Lois de l’Ohm et Kirchhoff
Contexte : Le diviseur de tensionUn circuit simple qui transforme une tension élevée en une tension plus basse en utilisant une paire de résistances en série..
En tant qu'ingénieur électronicien, vous devez vérifier le fonctionnement correct d’un circuit avant sa production en série. Le circuit, un diviseur de tension, est un montage fondamental utilisé pour obtenir une tension de sortie proportionnelle à sa tension d'entrée. Nous allons déterminer la tension aux bornes de chaque résistance pour confirmer que les spécifications du design sont respectées.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les lois fondamentales de l'électricité (Ohm et Kirchhoff) pour analyser un circuit en série, une compétence essentielle pour tout technicien ou ingénieur.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi d'Ohm pour lier tension, courant et résistance.
- Utiliser la loi des mailles de Kirchhoff pour analyser les tensions dans une boucle.
- Calculer la résistance équivalente d'un circuit en série.
- Déterminer les tensions aux bornes de chaque composant d'un diviseur de tension.
Données de l'étude
Schéma du Circuit Électrique
Visualisation 3D du Circuit
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| V | Tension de la source | 12 | V |
| R1 | Résistance 1 | 1 | kΩ |
| R2 | Résistance 2 | 2.2 | kΩ |
| R3 | Résistance 3 | 4.7 | kΩ |
Questions à traiter
- Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du circuit.
- Déterminer le courant total (\(I\)) qui traverse le circuit.
- Calculer la tension (\(V_{R1}\), \(V_{R2}\), et \(V_{R3}\)) aux bornes de chaque résistance.
Les bases sur les Lois de l'Électricité
Pour résoudre cet exercice, nous nous appuierons sur trois piliers de l'analyse de circuits : la loi d'Ohm, la loi des mailles de Kirchhoff et le principe des résistances en série.
1. Loi d'Ohm
Elle établit une relation directe entre la tension (U, en Volts), le courant (I, en Ampères) et la résistance (R, en Ohms). C'est la formule la plus fondamentale de l'électricité.
\[ U = R \cdot I \]
2. Résistances en Série
Lorsque des résistances sont connectées en série, le courant qui les traverse est identique. Leur résistance totale, dite équivalente (\(R_{\text{eq}}\)), est simplement la somme de leurs valeurs individuelles.
\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ... + R_n \]
3. Loi des Mailles de Kirchhoff
Cette loi (aussi appelée seconde loi de Kirchhoff) stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) dans n'importe quelle boucle fermée (ou maille) d'un circuit est égale à zéro. Pour notre circuit simple, cela signifie que la somme des chutes de tension aux bornes des résistances est égale à la tension de la source.
\[ V_{\text{source}} - V_{R1} - V_{R2} - V_{R3} = 0 \quad \text{ou} \quad V_{\text{source}} = V_{R1} + V_{R2} + V_{R3} \]
Correction : Lois de l’Ohm et Kirchhoff
Question 1 : Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{eq}}\))
Principe
Le concept physique ici est de simplifier un circuit complexe en un circuit plus simple. En trouvant la résistance équivalente, nous pouvons traiter les trois résistances comme une seule grande résistance, ce qui facilite grandement l'analyse globale du circuit.
Mini-Cours
Dans un montage en série, les composants sont connectés les uns à la suite des autres, formant un seul chemin pour le courant. Si l'un des composants est retiré, le circuit est ouvert et le courant ne peut plus circuler. La résistance totale augmente avec chaque résistance ajoutée.
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, la première étape est toujours d'identifier le type de montage. Observez le schéma : le courant n'a qu'un seul chemin possible à travers R1, puis R2, puis R3. C'est la définition même d'un circuit en série. Cette identification est la clé pour choisir la bonne formule.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de norme de calcul direct pour cette étape, les valeurs des résistances (1kΩ, 2.2kΩ, 4.7kΩ) sont des valeurs standardisées (série E12), ce qui garantit que ces composants sont courants et facilement disponibles sur le marché.
Formule(s)
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Les résistances sont des composants idéaux, leur valeur est stable et ne dépend pas de la température.
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Donnée(s)
Nous utilisons les valeurs des résistances fournies dans l'énoncé.
- \(R_1 = 1 \text{ k}\Omega\)
- \(R_2 = 2.2 \text{ k}\Omega\)
- \(R_3 = 4.7 \text{ k}\Omega\)
Astuces
Pour aller plus vite, faites un calcul mental rapide pour vérifier l'ordre de grandeur. La résistance totale doit être supérieure à la plus grande des résistances (4.7 kΩ). Ici, 1 + 2.2 + 4.7 est environ 8. Cela confirme que notre résultat sera dans la bonne plage.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit initial avec trois résistances
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Circuit équivalent simplifié
Réflexions
Le résultat de 7.9 kΩ signifie que, du point de vue de la source de tension, tout le circuit se comporte comme une unique résistance de 7.9 kΩ. Cette simplification est la clé qui va nous permettre de calculer facilement le courant total à l'étape suivante.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de confondre la formule pour les résistances en série (\(R_1 + R_2\)) avec celle pour les résistances en parallèle (\(1 / (1/R_1 + 1/R_2)\)). Assurez-vous de toujours utiliser la bonne formule en fonction du type de montage.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez ce point essentiel : en série, les résistances s'additionnent. C'est le principe de base pour simplifier n'importe quel circuit en série.
