Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Vérification de la loi des mailles

Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff

Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff

Comprendre la Loi des Mailles de Kirchhoff

La loi des mailles de Kirchhoff (aussi appelée deuxième loi de Kirchhoff ou KVL - Kirchhoff's Voltage Law) est un principe fondamental de l'analyse des circuits électriques. Elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (ou maille) d'un circuit électrique est nulle. Cette loi est une conséquence de la conservation de l'énergie.

Pour appliquer la loi des mailles, on choisit un sens de parcours pour la boucle. Les tensions sont alors additionnées algébriquement : une augmentation de potentiel (par exemple, en traversant une source de tension du pôle - au pôle +) est comptée positivement, tandis qu'une chute de potentiel (par exemple, en traversant une résistance dans le sens du courant) est comptée négativement (ou vice-versa, selon la convention choisie, l'important étant la cohérence).

Cet exercice vise à analyser un circuit DC simple, à calculer les courants et les tensions aux bornes de chaque composant, puis à vérifier explicitement la loi des mailles pour différentes boucles du circuit.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique DC suivant, alimenté par une source de tension continue.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension (\(V_S\)) : \(24 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(100 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_2\) : \(200 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_3\) : \(300 \, \text{Ω}\)
  • Résistance \(R_4\) : \(150 \, \text{Ω}\)
  • Configuration : \(R_1\) est en série avec un groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_3\). L'ensemble est ensuite en série avec \(R_4\).
Schéma du Circuit Électrique
VS + - R1 A R2 B R3 R4 IS I2 I3 IS

Circuit DC avec résistances en série et en parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente \(R_{23}\) du groupement parallèle de \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\) du circuit vue par la source.
  3. Calculer le courant total \(I_S\) fourni par la source \(V_S\).
  4. Calculer la tension \(V_{AB}\) aux bornes du groupement parallèle (entre les nœuds A et B).
  5. Calculer les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
  6. Calculer les chutes de tension aux bornes de chaque résistance : \(V_{R1}\), \(V_{R2}\), \(V_{R3}\), et \(V_{R4}\).
  7. Vérifier la loi des mailles pour la boucle passant par \(V_S, R_1, R_2, R_4\).
  8. Vérifier la loi des mailles pour la boucle interne contenant \(R_2\) et \(R_3\).

Correction : Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff

Question 1 : Résistance équivalente \(R_{23}\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{23}\) est donnée par \(R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 200 \, \text{Ω}\)
  • \(R_3 = 300 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{23} &= \frac{200 \, \text{Ω} \cdot 300 \, \text{Ω}}{200 \, \text{Ω} + 300 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{60000 \, \text{Ω}^2}{500 \, \text{Ω}} \\ &= 120 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{23} = 120 \, \text{Ω}\).

Question 2 : Résistance totale équivalente \(R_{\text{eq}}\)

Principe :

Les résistances \(R_1\), \(R_{23}\) (l'équivalent de \(R_2 || R_3\)), et \(R_4\) sont en série.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq}} = R_1 + R_{23} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 100 \, \text{Ω}\)
  • \(R_{23} = 120 \, \text{Ω}\) (de Q1)
  • \(R_4 = 150 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq}} &= 100 \, \text{Ω} + 120 \, \text{Ω} + 150 \, \text{Ω} \\ &= 370 \, \text{Ω} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{eq}} = 370 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si trois résistances identiques \(R\) sont en série, leur résistance équivalente est :

Question 3 : Courant total \(I_S\)

Principe :

Le courant total fourni par la source est donné par la loi d'Ohm appliquée à l'ensemble du circuit : \(I_S = V_S / R_{\text{eq}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_S = \frac{V_S}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 24 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eq}} = 370 \, \text{Ω}\) (de Q2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_S &= \frac{24 \, \text{V}}{370 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.06486486... \, \text{A} \\ &\approx 64.86 \, \text{mA} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_S \approx 0.06486 \, \text{A}\) (ou \(64.86 \, \text{mA}\)).

Question 4 : Tension \(V_{AB}\) aux bornes du groupement parallèle

Principe :

La tension aux bornes du groupement parallèle (\(R_{23}\)) est donnée par la loi d'Ohm, où le courant traversant \(R_{23}\) est le courant total \(I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{AB} = I_S \cdot R_{23}\]
Données spécifiques :
  • \(I_S \approx 0.064865 \, \text{A}\) (valeur plus précise de Q3)
  • \(R_{23} = 120 \, \text{Ω}\) (de Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{AB} &= (0.064865 \, \text{A}) \cdot (120 \, \text{Ω}) \\ &\approx 7.7838 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{AB} \approx 7.78 \, \text{V}\).

