les composants du circuit (ici, les résistances).
Mini-Cours
La loi des mailles est une reformulation du principe de conservation de l'énergie pour les circuits électriques. En parcourant une boucle complète et en revenant au point de départ, le potentiel électrique doit être le même. Ainsi, la somme des augmentations de potentiel (tensions des sources) doit être égale à la somme des chutes de potentiel (tensions aux bornes des résistances).
Remarque Pédagogique
Prenez toujours l'habitude de faire cette vérification finale. Si la somme des tensions n'est pas égale à la tension de la source, vous savez immédiatement qu'une erreur s'est glissée dans une des étapes précédentes. C'est un excellent réflexe d'auto-correction.
Normes
On applique la convention de fléchage des tensions : la flèche de tension d'un générateur va du - vers le +, tandis que pour un récepteur (résistance), elle est orientée en sens inverse du courant (convention récepteur).
Formule(s)
Vérification de la loi des mailles
Hypothèses
Les hypothèses sont les mêmes que précédemment.
Donnée(s)
On utilise toutes les valeurs calculées précédemment.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de la source | E | 12 | V |
| Tension aux bornes de R₁ | U₁ | 2 | V |
| Tension aux bornes de R₂ | U₂ | 4 | V |
| Tension aux bornes de R₃ | U₃ | 6 | V |
Astuces
Une façon rapide de faire le calcul est d'additionner mentalement les tensions : 2 + 4 = 6, puis 6 + 6 = 12. Le compte est bon. C'est simple, mais efficace pour éviter une erreur d'inattention.
Schéma (Avant les calculs)
Maille du circuit à vérifier
Calcul(s)
Somme des chutes de tension
Comparaison à la tension de la source
Schéma (Après les calculs)
Schéma de la maille vérifiée
Réflexions
La vérification est positive. Cela nous donne une grande confiance dans l'ensemble de nos calculs. Si nous avions trouvé 11V ou 13V, cela aurait signalé une erreur de calcul à une étape précédente qu'il aurait fallu retrouver.
Points de vigilance
Attention aux signes ! Dans la formule \(E - U_1 - U_2 - U_3 = 0\), les tensions des récepteurs sont soustraites car elles représentent des chutes de potentiel. Si on écrit la loi sous la forme \(E = U_1 + U_2 + U_3\), tous les termes sont positifs. Choisissez une forme et tenez-vous-y pour ne pas vous embrouiller.
Points à retenir
La loi des mailles est un outil de vérification puissant. Elle incarne la conservation de l'énergie dans un circuit. Pour toute boucle, la somme des tensions des sources doit égaler la somme des chutes de tension des récepteurs.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois sur les circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant. Ces lois, bien que simples, sont si fondamentales qu'elles sont encore aujourd'hui à la base de l'analyse de tous les circuits électriques, même les plus complexes comme ceux des microprocesseurs.
FAQ
Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Un circuit a une source de 10 V et trois résistances en série. Les tensions U₁ et U₂ sont de 3 V et 5 V. Sans autre calcul, que vaut U₃ ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs pour modifier la tension de la source (E) et la valeur de la résistance R1. Observez en temps réel comment le courant total et la tension U₁ sont affectés. Le graphique montre la relation linéaire entre la tension de la source et le courant qui en résulte.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que stipule la loi des mailles de Kirchhoff ?
2. Comment calcule-t-on la résistance équivalente de trois résistances R₁, R₂, R₃ en série ?
3. Quelle est l'unité de la tension électrique ?
4. Dans un circuit série avec une source de 9V et des résistances créant des chutes de tension de 2V et 4V, quelle est la tension aux bornes de la dernière résistance ?
5. Si on double la tension de la source dans un circuit purement résistif, comment le courant évolue-t-il ?
Glossaire
- Tension électrique (V)
- La différence de potentiel électrique entre deux points d'un circuit. Elle est la "force" qui pousse les électrons à se déplacer. Son unité est le Volt.
- Courant électrique (A)
- Le débit de charge électrique à travers un conducteur. Il représente la quantité d'électrons qui passent un point donné par seconde. Son unité est l'Ampère.
- Résistance électrique (Ω)
- Une mesure de l'opposition au passage du courant électrique. Plus la résistance est élevée, plus il est difficile pour le courant de circuler. Son unité est l'Ohm.
- Loi des mailles
- La deuxième loi de Kirchhoff, qui énonce que la somme des tensions le long d'une boucle fermée d'un circuit est toujours égale à zéro.
- Loi d'Ohm
- Une loi fondamentale qui lie la tension, le courant et la résistance dans un circuit par la formule U = R x I.
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