Le saviez-vous ?
Le concept de "résistance" a été introduit par Georg Ohm en 1827. Au début, ses travaux furent accueillis avec scepticisme par la communauté scientifique de l'époque, qui trouvait son approche trop mathématique pour un sujet de physique !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour vérifier votre compréhension, que deviendrait \(R_{\text{eq}}\) si on ajoutait une quatrième résistance \(R_4 = 10 \text{ k}\Omega\) en série ?
Question 2 : Déterminer le courant total (\(I\))
Principe
Le concept physique est la conservation de la charge. Dans un circuit en série, il n'y a qu'un seul chemin. Le débit des électrons (le courant) doit donc être le même en tout point du circuit. Nous le calculons en utilisant la loi d'Ohm sur le circuit simplifié.
Mini-Cours
La loi d'Ohm (\(U = R \cdot I\)) est une relation de cause à effet. La tension (U) est la "poussée" qui force les charges à se déplacer, la résistance (R) est "l'opposition" à ce déplacement, et le courant (I) est le "résultat" de cette interaction. En réarrangeant la formule en \(I = U/R\), on voit que le courant est proportionnel à la tension et inversement proportionnel à la résistance.
Remarque Pédagogique
Une fois que vous avez la résistance équivalente, le reste du circuit est "invisible" pour le calcul du courant total. Imaginez que vous avez remplacé les trois résistances par la seule \(R_{\text{eq}}\) calculée précédemment. Le problème devient alors très simple : quelle est l'intensité du courant dans un circuit avec une source de 12V et une résistance de 7.9 kΩ ?
Normes
Les normes de sécurité électrique (comme la norme NF C 15-100 en France) définissent des limites de courant admissibles pour les conducteurs afin d'éviter la surchauffe. Bien que notre courant soit très faible, ce principe est fondamental dans la conception de tout circuit électrique.
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que la source de tension est idéale, ce qui signifie qu'elle peut fournir le courant calculé sans que sa tension ne chute (pas de résistance interne).
Donnée(s)
- Tension de la source, \(V = 12 \text{ V}\)
- Résistance équivalente, \(R_{\text{eq}} = 7.9 \text{ k}\Omega = 7900 \text{ }\Omega\)
Astuces
Pour éviter les erreurs avec les zéros, utilisez les puissances de 10 ou les préfixes. Calculer \(12 / (7.9 \times 10^3)\) est souvent plus sûr que \(12 / 7900\). Le résultat sera directement en Ampères, et vous pourrez facilement le convertir en milliampères (mA) en multipliant par 1000.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul du courant I dans le circuit équivalent
Calcul(s)
Schéma (Après les calculs)
Courant circulant dans le circuit
Réflexions
Un courant de 1.52 mA est un courant très faible, typique des circuits électroniques de faible puissance. Il est bien en deçà des seuils dangereux pour l'homme et ne provoquera pas d'échauffement significatif des composants, ce qui confirme que le design est sûr de ce point de vue.
Points de vigilance
L'erreur la plus critique ici est la conversion d'unités. Si vous divisez 12V par 7.9 kΩ sans convertir, vous obtiendrez un résultat de 1.52, mais cette valeur n'aurait pas de sens physique (ce ne sont ni des Ampères, ni des milliampères). Assurez-vous toujours que vos unités sont cohérentes (V, A, Ω) avant d'appliquer la formule.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que le courant dans un circuit série est unique et se calcule avec la résistance totale. C'est le courant qui traversera ensuite CHAQUE composant du circuit.
Le saviez-vous ?
André-Marie Ampère, qui a donné son nom à l'unité de courant, était un prodige qui maîtrisait les mathématiques avancées dès son adolescence. Il a établi les fondements de l'électrodynamique, reliant l'électricité et le magnétisme, en seulement une semaine après avoir appris les découvertes d'Ørsted.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le courant mesuré dans le circuit était de 2 mA, quelle serait la tension de la source (en gardant \(R_{\text{eq}} = 7.9 \text{ k}\Omega\)) ?
Question 3 : Calculer la tension (\(V_{R1}\), \(V_{R2}\), et \(V_{R3}\))
Principe
Le concept physique est la "chute de tension". Lorsqu'un courant traverse une résistance, une partie de l'énergie électrique est convertie (généralement en chaleur), ce qui se traduit par une baisse de la tension. Cette chute de tension est quantifiable grâce à la loi d'Ohm appliquée à chaque résistance individuellement.