Question 5 : Courants \(I_2\) et \(I_3\)

Principe :

Les courants dans les branches parallèles \(R_2\) et \(R_3\) peuvent être calculés en utilisant la tension \(V_{AB}\) à leurs bornes : \(I_2 = V_{AB}/R_2\) et \(I_3 = V_{AB}/R_3\). On doit vérifier que \(I_2 + I_3 = I_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{AB}}{R_2} \quad ; \quad I_3 = \frac{V_{AB}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{AB} \approx 7.7838 \, \text{V}\) (de Q4)
  • \(R_2 = 200 \, \text{Ω}\)
  • \(R_3 = 300 \, \text{Ω}\)
  • \(I_S \approx 0.064865 \, \text{A}\) (de Q3)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{7.7838 \, \text{V}}{200 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.038919 \, \text{A} \approx 38.92 \, \text{mA} \\ \\ I_3 &= \frac{7.7838 \, \text{V}}{300 \, \text{Ω}} \\ &\approx 0.025946 \, \text{A} \approx 25.95 \, \text{mA} \\ \\ I_2 + I_3 &\approx 0.038919 \, \text{A} + 0.025946 \, \text{A} \\ &\approx 0.064865 \, \text{A} \end{aligned} \]

La somme \(I_2 + I_3\) est bien égale à \(I_S\), ce qui vérifie la loi des nœuds.

Résultat Question 5 :
  • \(I_2 \approx 38.92 \, \text{mA}\)
  • \(I_3 \approx 25.95 \, \text{mA}\)

Question 6 : Chutes de tension aux bornes de chaque résistance

Principe :

Utiliser la loi d'Ohm \(V_R = I_R \cdot R\) pour chaque résistance.

Calculs :
\[ \begin{aligned} V_{R1} &= I_S \cdot R_1 \\ &\approx (0.064865 \, \text{A}) \cdot (100 \, \text{Ω}) \\ &\approx 6.4865 \, \text{V} \\ \\ V_{R2} &= I_2 \cdot R_2 \\ &\approx (0.038919 \, \text{A}) \cdot (200 \, \text{Ω}) \\ &\approx 7.7838 \, \text{V} \quad (\text{ce qui est } V_{AB}) \\ \\ V_{R3} &= I_3 \cdot R_3 \\ &\approx (0.025946 \, \text{A}) \cdot (300 \, \text{Ω}) \\ &\approx 7.7838 \, \text{V} \quad (\text{ce qui est } V_{AB}) \\ \\ V_{R4} &= I_S \cdot R_4 \\ &\approx (0.064865 \, \text{A}) \cdot (150 \, \text{Ω}) \\ &\approx 9.72975 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
  • \(V_{R1} \approx 6.49 \, \text{V}\)
  • \(V_{R2} \approx 7.78 \, \text{V}\)
  • \(V_{R3} \approx 7.78 \, \text{V}\)
  • \(V_{R4} \approx 9.73 \, \text{V}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un groupement de résistances en parallèle, la tension aux bornes de chaque résistance est :

Question 7 : Vérification de la loi des mailles (boucle \(V_S, R_1, R_2, R_4\))

Principe :

La somme algébrique des tensions dans une boucle fermée doit être nulle. On choisit un sens de parcours (par exemple, horaire) et on somme les tensions : \(V_S - V_{R1} - V_{R2} - V_{R4} = 0\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Sigma V &= V_S - V_{R1} - V_{R2} - V_{R4} \\ &\approx 24 \, \text{V} - 6.4865 \, \text{V} - 7.7838 \, \text{V} - 9.72975 \, \text{V} \\ &\approx 24 - 24.00005 \, \text{V} \\ &\approx -0.00005 \, \text{V} \end{aligned} \]

La somme est très proche de zéro (la petite différence est due aux arrondis des calculs précédents).

Résultat Question 7 : La loi des mailles est vérifiée pour la boucle \(V_S, R_1, R_2, R_4\) (\(\Sigma V \approx 0\)).

Question 8 : Vérification de la loi des mailles (boucle \(R_2, R_3\))

Principe :

Pour la boucle interne contenant \(R_2\) et \(R_3\), en partant du nœud A, en passant par \(R_2\) puis en revenant par \(R_3\) (sens opposé au courant \(I_3\)) au nœud A : \(V_{R2} - V_{R3} = 0\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \Sigma V &= V_{R2} - V_{R3} \\ &\approx 7.7838 \, \text{V} - 7.7838 \, \text{V} \\ &= 0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : La loi des mailles est vérifiée pour la boucle \(R_2, R_3\) (\(\Sigma V = 0\)).