Mini-Cours
La Loi des Mailles de Kirchhoff est une manifestation de la conservation de l'énergie. Imaginez que la tension de la source est une "énergie potentielle" donnée aux charges. En parcourant la boucle, cette énergie est entièrement "dépensée" en passant à travers les résistances. La somme des énergies dépensées (les chutes de tension) doit donc être égale à l'énergie initialement fournie.
Remarque Pédagogique
Puisque le courant est le même partout, la tension aux bornes de chaque résistance sera directement proportionnelle à sa valeur. La résistance la plus grande (R3) aura la plus grande chute de tension, et la plus petite (R1) aura la plus faible. C'est le principe même du diviseur de tension : la tension totale se "divise" entre les résistances proportionnellement à leur valeur.
Normes
Les fiches techniques des composants électroniques spécifient toujours une "tension nominale" maximale. Nos calculs permettent de vérifier que la tension aux bornes de chaque résistance reste bien en dessous de cette limite pour garantir la fiabilité et la durée de vie du circuit.
Formule(s)
Hypothèses
Nous supposons que l'instrument de mesure (un voltmètre) que l'on utiliserait pour vérifier ces tensions est idéal, c'est-à-dire qu'il a une impédance interne infinie et ne perturbe donc pas le circuit en prélevant du courant.
Donnée(s)
- \(R_1 = 1000 \text{ }\Omega\)
- \(R_2 = 2200 \text{ }\Omega\)
- \(R_3 = 4700 \text{ }\Omega\)
- \(I \approx 0.00152 \text{ A}\)
Astuces
Pour aller plus vite et sans calculer le courant au préalable, on peut utiliser la formule du diviseur de tension : \(V_{R_x} = V_{\text{source}} \cdot (R_x / R_{\text{eq}})\). Par exemple, pour R1 : \(V_{R1} = 12\text{V} \cdot (1\text{k}\Omega / 7.9\text{k}\Omega) \approx 1.52\text{V}\). C'est une méthode très rapide pour trouver une tension spécifique.
Schéma (Avant les calculs)
Mesure de la tension aux bornes de R2
Calcul(s)
Tension aux bornes de R1
Tension aux bornes de R2
Tension aux bornes de R3
Schéma (Après les calculs)
Répartition des Tensions dans le Circuit
Réflexions
La vérification par la loi des mailles de Kirchhoff est une étape cruciale. Le fait que la somme de nos résultats est égale à 12.00 V nous donne une grande confiance dans la validité de nos calculs. Cela montre que l'énergie fournie par la source est entièrement dissipée par les résistances, comme attendu.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est d'utiliser la tension totale (12V) pour calculer la tension aux bornes d'une seule résistance. N'oubliez pas : la loi d'Ohm (\(V=RI\)) doit être appliquée de manière cohérente. Si vous utilisez la résistance \(R_1\), vous devez utiliser le courant qui la traverse (\(I\)) pour trouver la tension à ses bornes (\(V_{R1}\)), et non la tension totale du circuit.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez que la tension se répartit aux bornes des composants en série. La somme de ces "chutes de tension" individuelles est toujours égale à la tension totale de la source. C'est la loi des mailles de Kirchhoff en action.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois des circuits en 1845, alors qu'il n'était encore qu'un étudiant de 21 ans ! Ces lois, qui découlent des principes de conservation de la charge et de l'énergie, sont restées les fondements de l'analyse de circuits jusqu'à aujourd'hui.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient la tension \(V_{R2}\) si la tension de la source passe à 9V ? (Le courant total changera aussi !)
Outil Interactif : Simulateur de Diviseur de Tension
Utilisez ce simulateur pour voir comment la tension de la source et la valeur de la résistance R2 influencent le courant total et la tension à ses bornes (\(V_{R2}\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un circuit diviseur de tension en série, si la valeur d'une seule résistance augmente, que fait le courant total ?
2. Quelle loi est la plus directe pour vérifier que la somme des tensions aux bornes des résistances est égale à la tension de la source ?
- Loi d'Ohm
- Principe fondamental qui stipule que le courant traversant un conducteur entre deux points est directement proportionnel à la tension aux bornes de ces deux points. \(U = R \cdot I\).
- Loi des Mailles de Kirchhoff
- Principe de conservation de l'énergie qui énonce que la somme des tensions électriques dans une boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle.
- Diviseur de Tension
- Un circuit linéaire passif qui produit une tension de sortie (\(V_{\text{out}}\)) qui est une fraction de sa tension d'entrée (\(V_{\text{in}}\)). Il est formé de composants en série.
- Résistance Équivalente
- Une valeur de résistance unique qui pourrait remplacer une combinaison plus complexe de résistances tout en conservant les mêmes caractéristiques de tension et de courant pour le reste du circuit.
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