Quiz Intermédiaire 3 : La loi des mailles de Kirchhoff est une conséquence de :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi des mailles de Kirchhoff stipule que dans toute boucle fermée d'un circuit :

2. Lorsqu'on applique la loi des mailles, une chute de tension à travers une résistance (parcourue dans le sens du courant) est généralement comptée comme :

3. Pour deux résistances \(R_a\) et \(R_b\) en parallèle, leur résistance équivalente \(R_p\) est :

Glossaire

Loi des Mailles de Kirchhoff (KVL)
Principe fondamental de l'analyse des circuits qui stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) autour de toute boucle fermée dans un circuit est égale à zéro.
Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL)
Principe qui stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) dans un circuit électrique est égale à zéro. C'est une conséquence de la conservation de la charge.
Maille (Boucle)
Tout chemin fermé dans un circuit électrique.
Nœud
Point dans un circuit où deux ou plusieurs composants sont connectés.
Loi d'Ohm
Relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)), et la résistance (\(R\)) dans un conducteur : \(V = IR\).
Résistance Équivalente
Résistance unique qui aurait le même effet global sur le circuit qu'un groupement de plusieurs résistances.
Circuit Série
Configuration où les composants sont connectés les uns à la suite des autres, de sorte que le même courant les traverse.
Circuit Parallèle
Configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la même tension soit appliquée à chacun d'eux.
Chute de Tension
Diminution du potentiel électrique le long du trajet d'un courant dans un circuit électrique en raison de la résistance des composants.
Vérification de la Loi des Mailles de Kirchhoff

D’autres exercices d’électronique:

Calcul du gain et des résistances pour un AOP
Calcul du gain et des résistances pour un AOP

Calcul du Gain et des Résistances pour un Amplificateur Opérationnel Calcul du Gain et des Résistances pour un Amplificateur Opérationnel Comprendre la Conception d'Amplificateurs à AOP Les amplificateurs opérationnels (AOP) sont des composants polyvalents au cœur de...

Calcul de la Distorsion Harmonique Totale
Calcul de la Distorsion Harmonique Totale

Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT) Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT) Comprendre la Distorsion Harmonique Totale Dans un système électronique idéal, un signal sinusoïdal en entrée devrait produire un signal sinusoïdal de même fréquence en...

Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur
Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur

Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur Comprendre l'Amplificateur Opérationnel Inverseur L'amplificateur opérationnel (AOP ou "op-amp") est un composant électronique actif fondamental, caractérisé par un gain...

Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz
Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz Comprendre les Oscillateurs LC Un oscillateur LC, également connu sous le nom de circuit résonant ou circuit bouchon (tank circuit), est un circuit électrique composé d'une inductance (L) et...

Analyse de l’état d’une diode
Analyse de l’état d’une diode

Analyse de l’État d’une Diode Analyse de l’État d’une Diode Comprendre l'État d'une Diode Une diode est un composant semi-conducteur qui agit essentiellement comme un interrupteur unidirectionnel pour le courant. Elle possède deux états principaux : l'état passant (ON...

Circuit de Redressement Simple à Diode
Circuit de Redressement Simple à Diode

Circuit de Redressement Simple à Diode Circuit de Redressement Simple à Diode Comprendre le Redressement à Diode Le redressement est le processus de conversion d'une tension alternative (AC), qui change périodiquement de polarité, en une tension continue (DC), qui a...

Amplificateur à Transistor BJT 2N2222
Amplificateur à Transistor BJT 2N2222

Amplificateur à Transistor BJT 2N2222 Amplificateur à Transistor BJT 2N2222 Comprendre les Amplificateurs à Transistor Bipolaire (BJT) Les transistors bipolaires à jonction (BJT) sont des composants semi-conducteurs fondamentaux utilisés dans une multitude...

Calcul de charge de condensateurs
Calcul de charge de condensateurs

Calcul de la Charge d'un Condensateur Calcul de la Charge d'un Condensateur Relation entre charge, capacité et tension pour un condensateur. Énoncé : Calcul de la Charge d'un Condensateur Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l'énergie...

Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur
Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur

Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur Détermination des concentrations de porteurs majoritaires et minoritaires dans le silicium dopé. Énoncé : Calcul du Dopage dans un Semi-conducteur Les propriétés électriques des...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *